Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Круг идей Коркина-Золотарёва 9
1. Метод максимальных полиномов в проблеме Золотарёва 9
2. Формы максимальных полиномов наименьшего уклонения от нуля чётного порядка 17
3. Формы максимальных полиномов нечётной степени 27
4. Решение задачи для случая трёх коэффициентов 34
5. Единая форма максимальных полиномов, явно задаваемая их старшими коэффициентами 41
Глава II. О функциях с наперед заданными структурными и конструктивными свойствами 54
1. Построение и свойства 58
2. Построение и свойства /2,/2 69
3. Поиск крайней функции /3 74
4. О функциях, являющихся вторым модулем непрерывности 75
Глава III. Аппроксимационные теоремы вложения 80
1. Об условиях вложения классов H",R,H^,R 82
2. Теоремы вложения относительно (С,а)- приближений 94
3. Теоремы вложения для классов Боаса 101
Глава IV. Исследование различных порядковых соотношений теории приближений 110
1. Критерии непустоты порядковых классов S^${"R 114
2. О порядке (С,а)- приближений на классе H,(ct>)R 118
3. Порядки верхних граней наилучших приближений и модулей гладкости r-тых производных на классах Fc и Н,(о)с ... 124
4. Об условиях совпадения некоторых классов, задаваемых порядковыми соотношениями 136
Глава V. Заключительные результаты в периодическом случае 148
1. Об условиях вложения в класс функций с абсолютно сходящимся рядом Фурье 148
2. Критерий выполнимости равенства Парсеваля с ограниченной и суммируемой функциями 158
3. Теоремы об эквивалентности некоторых 0 - соотношений и порядковых соотношений с г-тыми производными 163
4. Характеризация последовательности приближений средними Зигмунда 167
Глава VI. Решение задачи золотарёва о полиномах R„^(x) 171
1. Вспомогательные результаты 171
2. Поиск множества >,(л,4) 172
3. Характеризация точек множества D2(n,4) 178
4. Окончательное описание множества D2(n,4) 195
5. Область максимальности >4(и,4) 206
Литература к главам I.VI. 210
Библиография к главам II-V 212
- Формы максимальных полиномов наименьшего уклонения от нуля чётного порядка
- О функциях, являющихся вторым модулем непрерывности
- Теоремы вложения относительно (С,а)- приближений
- Порядки верхних граней наилучших приближений и модулей гладкости r-тых производных на классах Fc и Н,(о)с
Введение к работе
Остановимся сначала на результатах работы, относящихся к непериодическому случаю теории приближений, т.е. на главах I.VI. В них рассматривается восходящая к Чебышеву и Золотареву проблема отыскания всех алгебраических полиномов, наименее уклоняющихся от нуля в той или иной метрике, по известным значениям их старших коэффициентов, заранее заданных в некотором количестве /. В главе VI получено решение этой задачи в пространстве Ц-1,1] при 1-А на основе результатов главы I, к обсуждению которых теперь и приступим.
Пусть для произвольно заданных вещественных чисел А0 =1,Л,,...,Л,_,(/ 1) и целого neZ+ ищется вектор (а,,...,а,+п) = R" \ для которого Ц-1,1] - норма полинома К., 00 = „, (М, 4-і) = "+/ + л, и+м + «+4-і " 1 + , " + -+«./ О) имеет наименьшее значение. При /=1 решение опубликовали Коркин и Золотарев [1] в виде чебышевского полинома второго рода „i( ) = »!( ) = -„.. . , = arccosx. 2 sin/ Это был первый пример тех экстремальных полиномов в (1), у которых число перемен знака на (-1,1) является максимально возможным, то есть совпадает с их степенью п + 1. Они получили название максимальных полиномов наименьшего уклонения от нуля и обозначаются здесь через R {x,Ax,...,A,_x). Соответственно этому при 1=2 имеем (см.