Введение к работе
Актуальность темы. Теория краевых (граничных) задач является важнейшей областью современного комплексного анализа и математической физики.
Благодаря трудам Б.В. Боярского, И.Н. Векуа, Н.П. Векуа, Ф.Д. Гахова, Г.С. Литвинчука, Н.И. Мусхелишвили и многих других известных математиков теория линейных граничных задач в классах аналитических функций приняла, в основном, завершённый вид.
В то же время, для решения части прикладных задач, сводящихся к уже хорошо исследованным, классической теории последних оказывается недостаточно. При постановке задач возникает необходимость в расширении предположений о классах заданных и искомых функций, о классах рассматриваемых контуров и о других параметрах задачи. При этом исследования ведутся в различных направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широкого класса контуров, для более широкого класса заданных и искомых функций; рассматриваются различные задачи со сдвигом; задачи, содержащие производные искомых функций; задачи, содержащие граничные значения функции, комплексно сопряжённой с искомой; граничные задачи в классе обобщённых аналитических функций.
Одним из естественных обобщений аналитической функции комплексного переменного являются бианалитические функции. Бианалитические функции зародились в математической теории упругости. Г.В. Колосов обнаружил, что эффективным средством для решения задач плоской теории упругости могут служить функции вида cp(z) + a//{z), где
В диссертационной работе исследуются четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций, которые являются одним из естественных обобщений многоэлементных краевых задач для аналитических функций.
Интерес к изучению многоэлементных краевых задач в классах аналитических, полианалитических и метааналитических функций постоянно растёт, так как к задачам такого типа приводят разнообразные физические и технические проблемы: плоская теория упругости, задачи теории поверхностей и теории оболочек.
Исследованию многоэлементных задач в классах бианалитических и полианалитических функций посвящено множество работ (В.А. Габринович, СВ. Левинский, Б. Дамьянович и др.). Однако изученные ранее задачи в своей исходной формулировке имеют так называемый треугольный вид . Эта особенность их постановки позволяет свести решение рассматриваемых задач к
Расулов, К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / К.М. Расулов. -Смоленск: СГПУ, 1998. - 343 с.
последовательному решению нескольких хорошо изученных краевых задач в классах аналитических функций.
Изучению многоэлементных задач общего (не треугольного) вида посвящены работы К.М. Расулова, Н.Г. Анищенковой, И.Б. Болотина. В этих работах исследованы трёхэлементные задачи (типа Римана) для полианалитических функций. Вместе с тем, до настоящего времени оставались не изученными четырёхэлементные задачи типа Римана общего вида в классах бианалитических функций, которые являются естественным обобщением задач, исследованных ранее.
Пусть на плоскости комплексного переменного z = x + iy простой гладкий замкнутый контур L, заданный уравнением t = x(a) + iy(a), где а - дуговая абсцисса (натуральный параметр), ограничивает односвязную область Т+. Область, дополняющую T+^jL до полной плоскости, обозначим через Т~ и будем считать для определённости, что начало координат находится в Т+.
Требуется найти все кусочно-бианалитические функции F(z) = |f+(z), F~(z)} с линией скачков L, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на L следующим граничным условиям:
Задача GR
a r^F+(t) . ,.dF+(t) _ ,.dF~(t) _ ,.dF~(i) ,, /1Ч
Au{t)^^ + Au{t)^^ = Gn{t)^^ + Gu{t)—^ + gl{t\ (1)
ox ox ox ox
Ai (f)—^1+A2i (0^^- = G21 (0—r12+G22 (ty—^-+g2 (0; (2)
oy oy oy oy
Задача GR
Au{t)F+ (t) + Au {t)F+ (t) = Gu(t)F(t) + Gn (t)F(t) + gl (t), (3)
, ,.dF+(t) . ,.dF+(t) „ ,.dF~(t) „ ,.dF~(t) /4 ,..
A2l{t)^^ + A22{t)—^ = G2l{t)—^ + G22{t)—^ + g2{t\ (4)
on+ on+ on_ on_
где Aki{t),Gki{t), gk(t) (k = 1,2; j = 1,2) - заданные на контуре L функции класса H(L)
С д ^
(Гёлъдера), — - производная по внутренней (внешней) нормали к L.
