Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Отображение барта пространства модулей мрг(-1,з) стабильных векторных расслоений ранга два на проективной плоскости Р2 12
1.1. Отображение Барта
1.2. Описание слоев отображения <рп при п = 2 и п = 3 20
ГЛАВА 2. Отображение барта IPN пространства модулей МР2(-1,п) стабильных векторных расслоений ранга 2 на Р2 24
2.1. Предварительные сведения и обозначения 24
2.2. Схема доказательства основного результата 27
2.3. Конструкция специальной поверхности S в компактификации Мрг(—1,п) пространства Мрг(—1,п) 43
ГЛАВА 3. Доказательство инъективности в общей точке отображения барта Ц>П 55
3.1. Расслоения Хюльсбергена 55
3.2. Кривые Хюльсбергена. Доказательство теоремы 2.1.3 61
Литература
- Описание слоев отображения <рп при п = 2 и п = 3
- Схема доказательства основного результата
- Конструкция специальной поверхности S в компактификации Мрг(—1,п) пространства Мрг(—1,п)
- Кривые Хюльсбергена. Доказательство теоремы 2.1.3
Введение к работе
Актуальность темы. Цели работы.
Пространства модулей, т.е. классов изоморфизма алгебраических векторных расслоений ранга 2 на проективной плоскости Р2 и их компактификации являются объектом пристального внимания алгебраических геометров в течение последних трех десятилетий, начиная со знаменитых работ В.Барта [2], [3] и последующих статей Ж.Ле Потье [11], К.Хулека [7], М.Маруямы [18], [19], Г.Эллингсруда и С.Стрёмме [5] и целого ряда других авторов вплоть до настоящего времени. Это обусловлено с одной стороны богатой геометрией самих этих многообразий, обозначаемых ниже через Мрг(сі,п) (где с\ = О или — 1 - первый класс Чжэня, а п > 2 - второй класс Чжэня расслоения), а с другой стороны многочисленными приложениями этих многообразий в других вопросах алгебраической геометрии и смежных областях. В частности, при вычислении коэффициентов полиномов Дональдсона проективной плоскости Р2, являющимися универсальными константами гладкой структуры на Р2, возникает вопрос об инъективности отображения Барта ірп многообразия Мрг(0, п) (случай с\ = 0) в пространство рп(п+3)/2 плоских кривых степени п, сопоставляющего классу [Е] изоморфизма расслоения Е кривую прямых подскока С(Е) расслоения Е, т.е. прямых, ограничение на которые расслоения Е нетривиально. Гипотезе об инъективности в общей точке отображения ipn при п > 4, возникшей в конце 80-ых гг., посвящена серия работ Ле Потье [12], [13], [14]. В 1999 г. А.С.Тихомиров в препринте [22] предложил индукционную процедуру для доказательства этой гипотезы. Окончательное доказательство гипотезы об инъективности в общей точке отображения (рп было дано в 2001 г. в статье Ле Потье и Тихомирова [17].
В 2002 г. А.С.Тихомиров сформулировал аналог предыдущей гипотезы для случая с\ = —1. В этом случае, как следует из работы К.Хулека [7], аналогом кривой прямых подскока расслоения Е является кривая С{Е) в Р2 двойных прямых подскока расслоения Е; здесь под двойной прямой I на Р2 понимается схема № с двойной структурой на /, т.е. подсхема в Р2, задаваемая пучком идеалов Х^)^ := 2^р2; соответственно, схема № называется двойной
прямой подскока расслоения Е, если h(E\№) ф 0. Как показал К.Хулек в [7], кривая С(Е) имеет степень 2п — 2, так что мы получаем отображение ipn : [Е] и- С(Е) многообразия Мра(-1,п) в пространство p(n_1)(2n+1) плоских кривых степени 2п — 2 в Р2. Это отображение, называемое по аналогии со случаем с\ = 0 отображением Барта, продолжается до морфизма (рп : Мрз(—l,n) -> p(«-1)(2"+1)j Где Мрг(—1,п) - замыкание многообразия Мрг(—1,п) по Гизекеру-Маруяме. Согласно гипотезе А.С.Тихомирова, мор-физм <рп является инъективным в общей точке. При п — 2 справедливость этого утверждения очевидна, но уже при п > 3 эта проблема оставалась открытой.
Целью настоящей диссертации является доказательство гипотезы А.С.Тихомирова. Основной результат диссертации - следующая теорема.
