Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Некоторые сведения из теории линейных отношений 19
1 Основные определения из теории линейных отношений 19
2 Инвариантность и R-инвариантность 24
3 Свойство стабилизации степеней линейного отношения 30
4 Об одном классе полугрупп линейных отношений 38
Глава 2. Комплексификация линейного отношения 44
1 О функциональном исчислении для линейных отношений на вещественных банаховых пространствах 48
2 О полугруппах операторов и спектральной теореме 53
Глава 3. Исследование дифференциального оператора, порожденного задачей Коши с начальным условием из подпространства 59
Литература 81
- Инвариантность и R-инвариантность
- Свойство стабилизации степеней линейного отношения
- Об одном классе полугрупп линейных отношений
- О полугруппах операторов и спектральной теореме
Введение к работе
При развитии спектральной теории линейных операторов и ее приложений, часто возникают проблемы, связанные с необходимостью введения в рассмотрение линейных отношений (многозначных линейных операторов) и развития спектральной теории линейных отношений. Так, например, если линейный оператор, действующий в банаховом пространстве, имеет неплотную область определения, то не существует сопряженного оператора, а естественным образом возникает сопряженное линейное отношение. Последовательность линейных замкнутых операторов, сходящаяся относительно расстояния, использующего понятие раствора подпространств, может в пределе иметь линейное отношение, не являющееся графиком линейного оператора. При изучении вырожденных полугрупп операторов, возникающих при рассмотрении некорректных задач математической физики, ті качестве генератора полугруппы естественным образом стали использоваться линейные отношения [12]. Изучение некоторых классов дифференциальных операторов приводит к необходимости рассмотрения полугрупп линейных отношений. Таким образом, дальнейшее развитие теории линейных отношений является весьма актуальной задачей.
К настоящему времени имеется монография [39], в которой систематически излагается теория линейных отношений и в которой имеется достаточно полная библиография проведенных до 1998г. исследований и в том числе по спектральной теории линейных отношений (глава 6). Более поздние исследования по спектральной теории линейных отношений содержатся в статье [9], а в монографии [41] получены ее приложения к вырожденным дифференциальным уравнениям.
В большинстве известных монографий (см. например [14], [16], [25], [31], [34], [40]. [41[, |39]), в которых подробно излагается, либо существенно используется спектральная теория линейных операторов в банаховых пространствах, их авторы, как правило, предполагают, что эти пространства являются комплексными, либо указывают на возможность комплсксификации вещественного банахо-
ва пространства. Тем не менее, при построении спектральной теории линейных операторов в вещественных банаховых пространствах иногда необходимо подробно отслеживать переход в комплексифи-кацию пространства и обратный переход. Такие же вопросы возникают и при построении спектральной теории линейных отношений на вещественных банаховых пространствах. Оптимальным является построение функций операторов, проекторов Рисса. полугрупп операторов, не используя комплексификации вещественного пространства.
Несколько неожиданным явилась возможность использования спектральной теории линейных отношений при изучении линейных дифференциальных уравнений вида
^ = Ах, М+ = [0,оо), (1)
dx , ,.. .
- = .% + ;«,
где A : D(A) С X —> X ~ линейный замкнутый оператор, действующий в комплексном банаховом пространстве X и являющийся генератором (шгфипитезимальным производящим оператором) сильно непрерывной полугруппы операторов U : Ж+ —> End X. где End X — банахова алгебра эндоморфизмов банахова пространства. X.
