Введение к работе
актуальность. Изучение поведения дробного шггегрировашя и цифференцировашя в пространствах функций, шеищих заданный иодуль непрерывности, имеет важное значение в теории интегральных операторов и еиу посвящено немало работ. Подробную библиографию и истории этого вопроса «окно найти в иоиогрз^ш С.Г. Саыко, А.А. Килба-:а, О.И. Ыаричева "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложешш (Минск, Наука и техника 1987 г.)
Первые точные результаты в выяснении связи мекду гладкостью образа и прообраза принадлежат Г.X.Харда а Д.Е.Литтлвуду (1928 г.), рассмотревши дробное интегрирование в гельдеровских пространствах.
В. названной выше монографии ыошю найти результаты по дробно-
иу интйгродафйереннировашю в ОГП Н"ср) с весом р(х)-(\-л)'*П)-.ч)", Q < Н < .2, 0 < v < 2 и характеристиками из классов типа Бари-Стечкина Ф" , Р s «< s , ' а также - по дробноиу интегтэодиффе-ренцироваиня в ОГП периодических функций 1 с act.) - t.v и более общей оШ є У, полученные С.Г. Саико и Х.М. Мурдаевыи.
» ,
Н.К. Карапетянц, X.U, Цурдаев, А.Я. Якубов (1983г.) рассмотрела дробное интегродиїЗйеренцирование в некоторых подпространствах
непериодических пространств -l .
Вавным этапом изучения дробного интегродифференцировакия функций из ОШ в работах назвашоа выше авторов является получение оценок типа Зигмунда, т.е. оценок модуля непрерывности дробного интеграла (дробной производной) через ыодуяь непрерывности исходной функции.
Существует и другой подход к проблеме изоморфизма ОГП при дробном интегрировании, реализованный для непериодических пространств н с uCti = іЛ г.П. Костонетовыы.
В многомерной случае известки работы С.К. Абдуллаева, АД,Ба
баева (операторы типа потенциала, сингулярные интегралы в ОПТ),
Б.Г. Вакулова (потенциалы Рисса в ОГП, поверхностные потенциалы на
сфере). т .
Все приведенные результаты довольно полно описывают поведение дробного интегрирования и дифференцирования в ОГП - весовых и безвесовых, периодических и непериодических. Но вместе с тем- оставалась реальная возможность решить эти задачи в гораздо более, общее их постановке. А именно, рассмотреть более, общие, по сравнению со степенными, классы весов, характеристик, а в некоторых случаях а ядер. Снять ограничение сверху на порядок интегрирования и дифференцирования й . А такке сблизить, по возможности, подходы к указаному вопросу Н.К. Карапетянца, Х.У. Мурдаева, А.Я. Якубова с одной итороны, и Г.П. Костометова - с другой.
методика исследования. В работе используются методы теории функций: интегральные представления, дробное интегрирование и диф-
: .. . ; -5-
ренцированне, метод оценок типа Зигмунда.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Все ОСНОВНЫ8 ре-льтаты диссертации являются новыми.
. В случае пространств >р) выделены некоторые классы весов
и ядер Vx вольтерровского оператора свертки К . Получена
совая оценка типа Загиунда. из которой выведен результат
К- f (р> —-»- н"в Ср1, ак(Ю = h kOi) аСЮ,
)Торый в случае степенного ядре, т.е. в случае оператора тройного гтегрирования (но, по-прежнему, в случае не обязательно степенных ісов) усиливается до изоморфизма
! ffC >) = »С" lPi : а*сю = h" иСЮ О < « < 1 .
го достигается за счет предварительного получения оценки типа
игмуида для дробного дифференцирования Маршо.
Для пространств н в периодическом и непериодическом случаях
оказано, что дробное интегрирование произвольного порядна а > о зоморфно отображает их на такие же пространства с характеристиками
(О = t*uCO.
(X
Есе основные результаты работы сформулированы и доказаны в ерианах характеристик из класса Ад , но благодаря выявленной
ізаииосвязи классов ДА и * , они справедливы и для характе-
истик из класса типа Бари-Стечкина ^,.
Диссертация носат теоретический характер. Ее результаты могут інть использованы в теории интегральных уравнений.
-б-
апробация и публикации. Основные результаты диссертации докладывались на зимней школе - конференции "Теория функции, дифференциальные уравнения в математической иоделировании" (г. Воронеж, январь-февраль 1993 г.), на IV международной симпозиуме "Методы дискретных особенностей в математической физике" (т. Харьков, май 1993 г.} и неоднократно на семинаре профессора С.Г. Самко "Линейные операторы и функциональные пространства" (г. Ростов-на-Дону, РГУ).