Теорема. Морфизм Барта ipn : Мра(-1,п) -> p("-i)(2"+i) : [Щ ^ С(Е) является инъективным в общей точке при п > 2.
Из других результатов диссертации наиболее важными являются следующие:
для п = 3 дано явное описание отображения Барта <рз в терминах линейной алгебры и перечислены все слои отображения
для п > 3 геометрически выделено плотное открытое подмножество в множестве тех точек в Mfi{—1, п), в которых отображение <рп квазиконечно;
для п > 3 описана геометрия отображения ipn и его дифференциала в общей точке границы многообразия Мрг(—1,п), состоящей из классов нелокально свободных пучков.
Методы работы и научная новизна.
При изучении используется геометрия открытого подмножества D границы компактификации Гизекера-Маруямы Мрг(—1,п) многообразия Мрг(—1,п), состоящего из классов стабильных пучков без кручения с простой особенностью в единственной точке. При исследовании морфизма (рп в окрестности дивизора D применяются методы бирациональной и пучковой геометрии, в том числе конструкция Серра и техника идеалов Фиттинга, и используются свойства специальных подмногообразий многообразия Мрг(—1,п). Основной инструмент исследования - разложение Штейна <рп = vn'4>n морфизма Барта (рп в композицию стягивания їрп и конечного морфизма ип. Для описания дифференциала dun морфизма vn в точках многообразия
кривых подскока таких расслоений явными уравнениями, позволяющие сводить проблему невырожденности dun к задачам многомерной проективной геометрии.
Все полученные в работе результаты являются новыми.
Практическая и теоретическая значимость.
Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении геометрических свойств многообразий модулей стабильных когерентных пучков на проективной плоскости и других рациональных поверхностях.
Апробация.
Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д.Ушинского, на научных конференциях "Чтения Ушинского" (Ярославль, 2004 - 2007 гг.), на научной конференции "Студенты и молодые ученые КГТУ - производству" (Кострома, 20 - 22 апреля 2005 года), на Международной научной конференции "Колмогоровские чтения -V" (Ярославль, 2007 г.).
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27], [28], [29].
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Текст диссертации изложен на 75 страницах. Список литературы содержит 29 наименований.
Дадим теперь краткий обзор содержания диссертации по главам. Нумерация приведенных ниже утверждений соответствует принятой в диссертации.
Описание слоев отображения <рп при п = 2 и п = 3
Опишем точно приведенные слои (1.28), (1.29).
1) Возьмем произвольный пучок [] Є 1( 1, 2)- Так как length{vv/) = 2 и с2{) = 3, то [vv] Є MF(-1,1) = ДОР»(1)]} (СМ. [7]), то есть vv ГІрг(1). Теперь последовательность (1.26) перепишется следующим образом: О - - fip2(l) Л kXl 0 kX2 - 0, (1.30) где ф Є Hom(fiP2(1),1 фкХ2) = Hom(fip2(l),kXl) фНот(Пр2(1),кя.2). Имеем ф\ Є Homfk , kXl) = к2х; так как ф - эпиморфизм, то ф\ ф 0, то есть ф\ Є к2 ; аналогично, ф2 Є k2J. Тем самым, ф = (ф\, ф2) Є к2 х к2 . Имеем диаграмму: 0— —-flpi(l) ( 2) » кЖ1 фкХ2—-0 (1.31) (Ai,A2) 0 — — п іі е -о, где Лі, Х2 Є к . Эта диаграмма показывает, что множество И і(жі, х2) классов изоморфизма пучков в (1.31) изоморфно (к2. х к2 )/(к х к ) = Р1 х Р1.
