Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Основные обозначения и предварительные сведения 12-27
ГЛАВА II. Вложение и геометрические свойства банаховых пространств 28-54
1. Отсутствие связи индексов Бойда с вложением в шкале пространств Lpo 28 - 32
2. Верхние и нижние оценки в идеальных банаховых пространствах 32 - 36
3. ( О,, Р ) - выпуклость банаховых решеток 37 - 54
ГЛАВА III. Оценки расстояния банаха-мазура между конечномерными пространствами 55 - 70
ГЛАВА ІV. Константы симметричности функциональных банаховых пространств 71-85
1. Определение величин Q„.(E) iiKJiE), их свойства 71 - 77
2. Константы симметричности пространств Lpq и пространства Орлича LM(o,i) 78-85
Литература 86-90
- Отсутствие связи индексов Бойда с вложением в шкале пространств Lpo
- Верхние и нижние оценки в идеальных банаховых пространствах
- Определение величин Q„.(E) iiKJiE), их свойства
- Константы симметричности пространств Lpq и пространства Орлича LM(o,i)
Введение к работе
Теория банаховых решеток представляет собой одно из важных направлений функционального анализа. Значение этой теории определяется рядом обстоятельств. Многие пространства, рассматриваемые в анализе, являются банаховыми решетками (например, пространства Lp(',Z.,^t) f Лоренца, Марцинкевича, Орлича) при том или ином естественном порядке. Теория банаховых решеток служит мощным средством исследования конкретных пространств.
Важным классом банаховых решеток являются симметричные пространства, появившиеся в работах по теории интерполяции линейных операторов и гармоническому анализу (см. /19/, /34/ ). Геометрия банаховых решеток и, в частности, симметричных пространств долгое время оставалась неисследованной. Но последние 10-15 лет ознаменовались крупными достижениями в этой области. Итоги этих исследований приведены в ряде монографий и обзорных статей /4/, /15/, /34/, /39/. Результаты, связанные с геометрией симметричных пространств находят применение в теории интерполяции и теории ортогональных рядов, играют все возрастающую роль в теории вероятностей.
Возникающие в рамках абстрактной теории банаховых решеток понятия и свойства вызывают естественное желание выяснить, какие из симметричных пространств этими свойствами обладают. Решению некоторых задач, относящихся к геометрической теории симметричных пространств, и посвящена диссертационная работа.
Основное содержание диссертации изложено в главах П - ІУ. Им предпослана глава І, в которой собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.
Отсутствие связи индексов Бойда с вложением в шкале пространств Lpo
Теория банаховых решеток представляет собой одно из важных направлений функционального анализа. Значение этой теории определяется рядом обстоятельств. Многие пространства, рассматриваемые в анализе, являются банаховыми решетками (например, пространства Lp( ,Z., t) f Лоренца, Марцинкевича, Орлича) при том или ином естественном порядке. Теория банаховых решеток служит мощным средством исследования конкретных пространств.
Важным классом банаховых решеток являются симметричные пространства, появившиеся в работах по теории интерполяции линейных операторов и гармоническому анализу (см. /19/, /34/ ). Геометрия банаховых решеток и, в частности, симметричных пространств долгое время оставалась неисследованной. Но последние 10-15 лет ознаменовались крупными достижениями в этой области. Итоги этих исследований приведены в ряде монографий и обзорных статей /4/, /15/, /34/, /39/. Результаты, связанные с геометрией симметричных пространств находят применение в теории интерполяции и теории ортогональных рядов, играют все возрастающую роль в теории вероятностей.
Возникающие в рамках абстрактной теории банаховых решеток понятия и свойства вызывают естественное желание выяснить, какие из симметричных пространств этими свойствами обладают. Решению некоторых задач, относящихся к геометрической теории симметричных пространств, и посвящена диссертационная работа.
Основное содержание диссертации изложено в главах П - ІУ. Им предпослана глава І, в которой собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе. посвящена изучению некоторых геометрических свойств банаховых решеток и, в частности, симметричных пространств. Шимогаки в /41/ показал, что существует симметричное функциональное пространство Е , фундаментальная функция которого такая же, как у пространства L , а один из индексов Бойда тривиален. В первом параграфе строится симметричное пространство (сокращенно СП) такое, что Lp , с Е с Lffc для любых наперед заданных l.ZQ. tzoo , і р оо } а его индексы Бойда тривиальны. Тем самым показано отсутствие связи индексов Бойда СП Е с его вложением в шкале пространств Lp .
