Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей Белова Ольга Олеговна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Связность в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана 22

1. Многообразие Грассмана в проективном пространстве 23

2. Главное расслоение, ассоциированное с многообразием Грассмана 24

3. Фундаментально-групповая связность в ассоциированном расслоении 25

4. Объект кривизны 28

5. Оснащение Бортолотти, связность первого типа 33

6. Ковариантный дифференциал оснащающего квазитензора Бортолотти 38

7. Связность второго типа в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана 40

8. Связность третьего типа в расслоении над многообразием Грассмана 41

9. Условия совпадения и связь объектов групповых связностей трех типов 42

10. Геометрическая характеристика индуцированных связностей с помощью отображений 44

11. Пучок связностей 1-го типа 45

12. Вырожденные параллельные перенесения в индуцированных связностях многообразия Грассмана 47

13. Связность над областью проективного пространства 51

Глава 2. Связность в расслоении, ассоциированном с пространством центрированных плоскостей 58

1. Пространство центрированных плоскостей в проективном пространстве 59

2. Главное расслоение, ассоциированное с пространством центрированных плоскостей 59

3. Фундаментально-групповая связность 61

4. Объект кривизны 63

5. Аналог сильной нормализации Нордена, связность первого типа 68

6. Ковариантный дифференциал и ковариантные производные оснащающего квазитензора 70

7. Связность второго типа в расслоении над пространством центрированных плоскостей 72

8. Связность третьего типа в расслоении над пространством центрированных плоскостей 74

9. Условия совпадения и связь объектов групповых связностей трех типов 75

10. Тензор неабсолютных перенесений 76

11. Геометрическая характеристика индуцированных связностей с помощью отображений 77

12. Параллельные перенесения в связности 1-го типа 78

13. Пучок связностей 1-го типа, индуцированный аналогом нормализации Нордена пространства центрированных плоскостей 80

14. Вырожденные параллельные перенесения в индуцированных связностях пространства центрированных плоскостей 82

Глава 3. Геометрические связности в пространстве центрированных плоскостей 89

1. Геометрическая связность в расслоении S(P„) 90

2. Геометрическая связностьв расслоении T(V) 96

Библиографический список 100

• Фундаментально-групповая связность в ассоциированном расслоении
• Условия совпадения и связь объектов групповых связностей трех типов
• Ковариантный дифференциал и ковариантные производные оснащающего квазитензора
• Вырожденные параллельные перенесения в индуцированных связностях пространства центрированных плоскостей

Введение к работе

Основной идеей теории расслоенных пространств в ее дифференциально-геометрическом аспекте является идея связности. Теории связностей имеет уже давнюю историю [60]. Этой теории положила начало в 1917 году работа Т. Леви-Чивита о параллельном перенесении вектора в римано-вом пространстве. Эта идея немедленно нашла важные приложения в общей теории относительности и была обобщена в разных направлениях. В 1918 году Г. Вейль для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности [31].

Новый этап в развитии теории связностей открывается работами Э. Картана в 20-х годах. Э. Картан заменяет касательные векторные пространства аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году он применил понятие связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве.

Следующий этап [44] в развитии теории связностей начался в 40-х годах работами В. В. Вагнера.

Общая теория связностей [41] в расслоениях, получившая свое начало в работах Вагнера и Эресмана, позже интенсивно развивалась в самых различных направлениях. Г. Ф. Лаптевым [27] был предложен известный теоретико-групповой метод на основе исчисления Э. Картана. Следуя идеям Э. Картана, Г. Ф. Лаптев дал строгое определение пространства аффинной связности и выделил естественным образом комплекс внутренних геометрий на многомерной поверхности пространства аффинной связности. Затем параллельно с развитием общей теории погруженных многообразий Г. Ф. Лаптев ввел пространство с фундаментально-групповой связностью.

В дальнейшем связности в расслоенных пространствах строились Г.Ф. Лаптевым не только при помощи определяющего связность отображения. Они задавались как погруженное многообразие специального типа и как поле некоторого объекта, называемого объектом связности [39]. Характерной особенностью этих построений Лаптева является исследование последовательности полей геометрических объектов, возникающих из поля исходного фундаментального объекта при помощи операции продолжения полей и теоретико-групповой операции охвата имеющимися полями новых полей.

В связи с исследованием связностей расслоенных многообразий теория геометрических объектов продолжала интенсивно развиваться, обогащаясь новыми фактами, включая в свою сферу новые области, смыкаясь со многими традиционными направлениями [55].

Благодаря работам Э. Картана, Ш. Эресмана, В. В. Вагнера, А. П. Нордена, П. К. Рашевского, Г. Ф. Лаптева, Б. Л. Лаптева, А. М. Васильева, Ю. Г. Лумисте, В. И. Близникаса, Н. М. Остиану, А. П. Широкова, Л. Е. Евтушика, В. Ф. Кагана и др. теория связностей [50], [51] представляет собой обширную область исследования расслоенных пространств и занимает существенное место в дифференциальной геометрии.

Специальное место в общей теории занимает теория связностей в однородных расслоениях [30], [31]. Связность в однородном расслоении вводится как дифференцируемое распределение, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Другие возможности указываются в более ранних работах В. В. Вагнера и Г. Ф. Лаптева. В. В. Вагнер рассматривает не только однородные расслоения, но также расслоения, типовыми слоями которых являлись гладкие многообразия, и вводит в них связности с помощью систем дифференциальных уравнений определенного вида в локальных координатах. Г. Ф. Лаптев ограничивается линейными связно-стями, определяя их как множества отображений бесконечно близких ело ев расслоения, удовлетворяющие определенным условиям. Нелинейные связности аппаратом, разработанным Г. Ф. Лаптевым, рассматривал Л. Б. Евтушик [30].

