Исследование модулей семейств кривых в пространстве и на римановых многообразиях Навоян Вараздат Хажакович

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Модули семейств кривых на римановнх многообразиях 16

1.1. Постановка задачи 16

1.2. Модули семейств нестягиваемых петель в некоторых неориентируемых многообразиях 21

1.3. Модули семейств нестягиваемых петель в проективном пространстве и на листе Мёбиуса 42

1.4. Модули семейств нестягиваемых петель в ориентируемом "скрученном" круговом полнотории 46

1.5. О модулях семейств нестягиваемых петель в некоторых других ориентируемых "скрученных" полноториях 62

ГЛАВА II. Модули пространственных семейств кривых и поверхностей 69

2.1. Модули и конформная емкость 69

2.2. Непрерывность конформной емкости конденсатора 75

2.3. Модули семейств кривых и поверхностей в некоторых областях специального вида 82

Литература 89

• Модули семейств нестягиваемых петель в некоторых неориентируемых многообразиях
• О модулях семейств нестягиваемых петель в некоторых других ориентируемых "скрученных" полноториях
• Непрерывность конформной емкости конденсатора
• Модули семейств кривых и поверхностей в некоторых областях специального вида

Введение к работе

Во многих вопросах геометрической теории функций важную роль играет метод модулей - метод экстремальной метрики. Модули семейств кривых или поверхностей широко используются в теории однолистных и многолистных функций, в теории римановых поверхностей, в теории конформных и квазиконформных отображений.

В частности, ввиду бедности класса конформных отображений в пространстве, метод модулей является одним из основных при изучении пространственных квазиконформных отображений.

Отметим также, что в последние годы важное применение нашла связь между различными емкостями и модулями семейств кривых (см., напр., [э, 24, 26, 47, 48, 22, 39 ] ). Модульная техника применяется и в недавно созданной теории конформно-инвариантных бикомпактных расширений области I 20 ] .

Понятия экстремальной длины и модуля семейства кривых введены Л.Альфорсом и А.Берлингом. Первые работы по развитию метода модулей в нашей стране выполнены Б.В.Шабатом и П.М.Тамразо-вым. Существенный вклад в теорию модулей внесли также В.А.Зо-рич, И.П.Митюк, В.М.Миклюков, Г.Д.Суворов, А.В.Сычев и др.

Из зарубежных математиков отметим Х.Грётша, Б.Фюгледе, Дж.Дженкинса, Ф.Геринга.

Нахождение экстремальных метрик и модулей семейств кривых даже на плоскости нередко связано с трудностями. Эти трудности особенно возрастают, когда кривые лежат в пространстве или на римановых многообразиях. Для отыскания экстремальной метрики не существует универсального метода.В общем случае вариационнш уравнения Эйлера-Лагранжа приводят к системам нелинейных интегральных и дифференциальных уравнений. Поэтому до сих пор известно очень мало пространственных задач, для которых модули найдены. диссертация посвящена изучению модулей семейств кривых и поверхностей в пространстве и на римановых многообразиях. Она состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 52 наименований.

В каждом параграфе диссертации принята автономная нумерация теорем, следствий и лемм.

Приведем краткое изложение основных результатов диссертахщ.

При получении основных результатов использовались методы геометрической теории функций, вариационные методы, теория га-мильтоновых (канонических) систем.

В первой главе изучаются модули семейств кривых в ориентируемых и неориентируемых римановых многообразиях.

В I.I приводится общая постановка задачи.

Пусть Ж - ^-мерное риманово многообразие (ориентируемое или не ориентируемое), а Г - некоторое семейство не-стягиваемых петель, лежащих в ffl .

Ставится задача: для конкретных многообразий fflt найти экстремальную метрику и модуль семейства Г

По сравнению с задачами классического вариационного исчисления проблема модуля для "скрученного" многообразия существенно сложнее, ибо в ней метрика (поле) не фиксирована и основные трудности связаны с поиском неизвестной экстремальной метрики, причем для решения проблемы необходимо знать явное выражение экстремальной метрики.

Метод модулей есть далеко идущее обобщение метода полос Гретша [ 17 ] . Приведем определение модуля семейства кривых, принадлежащее П.М.Тамразову [ 40, 41 ^ .

