Асимптотические свойства ортогональных полиномов и их производных Бадков, Владимир Михайлович

Введение к работе

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Теория ортогональных полиномов - один из классических и интенсивно развивающихся разделов катеыэгнчес-кого анализа. Сртогональние полиномы, обладая ценными экстремальными я аппроксимативными свойствами, находят аирокие прк-иенения как в математическом анализе, так и в его приложениях (в аппроксимациях Паде,рядах фурье ^по ортогональным полиномам, ннт9рпЬ«ирорянги и квалратушх. математической статистике, иа-TevaTTPWoi» гіиолагии и т.дХЗоарос о позедетпи ортогонального полинома при большие значениях его номера является одним -и ваянейпшх и труднейших вопросов теории ортогональных полиномов. В настоящее время теория ортогональных полиномов является обширной областью математических исследований. Она имеет дело с многими типами ортогональных полиномов и различными видами асимптотик. При исследовании сходшлссти и суммируемости рядов Фурье по-ортогональным полиномам, сходимости интерполяционных и квадратурных процессов и т.д. требуется знать равномерную асимптотику на носителе меры для ортогонального полинома.

Асимптотические свойства классических ортогональних 'ягого-членов Якоби.Зрмита и Лагерра исследовались в работах Дарбу, Сонина.Стилтьеса, Стеклом,Берншгэйна.Хильба,Pay, Cere, и других.. Р.а.п. (разномерные- асимптотические представления)классических многочленов Якобп на всём отрезке ортогональности получила Э.Хильб (в частном случае многочленов Леяандра), а такне Г.Pay и Г.Оегэ (в общем случае) в терминах функций Бесселя методом

диувнлля - Стеклова. С.Н.Бернзтеин l7 исследовал асимптотическое поведение обобщённых многочленов Якоби 1Рц'% (t)}ir=o?V^ro~ нормированных на отрезке С~4>1 J с весом

Pft) = Н (t)ff-1) "(1+ t)f (-i±t&4',<*, 1^-4) где H - отграниченная от нуля и бесконечности изгерииая по Лебегу функция. ПриА/ftl —4 эти многочлены являются класся^ ческимя ортонормированными многочленами Якобп ^Ря'^ҐИ/ч^с При условии, что ot,fi t(-/\r⁴f*1 ^и производная н'Р-1/р-* (fej)-l(p/* означает, 4iuv>(fi6)e*,il=O(l«U~*)fS-*i0), где a (ft дІСЧ/4-і - равномерный модуль непрерывности на Г^аг&1 функции /) , С.Н.Бернштейн fl] подучил для Р%((0!0) р.а.п. па всём отрезке ГО, тс] в терминах полиномов

В случае ы. =р=.- Vz С.Н.Беряатейн получил этот результат в предположении, что н Є D-Li'p/' (/">*) , и дан оценку остаточного члена р.а.и, 3 течение многих десят«аіетдЯ сстасался откркгыи вопрос о справедливости результатов С.Н.Беркьтсйна

ддя всех of, ^ > - 4 _и црц минимальных ограничениях на глад
кость множителя Н . .

Г.Сегё ввёл в рассмотрение систему многочленов №п(г-))_п=о . ортонормированную на окружности Лг ={%:/%1=1} с весом fc) , выразил через них многочлены, ортогональные на С~4 > Л 3 , и доказал, что если tn . то Ч>V,(&:=%^п%(Е*) сходится равномерно внутри круга Т)-{%: ІЦ<-4} к функции

ныне носящей его имя. Пбзже Я.Л.Геронимус доказал, что если выполнено условие Сегё

-CnG'C'c) е L¹ [о,2ж], . y₂j

то равномерно внутри J)

Й>Ф=7T(6'}*)+otf) (**<*)), (з)

где /&,л (&)}іо — система многочленов, ортонормированная на 2*4 по мере йб ("производящая функция которой б не убывает,

