Содержание к диссертации
Введение
1 В-потенциал Рисса 18
1.1 Непрерывность и компактность В-потенциалов 19
1.2 Формула Киприянова-Пицетти 36
1.3 Ряды Тейлора и Лорана для весового функционала . 42
1.4 Преобразование Фурье-Бесселя радиальной функции . 46
2 Интегральный оператор типа В-потенциала Рисса порядка 52
2.1 Весовые средние функций, заданных на части сферы . 53
2.2 Вычисление символа интегрального оператора типа В-потенциала Рисса при 0 < а < 1 60
2.3 Регуляризация расходящихся весовых интегралов по части сферы 62
2.4 Основная теорема о представлении символа 69
3 Обращение оператора типа В-потенциала 72
3.1 Символ о.В-г.с. интеграла 75
3.2 Общие В-гиперсингулярные интегралы как свертки с обобщенной функцией 83
3.3 Представление некоторых сингулярных дифференциальных операторов 88
3.4 Обращение оператора U" 0 с плотностью из Ф7 93
3.5 Обращение UQ в Щ 99
Литература 111
- Ряды Тейлора и Лорана для весового функционала
- Вычисление символа интегрального оператора типа В-потенциала Рисса при 0 < а < 1
- Регуляризация расходящихся весовых интегралов по части сферы
- Общие В-гиперсингулярные интегралы как свертки с обобщенной функцией
Введение к работе
Актуальность темы. Потенциалы, порожденные обобщенным сдвигом впервые изучались известным американским математиком А. Вайнштейном и его школой (1947-1965) при построении осесимметрической теории потенциала. Конструкция введенных потенциалов характеризовалась присутствием так называемого обобщенного сдвига. Ранее (1938) этот сдвиг изучался Ж. Дельсартом, работы которого послужили основой нового научного направления — теории обобщенного сдвига, созданного усилиями Б.М. Левитана его учениками и последователями.
Впоследствии И.А. Киприянов (1967) стал использовать более общий вид сдвига, включающего обычный и обобщенный, что давало возможность вводить потенциалы нового вида, учитывающие симметрию. При постановке соответствующих задач использовалась известная работа М.В. Келдыша о дифференциальных уравнениях, вырождающихся на границе области. Появились исследования соответствующих задач выполненных Я.И. Житомирским, Ж.-Л. Лионсом, И.А. Киприяновым, В.В. Катраховым, Л.А. Ивановым, М.И. Ключанцевым, Л.Н. Ляховым и др..
В 1967 г. И.А. Киприянов и В.И. Кононенко рассмотрели обобщения потенциалов Вайнштейна в Rn, когда обобщенный сдвиг действовал по одной из переменных. Более общий случай, при котором обобщенный сдвиг действовал по части переменных, а по другой части действовал обычный сдвиг рассмотрен И.А. Киприяновым и Л.А. Ивановым (1983) при построении фундаментальных решений соответствующих В-эллиптических уравнений. В этой же ситуации Л.Н. Ляховым получены теоремы (типа теорем С.Л. Соболева) об ограниченности смешанных В-потенциалов в пространствах непрерывных и интегрируемых с весом функций. Интегралы типа В-потенциалов с однородной характеристикой также рассмотрены Л.Н. Ляховым, но только в случае когда по всем переменным действует обобщенный сдвиг.
С.Г. Самко в ряде работ (1970-1983) предложил использовать конструкции Стейна-Лизоркина для исследований решений
интегральных уравнений с потенциальными ядрами. Эти конструкции были обобщены и названы "гиперсингулярными интегралами".
Конструкции Стейна-Лизоркина-Самко использовались Л.Н. Ляховым для введения В-гиперсингулярных интегралов, которые были применены к классу интегральных уравнений с В-потенциальными ядрами. Эти исследования ограничились лишь случаем действия обобщенного сдвига по каждой из переменных. Рассмотрение общей ситуации натолкнулась на сложности принципиального характера, связанные с построением общих гиперсингулярных интегралов, включающих в себя одновременно гиперсингулярные интегралы Стейна-Лизоркина-Самко и В-гиперсингулярные интегралы.
