Введение к работе
Цели и задачи исследования. Исследование новых классов существенно различных функциональных пространств, в определении и (или) описании которых используются средняя осцилляция функции. Развитие методов исследования таких пространств, основанных на технике дробного интегро-дифференцирования, преобразования Березина и с использованием классических интегральных операторов с каноническими ядрами типа Бергмана. Для достижения указанной цели исследованы весовые аналитические пространства Бесова на единичном диске, пространства функций с ограниченной средней осцилляцией в метрике Бергмана на бидиске и пространства функций с р— суммируемой с весом ограниченной средней осцилляцией на вещественной оси, полуоси и отрезке.
Актуальность. Пространства Бергмана, Харди, Бесова, Липшица, Блоха и ВМОА наиболее широко изучены в современной литературе в ряду пространств аналитических функций одного или многих переменных. Широкий круг задач, в том числе интегральные представления функций из этих классов, разложение на атомы, вопросы двойственности, интерполяции, характеризация в терминах производных (в том числе и дробных) объединяет эти пространства и связывает решение этих задач со ставшими уже классическими операторами типа Бергмана, операторами дробного интегродиф-ференцирования, преобразованием Березина и техникой средней осцилляции. Эти пространства, за исключением ВМОА, естественно могут считаться частью достаточно общего семейства аналитических пространств Соболева, однако, детальное изучение каждого специфического класса представляет самостоятельный интерес. Не менее важным и актуальным представляется исследование пространств функций, определяемых условиями суммируемости на среднюю осцилляцию функций. Характеризация этих пространств представляется важной с точки зрения внутренних задач теории функций,
каковыми, например, являются задачи описания гладкостных свойств функций в терминах средней осцилляции, исследование интегральных операторов в таких пространствах, а также вопросы аппроксимации локально суммируемых функций сингулярными интегралами в терминах средней осцилляции.
Методы исследования. В диссертационном исследовании используются методы функционального анализа, теории функций вещественного и комплексного переменного, методы теории функций с ограниченной средней осцилляцией как вещественного, так и комплексного переменного, техника оценок средних значений локально интегрируемых функций, техника дробного интегродифференцирования, методы теории интегральных операторов с каноническими ядрами, в том числе проектор Бергмана, техника преобразования Березина.
Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
Получена характеризация весовых аналитических пространств Бесова Вр(Ш) на единичном диске в терминах, связанных с весовым проектором Бергмана, в терминах весовых дифференциальных операторов дробного порядка, в терминах осцилляции функции в гиперболической метрике Бергмана.
Дана характеризация классов функций с ограниченной средней осцилляцией в метрике Бергмана на бидиске BMO^(V2) в терминах преобразования Березина и в терминах средних по гиперболическим дискам.
Введены и изучены классы функций с р— суммируемой (с весом) ограниченной средней осцилляцией на вещественной оси ВМОр^(М), полуоси ВМОР;Ш(К±) и отрезке в терминах интегрального скачка Сарасона.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и развитые методы могут найти применение в исследованиях по
теории функциональных пространств аналитических функций и функций с ограниченной средней осцилляцией как вещественного, так и комплексного переменного. Развитые методы могут быть использованы при исследовании свойств ограниченности, компактности, спектральных свойств теплицевых, ханкелевых операторов и их модификаций в пространствах типа Бесова, Дирихле, а также при исследовании алгебр таких операторов.
Полученные результаты могут быть использованы научными коллективами Уфимского научного центра РАН, С. Петербургского отделения математического института им. Стек-лова, Южного федерального университета, Воронежского, Казанского, Одесского университетов, а также другими научными коллективами, ведущими исследования в теории функций вещественного и комплексного переменного, примыкающих к основным направлениям диссертации.
Апробация работы. Диссертация выполнена в Южном Федеральном университете на кафедре Дифференциальных и интегральных уравнений при поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований:
"Интегральные операторы с каноническими ядрами, сингулярные интегральные операторы на банаховых пространствах и порождаемые ими алгебры"(РФФИ 06-01-00297-а, исполнитель);
"Операторы типа потенциала с особенностями ядер или символов на многообразиях, аппроксимативные обратные операторы и функциональные пространства, связанные с такими операторами"(РФФИ 04-01-00862-а, исполнитель)
Отдельные части диссертации докладывались соискателем на следующих международных конференциях:
1. 4-ой международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений "(AM ADE-
2006, Минск, Белорусский госуниверситет, сентябрь 2006);
международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, МГУ, май 2007);
международной конференции "Теория операторов. Комплексный анализ. Математическое моделирование"
(Волгодонск, сентябрь 2007).
Результаты диссертации также неоднократно докладывались на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университета, на семинарах кафедры математики Ингушского государственного университета.
Публикации. Содержание диссертации опубликовано в работах [1]-[10]. Профессору, д.ф.-м.н. Н.К. Карапетянцу принадлежит постановка задач, решение которых составило третью главу диссертационной работы, а научному руководителю, д.ф.-м.н. А.Н. Карапетянцу принадлежит постановка задач первой и второй главы диссертации и последующее руководство решением задач, составивших диссертационную работу. В совместных работах [1], [3] научному руководителю, д.ф.-м.н. А.Н. Карапетянцу принадлежит постановка задач и выбор методики исследования, а автору диссертации - реализация рекомендаций и доказательства соответствующих результатов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав, включающих в себя 26 разделов, кратких выводов и комментариев к каждой главе, заключения, библиографического списка, включающего список использованных источников и список работ соискателя. Объем диссертационной работы 132 страницы машинописного текста. Список использованных источников и список работ соискателя на 12 страницах содержит 100 и 10 наименований соответственно.
