Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА. I. Интегрирование представлений бесконечномерных алгебр Ли
1.1. АЕ-алгебры Ли. Интегрирование представлений АЕ-алгебр Ли
1.2. Алгебры и группы Ли гладких токов
1.3. Бесконечномерные разрешимые и нильпотентные алгебры Ли
ГЛАВА II. Некоммутативная проблема моментов
2.1. Конечномерная некоммутативная проблема моментов
2.2. Некоммутативная проблема моментов на АЕ-алгебрах Ли
2.3. Пример. Проблема моментов для представлений канонических коммутационных соотношений
ГЛАВА III. Гауссовские представления канонических коммутационных соотношений в форме Гординга-Вайтмана
3.1. Представление группы сдвигов ядерного пространства
3.2. Представление ядерного пространства операторами сдвигов с гауссовским коциклом
3.3. Критерий эквивалентности гауссовских представлений канонических коммутационных соотношений
Литература
- АЕ-алгебры Ли. Интегрирование представлений АЕ-алгебр Ли
- Бесконечномерные разрешимые и нильпотентные алгебры Ли
- Пример. Проблема моментов для представлений канонических коммутационных соотношений
- Критерий эквивалентности гауссовских представлений канонических коммутационных соотношений
Введение к работе
Источником интереса к задачам, связанным с не локально компактными группами Ли, являются с одной стороны, приложения: изучение математических моделей физических систем с бесконечным числом степеней свободы, в частности, систем квантовой статистической физики и теории поля, а так же теория точных решений нелинейных уравнений, и, с другой стороны, внутренняя логика развития теории представлений. Многочисленные работы посвящены как развитию теории таких "болышх"групп (работы Де ла Харпа I 69 ], Омори [ 81J , Босека, Чеховского, Рудольфа [67 ] и др.), так и изучению их представлений (А.М.Вершик, И.М.Гельфанд, М.И. Граев [12 - 16 ] , Р.С.Исмагилов [28 - 34 ] , А.А.Кириллов
[35 - 40 ] , Г.И.Ольшанский [ 48 - 51 ] , Араки [б4 - 66 ] , Хегерфельд [77, 78 ] , Леповский, Вильсон [ 79 ] и др.).
Большую роль в исследовании представлений коммутативных групп играют методы теории меры (см., напр., монографии И.М. Гельфанда, Н.Я.Виленкина _19 ] и Ю.М.Березанского [ 4, 5 ] ). Естественным является развитие возникающих при этом вероятностных аналогий в некоммутативной ситуации. Например, как и вероятностная мера, представление может быть задано с помощью положительно определенной функции (И.М.Гельфанд, М.А.Наймарк [ 20 1 И.Сигал 185 ] ), конструктивно - с помощью меры и коцикла (Гординг, Вайтман 174 ] , Араки[64,66], Войкулеску, Стратила \ 90 ] , И.М.Гельфанд, Н.Я.Виленкин \ 19 ] и др.), и с помощью некоммутативного аналога моментов (Воронович \ 91 ]
Основная тема диссертации - некоммутативный аналог проблемы моментов и возникающие при этом задачи интегрирования представлений алгебр Ли. Теория интегрирования представлений конечномерных алгебр Ли построена Нельсоном [ 80 ] и развита Фла-то, Симоном, Снеллманом и Стернгеймером [ 71, 72, 86 ] .В диссертационной работе дается обобщение этой теории на случай некоторых бесконечномерных алгебр Ли.
Кроме того, в работе рассматриваются гауссовские представления канонических коммутационных соотношений (см. работы А.С. Холево [ 60 - 62 ] , Араки[60,66] , Ван Даэле(80, 89] ) с бесконечным числом степеней свободы - некоммутативный аналог гауссовой меры - в форме Гординга-Вайтмана. Конструктивная форма задания (с помощью меры и коцикла) позволяет использовать при их изучении свойства гауссовых мер в бесконечномерных пространствах.
Перейдем к более подробному изложению результатов работы. Первая глава посвящена вопросам интегрируемости некоторых бесконечномерных алгебр Ли.
АЕ-алгебры Ли. Интегрирование представлений АЕ-алгебр Ли
Заметим, что полученные в этой главе достаточные условия интегрируемости представлении для некоторых классов алгебр Ли являются и необходимыми ( [ 43 - 46] ).
Вторая глава посвящена некоммутативному аналогу проблемы моментов. Если одним из аспектов классической теории вероятностей является изучение мер, или, что то же самое, положительно определенных функций на линейных пространствах, то некоммутативная теория вероятностей изучает положительно определенные функции (состояния) на С -алгебрах, или (в случае групповой С -алгебры) на группах. Вследствие конструкции Гельфанда-Наймарка-Сигала (ГНС) каждая непрерывная положительно определенная функция на группе Ли Сг имеет вид %() = (U(f)Q,Q \ , где о і—»- С ) - циклическое унитарное представление G в гильбертовом пространстве Н с фиксированным циклическим вектором Q . Пару (#,2) будем называть "некоммутативной мерой" на G , а функцию pC(f) - ее характеристической функцией.