Задачи, возникающие при изучении оснащенных многообразий, в зависимости от типа оснащения, характера объемлющего пространства и исходного погруженного многообразия, оказываются весьма разнообразными, что, по-видимому, делает проблему построения дифференциальной геометрии оснащенных многообразий неисчерпаемой [43], [58].

Задача внутреннего оснащения (в смысле А. П. Нордена, Э. Картана, Э. Бортолотти) подмногообразий стояла как одна из проблем дифференциальной геометрии. Усилиями ряда геометров удалось решить ряд трудных проблем в этом направлении.

Поверхность Vm проективного пространства Рп называется оснащенной в смысле Э. Картана, если к каждой точке А є Vm сопоставлена (n-m-1)-мерная плоскость К„_т (А) не пересекающая касательную плоскость Тт(А) рассматриваемой поверхности.

А. П. Норден предложил назвать поверхность Vm нормализованной,

если к каждой точке А этой поверхности Vm сопоставлены две плоскости:

1. (п-т)-мерная плоскость Nn_m{K), проходящая через точку А и не имеющая с касательной плоскостью Тт (А) других точек пересечения (нормаль 1-го рода);

2. (т-І)-мерная плоскость NmA(A), лежащая в касательной плоскости Гт(А) и не проходящая через точку А (нормаль 2-го рода).

Впервые задачи оснащения для семейств многомерных плоскостей, т.е. многообразий Gr(m,n,r) в обозначении Близникаса [18], рассматривались в работах Бортолотти [56].

В исследованиях Бортолотти под оснащением многообразия Gr(m,n,r) понимается процесс, согласно которому каждой т-мерной плос кости TmeGr(m,n,r) сопоставляется (п-т-І)-мерная плоскость Вп_т_х(т), не имеющая общих точек с плоскостью тт. В несколько другом смысле аналогичные задачи рассматривал Галвани [57].

Независимо от исследований Бортолотти и Галвани, задачами оснащения гиперкомплексов Gr(l,n,2n-3) занимался К. И. Гринцевичюс.

Ю. Г. Лумисте [29] удалось построить глубокую и развернутую теорию различных оснащений произвольных подмногообразий Gr(m,n,r), включавшую в себя как частные случаи оснащения Бортолотти и Галвани. Для некоторых классов подмногообразий Gr(m,n,r) Ю. Г. Лумисте указал внутренние оснащения.

Статья [18] В. И. Близникаса посвящена построению внутренних оснащений для гиперкомплекса прямых Gr(l,n,2n-3) и тесно примыкает к исследованиям К. И. Гринцевичюса (1956-1960 гг.).

Научные работы К. И. Гринцевичюса в основном посвящены геометрии подмногообразий многообразия Грассмана Gr(m,n), причем главное внимание уделяется случаю т=1. Для всех исследований К. И. Гринцевичюса характерно то обстоятельство, что они выполнены теоретико-групповым методом дифференциально-геометрических исследований (методом Г. Ф. Лаптева). Кроме того, он первый применял этот метод для систематических исследований линейчатых многообразий как трехмерного, так и многомерного проективного пространства. Он решал ту или иную задачу в наиболее общем репере (как правило, почти всегда исследования ведутся в реперах первого порядка) [19].

Проблема инвариантного построения геометрии многообразия, образующим элементом которого является фигура [33], отличная от точки исходного пространства, давно интересовала геометров [2], [32], [62]. Достаточно глубоко разработана линейчатая геометрия в трехмерном пространстве [17]. Имеется много работ по теории семейств и пар семейств плоскостей в многомерных пространствах [45, с. 51] и, особенно, по теории ли нейчатых многообразий в 4-х и 5-ти мерных пространствах [20], [21], [23], [25]. В [23] рассмотрено множество всех прямых пространства Ръ — многообразие Грассмана Gr(l,3), m-мерные подмногообразия многообразия Грассмана Gr(l,3,m) при т=1,2. В [21] рассматриваются комплексы Gr(l,3,3) — трехмерное подмногообразие многообразия Грассмана Gr(l,3). В работе [37] методом Г. Ф. Лаптева построено внутреннее оснащение произвольного семейства плоскостей в n-мерном проективном пространстве Р..

Геометрия распределения m-мерных плоскостей в n-мерном пространстве проективной связности с кривизной и кручением развита в работе Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану [28]. В. И. Близникас рассматривал распределение (п-1)-мерных плоскостей в n-мерном римановом пространстве. В [54] Ю. И. Шинкунас рассмотрел некоторые вопросы геометрии распределения m-мерных плоскостей в n-мерном римановом пространстве.

Работы [1], [38] посвящены изучению дифференциальной геометрии распределений гиперплоскостей в аффинном и проективном пространствах.

В [46, с. 62] рассмотрено многообразие Грассмана k-мерных плоскостей, проходящих через начало координат в n-мерном евклидовом пространстве.

Многообразия Грассмана изучались в той или иной степени в работах [59], [61].

В случае многообразия Грассмана некоторые главные расслоения рассматривались И. В. Близникене [22].

В [34], [35] Э. Г. Нейфельдом задавались аффинные связности в нормализованном пространстве т-плоскостей.

В многомерном проективном пространстве Ю. И. Шевченко [47] рассмотрел многообразия плоскостей и центрированных плоскостей. Доказал, что оснащение Бортолотти и аналог сильной нормализации Нордена позволяют задать связности в соответствующих ассоциированных расслоениях.

