Введение к работе
Цель (заботы. Изучение локальных: свойств дробных интегралов
х Ь
Iа *> = —I, Г .р(у) dv ґ" <> = ггА-" Г ^{у) dv
*-. * №7 J (х.у).-« <* Ч- <> ГМ j (у_х)»-« "У
а X
и потенциалов Рисса на отрезке и в конечной области R14.
Актуальность. Интегральные операторы с ядрами типа потенциала имеют приложения в теории упругости, ползучести, аэромеханике и привлекают внимание многих математиков. Хорошо изучены глобальные свойства дробных интегралов и потенциалов Рисса в L пространствах, в гельдвровских и обобщенных гвльдеровских пространствах. Этими вопросами начинали заниматься еще Б.Риман и Ж.Ли-увилль. Подробную библиографии и истории можно найти в монографии С.Г.Самко, А.А.Килбаса, О.И.Маричева "Интегралы и производные дробного порядка и некоториэ их приложения" (Минск, Наука и техііика 1987г.). Связь мезду гладкостью образа и гладкостьы прообраза изучалась еще Г.Харди и Д.Литтлвудом, которые показали, что дробный интеграл Iа устанавливает изоморфизм между пространствами гвльдеровских функций H*fa,b] н I^'aIa,b] . В последние
годы стали появляться работы;" связанные с изучением локального
а поведения операторов I в гвльдеровских и L пространствах в
терминах локальных характеристик Хг с(1,?>.<0 и в тормюгах переменной гладкости в случае гвльдеровских пространств. Интерес к последним задачам настолько был актуален, что их рошониа было
одновременно начато в США (Б.Росс и С.Г.Самко) и автором (совместно с Н.К.Карапетянцвм). В атих работах удалось показать, что дробные интегралы могут сохранять гельдеровскив классы переменного порядка. Здесь еще важно от метить, что ранее было известно, что сингулярные интегральные операторы этим свойством нэ обладают.
Методика исследования. В работе используются методы теории функций: интегральные представления, дробное диффервнцироваїше и интегрирование по параметру, сингулярные интегралы. .В многомерном случае, при изучении действия потенциалов Рисса в ВМО(В ), где В - единичный шар в Rn, пришлось разрабатывать свой подход, так как свойства вольтерровских сверток, которые существенно помогает в случае п=1, отсутствуют.
Научная новизна и практическая значимость. 1)Рвшэна задача об изоморфизма, осуществляемом дробным интегралом в гельдэровских пространствах переменной гладкости. 2)Показано, чтс потенциал Рисса , заданный в п-морпом единичном шаре, повышает гладкость гэльдеровского пространства переменного порядка,
' 3)Получены оценки средней осцилляции операторов вольторровской свертки С плотностью из L (а,Ь), ріі. 4)Доказано, что сингулярны!
' интеграл огреничен в гельдвровском пространстве переменной гладкости (при определанных" ограничениях на порядок гладкости). 5) Доказаны .локальные оценки для дробных интегралов со стбпвнно-логЕфлфлическим ядром в 1 [ОД] и потенциалов Рисса в
ЬР(В,)-
Полученные результаты новы, они могут быть использованы дд
-5-рэшония различных задач математики и механики.
Апробация и публикации- Основные результаты диссертации докладывались на XV Всесоюзной школе по теории опараторов в функциональных пространствах (г. Ульяновск, сентябрь 1ЭЭ0г.). на международной конференции "Дифференциальные и интвгральшв уравнения. Математическая физика я специальные функции" (г.Самара, мой 1992г.), на VI Международном симпозиуме "Мотодй дискретных особошгастей в математической физике" (Г.Харьков, май 1993г.) и неоднократно на семинаре профессора С.Г.Самко "Линейные операторы и функционэльшэ пространства" (Г.Ростов-на-Дону, РГУ).