Проводя эту аналогию дальше, будем говорить, что "некоммутативная мера" (,Q) на локально компактной вещественной группе Ли G имеет все моменты, если Q принадлежит области определения дифференциала представления ZC ,и функционал на комплексной универсальной обертывающей алгебре бС _ ее алгебры Ли называть моментным функционалом пары (#,Q) . Если \%i ,." , Хп } - базис в У , функционал S можно задать набором чисел Классическая степенная проблема моментов Гамбургера (см., напр., [1,4] ) состоит в определении условий, при которых заданная последовательность комплексных чисел ]Sb \ , является набором моментов некоторой вероятностной борелевской меры ft на Я : Аналогично, некоммутативная проблема моментов ( " - проблема моментов) состоит в отыскании условий, при которых числа Su ь являются моментами некоторой "некоммутативной ме-рн" (#.,2) на группе Ли (т , или, эквивалентно, функционал на обертывающей алгебре о , заданный соотношениями имеет вид 5 (ос) - ( Л(я)3,2)я . Существуют различные подходы к решению классической проблемы моментов. Выделим два из них. Первый принадлежит М.Риссу и основан на следующем факте: линейный функционал, заданный на подпространстве о линейного пространства /$С и положительный на конусе #2. , можно продолжить на все /ЖС с сохранением -положительности. Пусть теперь аС - алгебра полиномов v вещественных переменных с комплексными коэффициентами. Зададим на бС линейный функционал 6 , положив. ВыбРав в качестве конуса Щ. множество всех положительных полиномов, а в качестве ffit пространство непрерывных функций, получим следующий результат (см. ,напр., [ I ] ): проблема моментов разрешима тогда и только тогда, когда функционал 5 -положителен. Условие № -положительности функционала 5 , вообще говоря, трудно проверяемо. Заметим, что конус № содержит все полиномы вида "Р р ре (здесь - комплексное сопряжение), так что необходимым условием 0 -положительности функционала 5 является его положительная определенность: $(V V) ъО для всех Peot; или, что то же самое, для любого конечного набора чисел Положительная определенность 5 уже не является достаточным условием разрешимости проблемы моментов, однако операторный подход к этой задаче позволяет доказать, что если кроме того имеют место аналитические (или, более общо, квазианалитические) оценки на рост моментов, то проблема моментов однозначно разрешима (см.,напр. Д4, 54] ).
Впервые некоммутативная проблема моментов рассматривалась на алгебре Гейзенберга канонических коммутационных соотношений с конечным числом степеней свободы (квантовая проблема моментов; см. \82, 91 ] ). В этих работах обобщался метод Рисса. В качестве о выбиралась алгебра дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в пространстве Шварца быстро-убывающих функций, и критерием разрешимости проблемы моментов оказывается положительность функционала S на положительных операторах.
Бесконечномерные разрешимые и нильпотентные алгебры Ли
Если выделен базис {Хл,,.,,Хк} алгебры Ли # , то числа ЇЇІ\,і і = 5(Xj ,,. Хы ) будем называть моментами па-ры (1/,0.) .
