Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Многообразия модулей полустабильных пучков на поверхностях 13
1. Известные результаты о поведении многообразий модулей при раздутиях 13
2. Многообразия модулей полустабильных пучков на F2 16
1.2.1. Общие сведения 16
1.2.2. Многообразие Мра(0,2) 20
3. Изменение поляризации и перестройки многообразий модулей . 22
ГЛАВА 2. Бирациональный изоморфизм многообразий М^(0,2) и MFl(0,2) 28
1. Предварительные сведения и обозначения 28
2. Описание морфизма р : G -> М 29
3. Многообразие G. Гладкость G 31
4. Построение универсального семейства на G X S 34
5. Точки многообразия М 53
6. Свойство универсальности многообразия М 55
ГЛАВА 3. Бирациональная перестройка многообразия Мгг(0,3) 59
1. Предварительные сведения и обозначения 59
2. Перестройка Маруямы универсального семейства на W х S 62
3. Стабильность пучков, входящих в семейство JF 68
4. Многообразие MQ 71
Литература
- Многообразия модулей полустабильных пучков на F2
- Многообразие Мра(0,2)
- Многообразие G. Гладкость G
- Перестройка Маруямы универсального семейства на W х S
Введение к работе
Актуальность темы. Цели работы. Описание геометрических свойств многообразий модулей стабильных и полустабильных когерентных пучков на алгебраических многообразиях является одним из интенсивно развиваемых направлений современной алгебраической геометрии. Актуальность этого направления обусловлена как задачами внутри самой алгебраической геометрии, так и многочисленными приложениями в дифференциальной геометрии и топологии, глобальном анализе и теоретической физике. Так, многообразия модулей векторных расслоений Е ранга 2 с нулевым первым классом Чжэня на гладкой комплексной проективной поверхности 5, стабильных относительно поляризации Я, индуцируемой проективным вложением поверхности S, в силу соответствия Кобаяши-Хитчина интерпретируются в калибровочной теории как пространства инстантонов, т.е. модулей 577(2)-связностей на Е, антиавтодуальных относительно ходжевой метрики дн на поверхности 5, рассматриваемой как гладкое 4-мсрное многообразие. Это соответствие имеет нетривиальное продолжение на компактификации алгебро-геометрических многообразий модулей по Гизекеру-Маруяме и соответствующие компактификации по Уленбек пространств инстантонов. Важную роль в этой теории играют бирациональные перестройки многообразий модулей пучков (соответственно, перестройки пространств инстантонов) при бираци-ональных перестройках поверхностей, в частности, при раздутии поверхности в точке 5 -> S. Первый результат в этом направлении для пучков ранга 1 с нулевым первым классом Чжэня и вторым классом Чжэня oi = 2 (первый нетривиальный случай), когда соответствующее пространство модулей есть схема Гильберта Hilb 5, получен в статье А.С.Тихомирова [14], в кото- рой дано точное описание бирациональной перестройки Hilb 5 —+ Hilb S как композиции двух раздутий и одного стягивания с гладкими центрами (см. теорему 1.1.1 ниже). Случай пучков ранга 2 в алгебраической геометрии до настоящего времени оставался открытым, а параллельные результаты в калибровочной теории были впервые получены в диссертации А.Кинга [8] для ранга 3 и выше для инстантонов со вторым классом Чжэня oi = 1. А.Кияг рассматривает случай некомпактной поверхности, а именно, S = С2 и, соответственно, S есть плоскость С2 с раздутой точкой, и доказывает гипотезу П.Кронхеймера о том, что при г > 2 многообразие модулей SU(r)-инстантонов с зарядом п = 1 иа раздутой плоскости С2, пополненное по К.Уленбек (теоретико-калибровочной эквивалент многообразия М(0,1) для пучков ранга г > 2 при п ~ 1), получается из многообразия модулей инстантонов на С2 раздутием вдоль подмногообразия идеальных инстантонов с особенностью в центре раздутия (теорема 1.1.2).