Цафрири в /45/ исследовал связи между понятиями типа (соответственно, котипа) банахова пространства X и нормированного типа (соответственно, нормированного котипа) и показал, что і-и {р: X - котипа pj = и {р : X - нормированного котипа pj , но существуют банаховы пространства, которые имеют нормированный тип р , І р & (соответственно, нормированный котип а для Z \, ь ), но не имеют типа р (соответственно, котипа CL ). Для р =2 эти понятия совпадают. По аналогии, во втором параграфе вводятся понятия нормированной верхней и нормированной нижней р - оценки ( і р ) банаховой решетки (сокращенно БР) X » доказывается, что если БР А удовлетворяет нормированной нижней р -оценке, то сопряженная к ней БРХ удовлетворяет нормированной верхней р -оценке, где і + р« = і (предложение 3.1). Затем исследуется связь между понятиями верхней (нижней) р -оценки и нормированной верхней (нормированной нижней) р -оценки банаховаидеального пространства (сокращенно БИП). Справедлива верхней (соответственно, нормированной нижней) р -оценке ( і р оо ). Тогда X удовлетворяет верхней -оценке (соответственно, нижней L -оценке) для любых Тем самым устанавливается, что для БИП X WPI Р : X удовлетворяет верхней р -оценке] = = 5up[p : X удовлетворяет нормированной верхней р -оценке] , 1-й (Г { р «X удовлетворяет нижней р -оценке] = - Cvdr [ р : X удовлетворяет нормированной нижней р -оценке] . Но в то же время существуют БИП, которые удовлетворяют нормированной верхней (соответственно, нормированной нижней) р -оценке, но не удовлетворяют верхней (соответственно, нижней) р -оценке. Пример такого БИП приводится в теореме 2.3. В третьем параграфе изучаются понятия ( р , О, ) - вогнутости и ( » р ) - выпуклости, где i p fy оо , банаховых решеток (см. /4/), являющиеся обощением понятий Q -вогнутости и р - выпуклости. Доказывается, что если БРХ удовлетворяет верхней р -оценке, том "г. , р ) - выпуклая для любого р і
Верхние и нижние оценки в идеальных банаховых пространствах
Суммой семейства (Xt- ) 2 называют пространство , алгеб раически и топологически вложенное в Ся и такое, что I) Х:аУ Хс при любом jel ; 2) если БП У , алгебраически и топологически вложенное в J) таково, что Xsc У для всех Пространства П Х и I/ У являются БП (см. /19/, I, 3).
Пусть (ХХ.УІ) и (Xjt.V,, ) - две банаховы пары, 2tH 2& -промежуточные пространства между ї4и Ц , Xg, и У соответственно (т.е. \li\c 2 ; Х Л 9fc с , с Х + ).
Линейный оператор Т » действующий из пространства Хх+Ц в пространство Xfc +. , называется ограниченным оператором из пары ( Х± f У± ) в пару ( Х У ), если сужение Т на пространство Хх (соответственно, УА ) является ограниченным оператором из Хх (соответственно, УІ ) в Хл (соответственно, У, ).
Тройка ( X , У1( i ) называется интерполяционной относительно тройки ( ХЯ УАі Zfc ), если всякий ограниченный оператор из пары ( Xi ,yt ) в пару (Х Уг,) является ограниченным оператором из в 2fc Если ХА совпадает с Х , У4 с У и ХІ с г , то БП 2t называется интерполяционным между пространствами ХА и Говорят, что тройка ( ХА1 у1( Х4 ) является нормально интерполяционной типа в ( о в 1 ) относительно тройки ( X , ( У f Хг ), если она интерполяционна и выполнено неравенство Наиболее широко применяемым примером банаховых решеток могут служить идеальные банаховы пространства измеримых функций (сокращенно БИП). Пусть ( Т, 2-і № ) - пространство с полной, (Г- конечной мерой, 5 = S(7\Z,M) - пространство всех вещественных измеримых функций (с обычным отождествлением и естественным порядком: Х у если XU)4(-fc) почти всюду). Для Є є21 через Э?е обозначается характеристическая функция множества Є Функция Х(-Ь) называется конечнозначной, если она принимает лишь конечное число ненулевых значений на множествах конечной меры, и обобщенно конечнозначной, если требование конечности меры не выполняется. Идеальным пространством на ( Т , Z , м ) называется линейное подмножество X в S такое, что из Х Х , у 6 S } 1 И Х следует уе-Х Носителем идеального пространства X называется наименьшее измеримое множество, вне которого все функции из X равны нулю. Банаховым идеальным пространством (сокращенно БИП) на ( Т, I, w ) называется идеальное пространство, снабженное монотонной нормой и полное по этой норме. Пусть X -БИП на ( Т, Г, уц ), X - множество всех X S(T,./ ), носители которых содержатся в носителе X и X-X WT,M) для любого Х Л .