ограничена, имеет бесконечное множество точек роста на отрезке "0, 2.3TJ , с которого продолжается на интервал Л=Г~<х>,оо) о помощью формулы G(T+zn)-&C& —ё(2.7г)-ёСо) ). Г.Сегё установил, что если 0<^<P:T>-LifM- (М~>Л) , то равномерно по &R <<р?(е¹'^в)->ж(<рц>&) (п->а>) , wtTtfytty^emxfiPife*). Отсюда Г. Сегё в виде немедленного следствия вывел цитированный выше результат об асимптотике р„,п f⁰*^{1 &]} полученный в [ІІ значительно более сложным способом. С тех пор, следуя Г.Core, результаты об асимптотике многочленов, 'ортогональных на отрезка, обычно выводят из предварительно устанавливаемых результа-тов^для <Ре>,п (2) . Результаты С.Н.Бернштейна о р.а.п. р^^ХпНсОі&) на [0/ус! и Г.Сегё о р.а.п» _H(i) на 7* относятся к случав весов ортогональности, не имеющих ocdcii'x точек. Известно, что если выполнено условие (2), то п.в.на С0,2ж]

поэтому в особых, точках 9 плотности распределения ё для _г=^»-0 . формула (3) не может дать ни асимптотики, ни даже порядка для ^ * ( Z) .В течение нескольких десятилетий в актуальной, для теории ортогональных многочленов задаче нахождения р.а»п- на Гі для %*_nfe) в случае веса 0» с особен-' ностями не было существенных продвиженіїй. Усилия многих авторов (подробнее об этих исследованиях см. в f2])были направлены на получение р.а.п. (3) на дуге окружности Г_л , нї содер-

- 5 -жащей ocodHX тачек плотности распределения &'(Т) , при минимальных- ограничениях на гладкость (о'(т) на этой дуге. Однако полного'решения этой задачи получить не удавалось.

ЦЕПЬ РАБОТЫ. Целью настоящей работы является редение следующих задач (среди которых .задачи 2)- 5) являются вспомогательными для решения задач 6)-8) ):

1. доказать асимпто тческую формулу в форме Сегё для %,п(Х.), разномерную внутри дуги единичной окружности, не содержащей осо-йиг. теїст? тт-тэтуости распределения б' , при минимальных ОГраНЛ-ЧеНЇЇЯХ НЯ ГПЯЛКОСТЬ <о І

2. установить двусторонние поточечные оценки для ЇНЇФіре¹⁰)] (в зависимости отр^/х^К) и QG.R) в случае веса 9 с особенностями, задаваемыми произведениями действительных степеней функций, типа модулей, непрерывности натуральных порядков;

3. показать, что для широких классов весов 9» с особенностями, задаваемыми произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности, наилучшие приближения функции Сегё (I) алгебраическими многочленами в /.²^ (Гц) стремятся к нулю не медленнее, а иногда и быстрее, чем ц~*/з. ?

4. показать, что для этих же классов весов максимум модуля логарифмической производной функции (і) в круге. iZl^p есть 0((1-РҐ⁴) , а иногда и. О ((4~р)~1) (f-* 1-()) і

5} уточнив и обобщив известные неравенства для интегральных средних аналитической функции,новым методом установить в рамках единой теории весовые аналог;і неравенств А.А.Мзркова.С.Н.Еерпш-тейна и СМ.Никольского для'алгебраических многочленов на окружности или на отрезке и тригонометрических полиномов на периоде; в частности, уточнить в ряде случаев константу в неравенстве СМ.Никольского для тригонометрических полиномов одной переменной.;

6. для сирокого класса пегев с особенностями, задаваемыми произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности, установить двусторонние поточечные оценки в терминах величины [яС^^-^е'⁶)! Для |б;/при фиксированномуf 2Г+;

7. для более узких классов весов <р с особенностями доказать при фиксированных. Cf 0,00) и J Є Ж* Р-а.п. на J*

Ч>₆%(Z)=n^Jz "-'(<&'і(4-ta-*)z)ЇЇ+о№(n-aa); ft)

8) получить p.а.п. на носителе меры обобщённых полиномов
Лкоби, алгебраических на окружности или на отрезке к тригоно
метрических на периоде, при минимальной гладкости весов а для
всех допустимых значений показателей в терминах классических

многочленов Якоби. .