А.С.Тихомиров в 2002 г. сформулировал гипотезу о том, что в случае, когда S = Р2, для малых значений п второго класса Чжэня и надлежащим образом выбранной поляризации И на плоскости с раздутой точкой S = Fi многообразие М^(0, п) модулей Я-полустабильных когерентных пучков ранга 2 с классами Чжэня с\ = 0, с% = п на поверхности \ есть многообразие Mf2(0,n) модулей полустабильных когерентных пучков ранга 2 с классами Чжэня с\ = 0, оі ~ п на проективной плоскости Р2, раздутое вдоль подмногообразия пучков, не локально свободных в центре раздутия Fi -> Р2 -точке xq. Целью настоящей диссертации является доказательство гипотезы А.С.Тихомирова в случае с% = 2, а также в случае cГ2(0,3), полученного удалением из Мрз(0,3) точек, соответствующих классам изоморфизма пучков Е, имеющих особенность длины lXo(Ew /Е) > 2 в точке х$ или имеющих особенность В Xq, но с
Методы работы и научная новизна. При исследовании применяется конструкция многообразий модулей полустабильных (по Гизекеру) пучков Е ранга 2 на проективной плоскости, в которой многообразие Мра{сі, сг) реали- зуется как хороший фактор в смысле геометрической теории инвариантов по действию группы SL(n)} п = с^, на подходящем открытом подмножестве G произведения грассмаыовых многообразий C?r(n+ci, Зп) X Gr(n — с\ — 2, Зп), при этом пучок Е задается как когомологический пучок комплекса Кронек-кера (см. [9], [10]). В работе также используется техника универсальных семейств над подходящей базой, классы S-эквивалентности которых представлены точками многообразия модулей. Существование таких семейств, а также наличие универсального комплекса Кронеккера, когомологическим пучком которого и является универсальное семейство пучков над G х Р2, позволяет провести необходимые вычисления и построить универсальное семейство пучков на поверхности Хирцебруха Fi с требуемыми классами Чжэня. Важное место в исследовании занимает техника перестроек Маруямы, которая используется для построения универсального семейства на Fi.
Все полученные в работе результаты являются новыми.
Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении геометрических свойств многообразий модулей полустабильных когерентных пучков без кручения ранга 2 на алгебраических поверхностях.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им, К.Д.Ушинского, на научных конференциях "Чтения Ушинского"(Ярославль, 2004 - 2006 гг.), на Международной научной конференции "Колмогоровские чтения - IV'r (Ярославль. 2006 г.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в статьях [19], [20].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. В первой главе имеется 3 параграфа, во второй - 6 параграфов и в третьей - 4 параграфа. Список литературы содержит 20 наименований. Общий объем диссертации - 76 страниц.
Дадим теперь краткий обзор содержания диссертации по главам. Нумера- ция приведенных ниже утверждений соответствует принятой в диссертации.
Многообразия модулей полустабильных пучков на F2
Определение 1.2.1. Пусть К - конечный комплекс когерентных CV-пучков. Ранг г — гк(К)у степень с\ = ci(/C), эйлерову характеристику х = х{&) и многочлен Гильберта Р& комплекса К определим по формулам: г = 5 l)Vfe(X?), = (-1)47 ), і і X = (-1) ). PK{m) = (-1) (т). і і Комплексом Кронеккера называется комплекс V вида О - К 0&(-1) Н 0F(1) А Ь% Of -Ч 0, (1.1) где К, Н и L - векторные пространства конечной размерности. Комплекс Кронеккера V называется стабильным (соответственно, полу стабильным), если для любого подкомплекса Кронеккера 0 $ ТУ S V выполняется неравенство гРф{т) г р (т) (соответственно, rPjy{m) r Pj)(m)), где Яр и РТУ - многочлены Гильберта комплексов V и V, г и г - ранги комплексов V и ТУ.
Комплекс Кронеккера ранга г и степени С] называется нормализованным, если -г а 0. Размерности векторных пространств К, Н и L выражаются через г, сі и х следующим образом: dim Я = п — —x + r + cb dimK = n + ci, dimL = —% = n — (г + Сі). Для нормализованного комплекса это означает, что dim К dim Я, dimL dim Я.
Будем рассматривать тройки (г, ci,x), такие, что —г с\ О, х 0; X 2cj + г. Верно следующее утверждение (см. [11, Proposition 2.3]).