Пусть ds - элемент длины на fflt . Неотрицательную измеримую по Лебегу на №С функцию назовем допустимой метрикой семейства Г , если j f>ds s I , Vy

Пусть р > 1 . Величину где d0 называется экстремальной в проблеме (ц,<р) -модуля семейства Г » если _art:

Если -р = п , то модуль М^ ,,0^) называется конформным.

Первая попытка изучения модулей семейств кривых, лежащих в неориентируемых римановых многообразиях была предпринята П.Пью [Зі] . К этой проблематике относятся также работы [4-7, 21, 34 ] . Подробная библиография приведена в [ 8 ] . "В 1.2 найдены модули семейств нестягиваемых петель, лежащих в некоторых неориентируемых римановых многообразиях.

Рассмотрим в евклидовом пространстве Л прямой параллелепипед где а, 6, с - положительные числа. Отождествим каждую точку (- х, у., - с ) нижней грани с соответствующей точкой (х, у., с) верхней грани и в склеенном параллелепипеде введем естественную топологию. Легко видеть, что полученное трехмерное топологическое многообразие П_т ("скрученный" параллелепипед) неори-ентируемо.

Превратим. Ц в риманово многообразие Л , задав элемент длины формулой

Обозначим через Г семейство всех замкнутых нестягивае-мых в точку кривых, лежащих в П . Справедлива теорема. Теорема I. Метрика _{р„(*0 = «7 ^~\} с(1+е ^с ) экстремальна для проблемы (3,/?) -модуля семейства Г и

Следствие I. Конформный модуль семейства Г выражается формулой

28 е^гс(е ^с -1) . е^2с -1 ^Мз,з^{(Г) =} п \ Ґ ш ,у * ^atcif "Я , ' + і) e^+l

Теорема I обобщена на tv -мерные (/z ^ 3) "скрученные" неориентйруемые параллелепипеды (теорема 2).

Следующий результат относится к неориентируемому "скрученному" полноторию,направляющая которого обладает осевой симметрией.

Пусть В, с - положительные числа, а а(^) - положительная, ограниченная, непрерывная на интервале (-6,6) функция. Рассмотрим цилиндрическое тело

Аналогично предыдущему, после склейки каждой пары точек ( ос, -и, с) _? (-#, ^-с) верхнего и нижнего оснований 1₀ , введения топологии и элемента длины получим так называемый "скрученный" неоринтеруемый риманов полноторий Т .

Пусть Г - семейство всех нестягиваемых петель в Т .

Теорема 3. Метрика с(1+е^с) экстремальна для проблемы (3, f ) -модуля семейства Г и ^,У 0 0

Теорема 3 также обобщена на случай и >3

В 1.3 при произвольном -р > і найдены (tt, р) -модули семейств нестягиваемых петель, лежащих на листе Мёбиуса и в проективном пространстве (jc = 2,Ъ,.,. ) .

В 1.4 рассмотрены трехмерные ориентируемые многообразия -"скрученные" ориентируемые круговые полноторий.

Приведем эти результаты.

В цилиндрических координатах г, q>, z, рассмотрим прямой круговой цилиндр Q - [(Г, <р, Z) ; 0- Г^К і 6** Z5f . - k~Zzd(f^Z + otz^z,

Пусть Ф - семейство всех нестягиваемых петель, лежащих в С , Ф* - семейство всех кривых из Ф , лежащих на цилиндрических поверхностях г « &ть , а Ф^ - семейство всех кривых из Ф , лежащих в меридиональных плоскостях _с : <р = t С rruycL г) _f О^ъ^дг,

Вначале найден (.3,р) -модуль семейства Ф^ (теорема I).

Теперь рассмотрим семейства Ф и Ф* . Оказывается, что экстремальные метрики, а следовательно и модули этих семейств совпадают:

При этом справедлива следующая теорема. Теорема 2. Метрика экстремальна для проблемы (3, /?) -модуля семейства Ф и ^гг(р-2) ((г^-Са-'в****⁸)""*), />*2.

Доказательство проводится с помощью теории гамильтоновых (канонических)систем вариационных уравнений Эйлера-Лагранжа.

