Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Краевая задача маркушевича для кольца и линейное функциональное уравнение со сдвигом в область
1. Сведение краевой задачи к функциональному уравнению 11
2. Решение линейного функционального уравнения 15
3. Применение функционального уравнения к решению краевой задачи 24
4. Применение метода неполной факторизации 27
5. Еще один частный случай решения краевой задачи 31
ГЛАВА II. Краевая задача маркушевича для . Круговых областей и функциональное уравнение с несколькими сдвигами
6. Краевая задача для контуров первого вида 36
7. Некоторые частные случаи краевой задачи для контуров первого вида 44
8. Краевая задача для концентрических окружностей . 47
9. Краевая задача для контуров второго вида 57
10. Система функциональных уравнений в классе аналитических функций 63
ГЛАВА III. Обобщенные краевые задачи для круговых областей
11. Смешанная краевая задача для полуплоскости с круговыми разрезами 71
12. Линейное функциональное уравнение со сдвигом в область, имеющим неподвижную точку на границе 79
13. Некоторые обобщенные краевые задачи 82
14. Нелинейное функциональное уравнение со сдвигом в область, имеющим неподвижную точку на границе 87
15. Нелинейное функционально-операторное уравнение 91
16. Решение одной плоской задачи теории упругости для кусочно-однородного тела 99
Литература 103
- Применение функционального уравнения к решению краевой задачи
- Некоторые частные случаи краевой задачи для контуров первого вида
- Линейное функциональное уравнение со сдвигом в область, имеющим неподвижную точку на границе
- Нелинейное функциональное уравнение со сдвигом в область, имеющим неподвижную точку на границе
Применение функционального уравнения к решению краевой задачи
Если при некотором целом Л/У/О выполняется равенст во (г(о)- Х , то для разрешимости задачи (1.6) необходимо и достаточно выполнения условия (2.8). При его выполнении общее решение задачи (1.6) имеет вид где оСд/ - произвольная постоянная, функция Х(-2) дается формулой (2.2), в которой Со=1 , а коэффициенты разложения функции (2) в ряд Лорана определяются по формуле (2.9). ТеоремаЗ. Пусть функция frfe) имеет в точке 2 = 0 нуль порядка m. , тогда задача (1.6) имеет единственное решение где коэффициенты разложения функции $() в ряд Лорана в окрестности нуля имеют вид Здесь Х\ - коэффициенты разложения функции SL в рЯд Теорема 4. Пусть функция (г) имеет полюс в точке 2=0 порядка fn, , тогда для разрешимости задачи (1.6) необходимо и достаточно выполнение условий (2.13). При их выполнении задача (1.6) имеет единственное решение ір(г)=Х (z-;i/), (г), где коэффициенты разложения функции $(г) определяются по формулам (2.12). Предполагается, что функция Х( ) имеет вид (2.2), где c0 = -f и ,(г)=гт &) , Q{U) = z 2& . Замечание. Аналогичным образом решается функциональное уравнение (1.6), когда функции гб5) и д(г) мероморфны в круге 12:1 , что и будет сделано сразу для системы функциональных уравнений в 10. Поэтому задача (І.І) решается аналогичным образом и в случае, когда функции 6 (-Ъ) , 6 (- )/,7 , 8» Cfc) ["Х Ч Я мероморфно продолжимы в соответствующие области. 3. Применение функционального уравнения к -решению краевой задачи. Применим результаты 2 к решению краевой задачи (I.I). Пусть - число линейно независимых решений однородной задачи (I.I) над полем действительных чисел, р - число условий разрешимости неоднородной задачи. Если ае ъ О , то I - «2.Э6 , \ -0. Если 62. О f то ,{ , р ,2.22-4 . Вид условий разрешимости и вид самой функции указаны в теоремах 1-4 второго параграфа. Функции с/ Т2) -где О - произвольная постоянная ( %.= 4 ). Из теоремы 2 ( 2) найдем функцию ip( ) = J-C . По формулам (3.1) определим функции Аналогичным образом получаем функциональное уравнение для частного решения неоднородной краевой задачи Находим функцию if (2) По формулам (3.1) определим функции () и ifiCs) Замечание. Мы искали функцию 1 (г) , аналитическую в области, не проверяя, будет ли она непрерывна в замыкании области, чего требует постановка краевой задачи (I.I). Легко показать, что при непрерывных коэффициентах 9-(2) и Qfe) в круге 12] % , решение уравнения (1.6) будет также непрерывной функцией. И в дальнейшем ввиду простоты вопроса не будем исследовать функцию на непрерывность в замыкании области.