[12, 2, 4]) R„+2(x,A{) = U„+2(x) + AlU„+l(x) + (Ai/2)2U„(x), \А\ 1. Особая роль максимальных полиномов состоит в следующем. При зафиксированном / 1 все немаксимальные экстремальные в (1) полиномы получаются домножением некоторых /г™ от предыдущих шагов (1 / /) на подходящие полиномы q,-,(x) не меняющие знака в интервале (-1,1), см. теорему 1.1 главы 1. Разумеется, этот принцип проявился уже при 1=2 [12], а затем в [13,14], где наряду с решением задачи (1) при /=3 Ф. м Пеерсторфер дал фактически и некоторую характеризацию максимальных полиномов. Он использовал для этого введённые С. Н. Бернштейном обобщённые чебышевские полиномы первого и второго рода, см. [ 3, стр. 290-294]. Кроме того, Ф. Пеерсторфер опирался на решение очень трудной проблемы Каратеодори-Фейера, см. [ 3, стр. 305-310]. Поэтому естественной представляется задача получать полиномы R™? на другой, более элементарной основе, учитывая их особую значимость. Этому посвящаются параграфы 2, 3, 5 главы 1, где изложены результаты автора [ 9-11 ]. Они являются прямым развитием идей и методов, заложенных в работе Коркина и Золотарева [ 1 ]. Так, в главе 1 в качестве ключевой Ґ I ч 1? используется их идея искать максимальные полиномы в виде произведения где -1 от, аг ... а„+1 1. или а2 а4 Тогда коэффициенты сгу(н), хДч) для V, U суть элементарные симметрические многочлены переменных flr,,ar3v-. -соответственно. А привлечением условия экстремальности xffl sgn Rn+I (x)dx = 0, (m = 0,..., n), п + 1 к = /-1 впервые полученного в [1], стало возможным при выявить до определённой степени вид V, U, а при к 1-\ - даже найти V, U полностью. Предварительно в основных леммах 2.1,3.1 главы I был обнаруженпринципиальный факт, нигде раннее не отмеченный: каждое &т(Н) есть , вообще говоря, линейная комбинация а (ч), 1 j m со скалярами, не зависящими от Ах,..., А,_х . Отсюда при к /-1 сразу получаются теоремы 2.3,3.3 главы I, доказанные в [Эдеоремы 2.1,3.1].Они входят в число основных результатов главы I, наряду с теоремой 5.1, где рассмотрен оставшийся случай к /-1, когда количество искомых в (1) коэффициентов не менее числа исходных данных А ...,А,_Х. Основная теорема 5.1 появилась впервые в работе автора [Ю.теорема 6], а по поводу её доказательства см. [11, теорема 1.1]. Она основывалась сначала на теоремах 2.2, 3.2 из [9], доказанных раннее в [5]. Однако они утратили своё первоначальное значение, поскольку теперь теорема 5.1 доказывается по-новому и значительно проще, привлечением одних лишь лемм 5.1,5.2 главы I. Они являются обобщениями некоторых утверждений из [1] .Заметим, что представление форм R™ из теоремы 5.1 предпочтительнее имеющегося в [13,14] тем, что напрямую зависит от исходных данных Л,,...,ЛМ и выводится непосредственно. В главе VI потребуется еще вид области 3(л,3) состоящей из всех тех точек (А}, А2) є R2, в которых экстремальный полином Rn (x,Ax,A2) в (1) является максимальным.
Впервые она была получена в [13,14], а затем в [18]. Ради замкнутости изложения , независимо от этих малодоступных работ , в § 4. гл.1 приводится решение задачи (1) при 1 = 3 , опубликованное автором в [11].
Обсудим теперь результаты глав II-V, останавливаясь лишь на принципиальной стороне рассматриваемых вопросов . Они из того раздела теории приближения периодических функций , где начиная с исследований Джексона [17,18], С.Н.Бернштейна [7] и Ш.Валле-Пусена [21], изучется взаимосвязь структурных свойств функций (гладкость, дифферен-цируемость и т.п.) с конструктивными ( характер приближения тем или иным способом).
Эти исследования продолжил А.Зигмунд [22,23], Е.Квад [24], А.Маршо[19].Наиболее важные результаты в этом направлении были получены в работах отечественных математиков: И.И.Привалова, С.Б.Стечкина, Н.К.Бари, С.М.Лозинского, С.М.Никольского, П.Л.Ульянова и других (см..напр., [25]).