В пространстве X вво- ( JI/«: ХбХ, ИХЙх-ij А с этой нормой является БИП и называется ассоциированным к л . По каждому X Х можно построить линейный функционал $xi на X по формуле Пространство X порядково изометрично подрешетке пространствах ( /4/, /16/, УІ.І.2). Говорят, что в БИпХ выполнено условие (А ), если из ХцІО следует IfXhl " 0 Говорят, что в БИП X выполнено условие (С ), если из oX„f хеХ следует ПЛ t ІІХІІ Говорят, что в БИПХ выполнено условие (В), если из osxj ХьеХ ,хн II следует, что Предложение 1.4 (см. /16/, УІ.І.4). Пусть X -БИП. Следующие утверждения эквивалентны: І) в А выполнено условие (А ); 2) Х = Х . По пространству X можно построить ассоциированное пространство X -(X ) . Пространство X естественно вкладывается вХ , при этом 1Х1Х / ИХ IIд для УХ Л . Если БИП А удовлетворяет условию ( С ), то JXX = (ХХ.« , т.е. пространство X изометрично вложено в X Если БИП X. удовлетворяет условиям ( & ) и ( С ), то Х=Х (см. /16/, УІ.І.7; /35/ ). Приведенные выше определения и факты по теории банаховых идеальных пространств взяты из /4/, /16/, /19/ и /35/. Симметричные пространства. Важным классом БИП являются симметричные пространства (сокращенно СП). Пусть ( О , ) - конечный или бесконечный интервал, метрическое пространство всех измеримых по Лебегу почти всюду конечных функций на ( О, і ). Для каждой неотрицательной функции х е S(o, t) определена функция распределения по формуле Функция распределения убывает, непрерывна справа и может принимать бесконечные значения в случае f-oo . Совокупность всех функций x(i) , для которых И,х 1 ) =00 обозначим %(о,С).
Определение величин Q„.(E) iiKJiE), их свойства
Пусть X » У изоморфные нормированные пространства. Расстоянием Банаха-Мазура называется величина (см. /14/, /15/ ) -изоморфизм] . Этой тематике посвящено большое количество работ (см. обширную библиографию в обзоре М.И.Кадеца /15/ ). Е.Д.Глускин в /12/ показал, что «P[d(X.V) : dunX»«b«y=M.] есть величина порядка Уь Ситуация резко меняется, если ограничиться рассмотрением только симметричных пространств. Так, в работе Дэвиса и Марэ /29/ показано, что если Е -симметричное пространство размерности \V , то найдется такое р , р е IIі. ] , что сЦЕ, Cf) (VKu\ а Дэвис и Энфло /28/ установили, что в этом случае для любого с ( і 6 с оо ) имеет место оценка Е.Д.Глускин в /II/ и /13/ показал, что близкая оценка верна, если заменить L на произвольное симметричное пространство F той же размерности. Одновременно с ним близкий, но несколько лучший результат получила Томчак-Ягерманн /43/ Если брать конкретные классы симметричных пространств, то для них имеются уже более точные оценки расстояния Банаха-Мазу-ра. Так, в случае пространств р (і р ) В.Й.Гурарием, М.И.Кадецем, В.И.Мацаевым в /14/ получены следующие результаты В главе Ш рассматриваются конечномерные пространства Лорен-ца рд ( i p oo t ійс оо ) t являющиеся обобщением пространств С , и оценивается расстояние Банаха-Мазура между ними. В теореме 3.1 показано для 14 , 00 , { р 2/ или Z 6 р . Если же 1 ,Ъ о , i 6 Z f o , то Аналогичная оценка сверху доказана для случаев, когда 1 р Z b p , iZfy.l и 5=р , і ї оо , где о п» 1 (теорема 3.2). В теореме 3.3 показана г Р справедливость следующих оценок Глава ІУ посвящена изучению двух характеристик СИ(Е) СП Е= Е (0,1). Характеристика Ф,(Е) была введена в работе /3/. Там же было доказано, если WfO Ej +oo , то E-Lp для некоторого p L1» 3 ; вычислялась @и(Аір) , где Л if - пространство Лоренца, построенное по вогнутой, непрерывной в нуле функции PU) В первом параграфе дается определение величин 6h (Е ) и СИ(Е), доказывается, что ЭИ(Е) = w(E / для любого he Л , где Е - произвольное СП, Е - СП, ассоциированное к Е (предложение 4.2). В теореме 4.1 доказывается справед 10 ливость оценки \Ch(E) ,cyie е , где de и ре нижний и верхний индексы Бойда СП Е соответственно. Для величины и() справедлива оценка где уЕ и ов - нижний и верхний показатели растяжения функции Х(ірє соответственно (теорема 4.2). Далее доказывается, что @и(Е) и „() не обязательно должны быть величинами одного порядка, хотя, например, для пространств Lp и L это имеет место ( i p oo , i 6 oo f i 00 ).