ОПИСАНИЕ РАБОТЫ

Предметом исследования настоящей работы являются связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей. Работа относится к исследованиям в области дифференциальной геометрии, осуществляется методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева, который обобщает метод подвижного репера и внешних форм Э. Картана и опирается на исчисление внешних дифференциальных форм.

В диссертации разработаны основы нового метода исследования многообразий Грассмана и его обобщений — теория индуцированных связностей пространств плоскостей и центрированных плоскостей в проективном пространстве. Многообразия плоскостей уже изучались в этом направлении [22], [28], [54]. Для семейств плоскостей успешно применялся метод ассоциированных главных расслоений [47]. В настоящей работе завершается создание аналогичного метода для пространств плоскостей и пространств центрированных плоскостей. В этом направлении имеется лишь результат Нордена [36] о нормализации проективного пространства, которое является многообразием Грассмана 0-мерных плоскостей. Хотя обширная теория оснащенных грассмановых подмногообразий была развита школой прибалтийских геометров, в основном, работами Ю. Г. Луми-сте [29], В. И. Близникаса [18], И. В. Близникене [22], К. И. Гринцевичюса и др., здесь получены принципиально новые результаты, а подходы к исследованиям отличаются от ранее применяемых.

Работа состоит из введения, в котором описывается история развития данного направления и дается анализ исследования, и трех глав.

В главе 1 в проективном пространстве Рп размерности п изучается многообразие Грассмана V=Gr(m,n) m-мерных плоскостей Lm. Осуществляется специализация подвижного репера и строится главное расслоение G(V), типовым слоем которого является подгруппа стационарности плоскости Lm, а базой — многообразие Грассмана V. Пространством расслоения G(V) является проективная группа GP(n), а проекция л: GP(n) -» V относит произвольному элементу группы GP(n) ту плоскость Lm многообразия V, которая инвариантна под действием этого элемента. Способом Г.Ф. Лаптева задается фундаментально-групповая связность Г в главном расслоении. С помощью теоремы Картана-Лаптева находятся дифференциальные уравнения компонент объекта, задающего групповую связность в ассоциированном расслоении G(V). Производится оснащение Бортолотти многообразия Грассмана, которое состоит в присоединении к каждой плоскости Lm (п-т-І)-плоскости P„_m t не имеющей общих точек с плоскостью Lm. Находятся дифференциальные уравнения квазитензора, задающего оснащающую плоскость.

Доказано, что оснащение Бортолотти, задаваемое полем квазитензора Л = {Я ,Яа}

01 0 а 0 аЬ 0 0 а

на многообразии V, индуцирует связность (1-го типа) T = {La,Ta Гаа,Піа, Lba ca pr,Tpr,TaP,UaP,Lap,Gap} в расслоении G(V).

Формы групповой связности вносятся в дифференциальные уравнения оснащающего квазитензора. Это дает возможность получить ковари-антный дифференциал и ковариантные производные оснащающего квазитензора относительно групповой связности.

Показано, что ковариантные производные оснащающего квазитензора Л в групповой связности Г образуют тензор.

С помощью ковариантных производных удается охватить компоненты объекта групповой связности компонентами оснащающего квазитензора вторым способом, т.е. оснащение Бортолотти многообразия Грассмана V индуцирует пучок связностей 2-го типа в ассоциированном расслоении G(V), из которого выделяется единственная связность 2-го типа 02 0а 0аЬ 0 0а 0а 0а4 0а 0аа 02а 02аЬ 02 02й lAt l а Д аа Ьа Ьа - са -1 руА ,1 , П , L , CrayS } .

Еще один охват получается с учетом пфаффовых производных компонент оснащающего квазитензора и доказывается, что оснащение Бортолотти индуцирует связность 3-го типа 1- аД а Д аа Ьа Ьа са ,Д уД ар Кр аР 3а/3 Связности всех трех типов совпадают тогда и только тогда, когда выполнены условия:

а/3 - ЛрЛа \р - ЛаЛр Лар ЛаЛр Аар ЛаЛр Все построенные охваты связаны между собой, так как связность 1-го типа является средней [36, с. 129] по отношению к 01 I 02 03 связностям 2-го и 3-го типов, т.е. Г = — (Г+Г).

Совпадение групповых связностей трех типов эквивалентно неподвижности оснащающей плоскости Бортолотти Рп_т_х.

Геометрическая интерпретация полученных связностей дается при помощи центральных проектирований:

простейший подобъект ={1 ,1 ,1 ,11 ,1 } характеризуется центральным проектированием плоскости Lm + dLm, смежной с образующей плоскостью Lm, на исходную плоскость, из центра — плоскости Бортолотти P„_m4 fi: La+dLm f— L,„.

Рассмотрен объект Г3 (объект псевдосвязности), который дополняет простейший подобъект r1={Laa,Tf,Laba,rabca,raa,nboa} до простого подобъекта Г2 ={Гх,Цг,Тарг} и не является геометрическим объектом. 0 а аа

Объект псевдосвязности Гг={Ьрг,Т } характеризуется центральным проектированием плоскости Р„_т_х +dPn_m_x, смежной с оснащающей плоскостью Р„_т_х, на исходную плоскость, из центра — образующей плоскости Lm Г Р +dP L" Р А 3 1n-m-\ UJrn-m-l Т 1n-m-V О 0 0

Простой подобъект Г2={Г15Г3 характеризуется парой этих отображений.

Выделяется пучок связностей 1-го типа [42].

Оснащение Бортолотти многообразия Грассмана V индуцирует пучок групповых связностей 1-го типа в расслоении G(V).