Ниже Ь2я означает пространство 2ж - периодических, суммируемых на [0 , 2 л-] функций /, а Си -пространство 2 я - периодических, непрерывных на оси функций / с чебышевской нормой. После работы автора [44] оставался без решения ещё ряд важных вопросов по выяснению взаимосвязи конструктивных и структурных свойств функции и её тригонометрически сопряжённой, см. стр. 82 главы III, а также в главе IV стр. 111. Причина заключалась в том, что недоставало ещё некоторых теорем существования функций с наперёд заданными аппроксимационными свойствами (см. вступление к главе II). Дальнейшее продвижение в данном вопросе по сравнению с [44] стало возможным благодаря леммам 1-3 стр. 86-92. Их оказалось уже достаточно для завершения программы установление полной системы теорем вложения для основных классов E%,HR теории приближений ( и их сопряженных ), см.
1) -10) на стр.81 в главе III. Исторические сведения в связи с этим см. там же, в гл.III. А здесь необходимо сразу отметить, что создание упомянутой полной системы теорем вложения в современной форме связано прежде всего с работами С.Б.Стечкина [13] и С.М.Лозинского [8], которые предшествовали последующим глубоким исследованиям С.Б.Стечкина и Н.К.Бари, см. работы этих авторов [1,3,11,14,16].
Эти работы и явились источником достаточных условий почти всех вложений на стр. 81 в гл. III. Однако доказательство необходимости возникающих условий тех или иных вложений сразу натолкнулось на ряд трудностей, особенно в случае пространства R = LU, о чем прямо сказано у Н.К.Бари [1] и С.Б.Стечкина [15]. А в их совместной работе [3] об этом говорится также и в отношении пространства R = С2я, ( см. там страницы 485, 486, 506, 515). При попытке найти решение многочисленных задач из указанных только что работ, автор настоящего исследования обнаружил некоторую, вполне определенную методику построения функций с наперед заданными структурными и конструктивными свойствами, которая оказалась одинаково эффективной - как в пространстве суммируемых, так и в пространстве непрерывных функций. Этот способ не вошёл в текст работы [44], где содержался только начальный итог найденного подхода .Он изложен теперь в главе II, а его основой служат разнообразные оценки снизу и сверху модулей гладкости со {/,3)R и наилучших приближений En(f)l{ для каждого из пространств Я = С2я,Ь2я; см. их в работах автора [46,47,50; 44, гл. I ].
Автор благодарит участников семинара под руководством профессора Н.И.Черныха и члена-корреспондента РАН Ю.Н.Субботина за оказанное внимание и интерес к настоящей работе.
Формы максимальных полиномов наименьшего уклонения от нуля чётного порядка
Лемма 4.2. Утверждается: (а) при \р\ 2 для положительности у(х) = х2 + px + q 0 на (-1,1) необходимо и достаточно одновременно выполнения двух условий q р-\ и q -p-\; (b) при \р\ 2, чтобы у(х) = х2 + px + q 0 на (-1,1), необходимо и достаточно условие q —; (c) чтобы у(х) = х2 + px + q 0 на (-1,1) необходимо и достаточно выполнения обоих условий q р-\ и q -p-\; (d) для сохранения знака y(x) = x2+px + q на интервале (-1,1) необходимо и достаточно, чтобы точка (p,q) находилась в части конуса р # + 1 плоскости R2, из которого удалены точки (p,q) с условием: -l q -, При\р\ 2. 4 Доказательство леммы 4.2. Необходимость в (а) и (с) получается при х- ±1 из неравенств у(х) 0 и (х) 0, (-1 лг 1)-соответственно; а в пункте (Ь) - взятием х = -— в неравенстве у(х) 0, что возможно из-за \р\ 2. От этого последнего условия не зависит, конечно, достаточность в п.