Трехэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге Алексеенков Владимир Витальевич

Краткий обзор литературы по краевым задачам в классах полианалитических и метааналитических функций

Решая задачу (0.14) определим аналитические компоненты (p\{z) и рх (z) искомой кусочно метааналитической функции F(z). После этого, подставляя найденные аналитические функции (px+{z) и q\(z) в правые части равенств (0.12) определим функции Ф (г) и Ф\{г). Далее, подставив в свободный член краевого условия (0.11) граничные значения Ф (0 и Фї(і) функций J f(z) и Oj (z),a затем решив обобщенную краевую задачу Римана (0.11), определим функции OQ(Z) И ФО( ), а следовательно и аналитические компоненты PQ(Z) И PQ(Z) искомой кусочно метааналитической функции F(z).

Таким образом, получен следующий результат. Теорема 3.1. Если L = {t:\t\ = l}, а функции Gkl(t), Gk2(t)&Н(ъ к)(L), gk(t)eH \L) (к = 1,2), и характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет два различных корня, то решение задачи GRX м сводится к последовательному решению обобіценной краевой задачи Римана с интегральными членами (0.14) и обобщенной краевой задачи Римана (0.10) в классах кусочно аналитических функций, исчезающих на бесконечности. В разделе 3.2 на основе результатов, полученных в разделе 3.1, проводится исследование картины разрешимости задачи GRX м в классах метааналитических функций второго типа. При этом оказывается целесообразным рассмотрение двух случаев: 1) \dkX{t)\ = \Gkl(t)\, t єЬ; 2) pkl(t)\ pk2(t)\, t L (k = 1,2). Подытоживает все рассуждения этого раздела следующая теорема. Теорема 3.2. Если L = {t:\t\-\) и выполняются условия Gkl(t) s Gkl(t), t L, или Gkl(t) Ф Gk2(t), tGL, k = l,2, то задача GRXM является нётеровой. В разделе 3.3 установлено следующее утверждение Теорема 3.3. При выполнении условий Gn{t) = G2X{t) Gx{t) и G21(0-G22(0 = G2(0, tzL, решение задачи GRX м в классах исчезающих на бесконечности кусочно метааналитических функций вида сводится к последовательному решению двух обобщенных краевых задач Ри-мана с сопряжением в классах кусочно аналитических функций, исчезающих на бесконечности.

Таким образом, в этом случае решение задачи GRlM в классах метаанали-тических функций второго типа упрощается, т.е. задача GRlM допускает эффективное решение. Полученные в разделе 3.3 результаты проиллюстрированы на конкретном примере.

Раздел 3.4 посвящен решению и исследованию картины разрешимости задачи GR2M в классах кусочно метааналитических функций второго типа. Показано, что, используя логическую схему метода решения задачи GRl м, разработанного в разделе 3.1, можно исследовать и задачу GR2U.

Актуальность работы и научная новизна. В диссертации впервые разработаны методы решения трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах метааналитических функций в круге, исследованы картины разрешимости и установлены условия их нётеровости. Выделены частные случаи, когда рассматриваемые задачи допускают решение в замкнутой форме (в интегралах типа Коши). Важно отметить, что предложенные в работе методы исследования и полученные результаты могут быть применены и при решении многоэлементных краевых задач в классах метааналитических функций, отличных от изученных (например, краевых задач со сдвигом, четырехэлементных краевых задач и т.д.).

Методы исследования. В работе использованы методы теории функций комплексного переменного, теория интегральных уравнений (сингулярных и типа Фредгольма второго рода), аналитическая теория дифференциальных уравнений. Кроме того, существенным образом используется теория скалярных и матричных краевых задач Римана в классах аналитических функций. Основные положения, выносимые на защиту: - методы решения первой и второй основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в случае, когда линией скачков является окружность; - необходимые и достаточные условия разрешимости указанных задач и установление их нётеровости; - определение частных случаев, когда трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в круге допускают решение в замкнутой форме (в интегралах типа Коши).

Практическая значимость результатов. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся исследованием краевых задач для аналитических функций комплексного переменного и их обобщений, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов, магистров и аспирантов Смоленского, Казанского, Белорусского, Новосибирского и др. университетов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [5]-[14] и докладывались на Восьмой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2007 г.), на научно-практической конференции «Математика. Физика. Методика преподавания» (Смоленск, 2007 г.), на 8-й и 9-й международных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2007 2008 г.г.), на 14-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2008 г.)., на 5-й Межрегиональной научно-технической конференции студентов и аспирантов (Смоленск, 2008 г.), а также неоднократно на научно-исследовательском семинаре «Краевые задачи комплексного анализа и их приложения» в Смоленском государственном университете (руководитель - профессор К.М. Расулов, Смоленск, 2005-2008 г.г.).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 87 наименований. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Например, (1.2) (или теорема 1.2) означает вторую формулу (теорему) в первой главе. Общий объем работы составляет 116 страниц.

