Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.
I. Предварительные сведения из теории функций... 16
2. Некоторые вспомогательные результаты... 20
3. Постановка задачи. Классы 24
4. Двойственность классов. Решение однородной задачи 31
5. Решение неоднородной задачи. Устойчивость. 41
ГЛАВА 2. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СО СТЕПЕННЫМ ЗАВИХРЕНИЕМ ПОРЯДКА
6. Постановка задачи... 47
7. Класс N 70 48
8. Решение однородной задачи... 57
9. Решение краевых задач... 64
ГЛАВА 3. МАССЫ КОРРЕКТНОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СО СТЕПЕННЫМ ЗАВИХРЕНИЕМ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
10. Постановка задачи. Класс Ар . 75
11. Класс Н{а,р) 77
12. Решение однородной задачи... 86
13. Решение краевых задач... .103
ГЛАВА 4. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ СО СТЕПЕННЫМ ЗАВИХРЕНИЕМ В ПРОСТРАНСТВАХ ХАРДИ.
14. Постановка задачи ...106
15. Дополнительные свойства канонического решения. 107
16. Общее решение задачи 111
17. Коядро оператора А .121
18; Постановка краевых задач. Устойчивость 124
ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ Git ЄЖ
19. Постановка задачи. Случай "нулевого индекса" 126
20. Случай "бесконечного индекса".. ...131
ЛИТЕРАТУРА
- Предварительные сведения из теории функций...
- Класс N 70
- Постановка задачи. Класс Ар .
- Дополнительные свойства канонического решения.
- Постановка задачи. Случай "нулевого индекса"
Введение к работе
Краевым задачам сопряжения для решений эллиптических систем уравнений первого порядка (в частности, для аналитических функций) посвящено большое количество работ, обзор которых содержится в монографиях 1 - 6^ . Основное направление теории связано с изучением задач с конечным индексом, имещим большое практическое значение. Для задач сопряжения аналитических функций один из общих результатов соответствующей теории можно, не вдаваясь в подробности определения контура L и граничных данных, сформулировать следующим образом: для корректной постановки краевой задачи сопряжения необходимо задать конечное число дополнительных условий вида
3№, $ ; zj = о, /я=/, |а?+/| ,znTL, " (0.2) где либо 3=9^(^) есть функционал от решения ($^0) , либо (0,2) представляет собой необходимые и достаточные условия разрешимости задачи (0.1) ( св<0 ), при этом решение задачи (0.1, 0.2) выражается формулой [і - 2] фт=Щ ?1М* sxW3%), (0-3) о[ ' гги t(t){t-z) где Д(Я) - некое специальное (каноническое) решение однородной (Q^-D) задачи (0.1) с нулями (х^0) или полюсами (se<0J в точках ' Z ; в случае % %m) = ^f^m) (если кратность полюса m функции Х(Я) больше единицы, то в # входят и производные от Y[z) в точке #^ соответствующего порядка; возможно ^=оо ). при этом 95 равно индексу Коши ^гнкпии G(i) (G-(t) ф 0) ; так при Ь - гладком, Gd)^C^iL)\ %=lndG(t) = 7U-\dri(rtf) = --^A (ЩШ\ (0.4) Kribb у H/L и а в других случаях (например, когда (г(і) - разрывна) индекс зе можно определить с помощью различных модификаций формулы (0.4) (см. [1-2, 4 - Ь]).
На этой основе при сЄ^-O выписывается общее решение задачи (0.1) l«4f| где Ф0 (^v=CH
0, К^/га; а при зе<0 можно дать корректную постановку задачи (0.1) с помощью введения в правую часть (0.1) линейной комбинации системы функций с коэффициентами, подлежащими определению: /г+/1 (0.6) тае .?(,&; yJ"C Сі-6].
Аналогичные результаты имеют место и для задач сопряжения решений эллиптических систем уравнений, где также условия (0.2) определяются индексом Коши функции Q{i) (см. ЦЗ, d).