2) Возьмем произвольный пучок [] Є И я). Умножив точную тройку 0 - lXff2 - 0Р2 - кж - 0, тензорно на рг(1), получим: 0 -» Ir,p2 fije(l) - Пі«(1) -» Ор2(1)г -» 0. Так как Пра(1) = vv, fip2(l)r = к2, то Хх 0 (1). 3) Возьмем произвольный пучок [5] Є Из(#). Тогда последовательность (1.26) перепишется следующим образом: где О т- кольцо двойных чисел, то есть О т = k[t]/(2) = к (б), где є2 = 0. Пусть U - некоторая окрестность точки х = Supp(r) такая, что Орг(1)[/ = 20ц. В 20ц выберем базис (еі,Є2) и запишем ф как отображение ф : 20ц — От : е\ И- а\ + біб, Є2 И- «2 + &2б, или в матричном виде: ф{{е\Є2)) = (1 б) Аф, где Л = I , , 1 , аі,Ьі Є к. Так как - эпиморфизм, то (аі,аг) (0,0). Другими словами, матрица Л принадлежит множеству YT = {Ій1 ? ) Є M2(k) I (ah a2) Ф (0,0)}. Умножению ф ь- (Л + /xe)V на обратимый элемент Л+/хб Є (9Т, А ф 0, соответствует умножение А и- Х-А , где X = I . I. Матрица X принадлежит группе G, изоморфной k х к, где изоморфизм G к х к задается формулой Итак, на YT действует группа G, и диаграмма показывает, что множество классов изоморфизма пучков S в (1.32) совпадает с фактормножеством YT/G. Итак, имеем диаграмму: где f(A) = (ahаг), /(-4 mod С?) = (аг : а2) и здесь -4=( 1 ) Простое вычисление показывает, что (i) ZT := YT/G - поверхность, изоморфная тотальному пространству расслоения Ofi(2), и ее замыкание ZT в Мз изоморфно квадратичному конусу и получается добавлением в ZT точки Иг (я) = [Zx fyp2(l)]; (ii) пусть s - нулевое сечение расслоения ZT = CV(2); тогда прямая sT описывает линейчатую поверхность изоморфную Р1 х Р1, когда т пробегает ПрОеКТИВНуЮ Прямую Р(7УР2). Из (і) и (ii) непосредственно следует, что W2(x) U Ws(x) есть замыкание Wz{x) в Мз локально замкнутого подмногообразия Из (я) и оно изоморфно конусу с вершиной [Иг(я)] над поверхностью, изоморфной квадрике Р1 х Р1.
Итак, с учетом (1.27), (1.28) и (1.29), получаем следующую теорему: Теорема 1.2.2. 1) Редуцированный слой морфизма р$ М$ - Р14 над точкой С = 2х\ + 2x2, где (xhX2) Є 52Р2 \ Рд, совпадает с W\(x\,X2) и изоморфен Р1 хР1.
2) Редуцированный слой морфизма /?з : Мз — Р14 над точкой С — Ах, где х Є Р2, совпадает с И я) U W${x) и изоморфен конусу с вершиной И (#) = [Тх 0 fipa(l)] над поверхностью, изоморфной квадрике Р1 х Р1.
Замечание 1.2.3. Эта теорема вместе с теоремами 1.1.1, 1.1.2 и равенством (1.27) дает полное описание всех слоев морфизма у?з : М$ - Р14. Глава 2
Предварительные сведения и обозначения
В данной главе мы рассматриваем отображение Барта рп для многообразия Мп := Мрг(—1, п) модулей расслоений ранга 2 на проективной плоскости Р2 с классами Чжэня с\ = -1, сі = п 2. Как показал К.Хулек [7], Мп - гладкое неприводимое многообразие размерности An — 4, для п 2. Морфизм Барта определяется как отображение (рп : Мп - \Ор(2п — 2) : [\ и- С( ), где С(Е) := {І Є Р2 /г(1(2)) 0} - кривая степени 2п - 2 в двойственной плоскости Р2 (называемая кривой двойных прямых подскока расслоения ), где под № понимается прямая / с двойной структурой как подсхема в Р2, то есть схема с носителем / и пучком идеалов Х := 2 р2 — 0 { 2). В данной главе мы рассматриваем продолжение морфизма рп на компактифи-кацию Мп := Мр(—1,п) Гизекера-Маруямы многообразия Мп для п 2 (такое продолжение существует - см. [19]). В силу нечетности первого класса Чжэня, пространство полустабильных пучков ранга 2 на Р2 из Мп совпадает с подпространством стабильных пучков в Мп.
Определим в Мп следующие подмножества: дМп := Мп \ Мп — {[8] Є Мп В - не локально свободный пучок, т.е. length(""/S) 1} - дивизор в Мп классов не локально свободных пучков; Мп := {[] Є Мп length{"/) 1} - плотное открытое подмножество в Мп и D := Мп П дМп = {[] Є дМп length{"/) = 1}. Как известно [16], coding дМп = 1, dim Mn = 4п - 5. Поэтому, так как дМп \ D = Мп ч Мп и d\m(dMn \ D) dim Д то codim]gn(Mn \ Мп) = coding (cWn \ D) codim D = 1, то есть coding(Мп \ Мп) 2 и codimdjjn(dMn \ D) 1 для п 3. Докажем следующее
Замечание 2.1.1. Общая точка [] Є дМп удовлетворяет условию: f = кх для некоторой точки х Є Р2. Другими словами, D - открытое плотное подмножество в дМп и codim t„ D — codim дМп = 1.