Решение и исследование картины разрешимости задачи GRlM в классах метааналитических функций первого типа в круговой области

Пусть Т+ - конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного z = x + iy, ограниченная простым замкнутым контуром Ляпунова L.

Через Т обозначим область, дополняющую Т+ uL до расширенной комплексной плоскости С. Для определенности будем предполагать, что точка z = О принадлежит области Т+. Первой основной трёхэлементной краевой задачей тина Римана в классах метааналитических функций назовем следующую задачу. Требуется найти все кусочно метааналитические функции F(z) = {F+(z),F (z)} класса M2(T )r\H( (L), исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на L граничным условиям: где і =-1 Gkj(t), gk{t) ( = 1,2; у = 1,2) - заданные на L функции, удовлетворяющие условию H(L) (Гёльдера), причем Gkl(t) 0 на L. Здесь, в равенстве (2.2), множители (-1) при G21(t) и / при g2(0 введены для удобства в дальнейших обозначениях. Сформулированную задачу для краткости будем называть задачей GR м, а соответствующую однородную задачу (g t) = g2(t) = 0)-задачей GKM. Второй основной трёхэлементной краевой задачей типа Рішана в классах метааналитических функций назовем следующую задачу. Требуется найти все кусочно метааналитические функгщи F(z) = {F+(z),F (z)} класса M2(T±)C\HW(L), исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на L граничным условиям: где д/дп+ (д/дп_) — производная по внутренней (внешней) нормали к L, Gkj(t), gk(t) {k -1, 2; j = 1,2) - заданные на L функции, удовлетворяющие условию H(L) (Гёлъдера), причем Gkl(t) 0 на L. Здесь, в равенстве (2.4), множители (-1) при Gn(t) и it при g2(t) введены для удобства в дальнейших обозначениях. Сформулированную задачу для краткости будем называть задачей GR2M, а соответствующую однородную задачу ( g{ (t) з g2 (/) = 0 ) - задачей GR2 м. Прежде всего отметим, что при условии Gu(t) = G22(t) = 0 задачи GRl GR2 м были подробно исследованы в работах К.М. Расулова (см., например, [57]). Важно также отметить, что качественные граничные свойства метааналитических функций в областях с аналитическими границами в зависимости от того, в каком виде их можно представить: в виде (1.3) или в виде (1.4) (т.е. являются ли эти функции метааналитическими функциями первого или второго типа), существенно разнятся. В частности, известно [23], что однородная граничная задача Дирихле в классах метааналитических функций вида (1.3) (первого типа) имеет бесконечно много линейно независимых решений, но в то же время однородная граничная задача Дирихле в классах метааналитических функций вида (1.4) (второго типа) имеет лишь тривиальное решение. Поэтому методы и результаты исследования краевых задач в классах метааналитических функций первого и второго типа также существенно разнятся друг от друга. В настоящей диссертации задачи GRlM и GR2yi исследуются в случае, когда Gkl (0 0 (к = 1,2), а линией скачков L является окружность. Причем в ра 39 боте реализованы два независимых друг от друга подхода к исследованию этих задач в зависимости от того к какому типу относится искомая кусочно метааналитическая функция: к первому (глава II) или второму (глава III). в классах метааналитических функций типа в круговой области Сразу отметим, что поскольку метааналитические функции являются инвариантными относительно линейных преобразований и при помощи таких преобразований всякую круговую область можно конформно отобразить в круг единичного радиуса с центром в начале координат, то, без ограничения общности, можно положить L = {t:\t\-\}, Т+ = {z:z\ 1}. В этой главе будем исследовать задачу GRlM в случае, когда искомая кусочно метааналитическая функция является метааналитической первого типа, т.е. решение задачи GRl м будем искать в виде (1.3). + Т. 1 0 KZ) При этом из сделанных в постановке задачи GRlM предположений относительно искомых функций следует, что функции Ф+к(г) и Ф (Х) (к = 1,2) являются аналитическими в областях Т+ и Г"" соответственно, причем Ф (г) исчезают на бесконечности. Равенства (2.5) при А: = 1,2 представляют собой граничные условия обобщенных краевых задач Римана с сопряжением относительно исчезающих на бесконечности кусочно аналитических функций Ф1(г) = {Ф1(г),Ф] (г)} и Ф2(г) = {Ф\(г), Ф )} соответственно (см., например, [46], с. 222). Таким образом, решение задачи GRX м в рассматриваемом случае, по сути, сводится к последовательному решению двух обобщенных краевых задач Римана с сопряжением вида (2.5) (при значениях параметра к = 1, 2) и систем дифференциальных уравнений (2.6а)-(2.6б) и (2.6в)-(2.6г). Относительно задач вида (2.5) справедливо следующее утверждение. Лемма 2.1. Если Gki(t) = Gk2(t) , teL, mo решение обобщенной краевой задачи Рішана с сопряжением вида (2.5) (при фиксированном значении параметра /с) сводится к последовательному решению двух обычных скалярных краевых задач типа Римана в классе кусочно аналитических функций, исчезающих на бесконечности. Если же выполняется условие Gkl(t) Ф Gkl(t), t &L, то решение задачи (2.5) сводится к последовательному решению обобщенной и обычной скалярных задач Римана в классе кусочно аналитических функций, исчезающих на бесконечности.