Теорема 2 обобщена на случай ориентируемого кругового пол-нотория, "скрученного" на произвольный угол 0 е= (0,ЗГ),

Теорема 3. Метрика _{Рв(г> = пг-г 7}

49r^z + 4k^z экстремальна для проблемы (3, f?) -модуля семейства Ф и *{'<%)*)> f-*> _V^{s) =}

Результаты 1.4 получены совместно с П.М.Тамразовым.

В 1.5 изучаются модули семейств нестягиваемых петель, лежащих в более общих трехмерных ориентируемых римановых многообразиях. Рассмотрим кольцевой цилиндр где г, tp , z - цилиндрические координаты точки и 0 *Rj^R_z,

Аналогично предыдущему, после склейки каждой пары точек (f, if, - k>}, (r,

Определим семейства Ф и Ф* в ІЇ дословно так же, как и выше для С

Получен следующий результат.

Теорема I. (3, f ) -модули семейств Ф, Ф^ совпадают и определяются соотношениями

Ш. Р ^т &г, +4^ 5Г - "г^г. 77Х" > Р* ²'> ) \(зг^гК* +4^)^ (pr^zR\+4k^zy* а метрика

Р, (Г) - -==== экстремальна для проблемы (3?р) -модуля каждого из указанных семейств.

Теорема I также обобщена на случай ориентируемого кольцевого полнотория, "скрученного" на произвольный угол 9 є (0,Я") (теорема 2).

Пусть к > 0 ,а $(<р)~ положительная, непрерывная, Ж -периодическая функция, заданная на [0,2,Эг),

Рассмотрим цилиндрическое тело ^=[(Л<Р,2): 0*r"f(

Зададим склейку и элемент длины так же, как и выше в случае $С₀ . В результате получим трехмерное ориентируемое римано- во многообразие V - "скрученный" неориентируемый полноторий. - II -

Пусть семейство Ш_т в V определяется так же, как в 1.4. Найден (3₇ р) -модуль семейства Ф_м и соответствующая экстремальная метрика для проблемы (3,р) -модуля.

В главе П изучаются модули пространственных семейств кривых и поверхностей.

2.1 носит вспомогательный характер» В нем приводятся определение конформной емкости конденсатора и соотношение, устанавливающее связь между конформной емкостью и модулем семейства кривых, соединяющих пластины конденсатора.

Всякая пара ^Е, ТГ) замкнутых, непересекающихся и непустых множеств Г, V из В называется конденсатором. 'Множества Е и F называются пластинами конденсатора, а "R =* "R* \ (JE_ (J F ) - зазором. Конформной емкостью конденсатора CE,F) называется величина Cap(E,V) = Щ j | pad <л | * dm^ , где нижняя грань берется по всем непрерывным в R функциям и, таким, что гс= 0 на Е , гс = 1 на F и сужение и на К принадлежит классу ACL (т.е. абсолютно непрерывно на почти всех прямых, параллельных координатным осям). Эта емкость, введенная Ч.Левнером, является конформным инвариантом. Как показали Ф.Геринг [ 15 ] , Т.Бегби, В.Ци-мер \.4б] , А.В.Сычев [35, 36] конформная емкость конденсатора совпадает с конформным модулем семейства Г кривых, соединяющих пластины конденсатора Cap(Z,F). Н_Ж(Г). (I)

В 2.2 изучаются некоторые свойства пространственного конденсатора.

Во многих вопросах теории функций важную роль играет свойство непрерывности различных конформных инвариантов.

Наиболее общий результат о непрерывности модуля на плоскости получен П.М.Тамразовым \42 ] . В пространственном случае отметим результаты Ф.Геринга \ы] и А*В.Сычева [35, 36] .

Теорема I устанавливает весьма общий результат о непрерывности конформной емкости пространственного конденсатора.

Для нєцустшз множества Е a. R через дЕ обозна-чим границу Е в Е. . Пусть множество EcR имеет непустое пересечение с R . Обозначим через d(,) нижнюю точную грань диаметров компонент связности множества Е , а через г(Д,Е) - евклидово расстояние от точки Q. eR^rf до множества Ц

Пусть KbEj>)= rrtaA %ир г(в,Е_г); sup г(й_г,Е,)} . - хаусдорфово расстояние между произвольными множествами E_L , Е^ из R , имеющими непустые пересечения с К^Л .

