Введение к работе
Актуальность темы.
Начиная с замечательной работы М.Рисса 1926 года появились тысячи оригинальных статей и около десятка монографий, посвященных новой области анализа, получившей название теории интерп'олящш операторов. В настоящее время эта теория представляет собой самостоятельный раздел анализа, имеющий как свою внутреннюю структуру и задачи, так и многочисленные и разнообразные приложения в гармоническом анализе, уравнениях в частных производных, теории приближения функций, геометрии банаховых пространств и других областях математики.
В основе современной теории интерполяции лежат два
метода, получивших названия комплексный и вещественный
методы интерполяции. Первый из них предложен
А.П.Кальдероном и представляет собой обобщение
комплексного доказательства О. Торина теоремы Рисса. Второй предложен Я.Питре и восходит к классической интерполяционной теореме Марцинкевича. Вещественный метод интерполяции операторов оказался удобным инструментом во многих задачах анализа и, в особенности, в задачах теории приближения функций, с которой, как было показано Я. Питре и Г. Спарром, он тесно связан.
Однако, ряд интенсивно исследуемых в последние два
десятилетия задач теории приближений и, в частности, задачи
нелинейной ( кусочно-полиномиальной, сплайн, рациональной )
аппроксимации ... потребовали дальнейшего развития
вещественного метода интерполяции. В частности, возник вопрос 1> о возможности распространения реитерационной формулы Лионса-Питре на нестепенные параметры.
В качестве второго примера отметим, что аппроксимационные пространства, возникающие в задаче кусочно-полиномиальной аппроксимации со свободными узлами, могут быть получены при вещественной интерполяции
І І - -
пары (L ,Вр) с p^q ( Брудный, Де Вор, Попов и др. ).
Однако, вещественная интерполяция пар, в которых меняется как показатель интегрируемости, так и показатель гладкости, практически исследована не была.
Эти и некоторые другие конкретные задачи и привели к необходимости более глубокого исследования как свойств пространств вещественного метода интерполяции, так и разработку общих подходов к их вычислению.,
Цель работы. '
Разработка общих подходов к задачам вычисления и установления наиболее фундаментальных свойств пространств вещественного метода интерполяции операторов.
Научная новизна.
Установлены новые свойства .АГ-функционала Питре, из которых следуют ранее неизвестные и нетривиальные свойства таких классических характеристик функций, как модуль непрерывности и максимальная функция Харди-Литтльвуда.
Введена новая геометрическая характеристика (а- емкость ) и показана ее важность при вещественнной интерполяции пар пространств гладких функций, в которых меняется как показатель интегрируемости, так и показатель гладкости.
Установлены теоремы о покрытиях, представляющие собой
количественные аналоги классических теорем о покрытии,
принадлежащих Уитни и Безиковичу. , ;
Построены гладкие аналоги разложения Кальдерона-Зигмунда, введена новая характеристика функции ( Fa -характеристика ).
С помощью количественных теорем о покрытии и гладких аналогов разложения Кальдерона-Зигмунда показано, что через Fa характеристику может быть выражен А'-функционал Питре
для пар вида (LqyWp ),(Lq,Lipa) и др. . Полученные формулы
для К - функционала применены для вычисления интерполяционных пространств и получения новых интерполяционных теорем.
Достоверность полученных результатов обеспечивается полнотой и строгостью приводимых доказательств; апробацией результатов на многочисленных конференциях и семинарах, проверкой части результатов в последовавших работах других авторов.
Практическая значимость.
Полученные результаты применимы как в самой теории интерполяции операторов, так и в ее приложениях. Часть из
полученных результатов вошла в монографии и использовалась в научных исследованиях рядом математиков ( Ю.А. Брудный, М. Цвикель, Е.М. Семенов, В.И. Овчинников, К. Бениет, Р. Шарили , Е.И. Пустыльник и др. ).
Апробация работы.
По материалам диссертации были сделаны доклады на семинарах по анализу математического института им. В.А. Стеклова, Санкт-Петербургского отделения математического института им. В.А. Стеклова, ряда университетов Швеции ( Уппсала, Лунд, Люлеа), Израиля ( Тель-Авив, Технион г. Хайфы, институт им. Вейцмана ), Франции ( Париж, университет им. Пьера и Марии Кюри ), а также на конференциях:
2-ая международная конференция по функциональным пространствам, август-сентябрь 1989, Познань, Польша;
международная конференция по интерполяционным пространствам, июнь-июль 1990, Хайфа, Израиль;
международная конференция по теории банаховых пространств и ее приложениям, июнь 1991, Иерусалим ( пленарный доклад );
международная конференция, посвященная 90-летию академика СМ. Никольского, апрель-май 1995, Москва;
международная конференция по интерполяционным и функциональным пространствам, июнь 1995, Хайфа, Израиль;
4-ая международная конференция по функциональным пространствам, август-сентябрь 1995, Зелена Гора, Польша ( пленарный доклад );
международная конференция по анализу Санкт-Петербургского отделения института им. В.А. Стеклова, август 1996.
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 19 работ, в том числе две монографии ( см. [4,11] ). Основные результаты работы содержатся в этих публикациях.
Структура и объем диссертации.
