Содержание к диссертации
Введение
1 О сходимости метода аппроксимаций при решении вырожденных операторных уравнений (случай ограниченного оператора) 16
1.1. Основные понятия и определения 16
1.2. Сравнение операторных топологий, используемых в аппроксимационных методах 18
1.3. Метод конечномерной аппроксимации 28
1.4. Сходимость конечномерных аппроксимаций в вырожденном случае 32
1.5. Сходимость конечномерных аппроксимаций в невырожденном случае 39
2 О сходимости конечномерных аппрок симаций при решении вырожденных операторных уравнений (случай не ограниченного оператора 46
2.1. Основные понятия и определения 46
2.2. Необходимые и достаточные условия сходимостиконечномерных аппроксимаций к регуляризованному решению 50
2.3. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций к -регуляризованному решению в случае невырожденного уравнения 62
2.4. Условия сходимости аппроксимаций L-регуляризованного решения в вырожденном случае 67
3 Конечномерная аппроксимация интегральных и интегро-операторных уравнений 82
3.1. Конечномерная аппроксимация интегральных уравнений на конечном отрезке 82
3.2. Аппроксимация интегральных уравнений типа свертки на действительной прямой 86
3.3. Конечномерная аппроксимация интегро-операторного уравнения на конечном отрезке 90
4 О сходимости регуляризованных решений нелинейных операторых уравнений 95
4.1. Основные понятия и определения 95
4.2. Небходимые и достаточные условия сходимости L-регуляризованных решений к множеству точных решений нелинейного уравнения 103
4.3. О сходимости конечномерных аппроксимаций к L-регуляризованному репіению 113
4.4. О сходимости регуляризованных решений обратной задачи фильтрации 115
Литература 123
- Сравнение операторных топологий, используемых в аппроксимационных методах
- Сходимость конечномерных аппроксимаций в невырожденном случае
- Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций к -регуляризованному решению в случае невырожденного уравнения
- Аппроксимация интегральных уравнений типа свертки на действительной прямой
Введение к работе
Актуальность темы. К операторным уравнениям первого рода, не удовлетворяющим условиям корректности по Адамару, сводятся многие задачи геофизики, гидродинамики, физики твердого тела и других разделов естествознания.
Необходимость решения такого рода задач и непригодность для этой цели традиционных методов привели к созданию новых методов. Теория таких методов была заложена в основополагающих трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и член-корреспондента РАН В.К. Иванова.
На сегодняшний день эта теория нашла свое отражение во многих монографиях.
Разработкой и исследованием методов решение некорректно поставленных задач занимались многие математики: А.Л. Агеев, В.В. Арестов, В.Я. Арсении, А.Б. Бакушинский, Г.М. Вайникко, В.В. Васин, В.А Винокуров, А.В. Гончарский, А.Р. Данилин, A.M. Денисов, А.С. Леонов, О.А Лисковец, И.В. Мельникова, Л.Д. Менихес, В.А. Морозов, В.Н. Страхов, В.П. Танана, AM. Федотов, Г.В. Хромова, А.Г. Ягола и др.
Так как в последнее время появилось большое число линейных и нелинейных некорректно поставленных задач, имеющих практическую ценность, но не удовлетворяющих условию единственности, то появилась необходимость расширения границ применимости известных методов и создания новых для решения такого рода задач.
Важность разработки и исследования методов решения вырожденных операторных уравнений отмечалась еще в известной работе В.К. Ивановал
Созданию методов решения вырожденных операторных уравнений посвящены работы А.Л. Агеева2, С.А. Рогожина, В.П. Тананы3, О.А. Лис-ковца4 и др.
В данной работе продолжены исследования метода L-регуляризации, а также конечномерных аппроксимаций L-регуляризованных решений.
'Иванов В.К. Линейные неустойчивые задач с многозначными операторами//Сиб. мат. журн., 1970, т. 11, N5, с 1009-1016.
