Введение к работе
Актуальность теш. Одним из центральных объектов в общей теории аналитических функций является класс целых функций, с которыми в большей или меньшей мере соприкасался каждый математик. В современных исследованиях по теории целых функций можно выделить две основные тенденции: с одной стороны, доказываются результаты, пригодные для всего класса целых функций, а с другой, выделяется тот или иной подкласс целых функций и изучаются его свойства. В І968 г. Б.Лепсон из общего класса целых функций выделил его подкласс - целые функции ограниченного индекса. Так называется целая функция f , для которой существует число N6^»^. такое, что для всех neZ+ и ЖбС
Й^Й14ив,{1^И1..о«к*м}.'
Исследованию свойств целых функций ограниченного индекса
и различным их приложениям в теории распределения значе
ний, дифференциальных уравнений, характеристических функ
ций вероятностных законов и др. посвятили свои работы та
кие выдающиеся математики как У.Хейман, С.Шах, Г.Фрикэ и
многие другие /библ. см. в Shah 5.М. Entire Junc
tions ot bounded Index ff Lecture Notes In
Math. - 1977. - V. 5o9. - Р/Ц7* - 445 . /.
К этим работам следует прибавить статью.Ш.Стрелица /StreUtb Sh. Asymptotic properties of entire transcendental solutions of аЦеЬгаіе deferential equations // Contemporary htaAVi. - -198.- - 2.Щ /, в которой для изучения ограниченности индекса целой функции применен метод Вимана-Валирона. С.Шах и У.Хейман показали, что каждая целая функция ограниченного индекса является функцией экспоненциального типа. Естественно возникла проблема видоизменения определения целой функции ограниченного индекса так, чтобы выйти за пределы класса целых функций экспоненциального типа с дальнейшим применением в теории ц!ВД'Оренц!\г.л].ных уравнений н других разделах
_ 4 -
современной математики. Такое обобщение целой фушщий ограниченного индекса пытался дать Т.Лакшшшарасимхан / LakiWrnaraslmhan Т. A note on entire functions of bounded index//3. Indian Math. Soc. --197^.-V.38.- ?АЪ 49 д a его приложению к дифференциальным уравнениям посвящена статья Д.Сомасундарана и Р.Земкчарази / Somasundaran 1)., Thamizharsi R. A nole on the entire functions of I- bounded "index and L- type // Indian 3. Pure and Appt. Math. -19&0. - \9, ma. - P.264 - 293 /. согласно Т.Лакш-минарасимхану для положительной непрерывной медленно возрастающей к +» на [о,*0"") функции I целая функция f называется функцией ограниченного I-индекса, если существует число N6 Z+ такое, что для всех пє5&+ и гєС
Un*> J f *V)U так (%0^ own] ,
а наименьшее из таких чисел Н называется I-индексом функции f . Т.Лакшшшарасимхан также показал, что если целая функция f имеет ограниченный L-ішдекс р , то
где M(r,f) = max , причем утверждается,
что эта оценка точна. Однако, как показано в \f\, последнее утверждение не верно, т.е. если \ имеет ограниченный I -индекс в смысле Т.Лакшминарасимхана, то ее рост не превышает нормального типа.первого порядка. Такім образом, Т.Лакшмшарасимхану не удалось выйти за пределы класса целых фушщий экспоненциального типа. Выйти за пределы указанного класса можно при помощи следующего обобщения понятия целой функции ограниченного индекса.
Пусть I - положительная непрерывная-на [о, + <») функция. Целая функция f называется [4-] функцией ограниченного I -индекса, если существует число Ne Z+ такое, что для всех neZ+ и нє(Е
Нашленьшее из таких чнсвл N назовем I-индексом функции f и обозначил через N(f;l)
Цель работы. Изучить свойства целых функций ограниченного ^-индекса ц их применений.
Научная новизна и теоретическая ценность. В раооте
XI доказаны различные критерии ограниченности \-индекса целой функции, являющиеся или аналогами .известных теорем Г.Фрике ^-~6, или новими результатами, вызванными в определении / 1 / наличием функции 1 . В частности, изучено иокалыгое поведение производных функции ограниченного I -шдекса, получени оценки максимума модуля такой функции ja некоторых окружностях через минимум модуля па таких жрушостях и максішум модуля на окружностях меньшего ра-щуеа, доказан критерий ограниченности L-индекса функции \ в терминах ее логарифмической производной и распределено! нулей;
11/ получены результаты о возможном росте целой фушаыш іграничешгого I -индекса;
111/ исследована ограниченность [-индекса произведении (елых функций, некоторых суперпозиций целых функций И І(Є-аи решений линейных дифференциальных уравнений с нолино-іиадьшші коэффициентами;
ІУ/ изучена ограниченность і-индекса шлих функций, редставлепких бесконечными произвэдениями.
Методы исследования. При доказательство приведииных. , раооте результатов используются методи общей теории ьил-
итнческих функций и некоторые нриеш из раоот У.Хеймлна,
М.Шаха и Г.^ркко.
Fricke Gr.H./Г Indian 1 M*lb.-i972.-v.1'»,«Ji.-t».207-zU. Fricke &.Н.//Иїо« леамалнеа шішатит.3.атіІ.&Д|іл^Зл/.Й;г.<0Н22. Fncke &.Н./І Math. Qnnftlen. - ШЬ.- v.205.» v.2«-22 .
- с -
Апробация работы. Результаты диссертации докладыва-лись на Львовском межвузовском семинаре по теории аналитических функций /рук. проф. А.А.Гольдберг/.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [і-?]. Во всех статьях, опубликовашх в соавторстве с М.Н.Швреметой, Ы.Н.Шеремете принадлежат постановки задач. Кроме того, в статьях [5, 7^ ег.чу принадлежат результаты о нулях целой функции ограниченного [ -индекса, а результаты статьи [б"] принадлежат обоим авто- . рам в одинаковой мере. Из статьи [4] в диссертации приведены только те результаты, которые получены ее автором.
В отой связи следует отметить, что изучении целых функций так называемого I-распределения значенні';, начатое М.Н.Швреметой в [4^, затем продолжено им же в .
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, содержании И параграфов и списка литературы, включающего 26 назвавші. Общий объем работы - 106 страниц машинописного текста.