Одним из центральных вопросов качественной теории таких уравнений является исследование асимптотического поведения решений, а также нахождение условий существования ограниченных решений. Изучение этих вопросов в терминах экспоненциальной дихотомии решений однородного уравнения (1) связывают с именем Перрона. В его статье [53] асимптотические свойства решений однородных уравнении (в конечномерном пространстве X) соотносились (если использовать более современную терминологию) с определенными свойствами дифференциального оператора
рассматриваемого в банаховом пространстве Сь(Ш+,Х) непрерывных и ограниченных на К+ функций и принимающих свои значения
в X. Эта работа послужила основой для дальнейшего развития качественной теории дифференциальных уравнений (вообще говоря с переменными коэффициентами A(t), і ^ 0). Для случая ограниченных операторов A{t), і ^ 0 можно обратится к хорошо известным монографиям Массера, Шеффера [28] и Далецкого, Крейна [15]. которые характеризовали экспоненциальную дихотомию решений и терминах сюръективности оператора L и условия замкнутости и дополняемости подпространства векторов из X, являющихся начальными условиями для ограниченных наМ+ решений однородного дифференциального уравнения. В этих монографиях подчеркивалась крайняя важность развития соответствующей теории для дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами.
В последнее время резко возрос интерес к изучению качественных свойств решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами. В монографии [38] подведены итоги исследований до 1999 года и в ней содержится очень подробный обзор полученных результатов. При этом стал систематически применятся операторный подход, основанный на использовании оператора L в подходящих функциональных протерапствах. Одним из наиболее используемых методов исследования оператора L стал метод, основанный па применении разностных операторов,
Пусть Е — замкнутое подпространство из X. Рассмотрим линейный оператор
СЕ D[CE) с 7"(М_И X) -> Т(Ж^Х),
который определяется в любом рассматриваемом здесь банаховом пространстве Т{Ж+,Х) Є {LP{R+,X)., р є [1,оо]; Cb{R+,X)} следующим образом. Непрерывная функция ж Є JF(R_|_.X). для которой вектор х(0) принадлежит Е, относится к области определения D(Ce) оператора Се, если существует функция / Є ^(^+. X) такая, что верно равенство
x(t) = U{t)x{0) - I U{t - r)!{r)dr, t Z 0.
Далее полагается дж = /. Если Е = {0}; то оператор Cq = Се определяется с помощью равенств
x(t) = - \ U{t - r)f(r)dr, t > 0.
Изучение оператора Се существенно стимулируется использованием его спектральных свойств при исследовании факторизации интегрального оператора. Винера.-Хопфа с рациональным ядром [42],
где L — 1- А.. А Є End С\ изучался в гильбертовом простран
ен
стве /^(Д-ь С"'). Исследование оператора Се важно также и связи с
тем, что ранее раздельно изучающиеся операторы Cq и Сх можно
рассматривать как принадлежащие одному (более общему) классу
операторов.
Пусть LRC(X) - множество линейных замкнутых отношений на банаховом пространстве X, то есть множество замкнутых линейных подпространств из X х X. Отображение Т ; М+ —> LRC(X), удовлетворяющее условиям; 1) Т(0) = / — тождественный оператор из End X С LRC(X) (при отождествлении операторов с их графиками); 2) T(ti -Из) = T(ti)T(t2), hM е К.;-, называется полугруппой линейных отношений на банаховом пространстве X.
Оператору Се поставим в соответствие полугруппу Те : К+ —> LRC(T(M.+ . X)) отношений на функциональном пространстве Т = T(R+,X) вида
где Хо : [O.t] ^ Е - некоторая функция из подпространства (2)
лад )-^ xgf}}.
При этом отметим, что если Т — Сь — Сь(М-|-,Х), то полугруппа 'Те определяется равенствами (2), іде Xq : [O.i] —» - некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая условию 2(і) = х(д).
Кроме того, оператору Се сопоставим линейное отношение /С# па банаховом пространстве последовательностей^ = lp(Z+,X). р Є
[1,со]. определив его равенствами
is- г і \ , ( ч Ґ U(l)x[n ~ 1), п ^ 1,
/Се = { (я, у) Є /р х /, : у(п) = | ,^ ; v n = О,
для некоторого Xq Є Е }.
Отметим, нто разностные операторы использовались в работе В.М. Тюрина [32].
