Введение к работе
І
- --
Цель работы - описание функциональных пространств Iа = L Л Iа (L ), где Iа (I ) - образ гиперболического потенциала (±0}~с,/г, дробного потенциала Клеяна-Гордона-Фока (m2*aya/2, т
> О, или дробного потенциала Шредингера НА =(Ш + Аг + ifl/et> г,
Актуальность темы. В настоящее время имеется ряд рзбот, посвященных исследованию пространств гладких функций типа Iа = {/ е X : iff є X |, Re ы > О, порождаемых дробными степенями эллиптического оператора D. К таким пространствам относятся в частности пространства бессолевых и риссовых потенциалов, изучавшиеся в работах А. Кальдерона, Е. Стеяна, Р. Стрихарца, С. М. Никольского, П. И. Лизоркина, С. Г. Самко и других. С. Г. Самко исследовал пространства Iа г = {/ Ъг: <-Д)а/ ( t], совпадающие при г = р с пространствами бесселавых потенциалов и с пространствами риссовых потенциалов при г = пр/(п-ыр), 1 < р < n/d. Им было показано, что Xй = X П K(L ), где lC(L ) - образ
р.г г Г р
риссова потенциала, и дана конструктивная реализация положительных степеней (-А)"/, at > 0,-в ваде гигорсингулярнчх интогралсь (ГСЛ). ,
Функциональные пространства типа l" , порождаемые дробными степенями неэллиптических операторов, ранее Фактически не рассматривались (исключение составляют пространства параболических потенциалов, порожденные дробными степенями оператора топлопро-водности, являющегося тюэллиптичоским>. В диссертации исследуются- пространства функция указанного типа, порождаемые дробными степенями неэллиптических операторов іО, п? » О, я > 0 и опера-
тора Шредингера fffc, ft = О, 1 {который не является также и гипо-эллиптическим).
Задача реализации положительных (Re d > 0) степеней (id)"72/. <и2 ± 0)а/г/ и й/г/, / є Ґ* г, фактически является задачей обращения соответствующего дробного потенциала с плотностью из L. В связи с этим отметим, что ранее строилось обращение операторов типа потенциала с ядрами, имеющими особенность в точке (С. Г. Самко, В. А. Ногин, С. М. Умархаджиев, Б. С. Рубин и др.). Обращение потенциалов с ядрами, имеющими особенность, "размазанную" по тому или иному множеству в Я", в рамках I -пространств ранее фактически не строилось (за исключением одного случая параболических потенциалов, рассмотренного В. А. Ногиным, а также В. А. Ногиньм и Б. С, Рубиным). Отличительной чертой рассматриваемых в диссертации потенциалов (10)-^2) и (яі2 * 0)~а/г<р является то, что их ядра при О < Re ot < я имеют особенность на конусах, локально несуммируемую, если 0 < Re ос п-2. Ядра дробных потенциалов Ч^/г(( имеют особенность на гиперплоскости при U < Re оС < п+2, локально несуммируемую для 0 < Re d 4 п; кроме того і эти ядра при любом л, Re ot > 0, не ' убывают (осциллируют) на бесконечности.
Обращение интегралов типа потенциала тесно связано со свойствами их символов. Так, при построении обращения значительную трудность представляет случай, когда символ обращается в бесконечность на том или ином множестве в Rn, отличном от точки. Ранее был рассмотрен только один такой случай акустических потенциалов с символами, обращающимися в бесконечность на сфере (Б. С. Рубин, В. А. Ногин, М. М. Зазолженския). С этой точки зрения интерес представляют потенциалы, рассмотренные в диссертации; их символы обращаются в бесконечность на конусе, гиперболоиде или
параболоиде,
Методика исследования. В работе использованы кетою.; теории Функций; интегральные представления, максимальные функцииг обобщенные функции, в особенности над пространствами <ъ, тилг Лизоп-кина-Самко и др.
Научная новизна и практическая значимость работы, fl ииссяп-
ТНІЇЇЛТ/Ї iln.nvupmu пъатпптпяс* ^"Г;^1,?'4 ^OC"-^""3TLiI
-
Получена конструктивная реализация положительных степеней волновых операторов ±0, операторов Клейна-Гордона-Фока m2±Q0 и > 0 и оператора Шредингера ff , S = о, 1, на функциях из пространств Ґ* г методом аппроксимативных обратных операторов (АОО).
-
Дано описание пространств Ґ* г в терминах АОО.
-
Нэ "достаточно хороших" гладких функциях построено обращение операторов (+0)-72. (/я2 f Q)~/z и Н^*/2, Re d > О, с помощью ГСЙ с обобщенными взвешенными разностями.
Перечисленные результаты являются новыми, они могут быть использованы в теории дробных степеней неэллиптических операторов, в теории интегральных уравнений с особенностями ядер или символов на том или ином множестве в R" и в прикладных задачах, приводящих к таким уравнениям.
Апробация работы. Ввзультаты диссертации докладывались на Международном конгрессе математиков (Швейцария, г. Цюрих, 1994 г.); на зимней школе "Теория функция. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании" (г. Воронеж, 1993 г.); на зимней школе "Современные метода теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики" (г. Воронеж, 1995 г.) и многократно на семинаре профессора С. Г. Самко "Линейные операторы в функциональных пространствах'* (г. Ростов-на-Дону).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в
рзботзх И-9J, список которых приводится в канне автореферата. Работы [1-81 выполнены совкестно с научный руководага-зм В, А. Ногиным. Их результаты принадлежат каздому из авторов в равной кзре.
Структура и обьеи работы. Диссертация состоит из введения, трах глав (13 параграфов) и приложения. В приложения вынесены те моменты доказательств, которые хотя и требует зачастую кропотливых выкладок, но прэдставляюгг чисто технический интерес. Объем работы - 162 страницы машинописного текста; в списке литературы 65 названия.