(Ь). Достаточность в (а), (с) получается здесь от противного. Пусть р 2, а также q p-\ и q -p-\, однако ( „) 0 в некоторой точке х0, (-1 х0 1). И если р -2, то из х2 +pxQ+q 0 и в силу данного неравенства 0 q + p + l, имеем, очевидно, (xl -\) + р(х0 -1) 0, откуда сокращением на (х0-1) 0, получим что х0 -р -1 1, ввиду предположения р -2. Так что х0 1, вопреки условия -1 х0 1. А если р 2, то из допущения у(хо) 0,(-\ х0 1) Гл.1. 4. Решение проблемы для случая трех коэффициентов. и первого предположения достаточности q (p-\), будем иметь аналогично абсурд вида х0 -1. Установив достаточность в (а), докажем её в (с). Пусть q p-\, q p-l, однако х2 + рх0 + 7 0 для некоторого -1 х0 1. Тогда имеем два неравенства х2 + рх0 + q q- р + \, х% + рх0 +q q + р + \, откуда после сокращения первого на (л-0+1) 0, а второго на (дг0 -1) 0 будет х0 -\ + р 0, х0 +1 + р 0, что даст одно неравенство (-2) 0. Достаточность в (с) доказана. Утверждение (d) непосредственно ясно из (а), (Ь), (с). Доказанная лемма 4.2 имеет такое следствие Следствие. Пусть (Al,A2)eR2,neZ+, тогда выражение {хг + А1х + А2 +-) сохраняет знак на (-1,1), если и только если {Ах,А2)еН\п,Ъ). Это доказывает теперь равенство двух множеств Я, (л,3) = D, (я,3), а с учётом предложения 1.4 - и пункт 1) теоремы 4.1, ввиду (1.15), откуда в случае / = 3 ясно, что R{n";il)(x,Ai,A2) = =ип (х){х2+А,х + А2+ ), при (А,, А2)є ,(и,3). Докажем пункт 2) теоремы 4.1. Достаточно будет установить равенство #2(л,3) = 2(и,3), так как по (1.14) с / = 2, / = 3 экстремальный полином для точки (Л,,Л2)є 2(и,3) есть /Сз2) (х, Л ,А2) = (Un+2 (х) + aU„+l (х) + -Un (х))(х + At- a), где первый сомножитель - это R2(x,a) (согласно [12]), с его областью максимальности о- 1, причём cr-a{Ax,A2) тот корень уравнения Зсг2 -4А1(х + (4А2 +п + 1) = 0, для которого Л,-сг 1. Эти требования вполне характеризуют точки области 2(и,3), вследствие критерия R(n" 2) из 1. 1А Например, (Ax,A2)D2{n,y), если т = —- двукратный корень данного 3 уравнения, так как из г 1 имеем \АХ —, а при \А] -о\ \ будет \АХ 3. Для случая Гл. 1. 4. Решение проблемы для случая трех коэффициентов. различных корней т+ Ф Т_ имеют место нижеследующие леммы 4.3 - 4.6. Лемма 4.3. Если оба корня о +,сг_ уравнения Зет2 -4А1ст + 4А2 +л+1=0 лежат в (-1,1), то \ Л, - а± 1. Доказательство. Допуская сг+,сг_ є(-Ц), имеем сразу А2 , что означает положительность дискриминанта А = 4А] - 3(4Аг + п +1). Далее, Первое неравенство даёт VA 2/4,+3, т.е. — Л,, а из последнего Л, —. Кроме того (4.1) показывает, что VA 3. Так как Л, —, то крайние неравенства в (4.1), записанные в виде 7д 2Л,+3, Л/Д 3-2Л,, после возведения в квадрат перейдут в равносильные с ними неравенства. Преобразуя их, получим (-Л, 1) Л2 а также (Л, 1) /42. Поэтому оба корня о +,о-_ є (-1,1) тогда и только тогда, когда точка (АХ,А2) лежит в области / л П 1 л П 1ч Л, И + 1 . . . 3 . . _. max(-Ai---l;Al---\) A2 - —, \АХ -. (4.2) Докажем, что \А1-а±\ 1 от противного. Пусть сначала Ах - г_ 1, то -і есть 3 Л,+ /д; но Л/Л 3, Л, —, откуда Л, 0. Значит, предположение противного - это неравенство (3-Л,) 7д. Т.к. Л, —, то возведением в квадрат получаем равносильное неравенство, из которого элементарно будем иметь Л2 —— -,0 Л, —. Но тогда Л2 Л2, поскольку (Л.+1)2-(и + 5) , и , ,Л , Зч л —— - АХ 1 при (0 Л1 -). Аналогично устанавливается, что в области (4.2) Л, - т+1 1.