Доказательство. Пусть " / = Ф к , где я Є Р2 и сг() = п, следовательно, С2( ") = п — т. Заметим, что 1) если "" Mn_m, тогда dimMn_m = 4(п — га) — 4; 2) выбор точек х Х2, ...,хт зависит от 2га параметров, так как Х{ Є Р2. Имеем точную тройку: 0 - -4 "" — ф .1кІІ 3) б = (бі, Є2,..., бт), тогда число параметров на выбор б равно га, это видно из следующей диаграммы:
Схема доказательства основного результата
Теорема 2.2.5. Морфизм (рп\М : М — С\п_ - неразветвленный квазиконечный морфизм, где С\п_ч = {С 6 Счп-1 \ С - приведена и имеет ( ) бифлекнодов} и М = /?„1( 2п-2) Доказательство. Покажем, что морфизм ipn : Мп — Nn : [] (- С() квазиконечный в общей точке, то есть нужно проверить, что размерность слоя над общей точкой С Є С2П-2 равна нулю. Пусть С - приведенная кривая с обыкновенными двойными точками ХІ,...,Х3ИС—ЇС- нормализация кривой С. Пусть PicdC - группа Пикара обратимых пучков степени с? на С и PicdC - группа Пикара обратимых пучков степени d на С. Пусть С - неприводима, тогда Ріс С - J (С) : С н- 0 CQ1 - абелево многообразие, где Со -фиксированный пучок степени . Возьмем точку М = С2 Є PicdC. Выясним, сколько имеется различных удовлетворяющих равенству М = С2. Имеем (С CQ1)2 — М 0 CQ2. В этом равенстве справа и слева стоят пучки нулевой степени. Следовательно, существуют 22д пучков степени ноль: Ah...,A229 таких, что Af2 = М 0 CQ2, где д = dimJ(C) = д(С). Пучки С\ = А\ 0 о 22» = М я CQ обладают тем свойством, что
Далее, поскольку пучок в обратим, то Ext (#, Ор(—4)) = в g Ext \Ос,Of2{-4)) = в {Nc/f2 Ср2(-4)) = 6 (Ос{2п - 2) g 0 (-4)) = $ 8 (9с(2п — 6) (заметим, что кривая С имеем степень 2п — 2, следовательно, Nc/p = Ос(2п - 2) := Ор(2п - 2)\С). Тем самым, degOc{2n - 6) = (2п - 2)(2п - 6) =: d и 0 = Ext1 (в, 0 (-4)) = 0 8 С?с7(2п - 6) = -10(7(2п-6),тогда 02 = б с(2п-6)=:М. (2.36) А значит, различных пучков 0 с условием (2.36) имеется согласно (2.34) л2а(С) + (") a2f(2" 3)(2" 4) n{n l)) І " "-1 07n2-27n+24 ; v2/ = 2 2 2 +2=2 2 t при условии, что С - непри водима.
Далее, пусть У := {(С,) Є РісЦт/С ) 2 = Є с(2п - 6)}, где \ = (п - 1)(2п - 6) и Г = {(ж, С) Є Р2 х С ге Є С}. Поэтому в силу вышесказанного морфизм Ф : 3 — С : (С, С) » С - неразветвленный морфизм степени 22ff + 2) = 27п 227п+24.
Осталось показать, что для общего [Е] Мп кривая С(Е) - неприводима. Для этого, достаточно доказать неприводимость С(Е) для случая, когда Е -общее расслоение Хюльсбергена, то есть такое расслоение Е, что h(E(l)) ф 0. Согласно К.Хулеку [7, Prop. 10.5 ] (см. также теорему 3.1.4 в главе 3 ниже), для общего расслоения Хюльсбергена Е уравнение кривой С(Е) имеет вид: С(Е) = {Li ckFl = 0}, где Fk := П /і, а 0 ф U Є НОр(1) - линейные формы
Из (2.39) следует, что Г не имеет компонент размерности меньшей п, поскольку все слои проекции q - кривые (то есть равноразмер-ные многообразия размерности 1). Кроме того, Г - неприводимо, так как в силу (2.40) возможные компоненты Г, отличные от Го = р_1(Р2 \ {все базисные точки линейной системы (2.37)}) (замыкание берется в Г) должны иметь размерность не более п — 1.