Параллельное перенесение вектора удобно описывать с помощью его ковариантного дифференциала [48]. Аналитически параллельное перенесение вдоль линии определяется путем обращения в нуль ковариантного дифференциала. Для многообразия Грассмана параллельные перенесения оснащающей плоскости вырождены:

1. При обращении в нуль ковариантных производных оснащающего квазитензора специальных смещений оснащающей плоскости Бортолот ти Р„_т_х, вообще говоря, не выделяется. Иначе говоря, параллельное пере несение плоскости Рп_т_х в произвольной связности Г является свободно вырожденным [52].

2. В групповой связности 1-го типа параллельное перенесение осна щающей плоскости Р„_т_х будет связанно вырожденным, т.е. плоскость Бортолотти Р„_т_х неподвижна при параллельном перенесении в этой связности.

3. В групповой связности 2-го и 3-го типов параллельное перенесение оснащающей плоскости Рп_ш_1 будет свободно вырожденным.

Тензор /, компоненты которого служат коэффициентами при базисных формах в выражении дифференциалов базисных точек оснащающей плоскости при введении в них ковариантных дифференциалов, и обращение которого в нуль характеризует связанно вырожденные параллельные перенесения оснащающей плоскости, назовем тензором подвижности параллелизма.

Тензор а, при обращении которого в нуль связности совпадают, будем называть тензором деформации [36, с. 128], [40]. Найдены деформации связности одного типа по отношению к связности другого типа.

Введенный тензор подвижности параллелизма в связности 1-го типа обращается в нуль; в связности 2-го типа совпадает с тензором деформации; а в связности 3-го типа противоположен тензору деформации.

В конце главы 1 рассматривается многообразие Грассмана точек Gr(0,n). Все полученные результаты для многообразия Грассмана, т.е. для общего случая, подтвердились и для этого частного случая, который рассматривал Норден. Основные результаты главы 1 опубликованы в работах [3],[4],[5],[6],[8],[11],[13].

Глава 2 посвящена исследованиям в проективном пространстве Рп пространства П центрированных плоскостей т (плоскостей размерности m с фиксированным центром). При дифференциально-геометрических исследованиях используются деривационные формулы подвижного репера и структурные уравнения проективной группы, действующей в проективном пространстве. Специализация подвижного репера для данного пространства центрированных плоскостей приводит к построению главного расслое ния G(II), типовым слоем которого является подгруппа стационарности G центрированной плоскости Ґт. В данном расслоении задается фундаментально-групповая связность. Осуществляется сильное аффинное оснащение Ю. Г. Лумисте (аналог сильной нормализации Нордена [36, с. 197, 206]) пространства центрированных плоскостей полями аналогов плоскости Картана и нормали 2-го рода: (п-т-І)-плоскости, не имеющей общих точек с центрированной плоскостью, и (т-І)-плоскости, принадлежащей центрированной плоскости и не проходящей через ее центр. Доказывается, что оснащение пространства П центрированных плоскостей т полями плоскостей Р„_тЛ и Рт_1 позволяет задать связность (1-го типа) в ассоциированном расслоении с объектом 01 0„ »» «а 0„ 0. 0„„ 01 01 01, 01„ 01 _ 01л, 01 01 01 „ г = (Та т г та г г г Г иг Г Г Г Г ТТ \ 1 \ Ьа - Ьс 1- ca J- pr J- fia 1- fiy Х аа 1- ab х1аа ауЗ ай L а/3 L a/3 L аа 11 ) Оказывается, лишь часть ковариантных производных оснащающего квазитензора пространства центрированных плоскостей образует тензор:

совокупность ковариантных производных РЛ0=& рКУрК 7ъК КК 7Л \К) (р = 1,п + т(п-т)) компонент максимального подквазитензора Л0={А,аа,&а) образует тензор, содержащий 4 простейших подтензора {УрК}№ьаК) $УьК}№ъК) и 2 простых подтензо-ра {vpx:,vbpra,vbra}, {VA, VJ4.VA}.

При помощи этих ковариантных производных найден второй охват:

аналог сильной нормализации Нордена пространства П центрированных плоскостей индуцирует пучок подсвязностей (2-го типа) в максимальном подрасслоении, из которого выделяется максимальная подсвяз , а г« »« « »«, 02, 02й 02о 02й, ность 2-го типа {Lba, LbciTca,Lpy,Lpa,Tру, Taa,Tab, Паа, Lafi,Lab,Tap}.

Аналог сильной нормализации Нордена пространства П индуцирует связность 2-го типа 02 0 0. 0 , 0а 0„ й „п 02 02 02. 02 „ 02„ 02,,. 02 02 02 „ T = iL L Г L L Г Г Г U L I Г Г Г П \ х l- Aa bc 1- ca jBy 0а х Ру х аа х ab Lxaa aJ3 Mjab afi X a/3 x aa xlap Третий охват строится при помощи пфаффовых производных оснащающего квазитензора:

аналог сильной нормализации Нордена индуцирует связность 3-го типа Г \ьы,ьЪс,тса,ьру,ь а,т , гаа,го6, паа, Lap,Lab,Yap,Yal},Yaa,u.ap}.

Связь построенных охватов для пространства центрированных плоскостей немного отличается от их зависимости для многообразия Грассма-на.

Связности 1-го, 2-го и 3-го типов совпадают тогда и только тогда, когда выполняются условия:

Кф - КЦ Kb - АА Кр = tfsK Kb - 51К Ка -да а К = К а Связности 1-го, 2-го и 3-го типов находятся в зависимости:

02 01 01 03 Г = Г+Гр-Гр, где Р означает транспозицию индексов.