О функциях, являющихся вторым модулем непрерывности
Ниже, в главе IV, функции, используемые для оценки снизу при вычислении точных порядков величин sup En(t// )R, sup со k{y{r\n x\, supp"(i//)R, ( = /,7) на классах функций FR,H,{o )R, будем называть условно "крайними" (то есть экстремальными). Они находят также применение в вопросах выявления окончательных условий справедливости различных аппроксимационных теорем вложения в следующей главе III и при установлении необходимых и достаточных условий в ряде "теорем об эквивалентности" О - и - соотношений по терминологии, принятой в работах [3], [8]. Наконец, крайние функции будут полезны при доказательстве характеристического свойства мажорант со, задающих непустой класс Щк в пространствах L2ir C2!r1 (1, глава IV). С.Н.Бернштейн, по-видимому, одним из первых систематически занимался вопросами построения или доказательством существования функций с наперед заданными структурными или конструктивными свойствами. Так, например, после установления им факта, что при условии г-я производная /(г) существует и непрерывна, С.Н.Бернштейн доказал еще, что для всякой последовательности {F„}"=0 С условиями F0 і 0 и существует функция /, у которой En(f) Fn (л=0, 1,2, ...), однако /(г)- разрывна. Хорошо известна, ставшая уже классической, теорема Вейерштрасса-Бернштейна, позволяющая вполне охарактеризовать последовательности наилучших приближений в следующем смысле: чтобы данная последовательность неотрицательных чисел F„ (и =0,1,2,...) была последовательностью наилучших приближений некоторой функции /о eR, то есть И, несмотря на то, что доказательство в части достаточности, данное С.Н.Бернштеином [7] было неконструктивным, при помощи одного лишь факта существования функции /0 удалось решить ряд задач теории приближений (см. [3], а так же 4 главы IV). В этом же ряду находится и имеет столь же завершенный характер следующий результат С.М.Никольского [16], по которому заданная на [0,7t] функция co{s) является модулем гладкости первого порядка ) некоторой функции /єС2/г, если и только если: Случай Ь2я[0,2л:] см. в [80],а L"(l р 2) -в [і 12]. 1) у(0) = 0; 2) со{б) не убывает на [О.я]; 3) со{3) непрерывна при 0 5 ж; 4) co(s) - полуаддитивна. Далее, С.Н.Бернштейн (см., например, [4]) доказал, что для функции / є Сг„ при 11=1 имеем и что для всякой последовательности Ёп і О при ntoo, у которой 1)=1 найдется /0 є С2я со свойствами: „(/оХ. Ё„ («=0,1,2,...), С.Б.Стечкин, как известно, перенес эти результаты на модули гладкости [14], а в работе [11] ввел крайнюю функцию, которая оказалась полезной и в ряде других вопросов, наряду с рассматривавшимися в [11] (см. ниже функцию /г для R=C2n). С.М.Лозинский в своей работе [8] пользовался крайними функциями, которые остались, к сожалению, неопубликованными. Наконец, необходимо отметить еще крайнюю функцию Н.К.Бари вида введенную ею в работе [1]. Ряд дальнейших свойств этой функции было обнаружено автором настоящей работы в [42], [44]. Они неоднократно будут использоваться и здесь. Особенно остро вопрос о тех или иных крайних функциях встал в 50-х и 60-х годах, после того, как в теории приближений (см., например, [25]) появилось много неравенств, оценивающих сверху величины mJy/-r\nx\,En{y/(r)\,(y/ = f,f\r= 0,1,2,...) через элементы последовательностей {& ,(/,и"1 )д}, {„(/)/?} Сразу же встали вопросы о точности этих неравенств, см. [15]. Автор настоящей работы в конце 60-х, начале 70-х годов обнаружил метод, который позволил построить или выйти на ряд крайних функций, среди которых были и новые, причем не только в пространстве Ьг , но и в Сгл (см., например, /3 из работы [46], стр.75). Этот метод нигде не был до сих пор изложен, но докладывался на семинаре по теории функций в МГУ 30 сентября 1970 года. Одна из особенностей его состоит в том, что основные из числа требуемых свойств крайних функций, выявляются по самому их построению. При этом поиск крайних функций осуществляется в такой форме, что остается еще возможность установления для них дальнейших свойств, кроме изначальных.