Задачами с бесконечным индексом называют задачи, в которых в (0.4) формально дг = оо . Систематическое изуче ние подобных задач для аналитических функций начинается с основополагающих работ Н.В.Говорова [7 - 123 . Неоднород ную задачу (0.1) Н.В.Говоров рассматривал на лучеL=\j,oo) , когда Gii)=-exp{{ifi-t) і*?) , р>о ,
Фактически было доказано, что если решение однородной задачи X {%) удовлетворяет условиям: d „±, + . . псС, і-(і)еШ, %f~№*M\tY > (0.7) \Ш*(П\*М; ±(n\)(wUM-±X>0, то при 0-(oo) =o с помощью формулы (0.3) можно найти ограниченное решение (0.1), при этом в случае Х<0 получим условия разрешимости (0.2), где z - полюса Х(> . Таким образом при исследовании неоднородной задачи (0.1) основной вопрос состоял в построении решения однородной задачи Х(я), удовлетворяющего (0.7), для чего строилась специальным образом последовательность его нулей (%>0) или полюсов [%<0) . При этом Х() имело вид: Y,(Z) = \F(Z)j ЄХрГ(%),±%>0) (0.8)
Г{%) *=. \ —-—— dt, ^+/ > p ^ у - целое; a F (%) - некая целая функция с асимптотикой при %-*ъ& "такой же", как асимптотика exp ( + F(Z)} (± Л/> О ) ? так, чтобы X (#) вида (0.8) удовлетворяла (0.7) 8-9, 12] . Отметим, что фактически аналогичная ситуация имеет место и в случае конечного индекса, при этом асимптотика есср{+ F(%)} ( ±3>0 > У—О ) "такая же", как j многочленов F(z) , defF= I й| [1-5].
Путем исследования произведений вида (0.8) изучались Н,В.Говоровым и различные классы решений однородной задачи (0.1) [7, 10 - II ] .
Подобный же подход - построение решения неоднородной задачи (0.1) с помощью Х(#) с условиями (0.7) и исследование однородной задачи с помощью представления (0.8,0.9) -характерен и для последующих работ по задачам с бесконечным индексом для аналитических функций [із - 29] , некоторые из которых фактически посвящены только исследованию асимптотики интегралов вида (0.9) для различных классов (б) [13 - 14, 17 - 18] . Так в работах П.Г.Юрова изучалась задача (0.1) с логарифмически растущей функцией (Щ, (тф [16 - 18] ; в работах М.Э.Толочко, И.Е.Сандригайло, А.Г.Алехно рассматривались задачи (0.1) на вещественной прямой Z=foovoo) с функцией Сг{ь) в общем такой же, как у Н.В.Говорова на луче [Уч оо) JJE9 - 22] .
Ряд работ, развивающих те же идеи, посвящен случаю так называемого многостороннего завихрения, когда в данной
8 точке встречаются несколько кривых с бесконечным разрывом Cutoff (і) С 24] ; задачам с конечным или счетным множеством разрывов Grii) [23, 28 - 29] ; задачам в исключительном случае, когда Сп I G-U) | также имеет степенной рост [26 - 27] и т.д. Следует также отметить ряд работ В.Б.Дыби-на с соавторами [30 - 32] , где предложены корректные постановки задачи (0.1) вида (0.2) или (0.6) в пространствах
Харди Ф±(%)еНр{Е±), Е~ - \%\±Чга%>0) [зз]
00,00) ) для функций (г(і) вида
При этом выписан соответствующий базис Ф (Я) в (0.5) ( б>0 ) яш g,mct) в (0.6) ( <5<0 ), т = -ос?уоо и указаны пространства коэффициентов в (0.5,0.6)3=^16^5 &- {^я}Є ^ [34] . Исследование в [30 - 32] основывается на теоремах об интерполяции в пространствах целых функций экспоненциального типа, полученных в работе Б.Я.Левина [35] .
Таким образом, в теории краевых задач с бесконечным индексом фактически в стороне оставался вопрос о корректности задачи (0.1, 0.2) (исключая работы [30 - 32], где исследована задача только в пространствах Харди и для достаточно узкого класса функций G(b) ) и совсем не исследовался важный вопрос о классах корректности, т.е. о классах последовательностей \j5m] таких, что задача (0.1, 0.2) корректна. Подобное исследование во всяком случае необходимо, если попытаться рассмотреть задачу сопряжения (0.1) для решений квазилинейных эллиптических систем уравнений вида
Ф% -flf (z, Ф) Ф^ -//*(*. Ф) Ф^ -А (я,Ф), (0.10)
Шр(Щ(Х,Ф)\+\/4і(^Ю"Мо-
Так, в работах В.Н.Монахова и С.Н.Антонцева (см. в [4] ) разрешимость подобных задач при ind /г<о исследована на основе корректности задачи (0.1, 0.2) для аналитических функций в плоскости некоторого гомеоморфизма. Для применения подобных методов в задачах с бесконечным индексом необходима как корректность задачи (0.1, 0.2), так и достаточная широта класса корректности (по крайней мере, инвариантность его при некоторых гомеоморфизмах комплексной плоскости), так что построением примера функции Х[%) с условиями (0.7) здесь уже обойтись невозможно.
Далее, интерес представляет вопрос о границах применимости метода решения задач с бесконечным индексом, предложенного Н.В.Говоровым и основанного на построении Х() с условиями (0.7). Фактически это означает общее описание класса функций В-it) , представимых в виде отношения ана-яитических функций X {%) с условиями типа (0.7) на L Кроме того, необходимо в этом общем случае классифицировать функции (г(і) по классам корректности (грубо говоря, выделить классы функций одного индекса) и предложить'Термины, в которых можно было бы характеризовать корректные постановки задачи (0.1) вида (0.2).