Пусть и : Р2 - Р2 - раздутие Р2 в приведенной схеме Bred, Г - собственный прообраз Г при проекции ргч : Г хР2 Р2 - Г и Р2 — Г -- Г - проекции. Используя (2.40) и локальные уравнения (2.38) базисной подсхемы В, получаем, что для любой точки х Є Р2 слой р 1{х) изоморфен Рп 2. Тем самым, ввиду гладкости Р2 многообразие Г гладко и неприводимо. Следовательно, общий слой проекции q = q о р : Г — Pn_1 - гладкий. Предположим, что этот общий слой q l(y), где у Є Р"-1, распадается. Тогда ввиду гладкости и неприводимости Г он распадается в несвязное объединение неприводимых компонент, образы которые при проекции а имеют одинаковую степень, ска к жем, равную d, и пусть число этих компонент Q равно к: С = U С{. По теореме Безу имеем 2п — 2 = deg С = dk. Выясним число точек пересечения всех этих компонент СІ. В силу общности выбора кривой q l(y) все эти точки пересечения трансверсальны и лежат в В. Поэтому, так как \В\ = Q), то имеем (2) = Ф 2- Подставляя сюда соотношение dk = 2п — 2, перепишем это равенство в виде к = 1 + —Ц-. Тем самым, 1 к 2, что невозможно, поскольку к - целое. Следовательно, общий слой q l{y) проекции q : Г - Р"-1 неприводим, а это и есть кривая С() согласно (2.39).
Итак, доказали, что морфизм ipn\M : М - С\п_г - квазиконечный мор-физм. При этом, поскольку по конструкции дифференциал морфизма рп\М невырожден, то морфизм (рп\М - неразветвленный. Теорема 2.2.5 доказана.
Конструкция специальной поверхности S в компактификации Мрг(—1,п) пространства Мрг(—1,п)
В этом параграфе мы изучаем расслоения Хюльсбергена. Такие расслоения строятся следующим образом (см. [7]).
Выбираем п точек х\, Х2,...,хп Є Р2 общего положения, а именно такие, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Тогда имеем точно Q) прямых L{j, которые содержат по две из этих точек. Пусть Ху обозначим идеал пучка У := {xi,...,xn}, соответственно Хх. - это идеал Х{. Получаем полный п-сторонник в Р2 со сторонами Xi,...,Xn и вершинами kj. Причем, каждой вершине /,-у соответствуют две прямые Xi и Xj. На каждой прямой Xi ЛеЖИТ (п — 1) ТОЧеК lij.
Выбираем линейные формы 0 ф /г- Є HQOp(l), которые обращаются в ноль на Х{ и определим Fk:=l[fi,F:=Y[fi. (3.1) іфк і Имеет место следующее утверждение. Лемма 3.1.1. Формы F2, ...,F2 - линейно независимы. Доказательство. Предположим 5 =1 ckFl — 0- Ограничим это на пря мую ХІ, получим CiFf = 0, следовательно, с; = 0 для любого г. Таким образом, лемма доказана.
Следуя [7], рассмотрим расслоения S с сечением s Є Н (5(1)), обращающимся в нуль в точках х\,..., хп. Такие расслоения называются расслоениями Хюльсбергена. Всякое расслоение Хюльсбергена задается расширением
С :(1) - XY(1) - О, Y = {xh.., хп}. (3.2) Спектральная последовательность локальных и глобальных Ext дает точную последовательность: 0 - Hl(%om{XY(l)1Of2)) -» Ext1 (1Y (1),0 ) - H(Sxt\lY(l),0F2)) - H2(Hom(IY(l),Of2)). Так как ftom(Xy (1),( = С?рг(—1), то группы Я1 и Я2 этого пучка равны нулю, поэтому Ext\lY{l),Of2) = H\xt\lY(l),Or)) = H(xt 2(0Y{l),Or)) = Я0( 2(Є?=ікх.,(9р2)) = Ф Я0 2 ., )) = ?=1kXi. Таким образом, расширения (3.2) классифицируются группой Extl0 2(2у(1),(9р2) = фЩк . Тем самым, может быть записано в виде: = (ci,..., сп), сг- Є кх., г = 1,..., п. (3.3)
Утверждение 3.1.2. ([7, (10.3)]) Пучок , определяемый как расширение (3.2) элементом Є Extl0 2(Jy(l),(9p2) вида (3.3), = (сі,...,сп), является расслоением тогда и только тогда, когда все С{ ф 0. Это расслоение стабильно и имеет классы Чжэня с\() = — 1, С2() = п. Докажем теперь следующую лемму. Лемма 3.1.3. ([7, lemma 10.4]) Пусть - расслоение Хюльсбергена. Тогда прямые подскока суть в точности прямые Ьц.
