Введение к работе
Актуальность теыы. Один из общих вопросов теории действий с инвариантной мерой - это вопрос об изоморфизме, иначе проблема метрической классификации динамических систем. Такие классические инварианты изоморфизма как спектр и энтропия доставляют примеры неизоморфных систем.1' Аппроксимационные методы в конструировании систем с сингулярным спектром (и нулевой энтропии) также показали многообразие различных действий с инвариантной мерой в этом классе*'
Плодотворным оказался в указанном аспекте подход, связанный с понятием джойнинга и минимального самоприсоединения ( minimal self-Joinings ) сохраняющих меру преобразований. Пример преобразования с минимальным самоприсоединением предложен в 1979 г. Д.Рудольфом.э> Это преобразование не сопряжено своему обратному, обладает тривиальным централизатором и тривиальной структурой факторов. При использовании его как элемента конструкции строятся примеры автоморфизмов пространства Лебега с необычными свойствами.
Дкойнинги динамических систем связаны также и с различными статистическими свойствами систем и, в частности, со свойством кратного перемешивания - это дает возможность для широких классов действий исследовать проблему В.А.Рохлина о кратном перемешивании методами теории джойнингов.
-
И.П.Корфельд.Я.Г.Синай,С.В.Фомин. Эргодическая теория. М:1980.
-
А.В.Каток, А.М.Стенин. Аппроксимации в эргодической теории// УМН(1967),Т.12,ВЫП.5,С.81-Ю6.
3) D.Rudolph. An example of measure-preserving map with minimal
self-Joinings, and applications. J.d'Analyse Math.(1979),V.35,
P.97-122.
-i-
Если перемешивающее пребразование Т вероятностного простран Лебега (X,fj) удовлетворяет условию: nw*v - единственная Т*ТхТ-инвариантная мера на кубе ХхХхХ, имееющая стандартные (совпадают с м*м) проекции на грани куба ХхХхХ ( такие инвариантные меры называются джойнингами ), то преобразование Т обладает свойством перемешивания кратности 2:
и(А(\1ГВпГ"пС) -> ц(А) v(B) и(С), тп,п - ».
Основным объектом изучения в проблеме Рохлина являются дейс с нулевой энтропией. Примерами классических динамических систем < нулевой энтропией являются потоки орициклов *'. Я.Г.Синаем в 196; была высказана гипотеза о том, что они обладают свойством краті перемешивания. Эта гипотеза доказна Б.Маркусом 3>. Техника джої нингов, удобная в изучении свойства кратного перемешивания нотою на однородных пространствах, дает возможность дать новое доказан ство гипотезы Синая и обощить теорему Маркуса.
Цель работы. Исследование даойнингов и свойства кратного перемешивания действий с циклической аппроксимацией и многомерш потоков с условием изоморфизма входящих в него действий дискретні групп.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми
I. Доказано, что п-параметрический перемешивающий поток удовлетворяющий условию сопряженности его дискретных подгрупп ранга п, обладает кратным перемешиванием всех порядков.
-
Гуревич Б.М. Энтропия потока орициклов. Докл.АН СССР(1961), 136, М, С.768-770.
-
Marcus В., The horocycle now Is mixing ol all degrees. Inv.Math.(1978), V.46, P.201-209.
_?_
-
Для перемешивающих автоморфизмов с циклической аппроксимацией установлено свойство кратного перемешивания и свойство минимального самоприсоединения всех порядков. Этот результат обобщает теорему Каликова а> о двукратном перемешивании действий с циклической аппроксимацией ( их также называют действиями ранга I).
-
Упомянутые результаты получены новыми методами, также в диссертации даны новые доказательства теоремы Дж.Кинга о виде централизатора преобразования ранга I 7> и теоремы об оценке локального ранга преобразования, имеющего корень!'
Методы исследования. В диссертации используется аппроксимаци-онный подход в изучении джойнингов сохраняющих меру действий и общие методы метрической теории динамических систем.
Практическая и теоретическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в эргодической теории.
Аппробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинарах по эргодической теории и динамическим системам, работающих на механико-математическом факультете МТУ под руководством Д.В.Аносова и А.М.Степина; Б.М.Гуревича и В.И.Оселедца; Я.Г.Синая, а также на конференции ( МГУ, 1992 г.).
Публикации. Основные результаты опубликованны в 3-х работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объеи диссертации. Диссертация состоит из введения и шести параграфов, объем диссертации 60 страниц.
-
Kalikov S.A. Twofold mixing implies threefold mixing for rank one transformations// Ergod. Th.& Dynam. Sys.,1984,V.4,P.237-259.
-
King J., The commutant Is the weak closure of the powers,
for the rank-1 transformation //Ergod. Th.& Dynam. Sys. (1986), V.6, P.363-384.
8) King J., Joinings-rank and the structure of fInlt rank mixing
transformation// J.d'Analyse Math. (1988), V.51, P.182-227.