Заметим, что задачи сопряжения с бесконечным индексом для решений эллиптических систем уравнений более общих, чем система Коши - Еимана, ранее не рассматривались.
Целью настоящей работы является построение классов корректности задачи (0.1, 0.2) для аналитических функций и применение полученных результатов в исследовании разрешимости задачи сопряжения (0.1) для решений квазилинейных эллиптических систем уравнений (0.10). Рассмотрен "модельный" случай задачи с бесконечным индексом на контуре 1= (-оо оо) , когда, вообще говоря, ала(г{і) —* оо при \t\-**oo , но G-(i) Є С* ZR, /?] » V# >0 . При этом в работе получены следующие основные результаты:
В задачах сопряжения аналитических функций описан общий класс Ж функций (}(і) , для которых применим метод Н.В.Говорова и соответствующий класс ТС последовательностей Z = [Zm] в (0.2), в классах Щ » Й введены термины, характеризующие корректность задачи (0.1, 0.2).
Рассмотрены некоторые подклассы Д 0 класса JfL , заданные непосредственно в терминах асимптотики (г(о) , І —*~&о и более широкие, чем классы функций со степенным ростом OJi(lG{i) , рассматривавшиеся ранее [8,9,12,19-22]. Для них указаны подклассы классов корректности, также заданные непосредственно в терминах последовательностей (} (точнее, в терминах считающих функций последовательностей) и на основе инвариантности этих подклассов при некоторых гомеоморфизмах плоскости исследована разрешимость задачи (0.1) для квазилинейных эллиптических систем (0.10).
3. Для тех же подклассов А р рассмотрена задача (0.1), когда
4, Исследована задача (0,1) при некоторых u(z) є W /+ + в пространствах Харди ф~(Я)єН0(Е ) , т.е. описано общее решение однородной задачи как линейное пространство или соответственно указана система функций ^тС^) в (0.6), двойственная к ядру сопряженного уравнения (см. [і - б] ). При этом показано, что для рассматриваемых функций &(.) задача (0.1) не является нормально разрешимой, т.е. множество функций git) е Lp(l/) для которых существует решение (0.1) Ф~(%) єНр(~ ) не замкнуто в Lp(L) и, следовательно, оператор, решающий задачу (0.1) или (0.6) не будет непрерывным [і, б] . Отметим, что при этом \G(i)\ s /? т.е. потеря нормальной разрешимости происходит не за счет обращения в нуль функции Qii) , как обычно Q[, б] , а за счет завихрения СШ2-(т(І) Подобная ситуация автору ранее в литературе не встречалась.
Все исследованные в диссертации классы последовательностей инвариантны при симметричном отражении относительно вещественной оси, что позволяет без всяких затруднений исследовать с той же степенью полноты, что и задачу (0.1), задачу Гильберта Re 1&іі)Ф*(і)}=9ХІ), izL, где G (ь) є 7ЦЬ , путем сведения ее обычным образом к задаче Римана (0.1) (см. \l - 2] ).
Остановимся на содержании диссертации подробнее. Б главе I рассмотрены общие классы 771 , 71 . При этом
12 существенно использованы некоторые сведения из теории целых функций, а также теории асимптотического поведения функций, аналитических в полуплоскости. Для удобства чтения диссертации, эти сведения приведены в І. В 2 доказан ряд вспомогательных утверждений» В 3 введен класс Щ/ функций Q- {і) таких, что причем л (Я) - аналитичны и ограничены в и \l*i\X\t)\\*M, )C(t)\\i\^4 *C*(L). СОЛІ)
Условия (О,II), очевидно, являются более слабым аналогом условий (0.7). Определены классы Ш = Ш U W/ и класс %1 последовательностей % ={2п} Основную роль играет 4, в котором для &(І)^Ш получено представление G (і) = &0 (і) exp \±rZ(^ , & * Wr , (0.12) Ш) = S. U . - -2 к где г,г7,/ч sp п 1~Ъ1Ът, v> о 1 b/Zm j* J-6/Zm те/- i-t/z. .+ + а &0ІІ) е Хо - классу функций "нулевого индекса", т.е. таких, для которых задача (0.1) безусловно и однозначно разрешима [і]
Ба основе (0.12) произведено разбиение Щ на классы %, функций, грубо говоря, одного индекса и соответствующее разбиение TL на классы корректности /V IjL) , в этих ІЗ классах введено понятие сходимости:
,-^4, ZK^Z0. (олз)
В 5 доказана корректность задачи (0.1, 0.2) при (^е*Ш, &(і)єрс т , ZeA/(?) C.0Z и Ф* (z)ec^(~~), Е~=Е U Л ; в частности устойчивость Ф (Z) в классе Гельдера Cfi (") по a(.i).C*(l/), Gefi , Z є А/(?) . Таким образом, вопрос о корректности задачи (0.1, 0.2) в классах Гельдера сводится к проверке условий (0.12, 0.13).