Теоремы вложения относительно (С,а)- приближений
Если же говорить в целом об итогах работы [44] по вложениям 1) - 10), то можно сказать, что вполне удовлетворительное решение было получено по всем вложениям, кроме случаев 6), 10), относительно которых в [44] имелись лишь частичные результаты. Это явилось достаточным основанием, чтобы вернуться к выявлению окончательных условий справедливости вложений 6), 10) в 1 настоящей главы III.
Здесь будет рассмотрена задача: для заданных R(=L2l[,C2rr), /, #(=1,2,...) указать необходимые и достаточные условия на со(д) и р{б) для справедливости следующих вложений: 1) н;ясн:у, 2) я ся;,. (D О вложении 1). А.Зигмунд [23] доказал 1) при 1 = 2,к = \,Я = С2я, в случаях a)(s) = p(S) = Sa ,(0 ar l), а также для a(S) = S, p(e) = S\n С.Б.Стечкин [12] для заданного (=1,2,...) и К = С2я. нашел достаточные условия на о (= р), при которых 1) выполняется сразу для всех 1 к. К этому следует добавить, что выяснением нетривиальной связи между модулями гладкости различных порядков впервые занимался А.Маршо [19] (см. в связи с этим также [26] и [25] стр.115-123). Автор (см. [44], глава IV, 1) нашел необходимые и достаточные условия вложения 1) во всех случаях, исключая тот, когда к,1 -одной четности при 1 к. О вложении 2). И.И.Привалов [10] доказал вложение 2) при Гл. III. 1. Об условиях вложения классов H%R, H R. 83 А.Зигмунд [23] установил, что Н\с = Н8гс и вывел (см. [22]) неравенство, связывающее модули неприрывности сопряженных функций. Н.К.Бари [1] указала достаточные условия справедливости 2) при k = l ,R = C2„ ,a (8)=tp(s) ,co(s)lO, [S l+Q) и поставила вопрос об их необходимости, который для к =1 = 1 был решен Н.К.Бари и С.Б.Стечкиным [3]. Это был первый пример необходимого и одновременно достаточного условия в данной задаче. Формулировалось оно (см. [3] стр.520) с помощью понятия «исправленной» мажоранты: a,"(S) = S inf J Ґ inf со{)\, (О л"), (2) введенного С.Б.Стечкиным (см. [14], стр 232) для каждой функции to(s) 0 ($ 3 л) и данного числа /(=1,2,...). Автор (см. [44], гл. IV,1) нашел необходимые и одновременно достаточные условия вложения 2): в случае 1 к - если / четное, а при дополнительном условии ct)"(s)=0[ p"(S)) -и при / нечетном; в случае 1 к (1,к -одной четности) -если /четное, а при условии со"{д) = о{(р1 {д))-\л при нечетном. Ранее решение при к = 1 -четном было получено автором в работе [42]. В настоящем параграфе дается полное решение задачи для / к, причем указанные выше для этого случая результаты автора из [44] будут получены здесь по-новому. Сначала относительно противоположного случая 1 к в 1) полезно отметить, что справедлива следующая (см. [44], стр.106) Теорема В. Пусть заданы R(=L2ir,C2r[), функции а , рєї и числа l,k(= 1,2,...), причем / к, тогда для справедливости вложения 1) HfRcHlR необходимо и достаточно выполнения условия Это совместно с нижеследующей теоремой I (см.[48]) полностью решает задачу об окончательной справедливости вложения 1). Теорема I. Пусть заданы R (=1-2п,С2п), функции со, р єП и числа I, k (=1,2,...), причем 1 к, тогда для справедливости вложения 1) HfRcHlR необходимо и достаточно выполнения условия п-к±о -соГ(о- )=о{ р-;{п-)). (4) Данная теорема доказывается ниже одновременно с теоремой 2, которую дополняет (см.[44], стр.114 или [57], стр.8) следующая Теорема С. Пусть заданы R (=1-2П,С2ТТ), функции ш,(рє П и натуральные I, к, причем 1 к, тогда 1) при I - четном условие їУхИ)=4"(«" )) a» необходимо и достаточно для справедливости вложения 2): с%; (6) 2) если I - нечетное, то условие (5) достаточно, а если со"{п х)=Ощ \п )), то и необходимо для справедливости вложения (6). Теорема 2. Пусть заданы R (=1-2п,С2п), тогда функции со, (р є Q и числа l,k (=1,2,...), причем 1 к, тогда условие необходимо и достаточно для справедливости вложения (6):
Порядки верхних граней наилучших приближений и модулей гладкости r-тых производных на классах Fc и Н,(о)с
Доказательство. При R=C2n лемма доказана в работе автора [46] (см. там 1)-4) леммы 4, стр. 73).