Приводимые в диссертации исследования показывают, что изучение оператора Се ^о многом сводится к изучению соответствующих свойств (обратимость, инъективность, сюръективность и т.д.) для отношения Т>е = I — К-е и операторов / — 7^(/,), t > 0- Таким образом, использование спектральной теории линейных отношений при исследовании дифференциального оператора является весьма актуальной задачей.
Важно отметить, что полугруппы отношений возникают также при рассмотрении задачи ,x(0) = j(0) є X, где to > 0, для дифференциального уравнения вида (1). Для нахождения решения такой задачи, по сути дела, приходится привлекать полугруппу Tit) = ([/(t))"""1, t ^ 0.. являющуюся, в случае если Ker U(t) ф {0} для некоторого I > 0, полугруппой отношений.
Основными целями работы являются:
построение спектральной теории линейных отношений на вещественных банаховых пространствах;
изучение полугрупп операторов на вещественных банаховых пространствах:
изучение полугрупп линейных отношений с компактным спектром;
исследование дифференциальных операторов методами теории полугрупп и с использованием разностных отношений;
исследование условий обратимости дифференциальных операторов;
исследование структур гиперболических полугрупп линейных отношений.
.13 работе используются методы спектральной теории линейных операторов и линейных отношений, методы комплексного анализа,
теории полугрупп операторов дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.
В качестве основных результатов можно выделить следующие:
исследована структура полугруппы линейных отношений с компактным спектром;
получены формулы для функций от линейных отношений на вещественных банаховых пространствах;
получены формула для полугруппы вещественных операторов, генератором которой является заданный вещественный оператор комплексификация которого является секториальны.м оператором и формула вещественного проектора (для вещественного отношения), аналогичного проектору Рисса;
установлена связь между свойствами дифференциальных операторов и разностных линейных отношений;
0) получены необходимые и достаточные условия обратимости
дифференциальных операторов;
6) исследована структура гиперболических полугрупп линейных отношений взвешенного сдвига.
Работа имеет теоретический характер.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
1) Воронежская зимняя математическая школа Крейна (ВЗМШ-
2006);
2) 16-ая Крымская осенняя математическая школ а-симпозиум
(КРОМШ-2005),
а также неоднократно па семинарах проф. А.Г. Баскакова в Воронежском государственном университете.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [18] - [22]. Из совместной работы [18] в диссертацию включены только результаты, принадлежащие лично автору.
Перейдем к обзору результатов диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
В первой главе приводится сводка используемых понятий и результатов из теории линейных отношений и, особенно, из спектральной теории линейных отношений.
Во второй главе рассматриваются некоторые вопросы спектральной теории линейных отношений па вещественных банаховых пространствах. Строится ковариантный функтор комплексификации.
Третья глава посвящена исследованию дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами методами спектральной теории полугрупп линейных отношений и разностных линейных отношений. Исследуются вопросы обратимости.
Перейдем к более подробному изложению результатов.
В первой главе, носящей вспомогательный характер, вводится понятие линейного отношения, определяются алгебраические операции над линейными отношениями, спектр, резольвента линейного отношения. Приводятся, используемые в диссертации теоремы о спектре линейных отношений. Вводится понятие полугруппы линейных отношений и изучаются полугруппа линейных отношений Т с изолированной точкой А = со расширенного спектра.
Теорема 1.3 Полугруппа отношений V представимо, в виде прл-мой суммы. T(t) = 7о()ф 7^-,(^) полугруппы Tq ограниченных операторов из Еii,d Xq и полугруппы Т-п отношений из ЬК{Хт), обратных к квазинильпотептпым операторам.
Во второй главе изучаются некоторые вопросы спектральной теории линейных отношений па вещественных банаховых пространствах.
Для каждого банахова пространства X используется традиционное определение его комплексификации X = Сотр1{Х). Важную роль играет отображение JJ : % —» X, определенное равенством
J (.г + іу) — х - іу, х, у Є X, х -г іу Є X,
для которого выполнены свойства J2 — J и 2~L — X Оно является линейным (итератором, если X рассматривается как вещественное пространство (то есть X рассматривается как X х X).