Константы симметричности пространств Lpq и пространства Орлича LM(o,i)
Определения, касающиеся интерполяционных пространств и троек, взяты из /2/ и /19/ гл. I, 3,4.
Наиболее широко применяемым примером банаховых решеток могут служить идеальные банаховы пространства измеримых функций (сокращенно БИП).
Пусть ( Т, 2-і № ) - пространство с полной, (Г- конечной мерой, 5 = S(7\Z,M) - пространство всех вещественных измеримых функций (с обычным отождествлением и естественным порядком: Х у если XU)4(-fc) почти всюду). Для Є є21 через Э?е обозначается характеристическая функция множества Є
Функция Х(-Ь) называется конечнозначной, если она принимает лишь конечное число ненулевых значений на множествах конечной меры, и обобщенно конечнозначной, если требование конечности меры не выполняется. Идеальным пространством на ( Т , Z , м ) называется линейное подмножество X в S такое, что из Х Х , у 6 S } 1 И Х следует уе-Х Носителем идеального пространства X называется наименьшее измеримое множество, вне которого все функции из X равны нулю. Банаховым идеальным пространством (сокращенно БИП) на ( Т, I, w ) называется идеальное пространство, снабженное монотонной нормой и полное по этой норме. Пусть X -БИП на ( Т, Г, уц ), X - множество всех, носители которых содержатся в носителе X и X-X WT,M) для любого Х Л .В пространстве X вво А с этой нормой является БИП и называется ассоциированным к л . По каждому X Х можно построить линейный функционал $xi на X по формуле Пространство X порядково изометрично подрешетке пространствах ( /4/, /16/, УІ.І.2). Говорят, что в БИпХ выполнено условие (А ), если из ХцІО следует IfXhl " 0 Говорят, что в БИП X выполнено условие (С ), если из oX„f хеХ следует ПЛ t ІІХІІ Говорят, что в БИПХ выполнено условие (В), если из osxj ХьеХ ,хн II следует, что Предложение 1.4 (см. /16/, УІ.І.4). Пусть X -БИП. Следующие утверждения эквивалентны: І) в А выполнено условие (А ); 2) Х = Х . По пространству X можно построить ассоциированное пространство X -(X ) . Пространство X естественно вкладывается вХ , при этом 1Х1Х / ИХ IIд для УХ Л . Если БИП А удовлетворяет условию ( С ), то JXX = (ХХ.« , т.е. пространство X изометрично вложено в X Если БИП X. удовлетворяет условиям ( & ) и ( С ), то Х=Х (см. /16/, УІ.І.7; /35/ ). Приведенные выше определения и факты по теории банаховых идеальных пространств взяты из /4/, /16/, /19/ и /35/. Симметричные пространства. Важным классом БИП являются симметричные пространства (сокращенно СП). Пусть ( О , ) - конечный или бесконечный интервал, метрическое пространство всех измеримых по Лебегу почти всюду конечных функций на ( О, і ). Для каждой неотрицательной функции х е S(o, t) определена функция распределения по формуле п.х(г) = к.е4(іЄ(о,Є): xlfc) trj. Функция распределения убывает, непрерывна справа и может принимать бесконечные значения в случае f-oo . Совокупность всех функций x(i) , для которых И,х 1 ) =00 обозначим %(о,С). Две неотрицательные функции X(t) и U(-0 из $0{о, I) называются равноизмеримыми, если Пх )= и с ) Перестановкой неотрицательной функции X б $0 (0, с) называется убывающая непрерывная слева функция , рав-ноизмеримая с функцией X (-Ь) Перестановка единственна и может быть определена по формуле Для произвольной функции X() из S (с, ) через X W обозначается перестановка модуля функции X () Функциональное банахово пространство Е на (о, I ) с мерой Лебега называется симметричным, если 1) из того, что М Е и 1 Х1±) 4 tj(i) почти всюду на (С?, О вытекает Х Е и l! llE lit) 1 ; 2) из того, что Ц&Е и функция X() равноизмерима с функцией \\t)\ .