3 Агеев АЛ. Об одном регулярном алгоритме нахождения базиса ядра линейного оператора//ЖВМ и МФ, 1983, т. 23, N 5, с. 1041-1051.
'Рогожин СА., Талана В.П. Оптимальный по порядку метод решения вырожденных операторных уравнений //Изв. вузов. Математика, 1988, N 5, с. 86-88.
4Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач //Минск: Наука и техника, 1981.
гос. i;mu:ijiiv:l::\}1 <-) . 'к'лчЦк
Цель работы. Разработка метода L-регуляризации и его конечномерных аппроксимаций применительно к решению вырожденных линейных и нелинейных операторных уравнений первого рода.
Общая методика исследования. В работе используются методы теории некорректно поставленных задач и функционального анализа.
Научная новизна. Впервые сформулированы максимально общие в классе гильбертовых пространств необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций в методе L-регуляризации при решении вырожденных линейных операторных уравнений. Заметим, что впервые эти условия не используют дополнительные предположения об аппроксимирующих последовательностях операторов.
Для нелинейных операторных уравнений рассмотрен обобщенный метод L-регуляризации и первые найдены необходимые и достаточные условия его сходимости.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего развития теории некорректно поставленных задач, а также специалистами по вычислительной матечати-ке при разработке численных алгоритмов решения вырожденных операторных уравнений или плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, а также обратных недоопределенных задач.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры математического анализа Южно-Уральского государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Менихес Л.Д.) и на семинаре по некорректным задачам Института математики и механики УрО РАН (руководитель - член-корреспондент РАН Васин В.В), на конференции в рамках форума "Няука, культура и образование России накануне третьего тысячелетия"(г. Челябинск, 1997 г.), на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели"(г. Челябинск, 2002 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-9].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения и четырех глав; изложена на 134 страницах. Список литературы содержит 102 наименования.
Сравнение операторных топологий, используемых в аппроксимационных методах
Теорема 1.1. Для того, чтобы последовательность операторов {Ап} слабо равномерно сходилась к оператору А необходимо и достаточно, чтобы из того, что следовало Доказательство. Необходимость. Предположим противное, т.е. последовательность операторов {Ап} слабо равномерно сходится к оператору А, Тогда из (1.2) следует существование числа d О, функционала до G F тя. последовательностей {иПк} и {ЛП;(.}. Таких, что для любого к а из слабо равномерной сходимости последовательности операторов { 4nfc} к оператору А, что что противоречит (1.3). Достаточность. Предположим противное, т.е. найдутся число d\ 0, функционал д\ Є F и последовательности {щ} и { 4njfc} такие, что для любого к Из рефлексивности пространства U сходилась к оператору А, необходимо и достаточно, чтобы для любой подпоследовательности {АПк} соответствующая пара А, {АПк} была слабо замкнута. Доказательство. Необходимость. Пусть а тогда из слабо равномерной сходимости последовательности операторов {АПА.