Данная работа посвящена исследованию общих В-гиперсингулярных (далее примем сокращение — о.В-г.с.) интегралов с однородной характеристикой и их применению к исследованию нового класса интегральных уравнений с В-потенциальными ядрами. Изучаются В-потенциалы, порожденные смешанным обобщенным сдвигом. Построены эффективные конструкции операторов обратных к таким интегральным операторам. Обращение достигается посредством применения общих В-гиперсингулярных интегралов с характеристикой, специальным образом построенной по характеристике интегрального оператора типа В-потенциала. Это построение основано на разложении характеристик по весовым сферическим функциям, ранее введенных Л.Н. Ляховым при исследовании сингулярных интегралов (типа интегралов Михлина-Кальдерона-Зигмунда), порожденных обобщенным сдвигом.
Цели работы. Исследование В-потенциалов с точки зрения их непрерывности (классической и квалифицированной) в различных весовых пространствах и обобщение формулы Киприянова-Пицетти для весового среднего по сфере от основной функции. Исследование операторов типа В-потенциала Рисса с непостоянными характеристиками и вычисление их символов. Введение общих В-гиперсингулярных интегралов с однородной характеристикой, регуляризация которых достигается применением нецентрированных и центрированных обобщенных конечных разностей. Вычисление
символов в образах Фурье-Бесселя общих В-гиперсингулярных интегралов. Представление сингулярных дифференциальных операторов общими В-гиперсингулярными интегралами. Обращение интегралов типа В-потенциалов Рисса с плотностью из пространства основных функций Ф7, построенных по типу основных пространств П.И. Лизоркина. Обращение интегралов типа В-потенциалов Рисса с плотностью из пространства Лебега LJ с весовой интегральной мерой.
Методика исследования. Применяются методы теории функций, функционального анализа, интегральных и дифференциальных уравнений. Более конкректно: а) методы гармонического анализа, применяющие разложения по сферическим функциям; б) методы изучения многомерных сингулярных интегральных операторов Михлина-Кальдерона-Зигмунда и решения многомерных сингулярных интегральных уравнений; в) техника псевдодифференциальных операторов, построенных на базе смешанного преобразования Фурье-Бесселя; г) методы регуляризации расходящихся интегралов на основе конечных разностей и методы регуляризации в смысле конечной части сингулярного интеграла по Адамару и др.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Перечисленные ниже основные результаты работы являются новыми
1. Рассмотрены интегральные операторы типа потенциалов Рисса,
порожденные смешанным обобщенным сдвигом. Доказаны теоремы
о квалифицированной непрерывности и компактности смешанных В-
потенциалов.
2. Определен интегральный оператор типа В-потенциала Рисса
с характеристикой, представляющей собой однородную, четную по
части переменных функцию, бесконечно дифференцируемую на
соответствующей части единичной сферы. Вычислен символ такого
оператора.
3. Введены и классифицированы гиперсингулярные
интегралы с однородной характеристикой, названные общими В-
гиперсингулярными интегралами (о.В-г.с. интегралы). Вычислены их
символы.
4. Получено представление о.В-г.с. интегралов в виде обобщенной
свертки с соответствующей обобщенной функцией.
5. Получены формулы, представляющие некоторые однородные
сингулярные дифференциальные операторы в частных производных в
виде о.В-г.с. интегралов.