В настоящем параграфе рассматривается краевая задача (I.I). Применяя метод неполной факторизации, удается выделить еще два случая, когда задача (I.I) решается в явном виде. Рассмотрим однородную задачу (I.I), когда на одном из контуров, для определенности на внешнем, выполняется условие \a ()= &а1-Ь). Такая задача рассматривалась на разрешимость в работе [i] . Представим функции a,iOfc) и лхі-ь) в виде [2] где у функций Xi(), Xzfe) допускается полюс на бесконечности. Будем предполагать, что функция і(Ь) аналитически продолжима в кольцо х г 4 , а функция Х№)$і&)Вл&)[Х?Щ]"- в единичный круг. Сразу заметим, что продолжение может быть и мероморф-ным. Воспользуемся схемой I.
Некоторые частные случаи краевой задачи для контуров первого вида
Рассмотрим подробно один частный случай контуров первого вида - концентрические окружности. Для определенности считаем 2,-2 - ... = 2ц,-1 -О . Функциональное уравнение (6.4) в этом случае принимает вид где числа S , с=1,я,-.. э удовлетворяют соотношениям
Будем предполагать, что коэффициенты 6,(г) , & .(г),..., (гр () , ф(2) мероморфно продолжимы в круг [ъ\ лЬ\ и аналитичны в нуле. Случай, когда в точке z-О имеется полюс, рассматривался в работе [23]. Для решения уравнения (8.1) воспользуемся следующим утверждением: прилюбых К=0, і,,... . Если же последнее неравенство не имеет - 48 -места для к= hC , Kv , . - - К"а- , то уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда # - Фка = -- - J«c- =0 . При выполнении этого условия уравнение (8.1) имеет а- линейно независимых решений. Представим функции 6 (Н) » ?д.С2),..., "/ ( , $-(zJ в виде рядов Тейлора в окрестности нуля Функцию vp(z) будем искать также в виде ряда Ц? (г) = ск 2:к k = o Подставляя эти ряды в уравнение (8.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Н , получим рекуррентную формулу для вычисления чисел CLY. к = _ С U s + CV,., + ... + J K «0+ к, K=41,(8.2) В теореме В.Смайдора [47J выяснен вопрос разрешимости системы (8.2) и установлено соответствие полученного ряда искомой функции (г) , аналитической в точке z = 0 , то есть решено локальное функциональное уравнение (8.1). Переходим к исследованию глобального уравнения. Очевидно, локальное решение совпадает с глобальным, если коэффициенты уравнения аналитичны в круге /z/ t . Пусть AQ. = z 2 -- ъ дивизор, составленный из полюсов функций 6, {ъ) , 6 .(г),..., 6J, (z) в круге \ гА ч.\ . Без ограничения общности считаем, что А» д делит Ag_ , где Л а - дивизор, составленный из полюсов функции а (г) . Введем следующее произведение номер сдвига, совпадающий с номером коэффициента уравнения, у которого имеется полюс Z; , /V,-( j=ij&)--; т ) - максимальное число из всех таких натуральных /V , для которых St- 1І- Домножая обе части уравнения (8.1) на функцию Х(?) и вводя новую неизвестную функцию уф» Х(г)и?(г), получим глобальное уравнение (8.3) такого же вида, что и уравнение (8.1), но уже с аналитическими коэффициентами. Функция if(z-) определяется формулой вида (8.2). Тогда искомая функция имеет вид Для того, чтобы она была аналитической в круге г Х , нужно потребовать /V, + Л/ + ... + /V условий разрешимости на функцию Q.(г) . Эти условия получаются из требования кратности дивизора нулей функции v/(z) дивизору нулей функции Х(г) в круге \ъ\ % . Как видно из равенства (8.3), некоторые условия выполняются автоматически без какого-либо требования на функцию $0 ). Отметим, что решение уравнения (8.1) легко выписать, когда, например, функции (xi(2) , (rK(Z) ,...,(3 () постоянны. Если 6-А S, + К этому случаю сводится краевая задача (6.1) с постоянными коэф - 50 -фициентами. П р и м є р I. Рассмотрим краевую задачу для четырех концентрических окружностей Ріндекс задачи (8.4) равен нулю. Эта задача сводится к функциональному уравнению где с - произвольная постоянная, возникающая после применения теоремы Лиувилля. Пуст -только при К= . Тогда функция Ц [2) имеет вид у С2)= Со+С , где С0 , С/ - произвольные постоянные. Но, для выполнения условия аналитичности функции $ф на бесконечности, требуем, чтобы было С- 9 . Значит, в краевой задаче (8.4) (р() = Сс -произвольная постоянная. Остальные функции тоже являются постоянными и легко находятся из равенства (8.4).