} К оператору А, соотношения (1.9) и теоремы 1.1 следует, что Откуда, учитывая (1.10), получаем пара А, {АПА} слабо замкнута. Достаточность. Предположим противное. Тогда найдутся число d,2 0, функционал д0 Є F и последовательности {ик} и {ЛПк}, такие, что для любого к и Из рефлексивности пространства U и соотношения (1.12) следует слабая компактность последовательности {ик}. Рассуждая аналогичным образом, можем показать слабую компактность последовательности {АПкик}. Без ограничения общности можем считать, что Так как оператор А линеен и непрерывен, то из (1.14) следует, что а из слабой замкнутости пары А,{АПк} и соотношений (1.14) и (1.15), что Из соотношений (1.16), (1.17) следует, что что противоречит (1.13). Тем самым теорема доказана. Теорема 1.3. Для того, чтобы последовательность операторов {An} слабо равномерно сходилась к оператору А, необходимо и достаточно, чтобы А п поточечно сходилась к А . Доказательство. Необходимость. Предположим противное. Тогда найдутся число d$ О, функционал до Є F и подпоследовательность { 44 } такие, что для любого к Так как для любого и U то По следствию теоремы Банаха-Хана (см. [51], с. 176-177) для любого к существует элемент йк U, такой, что а Из рефлексивности пространства U и соотношения (1.20) следует слабая компактность последовательности (}. Без ограничения общности можем считать, что По свойству нормы слабого предела из соотношений (1.20) и (1.22) следует, что Из теоремы 1.1 и соотношения (1.22) следует, что а из (1.24), что Таким образом, учитывая (1.21), (1.23) и (1.25) получаем, что и соотношения (1.6) следует слабая компактность последовательности {щ}. Без ограничения общности можем считать, что Из линейности и непрерывности оператора А и соотношения (1.8) следует, что
Таким образом, что противоречит (1.7). Тем самым теорема доказана. Теорема 1.2. Для того, чтобы последовательность операторов {Ап} слабо равномерно сходилась к оператору А, необходимо и достаточно, чтобы для любой подпоследовательности {АПк} соответствующая пара А, {АПк} была слабо замкнута. Доказательство. Необходимость. Пусть а тогда из слабо равномерной сходимости последовательности операторов {АПА.} К оператору А, соотношения (1.9) и теоремы 1.1 следует, что Откуда, учитывая (1.10), получаем пара А, {АПА} слабо замкнута. Достаточность. Предположим противное. Тогда найдутся число d,2 0, функционал д0 Є F и последовательности {ик} и {ЛПк}, такие, что для любого к и Из рефлексивности пространства U и соотношения (1.12) следует слабая компактность последовательности {ик}. Рассуждая аналогичным образом, можем показать слабую компактность последовательности {АПкик}. Без ограничения общности можем считать, что Так как оператор А линеен и непрерывен, то из (1.14) следует, что а из слабой замкнутости пары А,{АПк} и соотношений (1.14) и (1.15), что Из соотношений (1.16), (1.17) следует, что что противоречит (1.13). Тем самым теорема доказана. Теорема 1.3. Для того, чтобы последовательность операторов {An} слабо равномерно сходилась к оператору А, необходимо и достаточно, чтобы А п поточечно сходилась к А . Доказательство. Необходимость. Предположим противное. Тогда найдутся число d$ О, функционал до Є F и подпоследовательность { 44 } такие, что для любого к Так как для любого и U то По следствию теоремы Банаха-Хана (см. [51], с. 176-177) для любого к существует элемент йк U, такой, что а Из рефлексивности пространства U и соотношения (1.20) следует слабая компактность последовательности (}. Без ограничения общности можем считать, что По свойству нормы слабого предела из соотношений (1.20) и (1.22) следует, что Из теоремы 1.1 и соотношения (1.22) следует, что а из (1.24), что Таким образом, учитывая (1.21), (1.23) и (1.25) получаем, что
Сходимость конечномерных аппроксимаций в невырожденном случае