6. Рассмотрены соответствующие интегральные уравнения,
когда символ удовлетворяет условию В-эллиптичности, а плотность
(неизвестная) принадлежит весовому классу LJ. Построен обращающий
(левый) В-гиперсингулярный интеграл (с характеристикой
"ассоциированной" с характеристикой интеграла типа В-потенциала
Рисса), тем самым конструктивно решен вопрос о решениях В-
эллиптического класса этих интегральных уравнений.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструктивное решение содержательной математической задачи. Результаты исследования обратимости операторов типа В-потенциалов Рисса на основе общих В-гиперсингулярных интегралов привели к новому классу интегральных уравнений. Эти исследования позволят рассматривать на современном уровне многие проблемы с осевой и многоосевыми симметриями в механике сплошных сред, безмоментной теории оболочек, теории малых изгибаний поверхностей вращения, в задачах газовой динамики и др.. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Московском, Новосибирском, Белорусском, Владимирском, Ростовском н/д университетах, в институте математики СО РАН, в математическом институте им. Стеклова РАН, в НИИ математики ВГУ, в Воронежской государственной технологической академии.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре доктора физ.-мат. наук Л.Н. Ляхова в Воронежской государственной технологической академии, на семинаре проф. Ю.И. Сапронова в Воронежском государственном университете, на семинаре проф. А.С. Калитвина в Липецком государственном педагогическом университете, на семинаре отдела теории функций Математического института им. В.А. Стеклова АН России, на
международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" (Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, 2005), на международной конференции "Analysis and Related Topics" (Национальный Университет им. Ивана Франко, Львов, Украина, 2005), на Воронежской зимней математической школе 2006 года, на научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2006" (Санкт-Петербург, 2006), на Воронежской весенней математической школе 2004, 2006 годов, на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006).
Публикации. Результаты, изложенные в диссертации опубликованы в работах [2] - [5], [6], [7], [11] - [15] автора и в совместных работах [1], [8], [10]. Работы [1], [8], [10] написаны совместно с Л. Н. Ляховым, которому принадлежит постановка задачи. Доказательства получены автором лично. Из совместной работы [9] с Е. Г. Гоц в диссертацию вошли только полученные лично автором результаты.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих тринадцать параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 118 страниц. Библиографический список содержит 55 наименований.
Ряды Тейлора и Лорана для весового функционала
Применяются методы теории функций, функционального анализа, интегральных и дифференциальных уравнений. Более конкректно: а) методы гармонического анализа, применяющие разложения по сферическим функциям; б) методы изучения многомерных сингулярных интегральных операторов Михлина-Кальдерона-Зигмунда и решения многомерных сингулярных интегральных уравнений: в) техника псевдодифферегщиальпых операторов, построенных на базе смешанного преобразования Фурье-Бесселя; г) методы регуляризации расходящихся интегралов на основе конечных разностей и методы регуляризации в смысле конечной части сингулярного интеграла по Адамару и др.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Перечисленные ниже основные результаты работы являются новыми. 1. Рассмотрены интегральные операторы типа потенциалов Рисса, порожденные смешанным обобщенным сдвигом. Доказаны теоремы о квалифицированной непрерывности и компактности смешанных В потенциалов. 2. Определен интегральный оператор типа В-потенциала Рисса с характеристикой, представляющей собой однородную, четную по части переменных функцию, бесконечно дифференцируемую на соответствующей части единичной сферы. Вычислен символ такого оператора. 3. Введены и классифицированы гиперсингулярные интегралы с однородной характеристикой, названные общими В-гиперсичгулярными интегралами (о.В-г.с. интегралы). Вычислены их символы. 4. Получено представление о.В-г.с. интегралов в виде обобщенной свертки с соответствующей обобщенной функцией. 5. Получены формулы, представляющие некоторые однородные сингулярные дифференциальные операторы в частных производных в виде о.В-г.с. интегралов. 6. Рассмотрены соответствующие интегральные уравнения, когда символ удовлетворяет условию В-эллилтичности, а плотность (неизвестная) принадлежит весовому классу Щ. Построен обращающий (левый) В-гиперсингуляриый интеграл (с характеристикой, "ассоциированной" с характеристикой интеграла типа В-потенциала Рисса), тем самым конструктивно решен вопрос о решениях В-эллиптического класса этих интегральных уравнений. Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструктивное решение содержательной математической задачи. Результаты исследования обратимости операторов типа В-потенциалов Рисса на основе общих В-гиперсингулярных интегралов привели к новому классу интегральных уравнений. Эти исследования позволят рассматривать на современном уровне многие проблемы с осевой и многоосевыми симметриями в механике сплошных сред, безмоментной теории оболочек, теории малых изгибаний поверхностей вращения, в задачах газовой динамики и др. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Московском, Новосибирском, Белорусском, Владимирском, Ростовском н/д университетах, в институте математики СО РАН, в математическом институте им. Стеклова РАН, в НИИ математики ВГУ, в Воронежской государственной технологической академии.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре доктора физ.-мат. наук Л.Н. Ляхова в Воронежской государственной технологической академии, на семинаре проф. Ю.И. Сапронова в Воронежском государственном университете, па семинаре проф. А.С. Калитвина в Липецком государственном педагогическом университете, на семинаре отдела теории функций Математического института им. В.А. Стеклова АН России, па международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений., нелинейный анализ" (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва, 2005), на международной конференции "Analysis and Related Topics" (Национальный Университет им. Ивана Франко, Львов. Украина, 2005), на Воронежской зимней математической школе 2006 года, на научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2006" (Санкт-Петербург, 2006), на Воронежской весенней математической школе 2004, 2006 годов, на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006).