Предложение 1.2,2. Пусть V - полустабильный нормализованный комплекс Кронеккера ранга г, степени с\ и с эйлеровой характеристикой х (1) Морфизм а инъективен везде, кроме, возможно, конечного числа точек; морфизм (3 аоръективен. (2) Когомологический пучок Е — ker/3/Imo: комплекса V полустабилен, и rk{E) — г, ci(E) = с\, х{Щ Х- Пучок Е стабилен тогда и только тогда, когда комплекс V стабилен. (3) Обратно, любой полустабильный нормализованный нетривиальный пучок Е есть когомологический пучок некоторого полустабильного нормализованного комплекса Кронеккера.
Утверждение (3) предложения 1.1 следует из того, что для пучка Е существует спектральная последовательность, называемая последовательностью Бейлинсона, с членом Eh равным Ev{q Hq(E(p)) A PQ , где Q - универсальное факторрасслоение ранга 2 на Р2, сходящаяся к Е в степени 0 и к нулю в ненулевой степени. Таким образом, имеем точную последовательность 0 -4 Н\Е{-2)) A2Q - Н\Е{ 1)) Q -4 Н\Е) О -4 0 и К = Н1(Е{ 2)), И = #4 (-1), L = Н1(Е), Пусть F = Я(9рз(1)). Для полустабильного комплекса V выполняются следующие два условия: (і) линейное отображение а = #(а(1)) : К -I Я У инъективно, (іі) линейное отображение 6 = Я2(/3(-3)) : Я V - і сюръективно. Обозначим через At пространство полустабильных комплексов Кронеккера с данными г, сі, Xi через .Ms - подпространство стабильных комплексов.
Группа GL(K) х GL(L) действует свободно на А4, и суїдествует GL(K) х G(L)-эквивариантный морфизм ф: M-Q:=Gr{n+c1,HV)xGr(n-(r + c1)iHV ): ф(Т ) = ф{а,Р) = (]та,кєгЬ) в произведение грассмановых многообразий. Образ N морфизма ф - замкнутое подмножество в Q, при этом М Я - главное GL(K) X GL(L) - расслоение (см. [10, Lemme 2.1]). МногообразиеМ имеет следующее описание. Для любого подпространства Н пространства Я положим К := a l{H V), V :— Ь(Н V ). Числа х определим по формулам dim Я — п , dim .К7 = п + с :, dimi = —х — ті — (rJ + c J. Многообразие Л/" содержит такие пары (К, L), для которых выполняются следующие два требования; (a) Морфизмы К Ofi{—1) - Я@ПРа(1) -ч LOip2 удовлетворяют условию {3 о а = 0. (b) Для любого подпространства Я Яи достаточно большого m выполняется неравенство r(cim + x ) ї" (сіт + х) Снабдим Q вложением д -4 Р{Ап+С1{Н V")) X Р(Л2П+(Г+С])(Я У }), индуцируемым вложениями по Плюккеру грассмановых многообразий Gr(n + сьН V) и 0(п-(г + сі),ЯУ ) в P{An+Cl{H V)) и Р(д2п+(г+сі)(# g) у ) соответственно. Для достаточно большого m (достаточно взять m такое, что (г + с\)т п) рассмотрим поляризацию на Q, заданную обратимым пучком Од((г + с{)т — п, —с\га + п). На Q действует группа SL(H).
Рассмотрим общий случай (см. [12]). Пусть X - проективное алгебраическое многообразие и G - редуктивная группа, действующая на X. Определение 1.2.3. Точка ж Є X называется полустабильной относительно действия группы G, если существует однородный G-инвариантный многочлен положительной степени, который не обращается в нуль в точке х.
Пусть Xss - множество точек в X, полустабильиых относительно действия группы G. Точка х Є Xss называется стабильной относительно действия группы G, если орбита Orb (х) замкнута в X и стабилизатор Stab (ж) конечен.
Положим к — (г + с\)т — п. I —с\т + п. Следующее утверждение является следствием критерия Гильберта - Мамфорда ([10, Lemma 3.3]).