Решение и исследование картины разрешимости задачи GR2M в классах метааналитических функций первого типа в круге

Исследуем теперь картину разрешимости задачи GRXM. Согласно теореме 3.1 картина разрешимости краевой задачи GRXM складывается из картин разрешимости задач (3.25) и (3.7). Пусть Xkj - Ind G {t) - индексы коэффициентов этих задач. Как следует из теоремы З.Г для исследования картины разрешимости задачи GRXM необходимо рассмотреть отдельно следующие два случая: Случай 1. Пусть выполняются условия GkX(t) = Gk2(t) , t є L, /с = 1,2. В этом случае, как известно (см. п. 1.2) картина разрешимости задачи (3.25) полностью определяется знаками чисел к2Х = %2Х + %22 +1 и к22 - х21 - х22 -1. Картина же разрешимости задачи (3.7) зависит от того, какое из неравенств: Хп +! -1 Хп I или Хп + І Хп I выполняется (см. [46], с. 229). Таким образом, для исследования картины разрешимости задачи GRXM. при выполнении условий Gkx(t) = Gk2(t), t L, = 1,2, необходимо рассмотреть восемь различных подслучаев. 1. Пусть Хг\+Хг2+1 Х2\ Хгг-\ Ъ и Хп+ -\Хп\ При %г\ +Хгг + 1 0, Хг\ Хгг 1 О задача (3.25) (см. п. 1.2 настоящей диссертации) разрешима при выполнении vxx условий вида (1.13) и vX2 - рхх условий вида (1.186). Общее решение задачи (3.25) зависит не более чем от max(0; vu к2х ) + тах(0; v,2- \ кп ) - рп произвольных действительных постоянных. Обобщенная задача Римана (3.7) при Хп + 1 1 Хп I (см- [46], с 229) разрешима при выполнении —Хп Хп -1 условий разрешимости вида (ЗЛОв) и ее общее решение зависит не более чем от Хп Х\г 1 произвольных действительных постоянных. Итак, в рассматриваемом случае задача GRX м разрешима при выполнении v\\ + у\г Р\\ Х\\ Хп условий разрешимости вида (1.13), (1.186), (ЗЛОв) и ее общее решение зависит не более чем от max(0; vn-1 к2Х ) + тах(0; vu- \ к2г ) - рп + +Хп — Хп 1 произвольных действительных постоянных. 2. Пусть 21 + 22 +1 05 Z2i - 22 -1 и Zi2 +1 -1 п I в этом случае задача (3.25) (см. п. 1.2) разрешима при выполнении vn -rn +vn -гп - рп ус ловий разрешимости вида (1.15), (1.19) и ее общее решение зависит не более чем от 2х2Х + yu rn+vn ri2 Рп произвольных действительных постоянных. Задача же (3.7) при хп+\ -\х\\\ (см- [46], с. 229) разрешима при выполнении тах(0,-2 и) условий разрешимости вида (З.Юв), (З.ІЗв) и ее общее решение зависит не более чем от max(0,2jn) произвольных действительных постоянных. Итак, в этом случае задача GRlM разрешима при выполнении vxx -rn + +vX2 -гХ2 -рп+тах(0,-2%п) условий разрешимости вида (1.15), (1.19), (З.Юв), (З.ІЗв) и ее общее решение зависит не более чем от 2x2X+vu-rn + +vX2 - rn - рп +max(0,2%хх) произвольных действительных постоянных. Аналогичным образом получаем следующие результаты. 3. ПуСТЬ Z2I+Z22+1 0, 21- 22-1 0 И Х\1 +1 I Хп I 3аДаЧа GRl,M разрешима при выполнении vn + vn - рп + max(0,-2jn) условий разрешимости вида (1.13), (1.186), (З.Юв), (З.ІЗв) и ее общее решение зависит не более чем от max(0; vn-\ fc2x ) + тах(0; vn-\ к22)- рп + тах(0,2jpn) произвольных действительных постоянных. 