Как и в главе 1 дается характеристика подобъектов объектов связно-стей при помощи центральных проектирований:

0 0 а 0 д 0 ас 01 02 03

1. Простой подобъект Yx = {Lba,Lbc,Yba} объектов связности Y, Y и Y характеризуется центральным проектированием плоскости Рт_х + dPm_x, смежной с плоскостью Рт_х, на исходную плоскостьРго_,, из центра — плоскости Рп-т=\Рп_т_х,А\ Г Р +dP f"-» - Р 0 0 а 0 а 0аа 01 02

2. Простой подобъект Г2 ={L ,L„,Y„} объектов связности Y, Г и Г характеризуется центральным проектированием плоскости Pn-.mA+dPn_m_v смежной с оснащающей плоскостью Рп_т_х, на исходную плоскость Р„_„,_1, из центра — образующей плоскости Ґт Г Р +dP —" Р т-\ 1 2 Гп-т-\ игп-т-\ Т п-, Различные параллельные перенесения иллюстрируют следующие теоремы:

1. Оснащающую плоскость Р„_т_1 в групповой связности 1-го типа Г переносить параллельно нельзя.

2. Аналог нормали 2-го рода Рт_х переносится параллельно в связности 1-го типа тогда и только тогда, когда он смещается в гиперплоскости ,= ,8 .,.

Плоскость Р„_т_х переносится параллельно в связности, опреде ли оа оа ооАоа оаа оа oiab oio 01а ляемой подобьектом T iL r L T , Lpr,Yap,Laj},Lab} объекта связности Г, тогда и только тогда, когда она смещается в плоскости 4. "п-т = L- n-m-l - J Плоскость Р„_т_1 переносится параллельно в линейной комбинации [49], [53] связности 1-го типа тогда и только тогда, когда она смещается в гиперплоскости Рп_х.

5. При обращении в нуль ковариантных производных оснащающего квазитензора X специальных смещений оснащающих плоскостей Р„_т_х, Рт_х, вообще говоря, не выделяется. Иначе говоря, параллельные перенесения плоскостей Р„_т_х, Рт_х в произвольной связности Г являются свободно вырожденными [52].

6. В групповой связности 1-го типа параллельное перенесение оснащающей плоскости Рп_т_х будет связанно вырожденным, т.е. плоскость Р„-т-\ неподвижна при параллельном перенесении в этой связности.

7. В групповой связности 1-го типа параллельное перенесение гиперплоскости Рп_1=Р„_т_1Рш_х будет связанно вырожденным, т.е. гиперплоскость Рп_х неподвижна при параллельном перенесении в этой связности.

8. В групповой связности 3-го типа параллельное перенесение оснащающей плоскости Р„_т_х будет свободно вырожденным.

9. В групповых связностях 2-го и 3-го типов параллельное перенесе ние гиперплоскости РпЛ будет свободно вырожденным.

10. В групповых связностях 2-го и 3-го типов параллельное перенесе ние оснащающей плоскости Рт_х будет свободно вырожденным.

По аналогии с главой 1 введен тензор подвижности параллелизма / и тензор деформации X. Связаны все эти объекты следующим образом:

компоненты тензора подвижности параллелизма / в связности 1-го типа обращаются в нуль (/=0); в связности 2-го типа совпадают с соответствующими компонентами подтензора а тензора деформации, либо равны нулю, когда таких компонент не существует; а в связности 3-го типа противоположны соответствующим компонентам простейших подтензоров тензора деформации Е, либо компонентам объекта х с переставленными индексами (объект % является комбинацией тензора деформации 2 и оснащающего квазитензора Л ).

Содержание главы 2 опубликовано в работах [7], [9], [12], [15].

В главе 3 пространство П центрированных плоскостей L m рассматривается в виде двух однородных расслоений:

1) S(jP„), базой которого служит область пространства Рп, а типовым слоем — связка S плоскостей Ёт;

2) T(V), базой которого является многообразие Грассмана V плоско стей Lm, а типовым слоем — совокупность Т центрированных плоскостей Ёт, принадлежащих одной нецентрированной плоскости Lm.

В каждом расслоении задается дифференциально-геометрическая связность по В. И. Близникасу [16]. Доказаны теоремы:

Аналог нормализации 2-го рода пространства П центрированных плоскостей, рассматриваемого как однородное расслоение S(Pj, индуцирует геометрическую связность G в этом расслоении.

Оснащающая плоскость Рт_1 остается на месте при обращении в нуль компонент подтензора {тх,тьаа} (r,={rab,raa}, гаЬ=ЯаЬ ЯаЯь, хаа-Ка КаК TL= L aK) и ФРМ геометрической связности G вдоль любого одномерного семейства плоскостей т.

Оснащающая гиперплоскость L„_x остается на месте при обращении в нуль тензора т = {т1,тьаа,таа,тар} ( аа=Яаа-ЯаЯа-тар Яар-ЯаЯр-ЯаарЯа) и форм геометрической связности G вдоль любого одномерного семейства плоскостей т.

Найдены выражения компонент объекта кривизны Rc в геометрической связности G:

в геометрической связности кривизна RG выражается через компоненты простого подтензора г,.

Аналог нормализации 1-го рода пространства центрированных плоскостей, представленного как однородное расслоение T(V), индуцирует геометрическую связность F.

Оснащающая плоскость Рп_т не смещается при обращении в нуль форм геометрической связности F и тензора т2 (ъаар=Кр+Кь р т1р - Кр ЛрЛьа ) вдоль произвольного одномерного семейства плоскостей L m.

Найдены выражения компонент объекта кривизны RF геометрической связности F, доказано компоненты объекта кривизны RP индуцированной геометрической связности F выражаются через компоненты тензора r2.

По результатам третьей главы опубликованы работы [10], [14].

