Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена одному из применений теории порядка н типа оператора в локально выпуклых пространствах — исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений. Начала этой теории были заложены В.П. Громовым и получили дальнейшее обобщение в работах С.Н. Мишина. Чуть позже порядки и типы некоторых операторов, действующих в различных пространствах аналитических функций, были найдены СВ. Панюшкиным.
Ранее теория порядка и типа оператора была положена в основу решения ряда задач современного функционального анализа. К их числу, в частности, относятся: задача о представлении функций комплексных переменных рядами по собственным функциям линейного оператора; задача о разложении векторов локально выпуклого пространства в обобщённый ряд Тейлора; задача о полноте систем значений голоморфных вектор-функций; изучение характеристик роста целых векторнозначных функций; исследование подпространств локально выпуклого пространства, инвариантных относительно оператора конечных порядка и типа; исследование решений операторных уравнений и др.
В настоящей диссертации разработаны методы исследования решений широкого круга аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, поставленных в произвольном локально выпуклом пространстве, опирающиеся на теорию порядка и типа оператора. Необходимость таких методов обусловлена следующими соображениями.
Во-первых, ввиду специфики своей постановки, задачи для дифференциально-операторных уравнений традиционно исследуются методами функционального анализа. Так, на первом этапе своего становления (в банаховых пространствах) теория дифференциально-операторных уравнений оказалась неразрывно связанной с теорией полугрупп, первое применение которой к дифференциально-операторным уравнениям восходит к фундаментальным работам К. Иосиды и Э. Хилле. В настоящее время наряду с теорией полугрупп существуют также методы спектральной теории операторов и теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов, в совокупности позволившие придать теории дифференциально-операторных уравнений в нормированных пространствах глубокое и всестороннее развитие.
Во-вторых, теория дифференциально-операторных уравнений в ненормированных (локально выпуклых) пространствах является значительно менее развитой. Отчасти этому способствует отсутствие в таких пространствах единых (как, например, теория полугрупп) приёмов исследования уравнений или их систем достаточно сложной конструкции. Это,
в свою очередь, объясняется проблематичностью, а порой и невозможностью прямого перенесения уже существующих методов с нормированных пространств на ненормированные. Известные сейчас результаты относятся, преимущественно, к уравнениям первого порядка в классе вектор-функций действительного аргумента и освещены в трудах В.М. Мил-лионщикова, К. Иосиды, А.Н. Годунова, Я.В. Радыно, С.Г. Лобанова, С.А. Шкарина; для дифференциально-операторных уравнений Соболевского типа — в работах В.Е. Фёдорова. В комплексном же случае такие задачи стали рассматриваться лишь в последнее десятилетие.
Наиболее близкими в этом смысле являются работы В.П. Громова, С.Н. Мишина, СВ. Панюшкина. Ими разработаны методы исследования комплексной задачи Коши в локально выпуклых пространствах для одного дифференциально-операторного уравнения, опирающиеся на понятия порядка и типа линейного оператора, а также порядка и типа фиксированного вектора относительно линейного оператора.
Однако методы исследования аналитической задачи Коши для систем дифференциально-операторных уравнений, краевых задач для дифференциально-операторных уравнений с комплексными аргументами, а также аналитической задачи Коши для некоторых разновидностей дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах разработаны не были, что и обусловливает актуальность настоящей работы.
Цель работы — разработка основанных на применении теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах методов исследования полученных в явном виде решений различных аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, включающая:
-
описание посредством операторных характеристик вектора классов элементов локально выпуклого пространства, для которых поставленные задачи однозначно разрешимы в классе аналитических векторнозначных функций;
-
выявление взаимосвязи между определяющими указанные классы элементов пространства условиями и видом области аналитичности решения рассматриваемой задачи;
-
описание посредством внутренних характеристик оператора (порядка и типа) классов операторов, для которых имеет место непрерывная зависимость решений от элементов локально выпуклого пространства.