Доказательство. Если L не содержит ни одну точку ж,-, тогда ограничение последовательности (3.2) на L дает 0 - 0L - {1)\L - Of2(l)\L - 0. Эта последовательность расщепляется, то есть \L = OL{—1) Ф (. ЕСЛИ L содержит одну точку Х{, тогда {1)\Ь имеет сечение с одним нулем. Кроме того, видим, что \L = (9 (-1) ф Оь- Аналогичные рассуждения для Ьц дают S\Lij = 0LiJ(-2) @0Lij(l).
Следующий факт определяет кривую двойных прямых подскока С() для расслоения Хюльсбергена . Пусть W - n-мерное подпространство в Я(9р2(2п — 2), натянутое на формы F\ из (3.1).
Теорема 3.1.4. [7, Prop. 10.5] Для набора точек Y = {xi,...,xn} общего положения в Р2 существует изоморфизм векторных пространств а : Extl0 2(Ху(1),0рг) —ь W со следующими свойствами: і) для общего Є Extl0 2(Ху(1),(9р2) пучок , определяемый элементом как расширение : 0 - Орг — (1) - 2у(1) — 0, является расслоением Хюльсбергена с ненулевым сечением s Є Я( (1)), и кривая подскока С(), называемая кривой Хюльсбергена, задается уравнением {сг() = 0}; И) при представлении элемента в стандартном виде = (сі,...,сп), СІ Є кХі, і = 1,..., п, пучок является расслоением тогда и только тогда, когда ц О для всех і. При этом сг() = YA:=I k k Доказательство. Рассмотрим проекции: Рг р2хр2 5F(2) рг2 р2 где F 2) - флаговое многообразие F, снабженное двойной структурой как дивизор Р2 х Р2. Имеем расширение: : 0 - 0F2 4 (1) - Ху(1) -» 0. (3.4)
Заметим, что пучок Цг р\Ху есть идеал пучка функций, которые обращаются в ноль на прямых Х{ порядка по крайней мере 2, то есть q Ly = Хр2у цргрг = Ор{—2п). Следовательно, есть изоморфизм: h : Op — 52 2 (0,2n), фиксируем данный изоморфизм. Поднимаем последовательность (3.4) на флаги: й(0 : 0 -+ От - rf(l) - Й1у(1) - 0, умножим ее тензорно на Ор(-\,2п) 0 - OF(2)(-1, 2п) - р 26(0,2п) - rfXy(0,2п) -» 0. (3.5)
Элемент Є Ш р2(1у(1),ЭД определяется через канонический гомоморфизм 2?artJj2(Zy(l),C?pj) -4 iurtp (рГу (1),()) - Zfo (р\1у{$),2n),C?F(2)(—l,2n)) расширения (3.5). Для последовательности (3.5) выпишем когомологии: 0 - Н0(2)(-1,2п) - Я(й(0,2п)) -». Я(р Хг(0,2п)) - чЯ йІ-ип)-}.., (3.6) покажем, что h0F{2){-l,2n) = 0 и /i(p (0,2n)) = 0. Имеем точную последовательность: 0 —- Орхр(-2, -2) -—»- Of2Xp —- Of {2) — - 0, тензорно умножим ее на Of2Xp{—1,2п), получим: О— 0F2Xf2 (-3,2/1-2)—-Є?Р2хр2(-1,2п)—- 9F(2)(-l,2n)—-0. Запишем последовательность когомологий: 0 - Яо0Р2Хр2(-3,2гг-2) - Я0]Р2Хрз(-1,2п) - ЯЄ р(2)(-1,2п) - (-3,2п-2)- ..., в частности, ЯЄ Р2хр2(-1,2п) = ЯОр2(-1) Яо0р2(2п), но /г0р2(-1) = 0, а значит h0V2X$2(—l,2n) = 0. Аналогично, Я х -3,2п - 2) = Я1(0р2(-3) Е Of2(2n - 2)) = НЮгі-З) Яб р2(2п - 2) Є ЯОр2(-3) О Я10р2(2п - 2), но h10f2(-3) = О и /i0P2(-3) = 0, а следовательно, h10 (-3,2n-2) = 0. Таким образом, /i(9F(2)(—l,2n) = 0.