Лемма 1.2.4. Точка {К,Ь) Є Q полустабильна относительно действия группы, SL(H) тогда и только тогда, когда для любого ненулевого собственного подпространства Н в Н выполняется неравенство -(kdimK1 - IdimL ) -(kdimK- IdiniL). n n Описание многообразия модулей M(r, сі, x) дает следующая теорема. Теорема 1.2.5. Пусть проективное многообразие Q снабжено поляризацией, определяемой пучком Og((r + с\)т — п,—с\т -\- п) для достаточно большого т. (1) Еслм (К, L) - точка в Q; полустабильная относительно действия группы SL{E), то комплекс К 0 { У) - Я Q (l) - L ig) Ор2 - монада и его когомологический пучок Е полустабилен ранга г с классами Чоісзпя с\(Е) = с1и с2(Е) = г-\-сг-х
Многообразие Мра(0,2)
В данном параграфе S будет обозначать гладкую комплексную проективную поверхность. Понятие стабильности пучка на поверхности S связано с выбором поляризации Н, т.е. обильного дивизора на S. Поэтому исследованию бирациональных перестроек многообразий модулей полустабильных пучков с данными классами Чжэня при раздутии поверхности должно предшествовать решение вопроса о выборе подходящей поляризации. В настоящем параграфе рассматриваются основные результаты, полученные Ж.Эллингсрудом и Л.Геттше в работе [4], в которых дается описание перестроек многообразий модулей -M#(ci,c2) Я-полу стабильных пучков на S ранга 2 с классами Чжэня сі, Сг при изменении поляризации.
Введем сначала основные определения. Пусть поверхность S такова, что либо геометрический род pg(S) поверхности 5 равен 0, либо канонический класс К$ тривиален (т.е. 5 - абслева или КЪ поверхность). Определение 1.3.1. Пусть NS(S) - группа Нерона - Севери поверхности S и Cs - обильный конус в NS(S) Ж. Для Є NS(S) обозначим We := Cs П {х Є NS(S) R I (х ) = 0}. Назовем W(. стенкой типа (с\, С2), определяемой элементом , если выполняются следующие требования: (1) + сі кратно двум в NS(S); (2) с? - 4с2 f 0; (3) существует поляризация Я, такая, что (Я (} = 0. Обильный дивизор И лежит в стенке VF, если [Я] Є ИЛ Если [D] = , то D также определяет стенку W.
Существует лишь конечное число элементов Є NS(S), определяющих стенку.
Камерой типа (сі, с2) называется связная компонента дополнения объединения всех стенок типа (ci,C2). Две различные камеры называются соседними, если пересечение их замыканий содержит непустое открытое подмножество стенки.
Стенка W называется хорошей, если для любого дивизора D, определяющего стенку W, дивизор D -\- Ks неэффективен. Обозначим через М%{сі, сг) подмногообразие в Мн{с\, сг), точки которого соответствуют классам Я-стабильных пучков. Верно следующее утверждение [4, Proposition 2.7(1)], Теорема 1,3.2. Если Я не лежит в стенке, то многообразие M#(ci,C2) \ Mfj{ci,C2) пе зависит от її. Многообразие Мн{с\,С2] зависит, только от кам,еры} в которой содержится Н.
В работе [4] стенка W, через которую осуществляется переход, предполагается хорошей. Показано, что если поляризации Я+ и Я_ лежат в соседних камерах, то многообразия модулей М#+(сі,С2) и М#_(сі,с2) могут быть би-рационально изоморфны, но переход через стенку может заключаться и в появлении и удалении определенных компонент. Для точного описания перестройки многообразия модулей при переходе через стенку авторы вводят параметр а, а Є [0,1], и понятие а-(полу)стабильности. Основные результаты работы [4] изложены в приведенной ниже теореме 1.3,5.