Теорема I. Пусть CE,F) - конденсатор в В.³ с зазором R. , граница которого 9R ограничена, {(E^F^)}^ . -последовательность конденсаторов с зазорами Е. _t« Если km k(E._fE) = 0, itm, k(F_/F) =0 и выполнено условие

С~*-0о - ІЗ - где 6. = $ир r(G_?flR*) _; то справедливо равенство lent, CcLpiX^Vr) = C*_FtE,T).

Если пластины Е- (или T_t ) связны, то в числите- ле левой части (2) можно записать d(jF) (соответственно (с/(<)),

В случае связности пластин E_t«, F^ условие (2) можно опустить, а если к тому же связно R , то сходимость пластин по метрике Хаусдорфа заменить сходимостью зазоров R^ к зазору R как к ядру по отношению к фиксированной точке PeR,

Доказательство проводится с помощью соотношения , (I).

Теорему і можно обобщить на случай произвольного н. ^3.

В 2.3 устанавливаются результаты о связи между модулями семейств кривых и поверхностей в многомерных пространствах с модулями в пространствах меньшей размерности.

Пусть {5 } - семейство поверхностей в R , а Мкр(Л*})~ (и?р) -модуль семейства {6} .

Пусть 2, Ф₂ - некоторые ограниченные открытые множест-ва в R , R ^ь соответственно (** + n_z - я. ). Обозначим через ) множество в R^ , являющееся декартовым произведением )_z и _г .

Если в 7)j>_r<>_z заданы семейства { S / } , {5 ] соответственно k._L -мерных и к_г-мерных поверхностей 5^Д 5_г^г то в Я) естественно рассмотреть семейства всех поверхностей' ^{s*/» s*% й)1 >а}_а^{, а,«} ₃^{** (we a}_If ^«_г ^- точки множеств Юі , 40% соответственно) размерностей Ьі+к_г , ki и к_г соответственно. Имеет место следующая теорема.

Теорема І. ( n_f f) -модуль ( р > 1 ) .* ' се- мейства ^S j всех "fe^ -мерных поверхностей 5^^А X & и гомотопных им в 2) ^-мерных поверхностей определяется формулой M₎,,_f,(lS^kl})=«„₂(^)M^([s^)_/ где /#_Л () "" #_г-мерная мера Хаусдорфа множества Ю_г .

Аналогичное равенство имеет место для семейств поверхностей вида Gj х 5 * и гомотопных им. в ,

Для Си,р) -модуля семейств поверхностей вида 5^ * 5₂^г установлена оценка сверху (теорема 2).

Следствие I дает примеры применения теоремы I.

Все результаты диссертации являются новыми.

Результаты диссертации могут найти (и находят) применения в геометрической теории функций. В частности, В.В.Асеев существенно использовал теорему I из 2.2 о непрерывности модуля для получения ряда результатов в теории отображений, ограниченно искажающих модули.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре по комплексному анализу отдела геометрической теории функций и топологии Института математики АН УССР, на УІ и Ж Всесоюзных коллоквиумах по теории квазиконформных отображений и ее обобщениям (г. Донецк, 1978 г., 1982 г.), на Всесоюзной конференции по комплексному анализу (г.Черноголовка, Моок. обл., 1979 г.), в школе по теории операторов в функциональных пространствах (г. Новосибирск, 1979 г.), на конференции молодых ученых-математиков г.Киева (1982 г.), на тематическом семинаре

Института математики АН УССР (1983 г.), на семинаре по теории функций Кубанского государственного университета (1984 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы' в работах і 27 - 30 ] .

В заключение еще раз сформулируем основные результаты диссертации:

1. Исследованы семейства замкнутых негомотопных нулю кри вых, лежащих в так называемом "скрученном" неориентируемом полнотории - неориентируемом римановом многообразии.

Найдены экстремальные метрики и модули этих семейств.

Найдены также экстремальные метрики и модули некоторых семейств нестягиваемых петель, лежащих в различных ориентируемых римановых многообразиях - в ориентируемом круговом "скрученном" полнотории, в "скрученном" кольцевом полнотории, в произвольном "скрученном" полнотории.

Доказана достаточно общая теорема о непрерывности конформной емкости пространственного конденсатора, формулируемая в чисто геометрических терминах.