Знаем, что h(p2\№) = 0 для общей прямой I на Р2. Следовательно, так как № является слоем проекции q2 и эти слои заметают все @\ то если бы существовало сечение О ф s Є Я(р2 (0,2п)), то для общей точки {/} Є Р2 s\№ Ф О, но это противоречит h(p2\№) = 0. Тем самым, /і(рз (0,2n)) = 0.
Итак, из последовательности (3.6) имеем, что сг() определяется через точную когомологическую последовательность следующим образом: О —Я(ЙІу(0,2п)) — HlOim(-\,2n) "f&h \ НЮр = 0(2) -Я 9р2(2п - 2), в самом деле, вырождение спектральной последовательности «Пере дает: 9F(2)(-l,2n) = W )(-l,2n)) = H0(q2,(Om(-l,2nY 0 u(2)/p)J = H\q2 (Om(1,-2я) 67 .,(-1,2)))- = Я((72 ОР(2)(0,2 - 2п))Г= (,0, (0,2n - 2)) = Я0р2(2гг - 2). Мы получили, что т() зависит линейно от . К последовательности (3.5) применим функтор Rlq2
Кривые Хюльсбергена. Доказательство теоремы 2.1.3
Здесь по построению (сі : ... : сп-\) можно считать однородными координатами в Р""2 ). Тем самым, кривые Хюльсбергена /Huls{g) задаваемые уравнениями (3.17) для д Є Fn 2(z) представляют собой линейную систему размерности п — 2, за которой сохраним обозначение P"""2(z). Покажем, что для д Є Рп-2(,г) П G кривая %uls{g) приведена, то есть не имеет кратных компонент. Для этого достаточно проверить, что ее пересечение с общей прямой в не имеет кратных точек, то есть неособо. Пусть т - общая прямая в Р2. Рассмотрим на т линейную систему п-1 (52 CiF? = 0} Г) m, (сі : ...: сп_і) Є Pn 2(z). (3.18) г =1 Тогда Д := {Ff = 0} П m = Ьг U ... U U U... U Ln-U (3.19) где Lj := Xj П m. Объединение (3.19) дизъюнктно, так как все прямые х\,...,хп-\ различны, am- общая прямая в Р2. Поэтому П Д = 0. Но П г/Д - это базисное множество линейной системы (3.18). Следовательно, по теореме Бертини общий дивизор линейной системы (3.18) прост, то есть для общего д Є Pn 2(z) П G пересечение кривой Huls{g) с общей прямой га неособо. Таким образом, кривая Huls(g) приведена.
Поскольку Huls(g) приведена, то %uls{g) (Р ") для общего д Є G. Тем самым, (р х 1)(G х (Р2 \ /)) С М _х х Р2, где р : G - Mn_i : д н Щд)] - морфизм, определенный в утверждении 2.3.1. Лемма 3.2.1 доказана.
Теперь, фиксируя для (д, хо) eG x (Р2 \ /) уравнение {Ф2п 4 = 0} кривой Huls(g), Ф2п_4 Є \Ор[2п—4), и выбирая подходящий скалярный множитель в форме Ф2п 2 из (3.10), ввиду (3.14) мы можем переписать уравнение (3.12) кривой C(z, t) в виде: c(z,i) = o -2 + / f-4 = o}, (z,t)es; xc. (3.20)
Это показывает, что tpn(hz) = {C(z,t) t Є А1} (напомним, что hz = {(z,t) I t А1}). Тогда из вышеприведенного уравнения кривой C(z,t) вытекает следующее описание образа R9iXo поверхности S9JXO при отображении Барта (рп, а именно есть открытая часть квадратичного конуса в \Ор(2п — 2), заметаемого прямыми подскока w точек в конике 0{д). Другими словами, эти прямые как образы рп прямых hz, z Є Р , заметают S. Таким образом, в силу (2.73) и (2.74) получаем следующую лемму.