Публикации. Результаты, изложенные в диссертации опубликованы в работах [42] - [45], [46], [47], [51] - [55] автора и в совместных работах [41], [48]-[50]. Работы [41], [48], [50] написаны совместно с Л. Н. Ляховым, которому принадлежит постановка задачи. Доказательства получены автором лично. Из совместной работы [49] с Е. Г. Гоц в диссертацию вошли только полученные лично автором результаты.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих тринадцать параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 118 страниц. Библиографический список содержит 55 наименований.
Вычисление символа интегрального оператора типа В-потенциала Рисса при 0 < а < 1
Через Cev(Q) обозначим множество непрерывных на Q С Ж -функцич, четных по каждой из первых п переменных.
Квалифицированная непрерывность установленная нами для всех А, — со А JV + І7І (кроме предельного показателя А = позволяет говорить о равностепенной непрерывности образа {у) функций f(x), принадлежащей произвольному ограниченному в LJ(Q, j) множеству функций Ш, имеющих носитель в ограниченной области 0, , и следовательно, о вполне непрерывности интегрального оператора типа В-потепциала, как оператора действующего из Щ(1 ) в пространство C&V(Q,N) в допредельной области изменения А, или в пространство непрерывных абстрактных функций со значениями в 1у(П+), (при д д), которое будем обозначать CevL" (Qs).
Действительно, при А — из первой теоремы для В-потенциалов вытекает равномерная ограниченность образов функций из ОТ, а из неравенства (1.12) следует равностепенная непрерывность этих образов в метрике Cev, тогда из теоремы Арцела следует компактность множества образов функций, из ЯЛ Є Щ(0, ) при отображении Щ в случае — со А г .