В этом пункте будем предполагать, что ядро HQ оператора А состоит из одного нуля, a R(A) = Н. Рассмотрим результаты настоящей главы применительно к данному случаю. В дальнейшем под {Нп} будем понимать возрастающую последовательность конечномерных подпространств Нп пространства Н такую, что а под Рп - оператор метрического проектирования пространства Н на Нп. Лемма 1.6. Если для любой системы {Нп} имеет место поточечная сходимость последовательности операторов {РпАп} к оператору А, то {Ап} поточечно сходится к А. Доказательство. Предположим противное. Тогда найдутся щ Є Н, положительное число d и последовательность натуральных чисел {rik} такие, что для любого к Пусть {Нп} - некоторая возрастающая последовательность конечномерный подпространств Нп, удовлетворяющая (1.94), a {hk} - последовательность такая, что для любого к Построим новую систему {Нп} следующим образом: при пк і пк+ї. Через Рп обозначим оператор метрического проектирования пространства Н на Нп. Так как по условию леммы РпАпщ — Ащ при п — оо, а согласно (1.96), (1.97), РПкАПкщ = АПкщ, для любого к, имеем АпкЩ Ащ при к - со, что противоречит (1.95). Лемма 1.7. Пусть последовательность операторов {Ап} слабо равномерно сходится к оператору А, и R(An) — R(A) для любого п, где R(A) - конечномерное подпространство Н. Тогда Ап равномерно сходится к А. Доказательство. Предположим противное. Тогда найдутся число d 0 и последовательности {щ} и {щ} такие, что для любого к Из (1.98) следует слабая компактность последовательности {ик}-Без ограничения общности можем считать, что Так как А - линейный ограниченный оператор, то из (1.100) следует, что Поскольку подпространство R(A) конечномерно, и Аии, АПкик Є R{A) для любого /г, то последовательности {Ащ} и {AnfcUfc} компактны. Таким образом, из (1.101) и (1.102) следует что Auk — Лемма 1.8. Пусть последовательность операторов {Ап} поточечно сходится к оператору А. Тогда найдется возрастающая система {Нп} конечномерных подпространств такая, что последовательность операторов {РпА п} будет поточечно сходится к оператору А . Доказательство. Так как последовательность операторов {Ап} поточечно сходится А, то ввиду теоремы 1.3 А п сходится к А слабо равномерно. Пусть {Hk} - произвольная возрастающая система конечномерных подпространств, удовлетворяющая соотношению (1.94). Тогда согласно лемме 1.7 последовательность операторов {РкА п} равномерно сходится к оператору РкА при п — со и фиксированном к. Обозначим через {пк} подпоследовательность натуральных чисел такую, что для любого к и для любых п пк выполняется соотношение Введем последовательность конечномерных подпространств {Нк} такую, что Из (1.104) следует, что а из (1.103), (1.104), (1.105), что для любого д Є Н Из (1.103) и (1.106) следует утверждение леммы. Теорема 1.10. Для того чтобы йа(п) — йа, Апйа(п) — Айа при п — оо для любых а 0, f Є Н, {fn} С Н и {Нп} таких, что /„— / npw п — оо, а {Нп} удовлетворяет (1.94), необходимо и достаточно, чтобы Ап поточечно сходилась к А, а А п поточечно сходилась к А при п — оо.
Доказательство следует из теоремы .9. и лемм 1.3 и 1.6. Эта теорема повторяет аналогичный результат работы [79]. Теорема 1.11. Для того чтобы существовала такая последовательность конечномерных подпространств {Нп}, удовлетворяющая (1.94), что й а{п) — йа при п — оо, для любых значений а 0, / Є Н и {fn} С Н, где /„— / при п — оо, необходимо и достаточно чтобы {Ап} поточечно сходилась к А. Доказательство следует из теорем 1.7, 1.9 и лемм 1.3 и 1.8. Этот результат является новым и для невырожденных уравнений, так как впервые утверждается сходимость конечномерных аппроксимаций без слабо равномерной сходимости Ап к А или, что то же самое, без поточечной сходимости последовательности операторов {А п} к А . Другими словами, в теоремах 1.10 и 1.11 сформулированы главные результаты. В первой части условия, обеспечивающие сходимость при любых {Нп}, а во второй - при какой-то подходяще выбранной системе {Нп}. В реальной ситуации Нп связано с возмущением оператора Ап соответствующим образом и поэтому сходимость конечномерных аппроксимаций обеспечивается выполнением условий теоремы 1.9, т.е. поточечной сходимостью Ап к А и РпА п к А . Как будет показано далее в примере, из этих условий не следует поточечная сходимость А п к А .
Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций к -регуляризованному решению в случае невырожденного уравнения
Здесь будет рассмотрено приложение результатов второй главы для получения необходимых и достаточных условий сходимости конечномерных аппроксимаций к L-регуляризованному решению, сформулированных в [80]. Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство, L - линейный замкнутый полуограниченный снизу оператор со всюду плотной в Н областью определения D(L) и областью значений R(L) С Н. А - линейный замкнутый L-ограниченный оператор действующий из Н в Н. Через А и V обозначим операторы сопряженные А и L. Рассмотрим вариационную задачу где / є Н, а а 0. Лемма 2.9. При любых значениях / Є Н и а 0 вариационная задача (2.67) разрешима единственным образом (см. [60]). Обозначим решение этой задачи через йа. Лемма 2.10. Пусть й Є D(L), а Ай = f, тогда при а -» 0 Лемма 2.11. Область определения DIAL"1 (AL 1) ] линейного замкнутого оператора AL l(AL 1) всюду плотна в Н (см. [80]). Обозначим множество D[AL l(AL 1) } через G. Рассмотрим вариационную задачу Лемма 2.12. Пусть й а и va - решения вариационных задач (2.67) и (2.68), кроме того va = Ьй а. Тогда вариационные задачи (2.67) и (2.68) эквивалентны, (см. [100]). Пусть Ап и Ln - линейные ограниченные операторы, отображающие Н в Я, такие, что для любых натуральных п и и Є Я. где d\ - некоторое положительное число, а {Нп} - возрастающая последовательность конечномерных подпространств из Я, и Рп -оператор ортогонального проектирования Я на Нп. Рассмотрим вариационные задачи. где / Є И и а 0. Из леммы 2.4 следует эквивалентность задач (2.70) и (2.71). Обозначим решение этих задач через va(n). Лемма 2.13. Если операторы, действующие из Н в Н, инъ-ективны, а последовательность {Вп} В-полна, то и {В 1} является В 1 -полной см. [100]. Пусть в дальнейшем а последовательность операторов {Li 1} поточечно сходится к оператору L"1. Из теоремы 1.7, соотношения (2.69) и леммы 2.13 следует, что для поточечной сходимости последовательности операторов {L"1} кі"1 необходима и достаточна L-полнота последовательности {Ln}. Теперь, опираясь на теорему 2.2, сформулируем необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций L-регуляризованных решений.
Для этого рассмотрим конечномерный аналог вариационной задачи (2.67). которая разрешима единственным образом, а ее решение йа(п)} согласно лемме 2.12, удовлетворяет соотношению va(n) = Ьпйа(п), где va(n) - решение вариационных задач (2.70) и (2.71). Теорема 2.3. Пусть выполнены все условия об операторах Ап, Ln и подпространствах Нп, сформулированные в этом пункте. Тогда для того, чтобы при любых значениях а 0, / Є Н и {fn} С Н таких, что /п — / выполнялись соотношения необходимо и достаточно, чтобы последовательность операторов {AnL 1} была AL l-полной, a {Pn(L n) l А п} была (I/)-1 А -полной на множестве G. Доказательство. Необходимость. Пусть выполнены условия теоремы, т.е. при любых значениях а 0, / Є Н и {/п} С Н таких, что /п -» / будут выполнены соотношения Тогда, учитывая, что va(n) = Ьпйа(п), из (2.75) получим, что а из теоремы 2.2 и условий (2.76) и (2.77), что последовательности оператора {АпЬ г} и {Pn(L n)-1A n} являются AL l и (V) г Л -полными, соответственно. Достаточность. При выполнении сформулированных в теореме условий, на основании леммы 2.11 и теоремы 2.2 получим, что Тогда из того, что последовательность операторов {L 1} поточечно сходится к L l и соотношений (2.78) и (2.79) будет следовать выполнение соотношений (2.74)-(2.76), что и доказывает теорему. Сравнивая, сформулированный в теореме 2.3 результат с близким, из работы из работы [80]. В [80] вместо поточечной сходимости последовательности операторов {- 1} к оператору Z/"1, что эквивалентно L-полноте последовательности {1/п}, используемой в настоящем пункте, предполагалась L -полнота последовательности операторов {1/п}. Из 1/-полноты последовательности операторов {L n}, вообще говоря, не следует Х-полнота последовательности {Ln} и наоборот.