Пусть R=L2, и 0 фп4о (пТоо); тогда требуемую функцию fo можно взять в виде f0{x)=fi(x) + f2(x), где /,,/2 - крайние функции из предыдущей главы II для \-2 . Проверим утверждения 1) - 4) ДЛЯ fo леммы 2, используя свойства составляющих ее функций /t,/2. Так, из с) для U и Ь) относительно Т2 следует 1), а из Ь) для /, и а) для /2 вытекает элементарно 2) леммы 2. Для доказательства 3), 4) заметим, что если фєЬ2п, т и к тому же fi и !г-различной четности. В связи с этим утверждение 3 леммы 2 ясно при к четном из свойства f) для f2, а при к нечетном надо воспользоваться свойством h) для fi. Докажем 4), замечая, что 2cok(f0,n l) cok(fl,n x) + cok(f2,n ). После этого при к четном 4) вытекает из g), h) для /,. Пусть теперь к - нечетное в 4) лемме 2, тогда из (18) имеем Отсюда, совместно с (20), нетрудно получить соотношение что наряду с (21) доказывает 4) леммы также и при к - нечетном. Замечание. Существование функции со свойствами 1), 2) из леммы 2 при R=C2J впервые установлено Н.К. Бари [1]. Наконец, сопоставлением лемм 1 и 2 будет получена следующая Лемма 3. Пусть заданы: R(l-2X,C2n), число 1(=1,2,...) и произвольная последовательность {и- л }Г=і удовлетворяющей условиям: 0 /лп (п=1,2,...), цп 0, п /лп (nfoo); тогда существует функция foeR - такая, что: k l имеем выполненным следующее О - соотношение Гл. III. 1. Об условиях вложения классов H%R, Н%я. 4) при всяком к 1 для спряженной функции /0 выполняется соотношение М/о."" ) в предположении сходимости указанного слева ряда. Доказательство леммы 3. Рассмотрим функцию fo, существование которой утверждается в лемме 2 и которая построена по последовательности { рп}, соответствующей согласно лемме 1 данной последовательности {ц„} Для этой функции из условий 1) леммы 2 и 2) леммы 1 в силу второго неравенства в (9) следует утверждение 1) леммы 3.Пункт 2) леммы 3 вытекает из 2) леммы 2 с учетом 3) леммы 1 при к = 0. Наконец, условия 3) и 4) леммы 3 получаются непосредственно из 3), 4) леммы 2 с учетом 3), 5) леммы 1. Лемма 3 доказана. Переходим теперь к самому доказательству утверждений необходимости теорем 1, 2. Пусть для заданных функций co, peQ имеют место вложения 1), 2) при 1 к; тогда /о еЯ/Гл = a t(V »» lh =ФГ(ОІ (Vo =Л./о)- (23) Для функции со(5) исправленная мажоранта co"(S) порядка / или равна 0 на (0,я], или выполняются следующие условия (см. [14], стр. 233-234): О со , {6) (о(д) ($ 6 .л)ъ Щ (S) і 0(S і +0),S co {8) і приS t. (24) Если щ(д) = 0{$ 3 я), то очевидно, утверждения необходимости теорем 1, 2 верны. Если же имеет место (24), то последовательность {Цп}п=1, где при каждом n = 1,2,... co"(n l) = n, удовлетворяет предположениям леммы 3, по которой найдется функция fo с Гл. HI. 1. Об условиях вложения классов H%R, H%R. 93 «У/С/О»"-1) =о\о"(п х )\ и значит, io&H?R. Сопоставляя (23) с утверждениями 2), 3), 4) леммы 3, сразу получаем (4), (7) из теорем 1,2, которые тем самым полностью доказаны при 1 к. Остается еще рассмотреть случай 1 = к теоремы 2 в части необходимости. Здесь потребуется частный случай теоремы 10 из гл.IV 1,стр. 113 работы автора [44], которую сформулируем здесь полностью в следующем виде.
