Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы оживился интерес к проблематике, находящейся на стыке теории динамических систем и метрической теории чисел. Эта проблематика имеет давнюю историю, восходящую к классическим работам А. Я. Хинчина, В. А. Рохлина, П. Леви. В более позднее время она развивалась в работах А. Реньи, У. Парри, П. Эрдеша. С другой стороны, теория аппроксимации динамических систем, развитая в работах Л. Орнштейна, А. Б. Катка, А. М. Степина, А. М. Вершика, позволила использовать аппроксимативные методы для исследования свойств преобразований, имеющих теоретико-числовую природу.
В последнее десятилетие появилось множество работ, в которых используется техника аппроксимации динамических систем различной природы с помощью теории кодирования (см., напр., [1, 2]). Наш подход несколько иной; он основан на марковской аппроксимации автоморфизмов при помощи адической реализации, введенной А. М. Вершикомв работе [3]. При этом явное задание топологического и метрического изоморфизма в виде арифметических разложений позволяет более глубоко изучить свойства известных динамических систем (см., напр., [4, 5]).
Цель работы. Целью диссертации является:
-
Определение классов разложений вещественных чисел и изучение их свойств, а именно: выполнимости законов больших чисел и центральной предельной теоремы для последовательностей допустимых коэффициентов; вопроса о сингулярности или абсолютной непрерывности распределения некоторого ряда из дискретных независимых случайных величин, естественно ассоциированных со вторым классом разложений.
-
Изучение поведения функции "сумма цифр" для разложений Кантора и Островского, последнее из которых, будучи пополненным, дает первый тип разложений, изучаемых в главе 1.
8. Представление сумматорной функции для количества представлений Фибоначчи в максимально точном виде и установление связи чтой проблемы с бесконечными свертками дискретных мер, имеющими ту же природу, что и бесконечные свертки в главе 1.
Методика исследований. При определении указанных классов
разложений и изучении их свойств используются известные результаты из теории непрерывных дробей. Во второй главе, посвященной функции "сумма цифр", основное техническое средство — преобразование Абеля, оказывающееся эффективным для получения "грубых" результатов для нестационарных систем счисления. Техника, основанная на оценках рекурсивных функций, легла в основу последней главы.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и техника могут быть обобщены и использованы в ряде областей символической динамики и теории чисел.
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре ПОМИ по теории представлений и динамическим системам. Результаты главы 3 были рассказаны автором на сессии ПОМИ в августе 1995 года.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8, 9, 10, 11, 12].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения и трех глав, разбитых на 12 параграфов. Объем работы — 65 страниц в TgX'e, т.е. около 90 машинописных. Список литературы содержит 44 наименования.