Лемма 3.2.2. Для общей точки (д,хо) Є GV(l,Sn_1/) х (Р2 \ /) і) поверхность RgM — fn{Sg,xo) является открытым подмножеством квадратичного конуса в проективном пространстве Р ", и морфием ipn : Sg Xo -) R9tXo есть стягивание (-2)-кривой Р = ф ІУ) — 1 С Sg,Xo, где У = ([о{д)Ъх0); и) для w = ип{у) касательное пространство TwR9jXo описывается следующим образом: у TwRg,X0 = Span( Ufa ipn\s)(Vg)) k3, где Vz = Tzhz, Є Pj z&l Заметим, что утверждение ii) леммы 3.2.2 может быть переформулировано следующим образом:1 V TwRg Xo = Span(w, в(д)) = Span(i ) Р3. (3.21) В самом деле, поскольку 6(g) - коника, то Span(iy, 9(д)) - проективное под пространство размерности 3 в Р " = \Ор2(2п — 2) для любого линейного ряда geGr{l,Sn-4). Замечание 3.2.3. Рассмотрим морфизм: ц: Р »-1 х Р2 — Nn : (С,а;)иСих(2), : и пусть Вп := mz(/i), соответственно В := ((Р- "-1) х Р2). Заметим, что морфизм \і: (Р »-1) х Р2 -Л В п - изоморфизм, так как кривая С Є (Р »-1) приведена. Тем самым, fi : Р »-1 х Р2 - Вп - бирациональный морфизм. Кроме того, из определения fx вытекает, что для любого w = /і(С, х) -В имеем: адр"-1 х {х}) П Twfi({C} х Р2) = {0}, (3.22) а следовательно, TwB n = Twu(fN х {х}) 0 Twfx{{C} х Р2) к2п2 5п+\ и проективное пространство имеет следующее описание: V(C,x) := ТТ х)В п = SpanMP"- х {х}),ц({С} х Р2)), {C,x)e{FNn 1) xF2. (3.23) 13десь и всюду ниже для произвольной подсхемы X в проективном пространстве Р п = 0рз(2п — 2)1 и точки х Є X через V ТХХ обозначим касательное проективное пространство кА в точке і, т.е. подпространство в Vм", проходящее через х и однозначно определенное условием TX(V ТХХ) = ТХХ, где ТХХ -это касательное по Зарискому пространство к X в точке х. Далее, пусть Un := {(С, х) Є Р -1 х Р2 Т МР""-1 х {х}) п ТКсМ{} р2) = Ш (3.24) Поскольку в силу (3.22) имеем включение (Р -1) х Р2 С Кп, то отсюда следует, что Un - плотное открытое подмножество в Р »-1 х Р2. Открытость следует из открытости условия Т/и(С)Х) (РЛГ"-1 х {х}) П Т с,х) ({С} х Р2) = {0}. И доказано, что пересекающиеся пространства имеют фиксированные размерности: в самом деле, dimT/i( )a.) (PJVn-1 х {х}) = 2п2 - 5п + 4, dimTM(7,,/i({C} х Р2) = 2.
Кроме того, ясно, что для любой пары (С, х) Є Р »-1 х Р2 имеем im{dii\(C,x)): 2 ((7,,)0 -1 2) " (C,,) = = Spanp MP -1 х {яг}),T x)li({C} х Р2)). (3.25) Тогда можно продолжить определение V(C, х) из (3.23) с (Р »- ) х Р2 на Ып: V(C, х) := Span(/z(PJV"-1 х {х}),ц({С} х Р2)), где (С, х) Є Ып. Таким образом, im(d/i(C,rc)) = Тм{с,х)Г(С,х) k2"2"5" 4, ker(d/i(C,a:)) = О, (С,я) Є Z/„. (3.26) Заметим, что поскольку Ып открыто в Р "-1 х Р2, то множество Vn := {{д,х0) Є Gr ST-H) х (Р2 ч Q (Ш1з{д),х0) Z4} - это открытое подмножество в Gr(l, 5П_1/) х (Р2 \ I). Таким образом, верна следующая теорема.
Теорема 3.2.4. Множество Vn есть открытое плотное подмножество в Gr(l,5n_1/) х (Р2 \ /), и для почти любой замкнутой точки (д,хо) Є Vn пересечение подпространств Span(w,Q(g)) и V(C,XQ) в пространстве FNn, где С = Huls(g) uw = ц(С,х0), есть точка w, т.е. имеет место равенство: Span(w, 0(0)) П V{C, х0) = {w}. (3.27)
Доказательство. Так как Gr(l, 5n_1Z) х (Р2\/) - неприводимое многообразие, то всякое непустое открытое его подмножество будет плотным. Поскольку Vn - открытое подмножество в Сгг(1, Sn 4) х (Р2\/), то для доказательства плотности Vn необходимо найти хотя бы одну точку (g, XQ) Є Vn. Для этого в линейном ряду д фиксируем точки х±, ...,хп-і; по конструкции Серра это соответствует тому, что С4 = ... = Сп-1 = 0 в уравнении (3.13).