Таким образом, справедливо следующее утверждение, дополняющее первую теорему о В-потенциалах. Теорема 1.1.5. В допредельной области —сю А —Щ В-потенциал, как оператор действующий из ZJ(fi ) в Cev(ly) является вполне непрерывным, то есгпъ преобразует произвольное множество плотностей ОТ, ограниченное в ZJ(Q ) в компактное множество в пространстве Cev(QN). В этом случае, согласно второй теореме о В-потенциалах мы можем говорить о действии из () в LJ(0+) (s s N). Более того, квалифицированная непрерывность установлена нами лишь в случае рассмотрения образов в L (Q+), где g q. Поэтому в запредельной области полная непрерывность интегральных операторов типа В-потенциала может быть установлена из LJiQ ) в Нам понадобится следующий аналог критерия компактности Рисса в пространстве функций Щ суммируемых в степени р (1 р со) с весом р(х) (ср. [39], стр. 114 ). Для сокращения записи обозначим Теорема 1.1.6. (Рисса,) Для того, чтобы множество функций Ш Є L (Q+). 1 р со, было компактным,, необходимо и достаточно соблюдения следующих условий: В случае, если Q4" - ограниченная область, причем 0 inf р(х). sup р(х) оо, в качестве Q можно взять всю область П+, Замечание. Этим критерием нельзя воспользоваться непосредственно, так как вес р(х) = (ж )7 не удовлетворяет условию (1.18). Доказательство. Доказательство основано на критерии Хаусдорфа компактности множеств в банаховых пространствах: для компактности множества ЯН, расположенного в банаховом пространстве, необходимо и достаточно чтобы для любого є О существовала конечная (компактная) є-сеть. Пусть ЯН - компактное множество в LJ (Q+). а є - произвольное положительное число., тогда для ЯН в силу критерия Хаусдорфа в Ы JO +) существует конечная є/2-сеть ЯЯу2- Так как множество Я#є/2 " конечно, а каждый элемент его достаточно быстро должен стремиться к нулю (если П+ - не ограниченная область) при х — оо, то для заданного є 0 найдется ограниченная область }+, расположенная в 0,+ вместе со своим замыканием и удовлетворяющую условию (1.18) (используется здесь только ограниченность), что — компактное в LJ (1+), следовательно, если множество 21 Є ЯЛ - ограничено: [/ М, V/ Є 21, то из 21 можно выбрать сходящуюся к / Є Si подпоследовательность / , то есть Ve, найдется номер т, что прит А; выполняется \\f множество {/ }., где / Є дЛ, то
Следовательно, если множество 9Я - компактно в Щ (Q,+), то ЯЯ компактно в ЬР(Ж ). Ясно, что критерий Рисса при р(х) (х1)1 работает в Киприяновских пространствах, поскольку каждая из гиперплоскостей х\ = 0,...,хп = 0 имеет меру нуль в M. Pf. Чтобы доказать, что множество образов Щ(х) компактно в Ly,(C2+), если множество прообразов f(x) ограничено в Щ(0,+), надо, согласно критерию Рисса доказать, во-первых, (1.17) когда f(x) принадлежит ограниченному множеству из LJ(l+) (Г2+ Є R ) ограниченному и, во-вторых, равенство (1.20), где П+ - область, полученная из П+ исключением достаточно малой окрестности тех участков гиперплоскостей, которые ограничивают fi+. Так как Q+ - ограниченное множество, принадлежащее гиперплоскости R+, то при g q имеем следующее Щ1Іі(ї#) К\\и \\ц у Из второй теоремы об интегралах типа В-потенциала следует, что если / принадлежит равномерно ограниченному в Щ(0,+) множеству функций {f}M, \\!\\цт М, то \\Щ\\цт КМ, V/ Є {/}jf, то есть неравенство (1.17) выполнено. Равностепенная ограниченность следует из неравенства (1.16). Доказательство закончено. Теорема 1.1.7, В запредельной области — р+ А N -\- \j\ интегральный оператор типа В-потенциала Щ{х), как оператор, действующий из Щ(0,+) в пространство непрерывных абстрактных функций со значениями в і (П+); где s s N, Q+ - ограниченная область в Ж , Qj - ограниченная область в Ж , является вполне непрерывным.
Регуляризация расходящихся весовых интегралов по части сферы
В этой главе мы введем общие В-гиперсингулярные (о.В-г.с.) интегралы с однородной характеристикой. Формально, такие интегралы есть интегралы с сильной особенностью, порядок которой больше чем размерность области интегрирования. Такой расходящийся интеграл можно понимать в смысле конечной части по Адамару или, что фактически тоже самое, как регуляризацию весовой обобщенной функции.