Установлен результат, позволяющий свести вычисление модулей семейств кривых или поверхностей в топологических произведениях множеств к вычислению модулей того же порядка, но в пространствах меньшей размерности.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю профессору ГГЛД.Тамразову за постоянную помощь и содействие в процессе написания работы.

Модули семейств нестягиваемых петель в некоторых неориентируемых многообразиях

Понятие экстремальной длины (модуля) введено Л.Альфорсом и А.Берлингом [ 2 ] и распространено на fl/ -мерные ( it 2 ) пространства Б.Фюгледе t 43 1 и Б.В.Шабатом \.50"1 . П.М.Тамразо-вым определена и изучена общая предельная проблема модуля на плоскости [40] . И.П.Митюком [25] введено понятие приведенного модуля в пространстве.

Приведенное выше определение модуля семейства кривых принадлежит П.М.Тамразову [40, 41 J . Оно лишено недостатков, присущих другим определениям, и в то же время обладает всеми их полезными свойствами. В общепринятых определениях модуля семейства кривых (см., напр.,[ 1,10,15,16, 18, 36, 43, 47, 48, 50 J ) по существу заранее отбрасываются кривые, не являющиеся локально спрямляемыми, поскольку для таких кривых линейный интеграл Лебега не имеет смысла. Между тем, при квазиконформных или более общих отображениях спрямляемые кривые могут переходить в кривые, не являющиеся локально спрямляемыми. Поэтому в определении модуля отображенного семейства, вообще говоря, не участвует часть кривых, являющихся образами спрямляемых. В определении, данном П.М.Тамразовым, участвуют все (в том числе и не являющиеся локально спрямляемыми) кривые семейства, поскольку нижний интеграл Дарбу (конечный или бесконечный) существует для любой, в том числе и для локально неспрямляемой кривой. При этом интегральный аппарат Лебега по существу полностью сохранен, так как в приложениях метода экстремальной метрики мы встречаемся с линейными интегралами лишь тогда, когда нужно их оценивать (в основном снизу), а не вычислять. И поскольку нужные нам оценки нижнего интеграла Дарбу всегда получаются также, как и при других определениях линейного интеграла, то нет необходимости добиваться того, чтобы линейные интегралы брались в смысле Лебега.

Легко видеть, что (jt,f ) -модуль является внешней мерой в пространстве всех кривых в Wt . То есть Конформный модуль является конформным инвариантом. Между тем, (н,р) -модуль при j? = ft не является конформным инвариантом. Если Г - семейство кривых в евклидовом пространстве R (и z. Z ) , то при линейном конформном отображении і : И — R справедлива формула где k - линейный коэффициент растяжения при отображении ,С , a j-(T) - образ семейства Г Впервые задачу о нахождении модуля семейства нестягивае-вых петель в неориентируемых римановых многообразиях рассмотрел П.Пью в 1952 г. в своей диссертации І 31 ] .В этой работе он по существу нашел конформные модули семейств нестягиваемых петель, лежащих на проективном пространстве произвольной размерности и на листе Мёбиуса. В частности, на листе Мёбиуса им установлено неравенство между площадью листа Мёбиуса и квадратом нижней точной грани длин семейства нестягиваемых петель, лежащих на листе Мёбиуса: Здесь к - константа, зависящая только от конформной структуры этого риманова многообразия. Очевидно, наилучшее значение константы k , найденное Пью, и является конформным модулем указанного семейства кривых.

Одна из идей этой работы, как указывает Пью, восходит к неопубликованному результату Ч.Левнера об оценке снизу площади тора через квадрат длины кратчайших нестягиваемых петель, лежащих на этом торе

А 1961 году К.Блаттер [ 7 ] , используя одну теорему Мин-ковского, обобщил этот результат на замкнутые поверхности произвольного рода ft 1 . При этом, как указывает автор, метод Левнера не удается применить, ибо в нем существенно используется тот факт, что замкнутые поверхности Римана рода о = і имеют непрерывную группу конформных автоморфизмов.

В другой своей работе \ 61 К.Блаттер получил универсальную оценку снизу площади А листа Мёбиуса, не используя понятия модуля. Приведем этот результат.