4. Пусть i21+Z22+1 0 21- 22-1 0 и Хп+1 \Хи\- Задача GRXM разрешима при выполнении vxx + vl2 -rX2 - рп Хи Хп 1 условий разрешимости вида (1.13), (1.19), (З.Юв) и ее общее решение зависит не более чем от max(0; vn-\ /с211) +к22 + vX2 - гХ1 - рп + хи Хп 1 произвольных действительных постоянных. 5. Пусть 21 + j22+l 0, bi-Z22-1 0 и Х\г+ -\Х\\1 Задача GRxM разрешима при выполнении vn-ru + vX2 - piA Хп Хп 1 условий разрешимости вида (1.15), (1.186), (З.Юв) и ее общее решение зависит не более чем от кг\ + v\\ r\\ + max(0; vn \ к221) #4 + - п /fo 1 произвольных действительных постоянных. 6. Пусть 21+22+1 0, 21- 22-1 и Ж12+1 - „. Задача GRXM разрешима при выполнении vn -rn + vX2 -гХ2 - рп Х\\ Х\г 1 условий разрешимости вида (1.15), (1.19), (ЗЛОв) и ее общее решение зависит не более чем от 2х2Х + vn - rxx + vX2 - rX2 - pX2 + Xw - X\2 -1 произвольных действительных постоянных. 7. Пусть 21+22+1 0, Z2i- 22-1 0 и Хп+ -\Х\Л- Задача GR]M разрешима при выполнении Уи-гп + vX2 - ры +тах(0,-2 и) условий разрешимости вида (1.15), (1.186), (ЗЛОв), (3.13в) и ее общее решение зависит не более чем от к2Х + vn -rxx + max(0; vn-\ к221) - ри + тах(0,2ххх) произвольных действительных постоянных. 8. Пусть 21+ 22+ 0, 21- 22-1 0 и Хи +1 IХи I Задача GRXM разрешима при выполнении vxx + v12 -rX2 -рп +max(0,-2j1I) условий разрешимости вида (1.13), (1.19), (ЗЛОв), (ЗЛЗв) и ее общее решение зависит не более чем от max(0; vn- \ кгх ) +к22 + vX2 - гХ2 - рхз + тах(0, 2%п) произвольных действительных постоянных. Случай 2. Пусть выполняются условия Gkx(t) Ф Gk2(t), t eL, к = 1,2. В этом случае, как известно (см. п. 1.2 настоящей диссертации) картина разрешимости задачи (3.25) определяется значением индекса j21, а картина разрешимости задачи (3.7) - значением индекса Хп (см. доказательство леммы 2.1). Следовательно, для исследования картины разрешимости задачи GRX м при выполнении условии реть четыре различных подслучая. 1. Пусть Хм 0 и Хг\ - При Хг\ задача (3.25) (см. п. 1.2) разрешима при выполнении v21 + v22 - Рп условий разрешимости вида (1.25), (1.256) и ее общее решение зависит не более чем от max(0; v2X - \ %1Х ) + +тах(0; v22—\ х2\ I) - Рг\ произвольных действительных постоянных. Условия разрешимости задачи (3.7) при Хи 0, как это следует из леммы 2.1, складываются из vx условий разрешимости вида (2.36) задачи (2.17) и ххх \ условий разрешимости вида (2.15а) задачи (2.14). Общее решение задачи (3.7), с учетом замечания 2.10, зависит не более чем от max(0; vx-\Xu ) произвольных действительных постоянных. Таким образом, в рассматриваемом случае задача GRX м разрешима при выполнении v21 + v22 - Pix + V\+\ Хи I условий разрешимости вида (1.25), (1.256), (2.36), (2.15a) и ее общее решение зависит не более чем от max(0; v2X -1 Хг\ I) + тах(0; v22 -1 Хг\ I) Pi\ + тах(0; vx - \ %і11) произвольных действительных постоянных. 2. Пусть Хи -0 и Zu -0- Из того, что Xi\ 0 следует, что задача (3.25) (см. п. 1.2 настоящей диссертации) разрешима при выполнении vi\ "r2\ +v22 _А22 Р22 условий разрешимости вида (1.27), (1.28) и ее общее ре шение зависит не более чем от 2%2Х + vlx - ггх + v22 - г22 - р22 произвольных дей ствительных постоянных.

