Введение к работе
Актуальность темы. Одним из эффективных методов исследования 'ебраических и спектральных свойств операторных пучков является [оставление им в соответствие линейных операторов (линеаризаторов). гнно этот подход позволяет использовать соответствующие результа-спектральной теории операторов при изучении структуры спєктпа wa, вопросов полнота и оааиснооти его жсрдаксвьк цепочек. Весьма явственным при этом оказывается применение теории пространств с (ефинитной метрикой.
Так результаты спектральной теории операторов в пространс-зх с индефинитной метрикой были использованы С.Г.Крейном {,М.Моисеевым, рассматривавшими вращения волчка, заполненного даэстью,близкие к состоянию покоя и в предположении, что жид-;ть имеет свободную поверхность. При этом задача о нахождении эмальных колебаний сводилась к задаче о собственных числах «иного пучка L(u) - шА - В, где А - положительный оператор, самосопряженный оператор В задает в гильбертовом простран-зе Н структуру пространства Понтрягина Пж (1 і ж < 6) с ин-бинитной метрикой Си, уЗ - (Ви, v). Эта задача сводится к экгральному анализу некоторого П-самосопряженного оператора. Впервые теорию операторов в пространствах с индефинитной меткой к изучению квадратичных пучков LU) - \zl + УВ + С, где -В* - непрерывный оператор,С > О, С - вполне непрерывный опера-р (( тст) в Н привлекли М.Г.Крейн и Г.К.Лангер, предложившие
V2\
/о С
чку ставить в соответствие оператор К - ф
\ - С - в
и этом оказывается, что двукратная полнота системы жордановых
почек пучка L эквивалентна полноте системы корневых векторов
оператора К в пространстве Н - Н+ Н- (Н+ - Н- - Н) .
При неучений полиномиальных операторных пучков теория операї ров в пространстве Крейна использована Н.Д.Копачевским, С.Г.Кр* ном, Г.Лангером, П.Ланкастером, А.С.Маркусом, В.И.Мацаевым.
Проблема малых колебаний вязкой несжимаемой жидкости в открь
том сосуде, рассматриваемая В работах С.Г.Крейна, Н.К.Аскерої
Г.И.Лаптева сводится к исследованию операторного пучка
1 L(A) - АА + - С - I, где А > О, С > О, А ( Гр, С ( Tq. О
Теорема Келдыша позволяет доказать двукратную полноту в пр ранстве Н системы собственных и присоединенных векторов такогс ка. Теорему о двукратной базисности удалось доказать только, пост в соответствие пучку (1), лианеариватор, являющийся самосопряженн оператором в пространстве Понтрягина.
Обобщением пучка С.Г.Крейна (1) на случай нагреваемой жидкост
является квадратичный операторный пучок
1
L(A) - I - eQ - АА - - С, (2
А, С, Q ( Г^ . А > 0. С > 0. Q - Q*, ( R+,
возникающий в задаче о нормальных колебаниях однородной вязко
жидкости, частично заполняющей сосуд. Возникает задача:
изучить поведение собственных значений пучка (2) при выполне
нии условия s|Q0 > 1 и получить достаточные условия неустойчи
вости.
Другим обобщением пучка С.Г.Крейна (1) является пучок
LCA) - А2А + АВ + С, (3
где операторы А, В, С - являются непрерывными и самосопряженными і
гильбертовом пространстве Н.
В данной работе рассматривается определенный класс пучков типа
), строится некоторое пространство Понтрягина Пае, и в этом прост-нстве пучку ставится в соответствие оператор, являющийся самопряженным относительно метрики пространства Пае. Указан пример мпактных операторов А, С, когда этого сделать нельзя.
Цеди настоящей работы. 1. Найти условия, при которых в некотором льбертовом простоанствє млжип рвесті! стру;""/ру йіллл'ранетва птряпіна. относительно которой лииеаризатор квадратичного пучка А) - Х2А + ХВ + С будет самосопряженным;
-
изучить спектральные свойства указанного квадратичного са-сопряженного пучка через свойства соответствующего л-самосопря-нного оператора;
-
найти необходимые и достаточные алгебраические условия укратной полноты и базисности жордановых цепочек квадратичного чка;
-
исследовать расположение в комплексной плоскости собственных ачений квадратичного пучка, подобного возникающему при малых нвективных движениях жидкости в частично заполненном сосуде.
Методы исследования. В работе используются методы спектральной ории операторов, действующих в пространствах с индефинитной меткой, некоторые способы линеаризации рассматриваемых квадратичных чков, в зависимости от решаемой проблемы, а так же другие общие 'Зультаты функционального анализа.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми.
: НИХ МОЖНО ВЫДеЛИТЬ СЛЄДУВДИЄ:
выделен класс самосопряженных квадратичных пучков, которым мож-) поставить в соответствие лииеаризатор, являющийся самосопряжен-ы оператором в некотором пространстве Понтрягина;
доказаны новые необходимые и достаточные условия двукратной
полноты и базисности жордановых цепочек квадратичного самосопр женного пучка;
-
получен новый критерий принадлежности оператора классу К(Н позволивший доказать полноту и базисность части жордановых цепоч пучка в исходном пространстве;
-
для квадратичного самосопряженного пучка с параметром исследо вопрос о расположении в комплексной плоскости собственных значен: этого пучка в зависимости от значений параметра;
-
получено описание всех положительных операторов из R", матри которых в произвольном ортонормированием базисе будут иметь дом нирующую главную диагональ.
Приложения. Результаты диссертации могут найти применение дальнейшем развитии теории операторов в пространствах с индефини1 ной метрикой, спектральной теории квадратичных пучков и ее прши жениях в гидродинамике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на X Всесоюзной школе по теории операторов б функциональных простран< твах в г.Новгороде, 1989 г.; на I-IV Крымских осенних школах-си позиумах по спектральным и эволюционным задачам (КРОШІ І-Г 1990-1993 гг.; на семинаре "Несамосопряженные операторы" механикі математического факультета МГУ, руководители - профессоры А.Г.Ко< тюченко, А.А.Шкаликов, 1993 г.; на Всесоюзной Воронежской матем; тической школе "Понтрягинские чтения IV" 1993 г.; на Международні конференции по проблемам теории операторов в Вене 1993 г.: на семинаре "Краевые задачи", руководитель - профессор Ю.В.Покорі
Публикации. Основные результаты полностью опубликованы работах [13 - [93. В работах [1] - [3], [93, написанных
СОВМеСТНО С НауЧНЫМ РУКОВОДИТеЛеМ Профессором Т.Я.А8И80ВЫМ,
остановка задач принадлежит научному руководителю, а их решение -
автору диссертации, _. - :
Структура диссертации. Диссертация изложена на 118 страницах, остоит из введения, трех глав, разбитых на восемь параграфов, списка литературы из 40 наименований.