Пусть Г - семейство всех нестягиваемых петель, лежащих на листе Мёбиуса М , а Г семейство трансверсалей на М , т.е. открытых дуг , число пересечений которых с каждой у е Г равно ± { . Пусть L4 t - нижние грани длин кривых из семейств Г и Г соответственно ( является своего рода мерой для ширины листа Мёбиуса) » В [6] установлена оценка

О модулях семейств нестягиваемых петель в некоторых других ориентируемых "скрученных" полноториях

Модуль Мйи0Г) называется конформным. Приведенное определение модуля принадлежит Тамразову П.М. І.40, 41] (см. 1.1, где аналогичное определение сравнивается с общепринятыми). В отличие от общепринятых определений (кроме ссылок, данных в І.І, см. также работу УСеме- и.. \J p-exlte/nat ІеиоЛ-k ami р- capccctl егиаіііу,, - dtk. M v6. / J.975у V-, J3, «XV, p. J3d - J44 ), данное выше опре деление не исключает априори из рассмотрения кривые, содержащие бесконечно удаленную точку. Заметим также, что для этого определения теорема о локальной равновесности экстремальной метрики (или теорема о линейных интегралах, см. [40, 41 ] ) сохраняет силу и в бесконечно удаленной точке, в то время как для общепринятых определений это не так.

Как было отмечено в I главе, конформный модуль является конформным инвариантом. Рассмотрим теперь другой конформный инвариант - конформную емкость конденсатора. Понятие конформной емкости конденсатора было введено в 1959 г. Ч.Левнером [ 23 ] и нашло широкое применение в различных вопросах теории функций. Существует важная связь между конформным модулем определенного семейства кривых и конформной емкостью конденсатора. Сначала дадим определения. Определение I. Всякая пара (Ж,!1 ) замкнутых, непересекающихся и непустых множеств Е, F из R. называется конденсатором. Множества Vu и Т называются пластинами конденсатора, a R - R \ СИ U F ) - зазором. Определение 2. Конформной емкостью конденсатора называется величина где точная нижняя грань берется по всем непрерывным в R функциям и, таким, что и. = О на Е , с = I на Г и сужение 4Laa.IL принадлежит классу АСІ, (т.е. абсолютно непрерывно на почти всех прямых, параллельных координатным осям). Как показали Т.Бегби и В.Цимер [ 46 ] , Ф.Геринг [ 15 ] , А.В.Сычев \35, 36 ] , конформная емкость конденсатора совпадает с конформным модулем семейства Г кривых, соединяющих пластины конденсатора Известно, что в этом случае MK(t,(F) В ряде вопросов геометрической теории функций важную роль играет свойство непрерывности различных конформных инвариантов. Например, А.Сюита 37, 38 ] , использовав непрерывность модулей некоторых семейств кривых, получил ряд результатов в теории канонических конформных отображений. В.В.Асеев [ 3 ] , существенно применив нижеприведенную теорему I, 2.2, получил важные результаты в теории отображений, ограниченно искажающих модули. Конформная емкость является довольно общим конформным инвариантом, поэтому естественно попытаться установить свойство непрерывности конформной емкости при как можно более общих предположениях, выраженных в геометрических терминах. Ввиду равенства (I), непрерывность конформной емкости конденсатора равносильна непрерывности конформного модуля семейства кривых, соединяющих его пластины. Первый результат в этом направлении был получен Г.Я.Хажа-лией 1_45 ] . Им установлена непрерывность модуля двусвязной области. Этот результат был повторен Ф.Герингом [ 13 ] . Отметим также работу В.Волонтиса 151 ] . Наиболее общий результат о непрерывности модуля на плоскости установлен П.М.Тамразовым [42] . Приведем этот результат. Пусть множество Е. CL "R имеет непустое пересечение с R . Обозначим через е (Е) нижнюю точную грань диаметров компонент связности произвольного множества Е с Кл » а через гС#,Е) - евклидово расстояние от точки QeR до множества Е . Пусть к(Е Ег) = тах{$ир г(в ,Ег); sup r(QZ7E,)} - хаусдорфово расстояние между произвольными множествами Е Ег из R , имеющие непустые пересечения с К . Будем говорить, что последовательность непустых множеств і Е; \ J из К сходится по метрики Хаусдорфа к непустому множеству Е a. R , если tint k(jE. К) = О Предложение I (П.М.Тамразов). Пусть Ю - область в К. , Е и Е два отделимых компактных подмножества области Й , а [Е ]00, и{_Г } - последовательности подмножеств области Ю , сходящиеся по метрике Хаусдорфа к множествам Е, и F соответственно.