Таким образом, здесь и работе [80] получены необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций L-регуляризованных решений, вообще говоря, при различных предположениях на аппроксимирующую последовательность {Ln}. Сами необходимые и достаточные условия, сформулированные здесь, являются близкими аналогичным из [80], но более простыми, более просто проверяемыми. Например, в условиях, сформулированных здесь, использован оператор Рп ортогонального проекти
Аппроксимация интегральных уравнений типа свертки на действительной прямой
Рассмотрим интегральное уравнение типа свертки первого рода. ИЛИ где правая часть /() и решение u(s) уравнения (3.10) принадлежат пространству 2(-00,00). В качестве оператора L, действующего из 1/2(—оо,оо) в 2(-00,00) возьмем Введем преобразование Фурье, как некоторый оператор С, отображающий 2(-00,00) на себя (см. [51], с. 402) Оператор С согласно теореме Планшереля (см. [42], с. 412) осуществляет взаимно однозначное отображение ,2(-00,00) на себя с сохранением нормы, т.е. является унитарным оператором. Обратный оператор имеет вид где С - оператор, сопряженный С (см. [51], с. 402). Выпишем некоторые основные свойства преобразования Фурье. где / - производная функции / (см. [42], с. 402) и пусть f(x) = / /і(С)/2(я -) % = fi /2 свертка функций /і и /2, тогда -оо Таким образом, поставленную в настоящем пункте задачу удобнее решать в Фурье-образах, т.е. вместо уравнения (3.13) будем решать где К, йи/- Фурье-образы функций К, и и /, соответственно, при этом й и / Є 1/2(-00,00). Так как из (3.14) следует, что и Є D(L), то Предположим, что функция К(Х), используемая в уравнении (3.19), непрерывна, ограничена и удовлетворяет соотношениям: где /го - некоторое положительное число. Таким образом, оператор К из (3.19) L-ограничен, имеет ядро, совпадающее с пространством L2[—/го,/го], естественно вложенным в Ь2{ оо, оо). Кроме того, для любого й Є L2{{—оо, —ho] U [/го, оо)} где Ьй = А2й(А), a Ь2{(—оо, — /го] U [/го,оо)} - ортогональное дополнение ядра оператора К. Заметим, что в данном случае условие дополнительности не выполняется на D(L). Далее рассмотрим последовательность {Нп}, Нп = Ь2{[—п, —/го]U[/го, п]} подпространств из Ь2(—оо, оо) и определим на них операторы Ап и Ьп. Теперь проверим (К, Ь)-полноту на множестве D(L) П Ьг{[—оо, —/го] U [/го,оо]} последовательности операторов {An, Ln}. Для этого воспользуемся ограниченностью функции К(Х) и соотношением (3.20). Пусть г такое число, что для любого Л - (Л) г. Тогда из того, что й Є L 2{[—со, —ho] U [/го? о]} П D(L), для любого е 0 найдется число iV такое, что для любого натурального числа что доказывает (if, Х)-полноту последовательности {An,Ln}. Теперь докажем (-1) .Р Х -полноту последовательности {Pn(L 1) А п}, где Рп - ортогональная проекция 1/2{[—оо, — /io]U[7io о]} н тогда -оо Таким образом, поставленную в настоящем пункте задачу удобнее решать в Фурье-образах, т.е. вместо уравнения (3.13) будем решать где К, йи/- Фурье-образы функций К, и и /, соответственно, при этом й и / Є 1/2(-00,00). Так как из (3.14) следует, что и Є D(L), то Предположим, что функция К(Х), используемая в уравнении (3.19), непрерывна, ограничена и удовлетворяет соотношениям: где /го - некоторое положительное число. Таким образом, оператор К из (3.19) L-ограничен, имеет ядро, совпадающее с пространством L2[—/го,/го], естественно вложенным в Ь2{ оо, оо). Кроме того, для любого й Є L2{{—оо, —ho] U [/го, оо)} где Ьй = А2й(А), a Ь2{(—оо, — /го] U [/го,оо)} - ортогональное дополнение ядра оператора К. Заметим, что в данном случае условие дополнительности не выполняется на D(L). Далее рассмотрим последовательность {Нп}, Нп = Ь2{[—п, —/го]U[/го, п]} подпространств из Ь2(—оо, оо) и определим на них операторы Ап и Ьп. Теперь проверим (К, Ь)-полноту на множестве D(L) П Ьг{[—оо, —/го] U [/го,оо]} последовательности операторов {An, Ln}.