Рассмотрим усеченный о.В-г.с. вида где {\t\ є}+ = {t Є R+ : \t\ є}, (П\ р)(х) -конечные разности порождены смешанным обобщенным сдвигом, l(t/\t\) — однородная нулевой степени функция, будем называть эту функцию характеристикой общего В-гиперсингулярного интеграла (следуя [36]). Мы будем рассматривать неценгпрированные и центрированные обобщенные конечные разности определенные по
Определение 3.0.1. О.В-г.с. интеграл Ш будем називать общим, В-гиперсингулярным интегралом нейтрального типа, если он построен с помощью нецентрированной разности (3.2). Определение 3.0.2. О.В-г.с. интеграл D% будем называть общим В-гиперсингулярным интегралом четного (нечетного) типа, если он построен с помощью центрированной разности (3.3) четного нечетного) порядка I. Введем следующие функции параметра а (см. [36] стр. 199) В формуле (3.4) с?ду)7(а) — нормирующая константа о.В-г.с. интеграла представима в виде йдг./)7(а) — C(-NJT) S -j(a), где первый а второй Sftjla) — коэффициент С.Г. Самко, нормирующий гиперсингулярный интеграл (обычный) который в случае о.В-г.с. интеграла нейтрального и четного типов имеет вид а в случае о.В-г.с. интеграла нечетного типа (т. е. для разности (3.3) и нечетного /) имеет вид Известно (см. [34] стр. 373), что Aj(a) = 0 при а = 1,2, 3,..., / - 1, А" (а) = 0 при а = 2,4,6,.,.,/ — 2, в случае четного / и А"(о:) — О при а = 1,3,5,...,/ — 2, в случае нечетного /. Отношение Щ при а = 2,4,6,... в (3.7) понимается как Ввиду вышесказанного, постоянная dW}j)7(a) оказывается наделенной всеми свойствами константы Самко SNJ(O) (CM. [36]). Она, при использовании нецентрированной разности, определена во всех случаях, кроме а — 1,3,5,... /. В противном случае c/jv.;,7(a) — 0 (также как и в [36]) и мы сталкиваемся с явлением "аннигиляции" конструкции (3.4). Но о.В-г.с. интеграл (3.4) сходится условно при I 2[а/2] в случае нецентрированной разности (см. [8(). А так как допускается I 2[а/2], то явление аннигиляции можно избежать, выбирая I — а при а — 1,3,5,... в случае нецентрированной разности. Тогда Ai{a) ф 0 при I = а = 1,3,5,.., и определение (3.4) корректно. Далее считаем, что I а в случае центрированной разности и / 2[а/2] в случае нецентрированной разности с обязательным выбором I — а при а = 1,3,5,.... Нормирующая константа л ,г,7(а) в работе [8] подобрана так, чтобы выполнялось равенство -?в[Щ/]() = \\аFB[J{x)](t;), в котором Щ/ — общий В-гиперсингулярный интеграл, с постоянной характеристикой и при этом о.В-г.с. интеграл, с постоянной характеристикой D / не зависит от I. если I а. Преобразование Фурье-Бесселя о.В-г.с. интеграла Dn при Q (4 ] є Lj(S ,) и f(x) Є Sev вычисляется по формуле где 5?л() символ оператора D%, который в случае нецентрированной разности имеет вид к+ а в случае центрированной разности Очевидно, символ однороден степени а. Докажем сначала (3.10) в случае нецентрированной разности. Применим преобразование Фурье-Бесселя к усеченному о.В-г.с. интегралу, получим
Общие В-гиперсингулярные интегралы как свертки с обобщенной функцией
Применяя формулу (3.33) и приравнивая коэффициенты при Yk(x/\x\) получаем утверждение теоремы в случае о.В-г.с. интеграла нейтрального типа.