Линейное функциональное уравнение со сдвигом в область, имеющим неподвижную точку на границе
Итак, для каждого фиксированного d уравнение (15.6) в силу принципа сжимающих отображений имеет единственное решение. Тогда функция у (г) =2 (Лл ъ 4 (-)) зависит от одной произвольной постоянной.
Теорема доказана для уравнения (I5.I), когда решения ищутся в шаре достаточно малого радиуса. Объясним выбор чисел Ее и в начале параграфа. Эти числа выбираются такими, чтобы соответствующие операторы были обратимыми, и чтобы выполнялись все приведенные оценки. Для каждой ситуации числа 0 и Є - свои. Выбирая минимальное из них, решаем уравнение (I5.I) в шаре Цір при \Ъ\ : с . На самом деле теорема верна для любых функций, аналитических в нуле. Докажем это от противного. Пусть существует решение (f0(z) уравнения (I5.I), отличное от ранее полученных при выбранных 0 и , такое что ifoll при І2/ в .Так как lfe(o) 0 , то можно выбрать такое fj , что \\if0\\ i при \z\&j Проводя все те же рассуждения для чисел f, и , получим тот же результат, что и для чисел и . Такая ситуация возникла из-за того, что число выбирается в зависимости от вели-чены с(и.. Число Є не влияет на число решений и вид решения, а только указывает, в какой окрестности точки 2=0 решение уравнения (І5.І) аналитично.
Решение одной плоской задачи теории упругости для кусочно-однородного тела. Пусть две окружности с центром в точке ъ-0 радиусов Z и і соответственно ( і і ) разбивают расширенную комплексную плоскость на области \и\ Ас , 1 \ъ\ 4 , )2\Н. Предположим, что кольцо % 121 4 заполнено упругой средой с константами 36. и J4 [52J, а внешность единичного круга -средой с постоянными Эб4 и JU . Пусть на окружности \Ь\-Х для определенности заданы напряжения. Пусть на единичной окружности вектор напряжений меняется непрерывно, а вектор смещений претерпевает заданный скачок ju0 (-Ь). Для определения напряжений во всей среде имеем следующую обобщенную краевую задачу [52J:Функции yiz) и у(ъ) ищутся аналитическими в кольце % с г) функции $(2) и (г) - во внешности единичного круга, [ъ) и ш) - известные гёльдеровские функции. Введем новые неизвестные функции: ются по формулам Сохоцкого [2]. Пользуясь определением функции Ф( ) , найдем значения функций if d) и fiizj через значения функции ф г) и подставим их в краевые условия (16.3) Возьмем комплексное сопряжение над полученными равенствами и подставим в первое из них значение функции %&) из формулы (16.2). С учетом определения функции р(г) получим следующую краевую задачу: Исходя из второго условия (16.4), введем функцию Фг fe) , аналитическую в области ігі чі. Найдем предельные значения функции .(г) на окружности -fc = и воспользуемся первым условием (16.4) Для определенности положим (оо) =о , тогда с=0 .Из соотношения (16.5) следует ра венство Перепишем его в виде где функция Ffe - Ф(іу аналитична в круге ігі Х . Равенство (16.6) представляет собой линейное функциональное уравнение с линейным сдвигом внутрь области. Решение этого функционального уравнения изложено в I. Из физических соображений следует условие 4- \ , поэтому функциональное уравнение (16.6) всегда имеет единственное решение (см. теорему 2, п.а), 2), выписываемое в виде рядов. По решению функционального уравнения Ffe) легко определяются функции ip(z? и у(ъ), а, следовательно, и компоненты тензора напряжений \52J.