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью настоящей работы является исследование индуцированных связностей пространств плоскостей и центрированных плоскостей в проективном пространстве при помощи метода Картана-Лаптева. Данное исследование включает в себя:

1. построение индуцированных фундаментально-групповых связностей трех типов в главных расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей;

2. нахождение условий совпадения компонент объектов связностей различных типов;

3. нахождение формул, связывающих компоненты объектов связностей трех типов;

4. выяснение геометрической характеристики индуцированных связностей и их подсвязностеи при помощи центральных проектирований и параллельных перенесений;

5. построение геометрических связностей в пространстве центрированных плоскостей, представленном как два однородных расслоения.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

1. При дифференциально-геометрических исследованиях многообразия Грассмана в проективном пространстве обычно использовались деривационные формулы подвижного репера, содержащие формы, удовлетворяющие структурным уравнениям линейной группы и условиям (экви) проективности. В данной работе применен неклассический аналитический аппарат, который обладает преимуществом при выделении подгрупп и факторгрупп проективной группы.

2. Построены три типа охватов объектов индуцированных связно-стей, обобщающих центропроективную и проективную связности, для пространств центрированных плоскостей и многообразия Грассмана.

3. Найдены условия совпадения охватов и формулы, которыми они связаны друг с другом.

4. Построенные связности геометрически интерпретированы при помощи новых параллельных перенесений и центральных проектирований.

5. Пространство центрированных плоскостей представлено в виде двух однородных расслоений, в которых индуцированы геометрические связности.

ПРИМЕНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Результаты будут использованы при теоретическом изучении индуцированных связностей, ассоциированных с пространством других линейных фигур в проективном пространстве. Планируется практическое использование результатов при чтении спецкурсов по дифференциальной геометрии, написании курсовых, дипломных и диссертационных работ в Калининградском государственном университете. 

Фундаментально-групповая связность в ассоциированном расслоении

В данной главе рассматривается многообразие Грассмана т-мерных плоскостей. Над ним возникает главное расслоение, типовым слоем которого является подгруппа стационарности m-мерной плоскости. В этом расслоении задается фундаментально-групповая связность по Г. Ф. Лаптеву. Доказывается, что оснащение Бортолотти многообразия Грассмана индуцирует связность в ассоциированном расслоении (строится первый охват объекта групповой связности компонентами оснащающего квазитензора). Получены выражения объекта кривизны групповой связности через объект связности и пфаффовы производные его компонент. Доказывается, что объект кривизны связности является тензором. Находятся ковариантный дифференциал и ковариантные производные оснащающего квазитензора относительно групповой связности. Доказывается, что ковариантные производные образуют тензор. При внешнем дифференцировании ковариант-ного дифференциала вводится тензор неабсолютных перенесений. При помощи ковариантных производных и пфаффовых производных компонент оснащающего квазитензора строятся второй и третий охваты объекта групповой связности. Находятся условия совпадения всех охватов и их связь. Дается геометрическая интерпретация связностей 3-х типов при помощи параллельных перенесений и отображений. Доказывается, что оснащение Бортолотти индуцирует в ассоциированном расслоении пучок связностей 1-го типа, в котором выделяется единственная связность. Вводится понятие тензора подвижности параллелизма и находится его связь с тензором деформации. Рассматривается специальное многообразие Грассмана.

В n-мерном проективном пространстве задается многообразие Грассмана, определяются базисные формы и находится размерность многообразия. Отнесем n-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {A,Aj} (I, J, К, ...=1,и), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами: где линейная форма в играет роль множителя пропорциональности. Формы Пфаффа со1, oj, э7 удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы GP(n), действующей в Рп: Da -coJ ACO J, Dcol -co \ л cyy, Deoj =C0j лй)!к+ SjO)K л coK + со3 л a?. В пространстве Pn рассмотрим многообразие Грассмана V=Gr(m,n) m-мерных плоскостей Lm, т.е. пространство всех m-плоскостей пространства Рп. Произведем специализацию подвижного репера {А,Аа,Аа}, помещая вершины А,Аа на плоскость Lm. Здесь и в дальнейшем индексы принимают значения: a,b,c,...=l,m; а,/3,у,..=т + \,п. Из формул (1.1.1) получим откуда следует, что уравнения соа=0, в "=0 являются условиями стационарности плоскости Lm, т.е. формы соа со" являются главными, а для многообразия Грассмана — базисными. Тогда размерность многообразия равна числу базисных форм of afa, т.е. Рассмотрение многообразия Грассмана в проективном пространстве влечет разбиение форм Пфаффа на базисные формы и вторичные формы, называемые слоевыми. С многообразием Грассмана V ассоциируем главное расслоение G(V), dim G=n(n+ l)-m(n-m-l) — число слоевых форм of ,(oa,ofb,ofp,(aaa,G)a. С учетом разбиения индексов и выделения базисных и слоевых форм распишем структурные уравнения Картана (1Л .2). Структурные уравнения базисных форм имеют вид: Находим внешние дифференциалы от вторичных форм Специализация подвижного репера для многообразия Грассмана V приводит к главному расслоению G(V) со структурными уравнениями (1.2.1), (1.2.2), (1.2.3), (1.2.4), типовым слоем которого является подгруппа стационарности G плоскости Lm, а базой — многообразие Грассмана V.

Пространством расслоения G(V) является проективная группа GP(n), а проекция п: GP(n) -» V относит произвольному элементу группы GP(n) ту плоскость Lm многообразия V, которая инвариантна под действием этого элемента. Расслоение G(V) содержит главное факторрасслоение P(V) со структурными уравнениями (1.2.1), (1.2.2) и типовым слоем — факторгруппой P=GP(m) группы GP(n), действующей на плоскости Lm. Другое фактор-расслоение H(V) имеет структурные уравнения (1.2.1), (1.2.2), (1.2.3). Типовым слоем факторрасслоения H(V) является факторгруппа Н группы G, действующая на плоскости Lm и в двойственной плоскости.

