Введение к работе
Актуальность теми исследования. Исследований семейств -"^-мерных плоскостей в пространствах различной рззмэрности посачщено большое число работ советских и зарубежных геомет-ров. Основная задача исследования состоит з изучении строения, свойств и классификации таких семейств.
Семейство /% -мерных плоскостей называется -комплексом, если через каждую точку некоторой области мно-'гомерного пространства проходит бесконечное число плоскостей . семейства. Теорій комплексов многомерных плоскостей возникла в результате обобщений из трехмерных теорий конгруэнции и комплексов^ прямых. Комплексам многомерных плоскостей посвящена работа Л.Э.Гербсоммер, Л.З.Круглякова и А.Г.Мизииа? Комплексы прямых и плоскостей исследовалась в работе Г,й.0рленко4 ' Теория гиперкомплексов прямых-в я.-мерном-пространстве построена К.И.Грянцевичюсом5. И.М.Гельфанд я М.й.Граев6 при решении основной задачи интегральной геометрии /восстановление функции в комплексном пространстве С1" на основе значений ее ... интегралов по прямым комплекса/ выделили класс комплексов прямых,^ на котором эта задача имеет решение. Такие комплексы были названы допустимыми. Допустимым комплексам прямых в прост-
1Фиников С.Л. Теория конгруэнции. - М.-Л.:ШТЛ, IS50.-528 с. .
^Кованцов Н.И, Теория комплексов. - Киев:КГУ, 1963. -292 с.
^Гербсоммер Л'.Э., Кругляков Л.З., Мизин А.Г.О комплексах многомерных плоскостей // ДАН CC0F. - 1980. - Т.255, Я 5. -' СД039-І042.
*0рленко Г.И. К метрической теории семейств прямых и плоскостей в многомерном евклидовом пространстве // Тр. Рижского' ин-та йнзе. авиации. - 1966. - Т.97. - С.3-37.
^Гривлевичюс К.И. Гиперкомплекс прямых в многомерном проективном пространстве // Тр. 3-го Всес. мат. съезда. - М.,1956,-Т.І. - С.І4В-І49.
^ельфанд И.М., Граев М.И. Комплексы прямых в пространстве . , С // функцион. анализ и его прил. - Г9Є8. - Т.2, внп.З. -
С.39-52.
.ранстве .-<-:. посвящена работа А.Б.Гончарова . В работе С.Г. Гиндикина"'рассматриваются некоторые задачи, приводящие к допустимым комплексам прямых. Геометрическое описание допусти-'мах комплексов лг- -мерных плоскостей представляет.значительные трудности. Попытки такого описания делались Л.З.Кругляко-
вю/ , В.А.Нерсесяномт . -.
В настоящей работе изучаются пятимерные комплексы дву-. мерных плоскостей в пятимерном проективном пространстве. Вы-, бор размерности образующего элемента, комплекса и.пространст-. ва обуславливается следующими обстоятельствами. Комплексы двумерных плоскостей пространства Р" явлтотся обобщением комплексов прямых-пространства /? в том смысле, что элемент такого комплекса зависит.от того.же числа параметров, что и точка-пространства. Это обстоятельство имеет важное значение для инте--гральной геометрии.. Семейство двумерных плоскостей в пространстве./5, будет самодвойственным так же, как и семейство прямых г в пространстве Р3, поскольку при коррелятивном преобразовании, ему соответствует семейство того же вида. В проективном пространстве Рл четырехмерным, шестимерным, семимерным, а так-ще гиперкомплексам двумерных плоскостей посвящены соответственно работы ЛЧЗ.Круглякова, А.Г.Мизина и Е.С.Никитиной11,
Гончаров А.Б, Допустимые семейства К -мерных подмногообразий //ДАН. СССР. - 1988. - 1.300, № 3. - С.535-539. Гивдикин С.Т. Редукции многообразий рациональных кривых. и связанные задачи теории дифференциальных уравнений .// Функциок. анализ и его прил. - 1984. - Т.Г8, вып.4. -С.Г4-39.
9 Кругляков Л.З. О некоторых комплексах многомерных плоскостей: в проективном пространстве // Функцион. анализ и его прил. - 1982. - Т.І6, вып.З..- С.66-67. Нерсесян В.А. Допустимые комплексы Л'-мерных плоскостей в P"V/ Ученые зап. ЕГУ. - I98S. - J6 2.*- C.S4-38.
^Кругляков Л.З., Мизик А.Г., Никитина Е.С.. Комплексы индекса одни плоскосте!.в пространстве Р$ // Геол. сб. -Томск, 1977. - Вып.18. - С.47-58.
С.А.Лактионовз12 и А.Г.Мизина13. В пространстве Р остались,
не исследованными лишь пятимерные комплексы двумерных плоско
стей. ......
- Таким образом, исследование пяткмерных комплексов двумерных плоскостей в проективном пространстве Рт является актуальной задачей многомерной проэк?ивяо-даферекшгальной геометрии.
Целью диссертационной работы является исследование пятимерных комплексов двумерных плоскостей в пространстве PJ .построение их классификации, а таете изучение их свойств я строения.
. Научная ноаизна исследования заключается в том, что. предложен новый принцип классификации ггятимзрных комплексов двумерных плоскостей в пространстве Ps и проведена такая классификация. Для этого использовано грассманово отображение многообразия двумерных плоскостей пространства Ps на девятимерное алгебраическое многообразие пространства pV3.
В работе применяется метод подвижного репера и внешних дифференциальных форм Э.Картана. Исследования носят локальный характер, я все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми.
Практическое и теоретическое значение работы. Результаты, полученные в диссертационной работе, дополняют общую теорию семейств многомерных плоскостей. Эти результаты и развитые в работе методы могут быть использованы для изучения комплексов плоскостей произвольной размерности, а также поверхно-
^Лактионов С.А. Классификация комплексов л0 плоскостей в
проективном пространстве /^- // Геом. сб. - Томск, 1985. -
Енп.26..-.С.65-76. ^ТИизян А.Г. Комплексы коразмерности один и два двумерных
плоскостей в пятимернсм проективном пространстве: Дисс.
канд.физ.-мат. наук..- Томск, 1983. - Г45 с. ТХодж У.В.Д. и Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. - М.:
Ш, 1954. - T.I. - 4бг с;-
стей с плоскими образующими. Полученные результаты могут быть использованы при чтении лекций по проективно-дафференциальной геометрии семейств многомерных плоскостей.
Апробация, работы. Основные результаты диссертации докла- . давались и обсуждались на X /1987г./, ХГ /1988г./ и ХП /1989г./ научных конференциях молодых ученых факультета физико-математических и естественных наук Университета дружбы народов им. Л.Лумумбы, на заседании семинара по классической дифференциальной геометрик под руководством профессора Л.Б.Евтушика. в Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова/1Э89г., а.также неоднократно на заседаниях геометрического семинара под руководством профессора М.А.Акивлса в Московском институте стали и сплавов.
Публикации. По результатам диссертации опубликовано шесть статей, список которых представлен в конце реферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав*и изложена на 115 страницах машинописного текста. Библиография содержит 55 наименований литературы.