Обозначим: М := Н+ - Д_, Дивизор М определен неоднозначно. Единственным условием является его эффективность; этого всегда можно добиться, ВЗЯВ ВМеСТО Д-f подходящее его кратное. Зафиксируем положительное число по, такое, что для всех 1 щ и всех пучков без кручения ранга 2 Е на S с с\{Е) с\, 02(E) — ( выполняются два условия: (1) Е Дестабилен (соответственно, Д_-полустабилен) тогда и только тогда, когда Е(—1М) Д-стабилеи (соответственно, Д-полустабилен); (2) Е Дестабилен (соответственно, Д+-полустабилен) тогда и только тогда, когда Е(1М) Д-стабилен (соответственно, Д-полустабилен) (такое число щ существует в силу [4, Lemma 3.1])). Положим С := (no + 1)М.
Определение 1.3.3. Пусть а - действительное число, принадлежащее отрезку [0,1]. Для произвольного пучка без кручения Е положим Ра(Е) = ((1- а)Х{Е{-С)) + аХ(Е(С)))/тк(Е). Пучок без кручения Е называется а-полустабилъным (а-стабильпым) тогда и только тогда, когда для любого подпучка Е С Е выполняется условие Ра{Е (Ш)) Ра(Е(1Н)) (соответственно, Ра(Е {1Н)) Ра{Е(Ш))) для всех г» о. Для а-полустабильных пучков Е на S с с\(Е) = cj, 02(E) = С2 существует грубое пространство модулей Мя(сі,с2), в котором Ml(ci,c%) - подпространство стабильных пучков (см. [4, Remark 3.5])).
Определение 1.3.4. Для произвольного числа а Є [0,1] обозначим через А+(а) множество троек (, п,т)} в которых - элемент из NS(S), определяющий стенку W и такой, что ( Д+) 0, а п и m - неотрицательные целые числа, удовлетворяющие следующим двум соотношениям; п + т-с2-(с?-2)/4, (1.3) п - т = Й (d - Ks))/2 + (2а - 1) [С]).
Число а называется министепкой, если Л+(а) 0. Миникамерой называется связная компонента дополнения множества всех мииистенок на отрезке [0,1]. Имеется только конечное множество миникамер. Две миникамеры называются соседними, если их замыкания пересекаются.
Через Е?,т обозначим множество пучков, являющихся нетривиальными расширениями вида 0 - J fFi) — Е Х [Р%) О, где2 - пучок идеалов подсхемы точек Z{. 1{Z\) = п. l{Z i) —ти 2[F\] C\{E) + .
Теорема 1.3.5. Пусть S - поверхность, такая, что либо pg(S) — О, либо Ks тривиален. Пусть c-j. Є NS(S), с%\ Є Ъ. Положим N :— (4с2 — с() — 3x(&s)+Q{S). Пусть W - хорошая стенка типа (сі, с ) и Н+} #_. - обильные дивизоры на S, содержащиеся в соседних камерах, разделенных стенкой W. Тогда для каоїсдого а Є [0,1] существует многообразие Ма(сі,сч) и конечное мнооюесгпво министенок, делящих отрезок [0,1] на конечное множество миникамер, таких, что верны следующие утверждения:
Многообразие G. Гладкость G
На G х Р2 существует универсальное1 семейство Е, которое задается тройкой (см. глава 1, 2) где К - тавтологическое расслоение ранга 2 на G. В этом параграфе выполняется построение универсального семейства полустабильных пучков без кручения с с\ = О, С2 = 2 на G х S. Для этого осуществляется некоторая последовательность раздутий многоообразия G X Р2, а затем на полученном многообразии производится перестройка Маруямы прообраза пучка Е.
Вернемся теперь к раздутию и : S —У Р2 и рассмотрим пучок Е на Р2, такой, что [Е] Є М и Е имеет в точке жо простейшую особенность, т.е. Evv[Е = кщ. Вычислим Tors{a E). Для этого докажем следующее утверждение.