Условия совпадения и связь объектов групповых связностей трех типов

В качестве примера будет рассмотрен частный случай многообразия Грассмана V=Gr(m,n) m-мерных плоскостей Lm, когда т=0. Отнесем n-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу, деривационные формулы которого имеют вид (1.1.1), а формы (D OO J.COJ (I, J, К=1,и) проективной группы GP(n), действующей в пространстве Рп, удовлетворяют структурным уравнениям (1.1.2).

В проективном пространстве Рп рассмотрим область V0, описанную точкой А, т.е. специальное многообразие Грассмана Г0=Ог(0,п) [53]. Из деривационных формул (1.1.1) видно, что уравнения о7 =0 являются условиями фиксации точки А в области V0, т.е. формы со1 — базисные. Они удовлетворяют содержащимся в системе (1.1.2) структурным уравнениям Внешние дифференциалы от вторичных форм запишем в виде: Итак, над областью V0 построили главное расслоение G(V0) — расслоение центропроективных реперов, типовым слоем которого является подгруппа G стационарности точки А. Расслоение G(V0) содержит фактор-расслоение линейных реперов L(V0) со структурными уравнениями (1.13.1) и уравнениями (1.13.2 j). Рассмотрим преобразование вторичных форм с помощью базисных форм области V0: Находя дифференциалы форм связности (1.13.3) аналогично 3 главы 1, получаем дифференциальные уравнения компонент объекта групповой связности Г: Таким образом, объект групповой связности Г содержит простейший подобъект Г\ ={Г .} — объект линейной связности. Структурные уравнения форм связности (1.13.3) запишем в виде: D0j=a j ACOZ+RJ O) ла 1, Do)J=a JI Aa j+RmcoJ л/, (1.13.5) причем компоненты объекта кривизны R = {RIJKL,Rm} связности Г имеют следующие выражения: квадратные скобки означают альтернирование по крайним индексам. Продолжая дифференциальные уравнения (1.13.4), получим следующие сравнения по модулю базисных форм со Учитывая сравнения (1.13.7) и равенства (1.13.6), находим дифференциальные сравнения, которым удовлетворяют компоненты объекта кривизны R т.е. объект кривизны R является тензором, содержащим простейший под-тензор {RJKL}. По аналогии с [53] произведем нормализацию 2-го рода Нордена [36] (оснащение Бортолотти [56], когда т=0, см. 5 главы 1) области V0, которая состоит в присоединении к каждой точке А гиперплоскости Р„_,, не проходящей через точку А. Определим гиперплоскость Р„_х совокупностью точек В1=А1+Я1А. Находя дифференциалы точек В, и требуя относительную инвариантность гиперплоскости РпЧ, получим дифференциальные уравнения компонент оснащающего объекта Я = {Я7} Дифференциальные уравнения (1.13.4), (1.13.9) позволяют найти первый охват Т = {ГЖ,ГЦ} объекта связности Г квазитензором X Продолжая дифференциальные уравнения (1.13.9), получим дифференциальные сравнения Учитывая в (1.13.9) равенства (1.13.3), находим выражения ковари-антного дифференциала объекта Л (подобно формулам (1.6.5)) относительно групповой связности, задаваемой объектом Г, где ковариантный дифференциал имеет вид: VZj = dXj -AJCOJJ +a)i, а ковариантные производные выражаются по формулам С помощью структурных уравнений (1.13.5) найдем внешние дифференциалы от компонент ковариантного дифференциала

Ковариантный дифференциал и ковариантные производные оснащающего квазитензора

Таким образом, при построенном охвате, обращении объекта т в нуль и условии (3.1.20) оснащающая плоскость Рт_х остается на месте (см. (3.1.17)). Теорема 3.1.5. Оснащающая плоскость Рт_х остается на месте при обращении в нуль компонент подтензора {т",,т а} и форм геометрической связности G вдоль любого одномерного семейства плоскостей т. Теорема 3.1.6. Оснащающая гиперплоскость Ln_l=[Ba,Ba\ остается на месте при обращении в нуль тензора г и форм геометрической связности G вдоль любого одномерного семейства плоскостей т. Доказательство следует из формул (3.1.17), (3.1.18), (3.1.20). Найдем охват пфаффовых производных объекта G геометрической связности компонентами продолженного оснащающего квазитензора Л . Для этого учтем найденный охват (3.1.9), дифференциальные сравнения (3.1.6) пфаффовых производных объекта G и дифференциальные сравнения (3.1.11) компонент продолженного оснащающего квазитензора А . Получим Найдем значения объекта кривизны R геометрической связности в построенном охвате. Для этого будем подставлять в выражения (3.1.5) компонент объекта кривизны охват (3.1.21): где учтены выражения (3.1.19) компонент тензора т, а квадратные скобки, как и раньше, означают операцию альтернирования по крайним индексам. Таким образом, справедлива: Теорема 3.1.7. В геометрической связности (3.1.21) кривизна выражается через компоненты простого подтензора гг. 2. Геометрическая связность в расслоении T(V) Пространство центрированных плоскостей представим в виде расслоения T(V). Геометрическую связность в расслоении T(V) зададим с помощью форм Находим внешние дифференциалы форм (3.2.1) Компоненты объекта геометрической связности F={F,Qa} удовлетворяют дифференциальным уравнениям: Теорема 3.2.1. Объект геометрической связности F является квазитензором, содержащим подтензор Qaab Подставляем в структурные уравнения (3.2.2) форм со" дифференциальные уравнения (3.2.3) компонент объекта геометрической связности F, находим выражения дифференциалов форм связности (3.2.1), в которых присутствует объект кривизны R: где компоненты объекта кривизны R={RZfi,R ,Raabf)c} выражаются по формулам: причем в последней формуле альтернирование выполняется по крайним парам индексов. Продолжаем дифференциальные уравнения (3.2.3) Таким образом, получены дифференциальные сравнения по модулю базисных форм af,a)\afa Учитывая данные сравнения, находим сравнения для компонент объекта кривизны (3.2.4) Теорема 3.2.2. Объект кривизны R геометрической связности расслоения T(V) образует тензор, содержащий простейший подтензор {R c} и простой подтензор {Rfp,R }. Рассмотрим аналог нормализации 1-го рода Нордена, т.е. осуществим оснащение пространства П полем (п-т)-мерных плоскостей Р„_т = [Ва А], где Ва = Аа +ЯХ- Тогда Требуя относительную инвариантность плоскости, получим Сопоставляя дифференциальные уравнения компонент объекта геометрической связности F (3.2.3) и выражения (3.2.7), находим охват объекта геометрической связности компонентами оснащающего квазитензора Я: Теорема 3.2.3. Аналог нормализации 1-го рода пространства центрированных плоскостей, представленного как однородное расслоение T(V), индуцирует геометрическую связность F.