Методы исследования:. В работе широко используются методы современного функционального анализа — теория порядка и типа линейного оператора, теория локально выпуклых пространств, теория аналитических векторнозначных функций, а также методы комплексного анализа,
Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми, строго доказанными, имеют теоретический характер. В работе впервые (в том числе на основе теории порядка и типа оператора) в локально выпуклых пространствах разработаны методы исследования решений аналитической задачи Коши для систем дифференциально-операторных уравнений и аналитических краевых задач для дифференциально-операторных уравнений; получили дальнейшее обобщение и развитие методы исследования решений аналитической задачи Коши для некоторых разновидностей дифференциально-операторных уравнений.
Теоретическая значимость. Предложенные в диссертации методы позволяют исследовать решения разнообразных аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, изучаемых в произвольном локально выпуклом пространстве. Используемый в работе подход является универсальным, так как может быть применим к исследованию ряда других задач функционального анализа, решения которых представляются аналитическими векторнозначными функциями, порождёнными оператором конечного порядка.
Результаты работы дополняют теорию дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах, теорию аналитической задачи Коши (теорию Коши-Ковалевской) в различных пространствах достаточно общей природы, а также теорию аналитических вектор-позначных функции, порождённых оператором конечного порядка.
Практическая значимость. Результаты выполненного исследования могут применяться в решении как в нормированных, так и в ненормированных пространствах различных аналитических задач, поставленных для уравнений в частных производных, интегро-дифференциальных уравнений, уравнений с отклоняющимся аргументом, уравнений смешанного типа, уравнений свёртки, уравнений бесконечного порядка и др.
Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений" (2009 г.), посвященной 70-летию ректора МГУ, академика В.А. Садовничего, г. Москва; на Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (2010 г.), г. Воронеж; на Международном Российско-Болгарском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (2010 г.), г. Нальчик; на научном семинаре лаборатории теории функций и функционального анализа в 2007-2010 гг., г. Орёл, ОГУ (руководители — к.ф.-м.н., доцент СВ. Па-нюшкин, к.ф.-м.н., доцент С.Н. Мишин); на научном семинаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН в 2010 г., г. Москва (руково-
дитель — д.ф.-м.н., профессор А.В. Арутюнов); на научном семинаре по теории операторов в МГУ им. М.В. Ломоносова в 2010 г., г. Москва (руководитель — д.ф.-м.н., профессор А.А. Шкаликов); на научном семинаре МЭИ в 2010 г., г. Москва (руководители — д.ф.-м.н., профессор Ю.А. Ду-бинский, д.ф.-м.н., профессор А.А. Амосов).
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1]-[16], второму автору работ [14), [15] принадлежат только постановки задач. Работы [3]-[5[, [12j, [13J, [15], [16] соответствуют перечню ведущих научных журналов и изданий ВАК РФ.
Основные результаты, выносимые на защиту.
-
В рамках теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах разработаны методы исследования решений поставленных для дифференциально-операторных уравнений и их систем аналитических задач. Показано, что такие решения суть аналитические векторнозначные функции, порождённые оператором конечного порядка, и представимые функциональными векторнозначными рядами, содержащими степени этого оператора.
-
В терминах характеристик фиксированного вектора относительно действующего в локально выпуклом пространстве линейного оператора определены классы элементов пространства, для которых рассмотренные задачи однозначно разрешимы, а сами решения сильно сходятся к аналитическим векторнозначным функциям.
-
Установлена взаимосвязь условий, описывающих указанные классы элементов пространства, с видом области аналитичности векторнозначной функции, определяющей решение задачи.
-
В терминах порядка и типа линейного оператора выделены классы тех операторов, действующих в локально выпуклом пространстве, для которых решения задач определены на всём пространстве и непрерывно зависят от его элементов.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, и библиографического списка, содержащего 116 наименований. Объём работы составляет 153 страницы. Всего в работе рассмотрено 10 модельных задач (4 в первой главе, 4 во второй главе и 2 в третьей главе), на примере которых продемонстрировано применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к изучаемой в диссертации проблеме.