Лемма 2.4.1. Пусть a : S -ї Т2 - раздутие проективной плоскости Р2 в точке XQ, СГ 1(ЖО) — /о- Тогда кручение пучка и ХХй равно Oia(—X) и на S точна тройка О - 0,,(-1) - а%0 - OsHo) -» 0. (2.7)
Доказательство. Воспользуемся тем, что раздутие а раскладывается в композицию а = рг\ о і вложения і : 5 ч Р2 х Р1 и проекции рт\ : Р2 х Р1 —У Р2, при этом (Т_1(жо) = XQ х Р1. Рассмотрим точную последовательность 0 — Х;0 - Ср2 — &То - 0 на Р2 и применим к ней сначала функтор prj, а затем « : 0 -» IsoxFMPW CW - Ь0 И 0Р1 0, 0 Torfp2 pl( a И Or, 0 ?) - oxfi.FxP1 - 0$ kXo № Ofi 0. Так как i XXt)Xfi 2Xfi = a XX0;V2, то Tor 1 (кХоШО і, Os) = Tors(a XXo 2J. Ограничивая теперь точную тройку 0 - Ора(—1) ЕЗ ?pi(—1) - Opaxpi -+ Os - 0 на ж0 х Р1, получим, что ГОГ Р,(ОЗЛ„Й0ІРО 0 (-1)180 (-1)0( 80 ) - Ojo(-l).
Далее, применяя к точной последовательности 0 -» Z - Ор -) fc 0 - О пучков на Р2 функтор а , получим точную последовательность О -пучков ОTorfp2(fe,0, Os) -» сг%0 Л 05 - 0/о, в которой ker7 = OsHo), поэтому Torjр2 (йЖо, Og) = Tors(a XXa), но в силу доказанного выше Tors( x ZXo) = c(-l).
Так как но условию [/ = Хщр (В Ои, то Tors(a E) = Tors(a XXo) 0,J-l). Пусть := a E/Tors{(T E). Тогда det() = 05(-Щ и г0 = О,0 Є Оіа(ї). Применим к пучку Е перестройку Маруямы. Рассмотрим диаграмму: О S( k) 0—+Oi0{-l)— a E і -+Ё " о в которой гомоморфизм е канонически выделен. Действительно, P{Rom(E\ln,Oh(l))) - P{Eom{Oio 0 Ofe(l),O/0(l))) - F2; в то время как P(Rom{E\k,Ok)) = P(Hom((\ 0 OJl), ()) = {pt}. Вычислим многочлен Чжэня пучка . Имеем: 0 Os{ h) - Е — ХХ1 - О, отсюда ct(E{k)) = 1+ t+i2; ct{) = (Ш0Ш2)/а(ОІ0) - (l+l t2)/(l l0t2) -1 + 22. Таким образом, - пучок без кручения на 5 с классами Чжэня с\ = 0, с2 - 2.
Рассмотрим отображение A := ( 7о О CTI) Х idpa : G х Р2 -J- G х IP2. Тогда пучок Д Е на G х Р2 имеет локально свободную резольвенту О -4 К Ш CV(-l) - Я 8 ( М1) - , (2.8) где К :— {(TQdifK. Множество особенностей пучка Д Е состоит из нескольких компонент: Do х {х$} и Si Di, которые имеют коразмерность 3 в G х Р2, и компонент большей коразмерности. Поэтому пучок Д Е рефлексивен, как показывает следующее вычисление. Двойственная к (2.8) последовательность имеет вид 0 — (Д Е)У - яо йггр2(2) -» & т Op2(i) Л xtlOQyjA oGy ) - - о.
Пусть А — kerA. Тогда имеются две длинные точные последовательности: 0 -ї- ( скрДД Е,0Сх3рй))У - И Орт(-1) -ч Av - S OG (ex Q {A E OGx ),0Gxrt) -4 Gxp2(vS6)F(l),0GxP2) -+ oGxpa(A,C?Gxp8) - Ш Д х ), ,) и 0 - Av -4 H0G№Qf2(l) - (A E)W - Gxp2(A,C7Gxr). Так как codimGxi Supp ajtJji (Д Е, OQX )) = codimGxip2SingA E = 3, то ж ЬСхРа( а: 0Схра(д Е» СхР») 0бх1«) = 0 для і = 0,1,2 и, следователь-но, из первой последовательности получаем xtx0 2(А, С ХР3) = 0 и Av Ш 0]ра(—1), но тогда вторая последовательность дает Д Е (A E)VV.