В главе 2 рассмотрены функции (І) со степенным завихрением: порядка j9 < / , уже рассматривавшиеся ранее в [9, 19 - 21]. Для них в 7 в терминах считающихфункций ( [ЗбЦ , стр. 119) введены классы А^ (Я) последовательностей, рас положенных в углах | ош ZІ Є D/, ^-
Предварительные сведения из теории функций
Как отмечено во введении, теория краевых задач с бесконечным индексом непосредственно связана с теорией целых функций, а также с теорией функций, аналитических в полуплоскости. Приведем необходимые в дальнейшем сведения из этих разделов теории функций.
Пусть F(Z) целая функция, М (г)=т,си \F (z)\, Порядком функции г (Z) называется число ж ft {В) называются соответственно типом и индикатором F(z) при формальном порядке р . Если Ф=А(в} 09 то F(Z) называется функцией минимального типа (при порядке р ). Таким образом, при р р F(z) - всегда минимального типа. Если р= р , то б б- , h(9) —#_ {в) называются соответственно типом и индикатором
Класс N 70
В данной главе рассмотрим функции G (zO вада: и соответствущие классы эквивалентности . Отметин, что т.к. из следует Іг0Є 0 , то в классах р содержатся в частности функции, рассмотренные в (9, I9J Покажем, что (г% ЇЇЯЬ при ±Я/ 0 (соответственно /г е Ж при ±% 0 ) и одновременно рассмотрим некоторые подклассы классов / =/ (,2 ), заданные в терминах считавдих функций последовательностей. На основании свойств этих подклассов (в частности, инвариантности при некоторых преобразованиях) докажем разрешимость краевой задачи со сдвигом для квазилинейных эллиптических систем уравнений.
В сущности то, что ff e Ш , доказано в работах _9,I9j , где построены решения однородной задачи, удовлетворяющие {1-ої/). Интерес в данной главе представляет изучение классов корректности, заданных "непосредственно1 в терминах последовательностей
Постановка задачи. Класс Ар
Исследуем ядро и коядро оператора л (под коядром будем понимать прямое дополнение образа оператора [б] ) как бесконечномерные линейные пространства, т.е. укажем их базис и соответствующее линейное пространство коэффициентов [34] , а затем на этой основе дадим корректные постановки задач (14.I), (14.2), аналогичные \l - 4} , когда при (г Ар задаются значения системы функционалов над Ф{%) ( соответственно f{t) )3 не обязательно нулевые, а при tr Ap в правую часть уравнения (14.1) или (14.2) добавляется линейная комбинация функций с неизвестными коэффициентами, подлежащими определению.
Дополнительные свойства канонического решения
Итак, если Q{i)eomA , то единственное решение задачи (I4.I) имеет вид (16.8). Отсюда, в частнос ти, оператор вида (16.10) А & = Ф„ Ф„ есть левый обратный к А . Кроме того, т.к. Ф0 (я) є Ир ( ) , то S($/X+ \Zffl) = 0, /7i--oo,oo - т.е. получены необходимые условия разрешимости задачи (I4.I). Покажем их достаточность. Действительно, если S(p/X+\%т)=0, т = -оо.оо , то Ф0 (Z) вида (16.8) аналитична в и решает задачу (I4.I), нужно только показать, что Ф [%)е.Нр ( ) , Рассмотрим для определенности Ф0 (z).
Постановка задачи. Случай "нулевого индекса"
Результаты главы 4 позволяют рассмотреть задачи (I4.I), (14 2) в пространствах Харди (соответственно в Lp{L) ) для некоторых функций () Ж , но /rC& & it ) (), 5 W , Именно, можно в тех же терминах, что и в главе 4, описать ядро и коядро оператора А вида (14.2) как линейные пространства. Однако характерной чертой всех рассмотренных случаев является то, что оператор А не будет нормально разрешимым, т.е. его образ не замкнут ъ Lp[L) и соответственно А не имеет непрерывных односторонне обратных операторов ( [б] , стр.30) (под коядром в данном случае будем понимать прямое дополнение к замыканию образа Сїїі А ). Следует подчеркнуть, что при этом \[)\=1 , т.е. потеря нормальной разрешимости происходит не за счет нулей функции (тії) , как обычно El, бЦ , а за счет завихрения ее аргумента. Еіудем рассматривать функции вида.
