Введение к работе
Актуальность темы. Цель настоящей работы - изложение некоторых аспектов теории множеств, метризованных по средствам функции, принимающей значения в линейном полуупорядоченном пространстве и обладающей всеми свойствами метрики. Такие метрики мы называем решеточнозначными. а соответствующие пространства - решеточнометризованными Такие объекты естественным образом возникают при исследовании равномерных и вполне регулярных пространств , а также при исследовании спусков метрических пространств внутри булевозначных моделей теории множеств. Мы также изучаем линейные решеточнометризованные пространства как абстрактные аналоги линейных метрических пространств.
В связи с чтим возникает две задачи. Во-первых, исследовать спуски обычных (вегцественнозначньгх) конструкций и топологическую структуру, получающуюся путем спуска естественной топологии. Во-вторых, исследовать естественные рещеточнозначные метрики равномерных пространств, топологию, порожденную абстрактной метрикой и ее связь с исходной топологической структурой.
Равномерные и вполне регулярные пространства, а также ре-шеточно метризованные пространства, по своим свойствам весьма близки к метрическим. Это связано с тем, что решеточнозначная метрика является абстрактным аналогом обычной вещественной метрики , прямым ее обобщением также, как понятие векторной решетки является обобщением понятия поля вещественных чисел. По-
этому возникает третья задача - найти полные абстрактные аналоги классических понятий метрического, линейного метрического, полного пространства, пространства Фргаїе.Тж понятие расширенного К-пространства в силу теоремы Е.И.Гордона является полным аналогом поля вещественных чисел.
Впервые решеточнонорыированные пространства были введены Л.В. Канторовичем. Методами бу.тевозначных интерпретаций они были исследованы А.Г.Кусраевым. Метрики со значениями в топологических полуполях - ^'-пространствах специального вида, а также вопросы метризуемости топологических структур по средствам таких метрик исследовались М.Я.Антоновским, В.Г.Болтянским, Т.А.Сарымсаковым. Булевозначные реализации равномерных пространств исследовались Е.И.Гордоном и В.А.Любецкнм. А.Г.Кусраевым н С.А.Малюгиным в исследовались меры со значениями в решеточнонормированных пространствах.
Успешное применение булевозкачных методов обусловлено теоремой Е.И.Гордона, согласно которой расширенное К-пространство реализуется в подходящей булевозначноіі модели теории множеств как поле вещественных чисел и, следовательно, в этой модели ре-шеточнозначные функции реализуются как вещественные . Полная аналогия соответствующих объектов и возможность получать результаты об абстрактных конструкциях путем расшифровки истинностных значений соответствующих утверждений, верных в модели для вещественнозначных конструкций, возникает, если соответствующий абстрактный объект допускает "правильное" погружение в
подходящую булевозначную модель теории множеств, то есть его спуск совпадает с исходным объектом. Это чквивалентно цикличности соответствующего множества. Известно, что при "пропускании" через булевозначную модель множество "зацикливается". Это и является ключом к выделению констрз'кшш, допускающих правильное "погружение".
Мы также исследуем вопрос о полноте и пополнении решеточ-нометризованных пространств, который ставится в двух аспектах. Во-первых, рассматриваются понятия полноты и пополнения, обусловленные некоторой сходимостью в векторноіі решетке и указываются условия, гарантирующие существование пополнения. Во-вторых, исследуется пополнение (и полнота), допускающее "правильное" погружение в булевозначную модель. На атом пути выделяются абстрактные аналоги полных метрических пространств, в частности, - пространств Фреше.
Так как всякая векторная решетка является рещеточнометризо-ванным пространством относительно модуля разности, то интересен также вопрос, какая топология индуцируется чтой метрикой в векторной решетке и при каких условиях исходная топология (или равномерность) равномерного или вполне регулярного просранства совпадает с топологией, индуцированной решеточной метрикой. Это снова связано с вопросом "правильного" погружения топологической (равномерной) структуры в булевозначную модель. При зтом мы даем описание некоторой естественной топологии архимедовой векторной решетки в терминах отношения строгого порядка, полу-
чающегося путем спуска отношения строгого порядка вещественной прямой внутри булевозначной модели.
Цель работай. Описание пространств с абстрактной метрикой. Получение, результатов о пополнении пространств с абстрактной метрикой, перенесение на такие пространства некоторых классп чеекпх результатов о метрических пространствах. Описание классов пространств, являющихся аналогами метрических, полных метрических пространств, пространств Фреше. Установление связи между' пространствами с абстрактной метрикой и равномерными пространствами, исследование вопроса об абстрактной метризуемости равномерных структур.
Методика исследонания. В работе применяются методы теории векторных решеток, функционального анализа, булевозначных интерпретаций.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми или доказаны новыми способами.
Основные результаты:
-
Нестандартное описание архимедовых векторных решеток и некоторой естественной топологии в таких решетках, а также описание порядка в векторной решетке, порождающего эту топологию.
-
Описание естественной метрики со значеннями в векторной решетке равномерных пространств и установление критерия абстрактной метризуемости равномерной структуры.
3. Выделение абстрактных аналогов метрических, метрических полных пространств и пространств Фреше.
Теоретическая и пра-ктгічєская значимость. Работа ноепт теоретический характер. Полученные результаты могут быть применены при исследовании конкретных функциональных пространств, в теории векторных решеток. Кроме того они могут использоваться при разработке спецкурсов и спецсеминаров по теории полуупорядоченных пространств и применению теоретико-модельных методов в анализе.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 11-І1 Коми республиканской молодежной конференции (Сыктывкар 198G г.), на первом и втором Всероссийском семинарах по нестандартному анализу (Горький 1988 г., Саратов 1990 г.), на Всероссийской конференции по теории функций, посвященной памяти А.Ф.Леонтьева (Сыктывкар 1993 г.), на февральских (1995) чтениях Ученого Совета Сыктывкарского госуниверептета, на Второй Международной конференции "Математические алгорифмы"' (Н.Новгород 1996 г.), а ткже на научных семинарах кафедры математического анализа СГУ, на семинарах по полуупорядоченн'ым пространствам в Ленинграде.
Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ, которые отражают ее основное содержание.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, списка литературы, содержащего ^5 наименований. Объем диссертации - 80 страниц ма-
шинописного текста.
Во введении дается краткий обзор сведении из теории булевознач-ных моделей теории множеств, в первой главе излагаются необходимые результаты из теории моделей, применяемые в исследовании. Основное содержание работы изложено в последующих главах. В каждом параграфе применяется внутренняя нумерация теорем и определений.