Пусть д :— id хсг: G х — GxP2- раздутие вдоль G X {XQ}. Обозначим Е — 7 Д Е. По построению ранг пучка Е подскакивает на DQ Х IQ, Согласно лемме 2.4.1 для любой точки у из DQ :— Do\(Do П D{) выполняется равенство Tors(E \{y}xS) Olo(-l).
Так как codim(sxs(Do х 1$) — 2, выполним раздутие р: X —у G х S вдоль Do X IQ. Обозначим D:=p_1(Do х IQ). При этом слои проекции X Чг G над точками многообразия G, не лежащими в Do, изоморфны S, а ввиду гладкости DQ слои над точками у є DQ есть объединение поверхности Sy S и Fy, изоморфной поверхности Хирцебруха Fi, причем Sy и Fy пересекаются по прямой loy, которая является исключительной прямой на Sy, но не является таковой на Fr Обозначим Е := р Е . Из сказанного выше следует
Перестройка Маруямы универсального семейства на W х S
Рассмотрим последовательность 0 Яо »Яо -Р» 0, (3.11) которая точна, так как особенности F лежат вне Ю) и, следовательно, 1 локально свободен ранга 2. Ограничим (3.11) на Fy: 0 - T\jry -» TI\FV FFS 0. Здесь TI\FV — 5C?jpf/, T\FV — OFV(—T) ф 2(. Таким образом, точна последовательность 0 -5- Ор{—т) - 3( - FFy -» 0, поэтому FFy ах Т (—т), где ах : Fy —У Р2 - стягивание исключительной прямой 1$у на поверхности Хирцебруха Fr Как и в случае сч = 2, пучок FFV(—h) включается в точную последовательность 0 - Ору — FF —IO) - OFJ , — г) - 0 и в произвольной точке у 6 -D имеют место равенства h(FFy( lG)) = 1 и іЧНо)) = 2( ЧНо)) = 0 Рассмотрим в дивизор (7 — (WXIQ) СІ Wxfo, пересекающийся с Р по подмногообразию W - DXIQ) DXIQ. Доказано
Предложение 3.2.3. Пучок $Q.tF (—U) обратим,, и морфизм замены, базы &шРщ{- ЩкУхх0 H(Fp (-)) - изоморфизм в каждой точке у Є D. Обозначим через J\f коядро инъективного морфизма ev(U) : S&faFbi-U) On{U) - FD. Пусть J = S FD{ U) Oj,(U). Тогда точна тройка 0- ,7-+ - - 0. (3.12) Пучок T определим с помощью точной последовательности О - (-D) -) F - ЛҐ - 0. (3.13) Предложение 3.2,4. w w . Доказательство. Ограничивая точную последовательность (3.10) на D, /У\ получим, что Torj_s(0]u, F) = 0, и тогда имеется коммутативная диаграмма 0 0 (3.14) 0—-Р(-Ю )—- "(-В)— »7 -0 0 0 которая показывает, что точна тройка
Имеем: w w F w w F F по последовательности (3.7): R1w F — 0, так как для .F имеется локально свободная резольвента (3.10). Кроме того, пучок t7(B) поднят с W х 5, поэтому, применяя последовательно функторы w и ги к тройке (3.15), получим точную последовательность 0 _+ Гог (ш,7(),ад - J -+ Л - J(B) - 0. Как и в предложении 2.4,9, мы имеем изоморфизм Tor1 WxS(w .J(D), Og) 0D(B) detw\B Nlx[Q/w s J(D) - TorsF 0D(B) Ь В. Тогда точна последовательность 0 — F - w w F -л J {В) ч-Оив силу существования морфизма ev : w w J- —У J по лемме о змее получаем, что ufw J- с=: Т. П
Таким образом, ограничение w F на слой Sy проекции Wx5 W над точкой у Є D изоморфно ограничению пучка Т на компоненту Sy слоя над точкой у Є D проекции - W. Далее семейства w T на Wx5 будем использовать то же обозначение Т.
Замечание 3.2.5. Tax как морфизм 8 6 F - F сюръективеп (что легко получается применением функторов 8 и 6 к последовательности (3.7)), то рассуждая так же, как в замечании 2.4-13, получим, следующее: пучки в семействе !F\ при ограничении на исключительную прямую 1$ имеют единственное прямое слагаемое 0 (-1).