Исследование картины разрешимости задачи GRX м в классах метааналитических функций второго типа

Равенство (3.40) представляет собой граничное условие обобщенной краевой задачи Римана нормального типа для кусочно аналитической функции исчезающей на бесконечности. Решая задачу (3.40), например, методом, изложенным в п. 1.2, найдем функции pf(z). Затем, подставив граничные значения (pf(t) найденных функций cpf(z) в правую часть выражения (3.37а) для Qx{t) и решив задачу Римана с сопряжением (3.37) в классе кусочно аналитических функций, исчезающих на бесконечности, найдем функции р (z). Таким образом, с учетом теорем 1.4 и 1.5 и леммы 2.1, получили следующий результат. Теорема 3.4. Пусть L = {t:\t\ = l}, функции Gkx(t), Gk2(t)єH{y k)(Г), a gk{t) H (L) (k = 1,2), и характеристическое уравнение (1.2) имеет два различных корня /10 и \. Тогда: Gkl(t) = Gk2(t)\ на L (к = 1,2), то решение задачи GR2M сводится к последовательному решению в классах кусочно аналитических функций двух обобщенных скалярных задач Римана вида (1.17) и (1.11) и двух обычных задач Римана вида (3.9а) и (3.106); если ) на L (к = 1,2), то решение задачи GR2U сводится к последовательному решению в классах кусочно аналитических функций трех обобщенных скалярных задач Римана: двух задач вида (1.24) и (1.20) и задачи (3.15а); и одной обычной задачи Римана (3.156). если же Кроме того, задача GR2M разрешима тогда и только тогда, когда одновременно разрешимы указанные задачи Римана для аналитических функций. Кроме того, исследуя картину разрешимости задачи GR2U совершенно аналогично тому, как это сделано для задачи GRX м, можно получить следующее утверждение. Теорема 3.5. Если L = {t:\t\=l} и выполняются условия Gk\(t) = Gk2{t) teL, или Gkx{t) Ф Gk2(t), t&L, k = 1,2, то число q условий разрешимости задачи GR2M и число I линейно независимых решений однородной задачи GR1M конечны, т.е. задача GR2M является нётеровой. В диссертации получены методы решения первой и второй основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в случае, когда линией скачков является окружность. Эти методы основаны на представлениях кусочно метааналитических функций через аналитические функции комплексного переменного, а также на теории так называемых обобщенных краевых задач Римана в классах кусочно аналитических функций. При этом в работе существенно использованы методы теории функций комплексного переменного, теория интегральных уравнений (сингулярных и типа Фредгольма второго рода), аналитическая теория дифференциальных уравнений. Кроме того, активно применяется теория скалярных и матричных краевых задач Римана в классах аналитических функций. При помощи разработанных методов решения рассматриваемых задач установлены необходимые и достаточные условия их разрешимости, а также их нётеровость. Кроме того, в работе выделены частные случаи, когда трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге допускают решение в замкнутой форме (в интегралах типа Коши). Предложенные в работе методы исследования и полученные результаты могут быть применены и при решении многоэлементных краевых задач в классах метааналитических функций, отличных от изученных (например, краевых задач со сдвигом, четырехэлементных краевых задач и т.д.). Среди результатов, полученных в диссертации, к основным относятся следующие: 1. Разработаны методы решения первой и второй основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в случае, когда линией скачков является окружность. 2. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости указанных задач, а также их нётеровость. 3. Выделены частные случаи, когда трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в круге допускают решение в замкнутой форме (в интегралах типа Коши).

Похожие диссертации на Трехэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге

Трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в кругеАлексеенков Владимир Витальевич

Четырёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в кругеБукачев, Дмитрий Сергеевич

Краевые задачи типа Гильберта в классах обобщенных метааналитических функций в кругеХрисанфов, Василий Игоревич

Кусочно-непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функцийБолотин Иван Борисович

Четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функцийМедведев Юрий Анатольевич

Краевые задачи типа Неймана и типа Рикье для метааналитических функций в кругеСенчилов Владислав Владимирович

Классы субгармонических функций, интегрируемых с весом в круге и в полуплоскостиАветисян, Карен Ларикович

Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функцийАнищенкова Надежда Геннадьевна

Приближенные методы решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианалитических функцийКристалинский Владимир Романович

Особый интеграл, интеграл типа Коши с непрерывной плотностью и краевая задача Римана Токов Абдуллах Османович