Вырожденные параллельные перенесения в индуцированных связностях пространства центрированных плоскостей

Предметом исследования настоящей работы являются связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей. Работа относится к исследованиям в области дифференциальной геометрии, осуществляется методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева, который обобщает метод подвижного репера и внешних форм Э. Картана и опирается на исчисление внешних дифференциальных форм.

В диссертации разработаны основы нового метода исследования многообразий Грассмана и его обобщений — теория индуцированных связностей пространств плоскостей и центрированных плоскостей в проективном пространстве. Многообразия плоскостей уже изучались в этом направлении [22], [28], [54]. Для семейств плоскостей успешно применялся метод ассоциированных главных расслоений [47]. В настоящей работе завершается создание аналогичного метода для пространств плоскостей и пространств центрированных плоскостей. В этом направлении имеется лишь результат Нордена [36] о нормализации проективного пространства, которое является многообразием Грассмана 0-мерных плоскостей. Хотя обширная теория оснащенных грассмановых подмногообразий была развита школой прибалтийских геометров, в основном, работами Ю. Г. Луми-сте [29], В. И. Близникаса [18], И. В. Близникене [22], К. И. Гринцевичюса и др., здесь получены принципиально новые результаты, а подходы к исследованиям отличаются от ранее применяемых.

Работа состоит из введения, в котором описывается история развития данного направления и дается анализ исследования, и трех глав.

В главе 1 в проективном пространстве Рп размерности п изучается многообразие Грассмана V=Gr(m,n) m-мерных плоскостей Lm. Осуществляется специализация подвижного репера и строится главное расслоение G(V), типовым слоем которого является подгруппа стационарности плоскости Lm, а базой — многообразие Грассмана V. Пространством расслоения G(V) является проективная группа GP(n), а проекция л: GP(n) -» V относит произвольному элементу группы GP(n) ту плоскость Lm многообразия V, которая инвариантна под действием этого элемента. Способом Г.Ф. Лаптева задается фундаментально-групповая связность Г в главном расслоении. С помощью теоремы Картана-Лаптева находятся дифференциальные уравнения компонент объекта, задающего групповую связность в ассоциированном расслоении G(V). Производится оснащение Бортолотти многообразия Грассмана, которое состоит в присоединении к каждой плоскости Lm (п-т-І)-плоскости P„_m t не имеющей общих точек с плоскостью Lm. Находятся дифференциальные уравнения квазитензора, задающего оснащающую плоскость.

Доказано, что оснащение Бортолотти, задаваемое полем квазитензора Л = {Я ,Яа} на многообразии V, индуцирует связность (1-го типа) в расслоении G(V). Формы групповой связности вносятся в дифференциальные уравнения оснащающего квазитензора. Это дает возможность получить ковари-антный дифференциал и ковариантные производные оснащающего квазитензора относительно групповой связности. Показано, что ковариантные производные оснащающего квазитензора Л в групповой связности Г образуют тензор. С помощью ковариантных производных удается охватить компоненты объекта групповой связности компонентами оснащающего квазитензора вторым способом, т.е. оснащение Бортолотти многообразия Грассмана V индуцирует пучок связностей 2-го типа в ассоциированном расслоении G(V), из которого выделяется единственная связность 2-го типа Еще один охват получается с учетом пфаффовых производных компонент оснащающего квазитензора и доказывается, что оснащение Бортолотти индуцирует связность 3-го типа Связности всех трех типов совпадают тогда и только тогда, когда выполнены условия: Все построенные охваты связаны между собой, так как связность 1-го типа является средней [36, с. 129] по отношению к 01 I 02 03 связностям 2-го и 3-го типов, т.е. Г = — (Г+Г). Совпадение групповых связностей трех типов эквивалентно неподвижности оснащающей плоскости Бортолотти Рп_т_х. Геометрическая интерпретация полученных связностей дается при помощи центральных проектирований: простейший подобъект ={1 ,1 ,1 ,11 ,1 } характеризуется центральным проектированием плоскости Lm + dLm, смежной с образующей плоскостью Lm, на исходную плоскость, из центра — плоскости Бортолотти P„_m4 Рассмотрен объект Г3 (объект псевдосвязности), который дополняет простейший подобъект r1={Laa,Tf,Laba,rabca,raa,nboa} до простого подобъекта Г2 ={Гх,Цг,Тарг} и не является геометрическим объектом.