Введение к работе
Актуальность темы.
Теория бикомпактификаций топологических пространств (з пространств) начала интенсивно развиваться с момента публикации в 1930 г статьи Тихонова, в которой он определил топологические произведения, называемые теперь тихоновскими, доказал их бикомпактность в случае бикомпактности сомножителей; выделил класс вполне регулярных пространств (теперь они также называются тихоновскими) и доказал, что пространство хаусдорфово (=отделимо) бикомпактифицируемо тогда и только тогда когда оно тихоновское. До 1930 г было установлено только одно достаточно общее утверждение об отделимой бикомпактифицируемости пространств - теорема Александрова об одноточечной бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства (1924 г.) В настоящее время теория бикомпактификаций пространств (кратко, ТБП) - одна из наиболее изученных областей общей топологии
К числу классических результатов ТБП относятся две теоремы Магилла (К D Magill) Первая из них (теорема Ml) получена в 1966 г Она описывает множество наростов всех бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства как множество всех непрерывных образов стоун-чеховского нароста этого пространства Вторая (теорема М2) получена в 1968 г., утверждает, что стоун-чеховские наросты двух локально бикомпактных пространств гомеоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны решетки всех бикомпактификаций этих пространств Различные обобщения теорем Магилла
1) 2)
получены в работах Тривикрамана (1972 г.) , Рейборна (1973 г ) , Фолкнера
3) 4)
и Виперы (1995 г) , Блудовой, Нордо и Пасынкова (2001 г.) и др -
-
Т Thnvikraman, On the lattices ofcompactificauons J London Math Soc, 4(1972), 711-717
-
M С Rayburn, On Hausdorffcompachficatums Pasif J Math 44, no 2(1973), 707-714
-
GD Faulkner, M С Vipera, A generalization of Magill's Teoremfornon- locally spaces Comment Math Umv Carohnae 36, №1 (1995), 127-136
-
I Bludova, G Nordo, В Pasynkov, On the homeomorphism of spaces and Magill-type theorems Q&A in General Topology, 19(2001), 95-105
В последние 20 лет многие общетопологические понятия и утверждения были распространены со случая пространств на случай непрерывных отображений (^отображений) (При этом пространство естественно отождествлять с его простейшим отображением в одноточечное пространство ) В частности, отображение / X-+Y называется, а) хаусдорфовым, если у любых двух точек из Л", содержащихся в одном слое отображения /, в пространстве X существуют дизъюнктные окрестности; б) локально бикомпактным, если для любой точки ж из X существуют окрестность и точки х в X и окрестность V точки /(ж) в Y такие, что Ucf~lV и отображение / [f/L-ip, -*V совершенно.
В послойной общей топологии роль бикомпактных отображений играют совершенные отображения, называемые поэтому бикомпактными, а под биком-пактификацией отображения / X-+Y понимается его совершенное продолжение ef eX->Y на некоторое расширение еХ пространства X В настоящее время теория бикомпактификаций отображений (кратко, ТБО) уже довольно хорошо разработана Одна из главных задач ТБО - распространить на отображения основные понятия и утверждения ТБП
В частности, возникает вопрос о распространении на случай локально бикомпактных отображений теорем Ml и М2 Частичное распространение теоремы М2 на локально бикомпактные отображения получено Нордо и Пасынковым в 2004 году (для таких бикомпактификаций, все слои наростов которых неодноточечны).
Отметим ещё, что в связи с упомянутым результатом Тихонова (о том, что отделимая бикомпактифицируемость пространства равносильна его тихоновос-ти) и в связи с рассмотрением Нориным близостей на отображениях более 20 лет назад возник вопрос о внутренней (или достаточно простой) характериза -ции отделимо бикомпактифицируемых отображений.
5) G Nordo.B "Pasyitko\, Magill-type theorems for mappings International journal of mathematics and mathematical sciences, 26(2004), 1379-1391
Цель работы. Получить внутреннюю характеризацию отделимо биком-пактифицирумых отображений, распространить на случай отображений теоремы Ml, М2 и имеющиеся обобщения этих теорем.
Методы исследования В диссертации применяются классические теоретико-множественные методы общей топологии.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми Основные результаты работы следующие
-
Доказано, что локально бикомпактное хаусдорфово отображение хаусдорфо-во (=отделимо) бикомпактифицируемо
-
Получено новое (отличное от даваемого теоремой Ml) описание наростов всех хаусдорфовых бикомпактификаций локально бикомпактных хаусдорфовых пространств Это описание, а также теорема Ml распространены на случай локально бикомпактных хаусдорфовых отображений.
-
Теорема Ml и последующие, более общие, теоремы Рейборна и Блудовой-Нордо-Пасынкова обобщены посредством перехода от изоморфизма полурешеток К(еХ) и K(eY) всех хаусдорфовых бикомпактификаций тихоновских пространств X и Y, предшествующим бикомпактификациям еХ и еК, к изоморфизму частично упорядоченного множества К(еХ)\{еХ] и конфинальной части множества К(eY)\{eY}
4. На наросты послойно плотных бикомпактификаций непрерывных отображе
ний тихоновских пространств в бикомпакты и локально бикомпактных отоб
ражений в бикомпакты распространены теоремы Магилла, Рейборна и Блу-
довой-Нордо-Пасынкова, упоминаемые в пЗ, а также обобщена доказанная
часть теоремы Нордо-Пасынкова, касающаяся таких отображений
5. Получен критерий гомеоморфизма двух непрерывных отображений
fj Xj-^Y k-пространств Х}, ,/ = 1,2, основанный на рассмотрении изомор
физмов некоторых частично упорядоченных множеств совершенных отобра
жений, во-первых, пространств Х}, j = 1,2, и, во-вторых, пар слоев (/j)~ у и
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер
Они могут быть полезны в дальнейших исследованиях по послойной общей топологии, а также при чтении специальных курсов лекций в вузах, в частности, в МПГУ, МГУ, МГЛУ и др.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по послойной общей топологии под руководством профессора Б А Пасынкова в МГУ, на научном семинаре им. П. С. Александрова кафедры общей топологии и геометрии механико-магематического факультета МГУ, на III Всероссийской научной конференции «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России» (Киров, 2004)
Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8]. См. в конце автореферата,
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух частей и списка литературы, включающего 21 наименование Полный объём диссертации -91 страница машинописної о текста.