Непрерывность конформной емкости конденсатора

Заметим, что в случае связности , , F и зазора "R получаем обобщение предложения 3 (А.В.Сычев) из I, частным случаем которого является предложение 2 (Ф.Геринг) из I.

Легко построить пример нарушения непрерывности конформной емкости конденсатора, когда не выполняется условие (3) теоремы I. Теорему I можно обобщить на случай произвольного ц 3.

В этом параграфе устанавливаются результаты о связи между модулями семейств кривых и поверхностей в многомерных пространствах с модулями в пространствах меньшей размерности.

Пусть S } - семейство поверхностей в Кл , а Ып Д{5})-(н,р) -модуль семейства {5 j . Модуль семейства поверхностей определяется аналогично определению модуля семейства кривых (см. I.I). Пусть 5 , Ф2 - некоторые ограниченные открытые множест 14 И ва в "R ,"R г соответственно, причем кі + Пг = п . Обозна чим через ) множество в цЛ , являющееся декартовым произ ведением 2 и )г . Если в $Oif 2)2 заданы семейства соответственно k± -мерных и kz -мерных поверх яостей Sj1 , 5 г , то в SD естественно рассмотреть семейства всех поверхностей $± S $t U2 , & S (где Й Q2 - точки множеств у, Юг соответственно) размерностей ki kz , kj и ke соответственно. Имеет место следующая теорема. Теотэема I, (#,/?) -модуль (f J) семейства {5 J всех к і -мерных поверхностей вида 5 йг » когда л1 пробегает семейство t / 1 » а г пробегает множество и гомотопных им в k { -мерных поверхностей определяется формулой где т (} - Ht -мерная мера Хаусдорфа множества Юг . Аналогичное равенство имеет место для семейств поверхностей ви-да Q-i &г,г и гомотопных им в Доказательство. Сначала покажем, что при поиске экстремальной метрики можно ограничиться рассмотрением метрик вида Пусть p(Qit &z), вА 1 , QZ=Z)2 - произвольная допустимая для семейства \5 } метрика. Тогда усредненная метрика также будет допустимой для 5 } . Действительно, для всякой поверхности 3 из семейства ( $ j по теореме Фубини имеем Далее, в силу неравенства Гельдера и теоремы Фубини Таким образом, если существует экстремальная метрика, то она имеет вид о » р ( б/"). Пусть [Q] - семейство всех поверхностей из 5 } вида 5 fta .По теореме Фубини имеем Пусть P (Q.JL) - экстремальная метрика семейства {Q} . Она допустима для семейства 5 Ч . Действительно, если произвольная поверхность из [5 і] , a 5 є Q -ее проекция вдоль ортогоналей к элементам (Q » ТО имеет место неравенство Отсюда следует, что 0 (Q ) экстремальна для {$ и М« ЮЦ j) = л »\ іР Ї) так как» если экстремальная метрика некоторого семейства допустима для более широкого се - 85 мейства, то она экстремальна для этого семейства). Теорема доказана. В виде следствия I сформулируем некоторые простейшие иллюстрации. Следствие I. Пусть &i, Sj, вг, 6Z - положительные чис ла. Если Ж УС 2 - произведение колец из комплексных плоскостей Сг соответственно, то: I) пусть Г - семейство всех дуг, лежащих в кольце $Cj и соединяющих его граничные компоненты. Обозначим через Г семейство всех дуг вида у± z , когда За пробегает #f2 , a J/i пробегает Г , а также всех гомотопных им дуг из Ж Ж„. Тогда 2) пусть Фг - семейство всех жордаяовых кривых ft , лежащих в кольце Жг и разделяющих его граничные компоненты. Обозначим через Ф семейство всех жордановых кривых вида Zi х ()г , когда ZL пробегает «#у , а рг пробегает СР, , а также гомотопных им кривых из пг .