Пусть В(х/\х\) четна. Тогда 1(х/\х\) четна. Поэтому формулы (3.13) и (3.14) совпадают и символ 2}%(ж) о.В-г.с. интеграла четного типа дается прежней формулой. Поэтому предыдущее доказательство сохраняется. Пусть &(х/\х\) нечетна. Используем о.В-г.с. и. нечетного типа. Предыдущее доказательство сохраняется в принципиальном отношении, но вид формул несколько меняется. Теперь вместо (3.13) нужно применить (3.15). Доказательство закончено. Случай а — 2,4,6,... А) ОБРАЩЕНИЕ О.В-Г.С. ИНТЕГРАЛАМИ НЕЙТРАЛЬНОГО ИЛИ ЧЕТНОГО ТИПА. В этом случае символ Э%(ж) о.В-г.с. интеграла является согласно следствию 3.1.1 из теоремы 3.1.1 однородным многочленом порядка а. Следовательно, в силу 2)"и(х)Ще(х) — I необходимо, чтобы Щ )(х) = 1/Ра((х )2х"), где Ра((х )2х") — однородный многочлен порядка а. Отсюда и мы приходим к следующему утверждению: Обращение интегрального оператора, типа В-потенииала Щ& четного порядка а = 2,4,6,... о.В-г.с. интегралом Э% нейтрального или четного типа возможно тогда и только тогда, когда характеристика 0(xf\x\) интегрального оператора типа В-потенциала является сужением на част/ь единичной сферы фундаментального решения F у-((х )2х") какого-нибудь В-эллиптического однородного сингулярного дифференциального оператора Pa(B,D) порядка а. Б) ОБРАЩЕНИЕ О.В-Г.С. ИНТЕГРАЛАМИ НЕЧЕТНОГО ТИПА. В отличие от случая А), когда о.В-г.с. конструкция срабатывала при а = 2,4,6,... лишь для специальных характеристик 6( т), В-гиперсингулярная конструкция нечетного типа оказывается допустимой для любых нечетных 6((Т). Теорема 3.4.2. Пусть характеристика В(ж/.т) интегрального оператора типа В-погпенциала U Q четного порядка а = 2,4,6,... достаточно гладкая и нечетная. Тогда о.В-г.с. интеграл нечетного т,ипа с ассоциированной с 6(ж/ж) характеристикой Q(x/\x\) обращает интеграл типа, А) ОБРАЩЕНИЕ о.В-г.с. ИНТЕГРАЛАМИ НЕЙТРАЛЬНОГО ИЛИ ЧЕТНОГО ТИПА. Здесь симметрично теореме 5.1.2 имеет место Теорема 3.4.3. Пусть &(х/\х\) достаточно гладкая и четная. Тогда при а — 1,3,5,... о.В-г.с. интеграл нейтрального типа (с обязательным выбором I — а) или четного типа с ассоциированной с Q{xj\x\) характеристикой П(ж/ж) обращает интеграл типа В-потенциала U" Qip. Б) ОБРАЩЕНИЕ О.В-Г.С. ИНТЕГРАЛАМИ НЕЧЕТНОГО ТИПА. В силу следствия 3.1.1 теоремы 3.1.1 символ "0(ж) о.В-г.с. интеграла есть однородный многочлен порядка а. Так как символ !& Q(% интеграла типа В-потенциала принимает при х ф 0 конечные значения, то из Э"п(ж)И"@(ж) = 1 вытекает, что этот многочлен должен быть В-эллиптическим. Однако у нас a = 1,3,5,..., а В-эллиптических многочленов нечетного порядка с вещественными коэффициентами., очевидно, не существует вообще. Теперь под о.В-г.с. интегралом будем понимать предел в Ы усеченного о.В-г.с. интеграла: Теорема 3.5.1. Если характеристика Q о.В-г.с. интеграла D"n ассоциирована с характеристикой в оператора U"@, то оператор D" аннулирует ядро №?& = Q(x/\x\)\x\ N +a оператора U"e. mo естъ справедливо тождество 5 смысле распределений S cv или Ф у будем интерпретировать равенство (3.54) следующем образом: где 8-у - весовая 5-функция, определенная по формуле (57, р)7 = ip{fy Доказательство. Формально равенство (3.55) очевидно в образах Фурье-Бесселя в силу того, что для ассоциированных характеристик символы ipQ и )% являются F-B-мультипликаторами: Доказательство закончено. Из этой теоремы следует, что ядро ]С& оператора U"Q является фундаментальным решением о.В-г.с. интеграла D% характеристика }(ж/ж) которого ассоциирована с характеристикой в(ж/ж) интеграла типа В-потенциала U0.