Нелинейное функциональное уравнение со сдвигом в область, имеющим неподвижную точку на границе
В такой постановке функциональное уравнение (0.3) будем называть "глобальным". Если же уравнение (0.3) задано в некоторой окрестности нуля, а функция у (г) ищется аналитической в нуле, то такое уравнение будем называть локальным.
Функциональное уравнение (0.3) и более общие уравнения изучались М.Кучмой, В.Смайдором, Я.Матковским, П.Мирбергом и многими другими авторами [37, 38]. В случае (2) = 2-1 ,габ/А/, (2)=S? локальное уравнение (0.3) исследовал М.Кучма [39J. На функцию Q-(z) были наложены такие ограничения, что уравнение оказалось неразрешимым. Исходя из этого факта, последующие авторы не рассматривали случай особенности в неподвижной точке. П.Мирберг [38] решил локальное уравнение (0.3) при условии (J(O) 0 . Л.С.Дарбинян б] по сути дела повторил его результат. Я.Матковский исследовал глобальное уравнение (0.3) на раз- решимость в классе мероморфных функций [40-42J. Попрежнему предполагалась аналитичность коэффициента ( в нуле. В работе [I5J было показано, что общий сдвиг сводится к линейному. Если при постановке задачи (0.3) единичный круг заменить, например, на круг г-ч! \ , то получим функциональное уравнение со сдвигом, имеющим неподвижную точку на границе области аналитичности. Такие функциональные уравнения мало изучены. Отметим работы [28, 35, 50J, касающиеся разрешимости уравнения. Г.П.Пелюх и А.Н. Шарковский в монографии [27] и других работах рассмотрели дифференциально-функциональные уравнения вида В. Смайдор [43-49] исследовал на разрешимость локальные вектор-но-матричные уравнения вида
В.Смайдор установил достаточные условия существования единственного решения общего уравнения (0.5) и разрешимость некоторых частных случаев этого уравнения. Охарактеризуем кратко результаты предлагаемой работы, посвященной краевой задаче Маркушевича для круговых областей и связанным с ней функциональным уравнениям.
В I - 3 первой главы решается краевая задача (0.2) при условии аналитической продолжимости некоторых комбинаций коэффициентов в определенные области сведением к глобальному функциональному уравнению (0.3) с линейным сдвигом. Решение функционального уравнения получено в виде рядов. Полностью установлена разрешимость функционального уравнения (0.3) в случае, когда функция &(2) имеет полюс в точке г = О . Применяя метод неполной факторизации и условия разрешимости
Re \c )f+(-bH-fc - О Г неоднородной задачи (0.1) при #1гс1 &(Ъ) О , в 4 - 5 удается выделить еще несколько случаев, когда задача (0.1) сводится к функциональному уравнению (0.3). Результаты этой главы обобщают результаты статьи [7] и результаты некоторых других вышеперечисленных работ по функциональным уравнениям и устраняют неточности работы [в]. Краевая задача для кольца рассматривается отдельно, так как она изучена наиболее полно. И далеко не все результаты по задаче для кольца удалось перенести на задачи для произвольных круговых областей, которым посвящена вторая глава. При некоторых условиях аналитической продолжимости коэффициентов a() и В(-Ь) задача (0.1) для круговых областей сводится к векторно-матричному глобальному функциональному уравнению сдвиги которого 4-1 (Z) , () ,...,_fp () не обязательно имеют совпадающие неподвижные точки. Последнее условие на сдвиги отличает функциональное уравнение (0.6) от ранее изученных [37, 38] (не говоря уже о глобальной постановке задачи (0.6)). В 6 функциональное уравнение (0.6) сводится к конечной системе линейных алгебраических уравнений и уравнению со сжимающим оператором типа Вольтерра. Таким образом, может идти речь о довольно простом способе нахождения приближенного решения краевой задачи.
-Далее, во второй главе разбираются отдельные частные случаи, когда уравнение (0.6) и, следовательно, краевая задача решаются в явном виде. Результаты второй главы обобщают некоторые краевые задачи, решенные в работах [4, I3J. Отметим, что в этих работах не используются функциональные уравнения, так как они вырождаются в уравнения вида со сжимающим оператором в левой части. Легко видеть, что последнее уравнение имеет единственное решение когда \0-а(ъ)= con.$, Здесь /МХ -( . В монографиях [4, 1 t= ІЗJ по сути дела угадываются решения таких простейших функциональных уравнений.
