Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию свойств коэффициентов Фурье и мажоранты частичных сумм рядов Фурье по системам типа Хаара. В ней рассматриваются вопросы мультипликативного преобразования рядов Фурье, сходимость рядов, составленных из коэффициентов Фурье, интегральные свойства мажоранты частичных сумм рядов Фурье, а также системы функций типа Фабера-Шаудера, связанные с системами типа Хаара.
Классическая система Хаара, построенная Хааром в 1909 году, играет важную роль в теории ортогональных рядов и ее приложениях в'вычислительной технике в теории вероятностей и др. Основополагающие результаты по теории рядов Хаара получены А.Хааром, И.Шаудером, Г.Алекснчем, Д.Марцинкевичем, С.Качмажем, П.Л.Ульяновым, А.А.Талаляном, А.М.Олевскпм, Б.И.Голубовьш, В.А.Скворцовым, С.В.Бочкаревым и др.
В последние десятилетия активно изучается класс \- ортонормиро-панных систем, содержащий в себе систему Хаара, впервые рассмотренный Н.Я.Виленкиным1. Каждая система \{р»} этого класса определяется последовательностью целых чисел {Рп}. рп > 2, п = 1,2,... и при р„ = 2. и = 1,2.... совпадает с системой Хаара. Ряды по системам класса \ изучались в работах Б.И.Голубова, А.Е.Рубинштенна. Е.А.Власовой, К.Тухлиева, Е.С.Смаилова, Е.А. Кочетковой, СЛГазабекооа, Н.А.Бокаева. Г.А.Акишева, Е.Ж.Айдосова и др. При этом обнаружилось, что многие результаты, известные для системы Хаара, сохраняются и для систем типа Хаара ,\{р„}. но в случае неограниченности образующей последовательности {рп} могут иметь место и другие результаты.
В настоящей работе рассматриваются ряды по системам класса \ как с ограниченными так и с произвольными образующими последова-
'Ки.кикпн II.Я. Дополнение к книге Качмаж С, Штейнгауі Г. Теорії» ортогональных радов. М.:Фиім«тгиі. І9-18.
тельностями {pi,}.
Цель работы. Исследование мультннлнкаторных преобразований рядов Фурье по системам типа Хаара для различных классов функций; установление необходимых и достаточных условий сходимости и расходимости рядов из коэффициентов Фурье по системам типа Хаара; исследование интегральных свойств мажоранты частичных сумм рядов Фурье и функции Пэли; построение нового класса систем функций типа Фабера-Шаудера, связанного с системами типа Хаара. и изучение его свойств.
Методика исследования. В диссертации применяются общие методы метрической теории функций и теории ортогональных рядов, а также методы теории мартингалов, связанные с построением моментов остановки применительно к рядов по системам типа Хаара.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Получено необходимое и достаточное условие существования функции из класса Я"1' ', обладающей особенностью Карлемена относительно системы типа Хаара; установлены необходимые и достаточные условия принадлежности последовательности {А„} классам мультипликаторов (,,(0).1,,) и (Ер(а),Еч{1$))\ определено необходимое и достаточное условие на порядок роста образующей последовательности {p,,}^i системы типа Хаара для сохранения Теоремы типа Бсрнштсйна-Снса об абсолютной сходимости рядовг^ктавленных in коэффициентов Фурье; доказана, эквивалентность норм мажоранты частичных сумм и функции Пэлн рядов Фурье по системам типа Хаара в пространстве Іі[0,1]; построены примеры функций из класса L$[L). для которых мажоранта частичных сумм не суммируема, а также, пример функции из класса ,,[0.1]2 с оператором Пэли, не принадлежащим L;,[0,1]'2; доказано, что атомическое пространство Харди содержит все функции из 1|[0.1] с суммируемой мажорантой частичных сумм ряда Фурье по системе типа Хаара: введен новый класс систем функций, содержащий систему Фабера-Шаудера, и установлены некоторые свойства этого класса.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационного исследования расширяют и углубляют теорию рядов по системам типа Хаара. Полученные результаты могут найти применения при решении родственных вопросов для других ортогональных систем функций.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на республиканских научных конференциях ( Алмати 1993г, 1995г., Шымкент 1996г.). в ИТПМ на семинаре член-корр. АН РК Н.К.Блнева и проф. Л.П. Фалалеева, в КазГУ им. Аль-Фараби на семинаре член-корр. АН РК А. А.Женсыкбаева. в АГУ на семинаре член-корр. АН РК М.О.Отелбаева, в ЕАУ им.Л:Н.Гумилева на семинаре проф. Н.Т.Темиргалнсва, в КарГУ им. Е.А.Букетова на семинаре проф. Е.С.Сманлова.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [7].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертаций составляет 104 страницы машинописного текста, библиография содержит 67 наименований.