Для этого воспользуемся ограниченностью функции К(Х) и соотношением (3.20). Пусть г такое число, что для любого Л - (Л) г. Тогда из того, что й Є L 2{[—со, —ho] U [/го? о]} П D(L), для любого е 0 найдется число iV такое, что для любого натурального числа что доказывает (if, Х)-полноту последовательности {An,Ln}. Теперь докажем (-1) .Р Х -полноту последовательности {Pn(L 1) А п}, где Рп - ортогональная проекция 1/2{[—оо, — /io]U[7io о]} на Нп. Для этого заметим, что оператор К самосопряжен и R{K) = {[-оо, — ho]U[ho, оо]}. Так как Р - оператор ортогонального проектирования (—оо,оо) на 2/2{[—оо, — ho] U [/го,оо]} относительно L-нормы, то для любого и Є L2{[-oo, -/г0] U [/го, сю]} Учитывая самосопряженность оператора L 1, получаем, что Так как йп, определен формулой (3.26), то из (3.22) и (3.23) следует, что Так как и Є D(L) Л L2{[-oo, -ho] U [h0,oo]}, то из (3.27) и (3.28) следует (L yP K -полнота последовательности операторов {Pn(L 1) А п} на множестве D(L) П {[-оо, —/i0] U [/ ), со]}. Таким образом, условия теоремы 2.9 выполнены. Поэтому для получения регуляризованного решения йа, как решения вариационной задачи можем использовать метод аппроксимаций, заключающийся в сведении задачи (3.29) к следующей: При этом, будет иметь место сходимость решений йа(п) задачи (3.30) к решению йа задачи (3.29). Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство, а 1/2{[0,1]; Н} - пространство функций, отображающий отрезок [0,1] в Н. Рассмотрим интегро-операторное уравнение первого рода. где первая часть f(t) и а Нп. Для этого заметим, что оператор К самосопряжен и R{K) = {[-оо, — ho]U[ho, оо]}. Так как Р - оператор ортогонального проектирования (—оо,оо) на 2/2{[—оо, — ho] U [/го,оо]} относительно L-нормы, то для любого и Є L2{[-oo, -/г0] U [/го, сю]} Учитывая самосопряженность оператора L 1, получаем, что Так как йп, определен формулой (3.26), то из (3.22) и (3.23) следует, что Так как и Є D(L) Л L2{[-oo, -ho] U [h0,oo]}, то из (3.27) и (3.28) следует (L yP K -полнота последовательности операторов {Pn(L 1) А п} на множестве D(L) П {[-оо, —/i0] U [/ ), со]}. Таким образом, условия теоремы 2.9 выполнены. Поэтому для получения регуляризованного решения йа, как решения вариационной задачи можем использовать метод аппроксимаций, заключающийся в сведении задачи (3.29) к следующей: При этом, будет иметь место сходимость решений йа(п) задачи (3.30) к решению йа задачи (3.29). Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство, а 1/2{[0,1]; Н} - пространство функций, отображающий отрезок [0,1] в Н. Рассмотрим интегро-операторное уравнение первого рода. где первая часть f(t) и решение u(s) уравнения (3.31) принадлежат пространству Z/2{[0,1]; Я}, а ядро K(s,t) - абстрактная непрерывная на квадрате [0,1] х [0,1] функция со значениями в пространстве линейных ограниченных операторов В(Н), отображающих if в Я, с равномерной операторной нормой. Кроме того, будем предполагать, что уравнение (3.31) имеет не более одного решения и область значений R(K) оператора К всюду плотна в {[0,1]; Н}. Методом регуляризации задачу приближенного решения уравнения (3.31) можно свести к вариационной
