Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время имеется довольно много работ, посвященных исследованию дробных степеней многомерных дифференциальных операторов (в основном специального вида и не со -держащих младших членов дифференцирования), коммутирующее со сдвигами в рамках / -пространств (С.Г.Самко, В.А.Ногин, А.В.Ско-риков, Б.С.Рубин и др.). Первые работы в этом направлении принадлежат С.Г.Самко, построившему положительные степени оператора -Д ( Д - оператор Лапласа) в виде гиперсингулярных интегралов (ГСП). В то ке время, случай произвольного неоднородного дифференциаль -ного оператора второго порядка с вещественными коэфцциентшди ранее не рассматривался.
Дробіше ехепели многомерных дифферелциальихх операторов,коммутирующих с растяжениями в Lp-пространствах, ранее изучались
мало. Здесь можно отметить лишь работы В.А.Ногина и Г.П.Емгушевод,
Л 9* z
в которых рассматривались дробные степени оператора -/_ (Х- -— )
j ;-' d^xJ
Б то же время, дробіше степени оператора х-т- рассматривались еще Адамаром. Дробные степени дифференциальных операторов, коммутирующих с растяжениями я вращениями в "> , в t -пространствах ра -нее, по-видимому, не изучались.
Актуальность указанной тематики обусловлена в первую очередь
4 связью с интегралами типа потенциала: отрицательные степени указанных операторов реализуются как операторы типа потенциала, положительные - как обратные к ним операторы.
Методика исследования. В работе используются методы теории функций: интегральные предотавлеїшя, сингуляріше интегралы, максимальные функции, Фурье-мультипликаторы. Широко используются обобщенные функции, в особенности над классом ' П.И.Лизоркина.
Научная новизна и практическая значимость работы. В диссертации получены следующие основные результаты:
1. Получено интегральное представление операторов їс =
(-т.о+с-оґ*', ш>о, с^т,-^,...^),
с .символом ( Р/,$)~с'%) , *'де P(f,ft- произвольная эллиптическая положительно определенная квадратичная форма с вещественными коэффициентшли. Изучено действие операторов 1с в (- пространствах. Построено обращение и получено описание потенциалов П. Р с / -плотностями.
С р
2. Построено обращение и дано описание образа операторов
„* / ь-г-Ъ*- Га
(Ц __/±2_Х- ^rz ) f коммутирующих с растяжениями, в рамках
пространств jf \Ю*Н-Л /^XJ/VA<*-j >y-^i.:A
3. Получено интегральное представление для отрицательных
степеней fK -(-ІХІ Aj ^Re.s(>0. Доказана ограниченность отих
операторов в Ір(Іі\). Построено обращение и дано описание потенциалов K*V, Ч>* 1^(ft'1).
Перечисленные результаты являются новыми, они могут быть использованы в теории дробных степеней дифференциальных операторов, в теории интегральных уравнений, в прикладных задачах, приводящих к многомерным интегральным уравнениям первого рода.
. 5
Апробация работи. Результати дисеерт;щ>ш~ докладывались-па ~ семинаре профессора Бурелкова В.І1. в Университете дружбы пародов (г.Москва), на семинаре профессора Симополко Й.Б. в Ростовском университете и многократно, иа семинаре профессора Сашш С.Г. "Линейные операторы и функциональные пространства" (г.Ростов-на-Дону) .
Нубликчнии. Основные результаті: яттублик"і«чпн « і>аої>іал / I-С /,. список которых приводится в коїщо автореферата. Работы / 2-4,6 / вшіолненн совместно с В.А.Ногиній, /5/- совместно с В.А.Ногиным и С.Г.Саико. Их .результаты принадлежат каждому из авторов в равной мере.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (17 параграфов) и приложения. В приложение вынесены те моменти доказательств, которые хотя и требуют зачастую кропотлн-вых выкладок, но представляют чисто технический интерес. Обьем работы - ІС8 стр. машинописного текста; в списке литературы ьО названий.