Модули семейств кривых и поверхностей в некоторых областях специального вида

Пусть P (Q.JL) - экстремальная метрика семейства {Q} . Она допустима для семейства 5 Ч . Действительно, если произвольная поверхность из [5 і] , a 5 є Q -ее проекция вдоль ортогоналей к элементам (Q » ТО имеет место неравенство

Отсюда следует, что 0 (Q ) экстремальна для {$ и М« ЮЦ j) = л »\ іР Ї) так как» если экстремальная метрика некоторого семейства допустима для более широкого семейства, то она экстремальна для этого семейства).

В виде следствия I сформулируем некоторые простейшие иллюстрации. Следствие I. Пусть &i, Sj, вг, 6Z - положительные чис ла. Если Ж УС 2 - произведение колец из комплексных плоскостей Сг соответственно, то: I) пусть Г - семейство всех дуг, лежащих в кольце $Cj и соединяющих его граничные компоненты. Обозначим через Г семейство всех дуг вида у± z , когда За пробегает #f2 , a J/i пробегает Г , а также всех гомотопных им дуг из Ж Ж„. Тогда 2) пусть Фг - семейство всех жордаяовых кривых ft , лежащих в кольце Жг и разделяющих его граничные компоненты. Обозначим через Ф семейство всех жордановых кривых вида Zi х ()г , когда ZL пробегает «#у , а рг пробегает СР, , а также гомотопных им кривых из пг . Доказательство следствия использует известнее выражения конформных модулей, а также следующую формулу Геринга [ 16 ] ; Теорема I позволяет сводить вычисления (я,/?,)-модулей ( р 1 ) некоторых семейств кривых шш поверхностей к вычислению модулей семейств того же порядка, но в пространствах меньшей размерности. Во многих случаях этот прием упрощает задачу. Перейдем теперь к рассмотрению семейства {5/ 5 г у Ckj[+ кг")-мерных поверхностей вида 5ІІ Згг . Обозначим kJ. 4 к2 = к Справедлива следующая теорема. Теорема 2. Для (w, р) -модуля семейства \&/ S ] при р і + -— 7 р I -ф имеет место оценка Доказательство. Если метрики 0/, fz допустимы для семейств v.S/j SjJ lr соответственно, то метрика будет допустимой для семейства S & z j . Действительно, применяя теорему Фубини для произвольной поверхности Se S/xSj».4}, 5 = - 5г , 5i {.5i ], 5г е З З , имеем Тогда для (/ р)-модуля семейства 5 j получаем следующую оценку: Последнее неравенство справедливо для всех метрик рл t pz допустимых для семейств \Si \,\$ij соответственно. Следовательно,В качестве иллюстрации результатов данного параграфа приведем другой метод вычисления (л, /г.)-модуля семейства Г (в обозначениях теоремы I из 1.2), основанный на применении теоремы I и теоремы I из 1.3. Для Xt є. (-#fc-, aL), i Z,..., п -іf рассмотрим прямоугольники Обозначим через 7ft„ „ лист Мёбиуса, полученный склеи-ванием точек прямоугольника WcL С" и введением естественного элемента длины. Обозначим через Г семейство всех нестягивае-мых петель, лежащих в # . Пусть Г и Я та-ковы, как они были определены в 1.2.

Похожие диссертации на Исследование модулей семейств кривых в пространстве и на римановых многообразиях

Поверхностные меры на пространстве траекторий в многообразии, порожденные броуновским движением в объемлющем евклидовом пространствеСидорова Надежда Андреевна

О следах функций анизотропных пространств с дифференциально-разностными характеристиками на гладких многообразиях и в бесконечности Шмырев Геннадий Александрович

Исследование интегралов, представляющих юкавские константы связи в многообразиях Калаби-ЯуЧешель, Андрей Александрович

Дифференцируемое отображение аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространстваАль-Хассани Мудхар Аббас Маджид

О росте чисел пересечения подмногообразий под действием динамических систем в компактных многообразиях и в пространствах C m и R mРосалес Гонсалес Эрнесто

Линейчатые многообразия пятимерного симплектического пространства Лебедева Галина Андреевна

Симплектические и пуассоновы структуры на пространствах петель гладких многообразий и интегрируемые системыМохов, Олег Иванович

Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей Белова Ольга Олеговна

Элементы дифференциальной геометрии ... многообразий в евклидовых пространствахКаланчук, Роман Иванович

Вложения многообразий в Евклидовы пространства Скопенков Аркадий Борисович