дп+ [^дп_ J
Сформулированные задачи будем называть соответственно первой и второй основными четырёхэлементными краевыми задачами типа задачи Римана в классах бианалитических функций или короче - задачами GR41 и GR42-
Следует отметить, что в частном случае, когда коэффициенты краевых условий удовлетворяют соотношениям
А,(0-Ak2{t)ss0, Gkl(t)ееGk2(t)ее 1 (k = 1,2), (5)
задачи GR41 и GR42 представляют собой основные классические задачи теории бигармонических функций, называемые соответственно первой и второй основными бигармоническими задачами.
Если в равенствах (1)-(4) выполнены условия
Л: (0 -1, Ak2(t) = Gk2(t) = 0 ( = 1,2), (6)
то задачи GR41, GR42 представляют собой основные двухэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций, которые были поставлены Ф.Д. Гаховым в его известной монографии . При выполнении указанных условий задачи GR41, GR42 в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами подробно исследованы в работах К.М. Расулова . При условии, что на контуре L
Л, (0-1 и4(0-0 (^ = 1,2), (7)
сформулированные задачи представляют собой основные трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций, постановку которых дал К.М. Расулов. При выполнении последних условий поставленные задачи были достаточно подробно исследованы в работах Н.Г. Анищенковой .
Поскольку в общем случае (когда на коэффициенты краевых условий не наложены ограничения вида (5), (6) или (7)) задачи GR41 и GR42 до сих пор оставались не изученными, то разработка методов их решения является актуальной проблемой современного комплексного анализа.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются первая (задача GR41) и вторая (задача GR42) основные четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций, а предметом исследования - методы решения этих задач, а также условия их разрешимости.
Цель работы. Разработка методов решения основных четырёхэлементных краевых задач типа Римана в классах бианалитических функций, построение теории их разрешимости, установление условий нётеровости и выявление случаев, когда они допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).
Методика исследования. В работе использованы методы теории функций комплексного переменного (аналитические методы исследования), задействована теория скалярных и матричных краевых задач типа Римана для аналитических функций, теория интегральных уравнений - сингулярных и типа Фредгольма.
Научная новизна. В диссертации впервые исследуются четырёхэлементные краевые задачи типа Римана общего вида в классах бианалитических функций.
2 Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. - М.: Наука, 1977. - 640 с.
3 Расулов, К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения /
К.М. Расулов. - Смоленск: СГПУ, 1998. - 343 с.
4 Анищенкова, Н.Г. Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических
функций: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Анищенкова Надежда Геннадьевна. -
Смоленск, 2002. - 120 с.
Разработаны методы решения рассматриваемых задач, установлены условия их разрешимости, условия нётеровости.
Теоретическая значимость. В диссертации исследуются четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана общего вида в классах бианалитических функций; разработаны методы решения рассматриваемых задач, установлены необходимые и достаточные условия их разрешимости, а также условия нётеровости.
Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в работе результаты и предложенные методы исследования могут быть применены при решении краевых задач, отличных от изученных. Кроме того, рассматриваемые в работе задачи могут найти приложения в тех областях, где используются краевые задачи для аналитических функций комплексного переменного и их обобщений, например, в теории упругости и теории фильтрации.
Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для аспирантов, магистров и студентов Смоленского, Казанского, Ростовского и др. университетов.
Достоверность результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами.
Основные положения, выносимые на защиту:
методы решения основных четырёхэлементных краевых задач типа Римана GR41 и GR42 в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами;
необходимые и достаточные условия разрешимости задач GR41 и GR42, условия их нётеровости;
специальные методы решения краевых задач GR41 и GR42 в случае окружности на основе уравнения Шварца;
определение случаев, когда задачи GR41 и GR42 допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).
Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием соискателя. В совместных работах [1], [4], [5], [7], [8] постановки задач и методика исследования картин разрешимости принадлежит научному руководителю. Все выкладки в обосновании результатов принадлежат автору диссертации.
Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[Ю] и докладывались на 13-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2006 г.), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2007 г.), на международных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения»
(Смоленск, 2004-2007 г.г.), на 2-й Межрегиональной научно-технической конференции студентов и аспирантов (Смоленск, 2005 г.), а также неоднократно на научно-исследовательском семинаре по краевым задачам комплексного анализа и их приложениям в Смоленском государственном университете (под руководством профессора К.М. Расулова).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список которых приведён в конце автореферата. Работы [1], [4], [5], [7], [8] выполнены совместно с научным руководителем.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 93 наименования. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Например, (1.2) (или теорема 1.2) означает вторую формулу (теорему) в первой главе. Общий объем работы составляет 115 страниц.