Стабильность пучков, входящих в семейство Т
Замечание 3.3.1. Как отмечалось ранее (глава 1, 3), от выбора поляризации на S зависит стабильность только тех пучков Е, кот,орые являются расширениями вида 0 —У 0${т — 2/г) —У Е -4- 0$(—т + 2h) -4 0 или О -4 Os{ r + 2/І) -4 Е -4 Os(r - 2/І) -4- 0. При этом, если Н+ 2т + h, И- — г + 2/i, mo пучки первого вида Нестабильны, но Н -нестабильны, а пучки второго вида Нестабильны, но Н+ нестабшъны. При ограничении на исключительную прямую 1$ получаем, 0 -4 (9;0(—2) -4 Е\ц -4 0\й{2) -4 0 в первом случае и0 4 @k(ty — #г0 -4 С/0(—2) —У 0 во втором. Так как Exi}{Oh{2)tOk( 2)) = Eom(Olo( 2),Oh)) = 3, Exi1 (Ohl( 2), Ok(2)) = 0, mo для пучков второго вида всегда Е\іп = 0;о(2) ф С\(—2), а для пучков первого вида возможно E\i0 — 0/о(1) 0 Оі0(—Ї). Однако, как будет показано далее (см. замечание 3.3.3), такие пучки не могут появиться в результате перестройки Маруямы в семействе F. Таким образом, проверку стабильности пучков семейства J- можно проводить относительно любой поляризации Н па S. Пусть Xz(ar + bh) - подпучок пучка := Т$г Приведенные многочлены Гильберта пучков В и Xz{ar + bh) относительно поляризации Я+ — 2r + h равны р(кН+) - 4&2 + 5fc - 1/2 и Рг2( "-+Ы0 Я+) = 4Jfc2 + (5 + За + 26)А; + (1/2) (а2 + За + 2аЪ + 26 + 2 - 2J(Z)).
Таким образом, условие, при котором %%{ат -\-bh) является дестабилизирующим подпучком в , следующее: (За + 26 0) V (За + 26 = О Л а2 3 - 2f(Z)). (3.16) Еще одно условие для а, 6 и l(Z) дает вычисление многочлена Чжэия пучка . ЕслиІг-(-ат-ЬЛ) - /Xz{aT+bh), то 1+32 - 1+й )+г( )-а2-2а6)г2, откуда Z(Z) + 2(Z ) = a2 + 2a6 + 3. (3.17) Таким образом, а2 + 2а6 + 3 0, что с учетом условия (3,16) показывает, что дестабилизирующим пучок Xz(ar + bh) может быть только при а —1.
Пусть Е :— F\s . Пучок Е равен (F js )/С\(—1) и, следовательно, включается в тройку 0 —У ZXI(—IQ) - -Е - Хп2 - 0. Ограничим последовательность (3.12) на 5У: 0 4 0!о 4 Oh(l) ф ( Ч -» 0. Таким образом, есть либо О;0(1), либо С;0 Ф &,? для некоторой точки х Є - Пусть ( = Oi0(l). Тогда имеется сюръекция XXl(—la) — OiQ(l) с ядром XXl{ 2?о). Рассмотрим диаграмму
Если Xz(ar -\-bti) - подпучок в , то он вкладывается либо в XXl(—IQ), либо в XX2{IQ). В первом случае он не может быть дестабилизирующим. Рассмотрим второй случай. Если Xz(ar + bh) равен ХХ2(1$), то ХХ2 - подпучок в Е. Но по условию Е ф XZl{—/о) ХХ2. Пусть Xz{ar + bh) — XXz, х\ ф ж2- Так как фХХі(—Іо)$)ХХ2(Іо) (в противном случае пучок ХХ2 вкладывался бы в Е)я не имеет особенности в точке Ж2, то вложение ХХ2 — должно пропускаться через вложение Хх2 — Os — , но h() — 0. Пусть х\ = х . Так как не существует отображения XXl в XXI(—IQ), ТО вложение 2Ж1 — должно пропускаться через вложение О —5- {хк{Хі) = 3), что противоречит тому, что h() = 0.
