Введение к работе
і і '
Актуальность темы. Нахождение точных констант в неравенствах Джексона между наилучшим приближением и модулем непрерывности в пространствах Lp на торе Т", евклидовом пространстве К", евклидовой сфере Sn~l является важной экстремальной задачей теории приближений и ей посвящено много работ.
Точные результаты в Lp(Tn) получены Н.П. Корнейчуком [10] (тг=1, р=оо, случай непрерывных функций), Н.И. Черныхом [17, 18] (тг=1, 1^р^2), В.А. Юдиным [19] (гг>1, р=2), В.И. Ивановым [9] (п>1, 1^р<2). В пространстве I^S-1), тг^З точные неравенства Джексона установлены В.В. Арестовым и В.Ю. Поповым [1] (гг=3,4) и А.Г. Бабенко [2] (п^5). В пространствах LP(W) точные неравенства Джексона доказаны Й.И. Ибрагимовым и Ф.Г. Насибовым [б] (р=2, п=1), В.Ю. Поповым [13, 14] (р=2, п=1,2,3) и О.Л. Виноградовым [5] (1^р<2, п=1, оценка сверху).
Важной задачей теории приближений является и задача изуче
ния экстремальных свойств дифференцируемых функций, полиномов
и сплайнов. , [
Мощным средством для изучения экстремальных свойств функций являются теоремы сравнения для их перестановок. Теоремы сравнения позволяют единообразно для различных классов функций доказывать как известные неравенства, установленные ранее разными методами, так и новые.
Теоремы сравнения для перестановок дифференцируемых периодических функций, тригонометрических полиномов и сплайнов установлены Н.П. Корнейчуком [11], Л.В. Тайковым [15], А.А. Лигу-ном [12], В.И. Ивановым [8] и другими авторами.
Оценке интегральных норм алгебраических многочленов на большем отрезке через интегральные нормы на меньшем отрезке посвящены работы П.Л. Чебышева, Н.И. Черныха [16], В.И. Иванова [7] и других.
Цель работы. Диссертация посвящена доказательству точных неравенств Джексона в пространствах Lp (ШР), п^ 1 и Lpд (Ж-f) = Lp(E+,x2X+1 dx), А^ — \ при 1^р^2; доказательству теорем сравнения для перестановок производных дифференцируемых периодических функций, тригонометрических полиномов и сплайнов на произвольных отрезках; оценке интегральных норм алгебраических многочленов на большем отрезке через интегральные нормы на меньшем
отрезке равномерно по параметрам.
Методы исследования. Применяются методы теории приближений, гармонического анализа, теории представления группы движений К".
Научная новизна, а) В пространствах Lp(En), п^1,1^р<2 и 1,2,а(1+), А^~| доказаны точные неравенства Джексона. В пространствах ір>а(К_,_ ), 1^р<2 для констант Джексона получены оценки сверху такие же как и в пространствах Lp(En). В неравенствах Джексона в пространствах Ьг(К3) и X2,i/2(^+) найдены точки Черныха.
б) Доказаны теоремы сравнения для перестановок производных
дифференцируемых периодических функций, тригонометрических
полиномов и сплайнов на произвольных отрезках. \
в) Получены оценки норм алгебраических многочленов степени
п в пространстве Lq[-T},rj\ через их нормы в пространстве Lp\-1,1],
равномерные по nN, r\%.\, l^p,q^oo.
Все результаты являются новыми. j
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при решении экстремальных задач теории приближений.
Аппробация работы. Результаты работы докладывались на Международных конференциях по теории приближений и гармоническому анализу в г. Калуге (1996 г.) и в г. Туле (1998 г.), 9-ой Саратовской зимней школе (1998 г.), на семинарах С А. Теляковского в МИР АН и В.И. Иванова в ТулГУ.
Публикации. Основные результаты опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата. Одна работа написана в соавторстве с В.И. Ивановым.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации — 92 страницы. Библиография содержит 62 названия.