Некоммутативная проблема моментов ставится следующим образом. Пусть задан линейный функционал 5 на обертывающей алгебре о . При каких условиях существует обладающая всеми моментами пара (#,Q) такая, что
Основным результатом параграфа является вывод достаточных условий однозначной разрешимости проблемы моментов на конечномерной алгебре Ли. Итак, пусть "3 - конечномерная вещественная алгебра Ли, {Xif... , Хпс] - набор ее образующих ( Теорема 2.1.3. Пусть функционал 5 на -алгебре dC(f положительно определен, т.е. S(oe sc) 0 , ОС є # и подчиняется оценке где С и W - некоторые постоянные. Тогда . " - проблема моментов однозначно разрешима. В основе доказательства теоремы лежит теория интегрируемости представлений алгебр Ли, построенная Флато, Симоном, Снеллма-ном и Стернгеймером (см. введение). Доказательство. Воспользовавшись конструкцией Гельфанда-Наймарка-Сигала, построим циклическое представление Т -алгебры df в сепарабельном гильбертовом пространстве и циклический вектор Q такие, что Для этого введем в f скалярное произведение с помощью положительно определенного функционала : После наполнения и факторизации по его ядру получим гильбертово пространство Я . Определим на области ) = а Н операторы Т(х.) , ос є бС , следующим образом: Очевидно, что отображение се - - Т(яс) является искомым представлением с Q = 1 алгебры # . Заметим, что пара (Т, , удовлетворяющая соотношению (2.1.3), единственна с точностью до унитарной эквивалентности. Рассмотрим представление % э се і— - Т(сс) алгебры Ли # Докажем, что оно интегрируется, и притом единственным образом, до унитарного представления о - С#) грушш Ли (г . Для этого достаточно показать, что в области определения СО содержится плотное в И множество векторов, аналитических для представителей образующих Х t \с = I,.,., m. В силу оценки (2.1.3) Q является аналитическим векто ром для всех операторов ТСХіь), к= I,...,№. По лемме I.I.2 пространство аналитических векторов инвариантно относительно действия всех операторов представления Т , следовательно, аналитическими являются все векторы из плотного в Я множества \j((Xl/) ...(xk)CLf ocd,..,7%є k i,Z,...}, что и требовалось доказать. В силу равенства (2.1.4) пара (#,Q) является решением проблемы моментов. Ш 2.2. Некоммутативная проблема моментов на АЕ-алгебрах Ли Пусть "3е - вещественная сепарабельная АЕ-алгебра Ли. Постановка --проблемы моментов практически ничем не отличается от соответствующей задачи в конечномерном случае. Рассмотрим комплексную обертывающую алгебру е (см. определение 1.3.3) и линейный функционал 5 на ней. Пусть Grg . - локальная группа Ли, соответствующая . Задача ставится следующим образом: при каких условиях существует инте грируемое представление алгебры Ли и вектор 2 , принадлежащий области определения представле ния и циклический для представления (. э , t-+- &($) такие, что где Т - соответствующее dZL представление -х- -алгебры « . Замечание. Если алгебра Ли - - коммутативна, такая постановка задачи, в отличие от конечномерного случая, оказывается более общей, чем классическая (под классической мы понимаем постановку, данную в работе [ 7 J для ядерного пространства; см. введение). Действительно, если , а следовательно, и коммутативная группа Ли Gr = , не ядерное, а, скажем, гильбертово пространство, то спектральная мера представления It может быть сосредоточена не на б? , а на более широком прост -63 ранетве (в случае ядреного (т это невозможно в силу теоремы Бохнера). Пусть функционал S задан. Введем систему квадратичных функционалов на :
Пример. Проблема моментов для представлений канонических коммутационных соотношений
Как известно (см. введение), представление CCR определяется ш -квазиинвариантной мерой и коциклом (в предположении простоты спектра группы \УІ\ (Р ПРИ этом Условии Два представления CCR являются унитарно эквивалентными тогда и только тогда, когда эквивалентны соответствующие им меры и коциклы (два коцикла называются эквивалентными, если их частное - три виальныи коцикл, т.е. имеет вид ——-—- , где СО - из меримая функция).
Таким образом, вопрос об эквивалентности гауссовских представлений ССЕ сводится к вопросу об эквивалентности гауссовых мер и гауссовских коциклов. Справедлив следующий результат. Теорема 3.3.1. Два гауссовских представления ССВ, опреде-ляющився мерами и коциклами а , ос и оъ , ос соответственно, являются эквивалентными тогда и только тогда, когда где К - оператор Гильберта-Шмидта в Н ; 2) оператор ACC-C JL . S(JP) — " И является оператором Гильберта-Шмидта ( $(JP) - замыкание множества 3(Ш)в Я ). Доказательство. I. Докажем, что условие I) является необходимым и достаточным для эквивалентности мер О- и QB . Необходимость. Пусть меры о и аъ эквивалентны. Сделаем в пространстве Ф замену переменных с помощью измеримого оператора- (А ) . Мера о при этом перейдет в каноническую в Н меру а (см. леммы 3.1.3, 3.1.8 ), а мера - в некоторую меру tjD . Так как fa « о , то = I + К t гДе К - оператор Гильберта-Шшлдта (см. ,напр., І59] ). Сделав обратную замеру переменных, получим, что характеристический функционал меры 0Ъ имеет вид (для любой конечномерной проекции меры. Таким образом, 1 \? - К&А = А (і К)А Достаточность. Эквивалентные меры Q и о замена переменных с помощью оператора А переводит в меры оъ и MI+K)A = Us соответственно откда в - . 2. Пусть теперь о и 0 эквивалентны. Это является необходимым и достаточным для унитарной эквивалентности групп ( fclte и {У-ь \-bc=fp ( 4 операторы умножения на функции е в пространстве &Z($?!?B ) » . аналогичные операторы в пространстве 1 г.С$, fa ) ) Перейдем теперь к вопросу об эквивалентности групп fa C], а єр. Перейдем к эквивалентным группам и 1. JL. зову Делав замену переменных с помощью оператора (-А ) (см. лемму 3.2.5). Вопрос об эквивалентности этих групп сводится к вопросу об эквивалентности их коциклов сх И (\ , то есть о тривиальности коцикла ос п= є S(JP) , В случае, если $(№) = Я , необходимым и достаточным условием этого является гильберто-шмидтовость оператора (С-СОА в Я (лемма 3.2.3). В случае, если 5(Ш) ф Я нужно, чтобы А(С-С ),Д можно было доопределить до гильберто-шмидтовского оператора в И . Так как топология в 3(0) индуцируется топологией Я , то это можно сделать тогда и только тогда, когда ACC-Cj A 5(60 — " Я - оператор Гильберта-Шмидта.