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. При решении поставленных, задач применяются методы теорий функции действительного переменного,комплексного переменного и ортогональных полиномов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются либо новыми по форме, либо уточнениями известных по форме результатов, но доказанными при минимальных ограничениях в рассматриваемых терминах. Например, результат о равномерной асимптотике <р_е>л (&) на дуге окружности в форме Сегё в частных

случаях был известен и раньше. В диссертации он доказав, при минимальном ограничении на гладкость плотности распределения на Сказанной дуге.При этом применён новый метод доказательства, еэультаты о р.а,п. обобщённых полиномов Якоби трёх типов, особенно в случае отрезка, получены в форме С.Н.Бернштейна, однако новым методом, причём, при минимальных ограничениях на гладкость весов и для всех значений параметров. Результаты о двусторонних поточечных оценках и р.а,п. для ^ie) являются новыми и по форме и по методам доказательства, новым по форме и

методу доказательства является также и результат о двусторонних поточечных оценках функции Сегё. Новым является и метод, доказательства весовых аналогов неравенств А.А.Маркова.О.Н.Бернштейна и СМ.Никольского, основанный на применении неравенств для интегральных средних аналитической функции и её производных.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Основные'результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные автором в случае отрезка оценки обобщённых многочленов Якоби и на их основе - результаты об аналогах неравенства М.Рясса для сумм Фурье по этим многочленам нашли применения в исследованиях о сходимости соответствующих рядов фурье, интерполяционных и квадратурных процессов (см. [3 - КЦ). Основной результат главы I применён в {I3J при исследовании поведения многочленов второго рода. Результаты об оценках и асимптотике ортогональных полиномов и их производных могут применяться в теориях ортогональных рядов, интерполирования и квадратур, а результат о- двусторонних поточечных оценках модуля функции Сегё - в теории функций комплексного переменного, поскольку эта функция используется в параметрических представлениях классов аналитических функций. Результаты о весовых аналогах неравенств А.А.Маркова, С.Н.Бэрш-тейна и С.М.Никольского могут найти применения в теории приближения функций.

АППРОБАЦШ. РАБОТЫ. Результаты диссертаций докладывались на международных конференциях, по теории приближения функций ( Калуга, 1975; Благоевград, 1977; Будапешт, 1980; Варна, 1981; Каев, 1983; Варна, 1904; Ниш, 1987 ; на Саратовской зимней школе

- 7 -по теории функций и приближений Саратов, 1982, 1984, 1986,. 1988, 1990) ; на всесоюзных школах по теории функций (Ереван, 1975;. Кемерово, 1983; Днепропетровск, 1985; Иркутск, Г987;Ере-ван, 1987і Одесса, 1991 ); на летних школах'по теории приближения функций (Владимир, 1981;. Душанбе, 1936;. Миасс, 1989 )і на семинаре под руководством члена-корреспондента РАН П.Л.Ульянова в МГУ, в 179 г.; на семинаре под руководством профессоров Е.М.Никишина и А.Ы.Олевского в МГУ, в 1981 г.; на семинаре

под руководством профессора Е.П.Долженко в МГУ, в 1986 г.; на семинаре под руководством профессора В.М.Тихомирова в ЖТ, в 1986 г.; на семінаре ттод. руководсхий аісадеііика ГАН А-А.Гончара в МИРАН, в 1986 и 1990 г.г.; л Коздгпароднои математическом центре им. С.Банаха, в Варшаве, в 1986 г. и др.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в
работах [17] - [42 3 , некоторые из которых содержат

также полученные на основе включённых в диссертацию результатов не вошедшие в неё результаты о рядах фурье по алгебраическим и тригонометрическим ортогональным полиномам.

СТРУКТУРА- И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и четырёх глав. Список литературы содержит 170 наименований. Объём диссертации - 208 с.

Похожие диссертации на Асимптотические свойства ортогональных полиномов и их производных

Теоремы Джексона в пространствах L P и некоторые экстремальные свойства полиномов и сплайновМосковский, Александр Владимирович

Аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам ЛагерраПирметова, Саида Ямудиновна