Критерий эквивалентности гауссовских представлений канонических коммутационных соотношений
Напомним, что вектор называется аналитическим для оператора А , если на нем определены все степени А и ряд сходится при некотором в р- О , и совме стным аналитическим для набора операторов Аг,..., А , если на Іь определены все произведения этих операторов и при Пространства аналитических и совместных аналитических векторов обозначаются соответственно
Пространство аналитических векторов, для которых соответствующий ряд сходится при фиксированном 6 0 , будем обозначать Представление э ос — Т(х) называется интегрируемым, если оно является дифференциалом некоторого унитарного представления U группы (л . Заметим, что так как построение по представлению 21 его дифференциала проводится локально, то вместо ZC достаточно рассматривать его сужение на любую окрестность единицы в 6r , т.е. представление локальной группы G c Существование плотной инвариантной области определения является не только необходимым, но и достаточным условием однозначной (с точностью до унитарной эквивалентности) интегрируемости представления Т (теорема Нельсона [ 80 ] , см. также [ 3 J ). Однако даже в коммутативном случае Ж это требование уже не сводится к существенной самосопряженности операторов Aj =Т(і,0) и А& = Т(0,1) (пример Нельсона [80 ] ; см. также 153 ] ).
Более просто проверяемое условие интегрируемости представления Т дает теория, построенная Флато, Симоном, Снеллманом и Стернгеймером ( [71, 72. 86 ] ); для однозначной интегрируемости представления Т достаточно, чтобы существовала плотная инвариантная область определения
Более того, достаточно, чтобы область Ю состояла из аналитических векторов для операторов представления образующих алгебры Ли % .
Пусть теперь ty - бесконечномерная вещественная алгебра Ли (т.е. бесконечномерное вещественное линейное топологическое пространство с непрерывной по обеим переменным скобкой Ли). В этом случае, вообще говоря, нет хорошего соответствия между алгебрами Ли и группами Ли или хотя бы локальными группами Ли. Такое соответствие можно установить для отдельных классов алгебр Ли: например, банаховых,индуктивных пределов конечномерных, нильпотентных. Более общо это делается в [ 67 ] .В этой работе определяется класс полных локально выпуклых алгебр, топология которых обеспечивает хорошие свойства сходимости степенных рядов: для каждого степенного ряда определяется его радиус сходимости, и ряд с ненулевым радиусом, сходимости в некоторой окрест-ности нуля сходится равномерно и абсолютно. Такие алгебры носят название АЕ-алгебр (алгебры с асимптотической оценкой). Вследствие того, что ряд Кэмпбела-Хаусдорфа является степенным рядом с ненулевым радиусом сходимости, построение по АЕ-алгебре Ли локальной группы Ли вполне аналогично конечномерному случаю. Расширение же локальной группы до настоящей группы Ли не всегда возможно.
Класс АЕ-алгебр достаточно широк: в него входят, например, конечномерные и банаховы алгебры Ли, их индуктивные пределы, алгебры Ли быстроубывающих и финитных токов, нильпотентные и квазинильпотентные алгебры Ли. Будем называть представление алгебры Ли интегрируемым, если оно является дифференциалом некоторого представления соответствующей локальной группы Ли. Основным результатом 1.1 является достаточное условие интегрируемости представлений АЕ-алгебр Ли. Теорема I.I.2. Пусть X »—»- Тбс)- представление АЕ-ал-гебры Ли % косооимметричяыми операторами в гильбертовом пространстве Н с областью определения ) , - плотное множество в % . Для однозначной интегрируемости представления достаточно, чтобы все операторы представления были в существенном кососамосопряжены на ЯЭ, и для любого ее є: &С множество Н (Т(х)) П было плотно в Н . в конечномерной вещественной алгебре Ли % , топология в ко торых вводится с помощью системы весовых функций Т (см.[18, 67 ] ), а скобка Ли определяется поточечно. Алгебра S(A, ,T) отождествляется с алгеброй со скобкой Примерами таких алгебр Ли являются алгебры быстроубывающих и финитных токов S(Rd) и 9 &(Я ) , где SGRO и ) (Rd ) - пространства Шварца.