Подпространство Xq из комплексификации X пространства X называется симметричным, если выполнено условие J(Xq) = Х0, или, что эквивалентно, для любого вектора х -h іу из Хо подпространству Х[) принадлежит вектор х — іу.
Лемма 2.2 Линейное подпространство Х.^ из X является ком-плексификацией некоторого подпространства Xq из X тогда и только тогда, когдаХо — симметричное подпространство изЖ..
Лемма 2.3 Для любого линейного отношения А LR(X) мно-оюеетво пар Aj = IAI С X2 также является линейным отношением на X, причем замкнутым, если X — банахово пространство uAeLRC(X).
Комплексификацией линейного отношения А є LR(X}Y) называется линейное отношение
А = {(х} +іх2,У) +іу2) Є X2 : (хиуі), {х2,у2) є А) Є LR(%,Y).
Оно будет также обозначаться через Сотр1{А).
Отметим, что если А — линейный оператор, то и его комштекси-фикация также будет являться линейным оператором.
Комплексификация вещественных линейных пространств рассматривается в рамках теории категорий, вводится в рассмотрение ковариантный функтор Compl : Ыгщ —> Ып, из категории вещественных линейных пространств в категорию комплексных линейных пространств, причем линейные отношения выступают в качестве морфизмов.
Пусть А Є LRC(X). Множество а (А) назовем комплексным спектром отношения А, а множество <т(А) — его расширенным комплексным спектром. Они обозначаются соответственно через ет(ДС) ист(ДС). Множества р(А}С) =С\а{А,С), р(ДС) -С \ <т(Д С) называются комплексным резольвентным и расширенным комплексным резольвентным множествами отношения А.
Лемма 2.4 Для любого отношения А Є LR(X) верны равенства:
1. D(A) - D{A) х D{A), 2. Кет А = Кет А х Кет А,
3. Im А = Іт A xjm А, 4. АО = АО х А0;
5. а(А) = а(А) П R, 6. а (А) - а (А) П М,
причем А Є LRC(X), если А є LRC(X).
Лемма 2.5 Отношение А є LR(K) является комплексификацией некоторого отношения А LR(X) тогда и только тогда, когда
оно перестановочно с отобраоїсением J, или, что эквивалентно, выполняется равенство A = JAJ.
Лемма 2.8 Спектр ст(А) комплексифитции А отношения А симметричен.
Отображение Д(-,-, А) : Схр(А.С) -* End X, где і?с(д, А,А) -оператор из End X, комплексификацией которого является оператор из End X вида
\(pR{\, А) + ДД(А,А)), А Є р(Ау С), fi е С, будем называть комплексной резольвентой отношения А Є
Пусть А — открытое множество из С, содержащее <т(А,С) и обладающее свойством Д = А. Пусть также 7 — замкнутый контур, и окружающий а(А, С) в А и являющийся образом непрерывно дифференцируемой функции (р : L — С (допускается конечное число разрывов первого рода у tp1), где L — некоторый промежуток из R, либо совпадающий с отрезком вида [—9,6], 9 Є К+, либо L = R (тогда полагается 0 = оо). Дополнительно предположим, что
Рассмотрим функцию / є т?(А) такую, что интеграл
/ /(А)Л(А. A)dA абсолютно сходится, причем /(со) Є R, если со Є
Д. Тогда формула
ДА) = Jf(со)/ - і- у RciifMtWit),
о где правая часть не зависит от выбора функции tp с отмеченными выше свойствами, а 6 = 1 или = 0 в зависимости от того находится А = со внутри 7 или вне его, определяет ограниченный оператор из алгебры End X который назовем функцией / от отношения А.
Теорема 2.3 Имеют место следующие равенства a{f(A). С) = /0?(A,C)), a(f(A)) = f(a(AX))nR.
Подход, основанный на использовании комплексной резольвенты линейного отношения А LR(X) для построения функционального исчисления может быть использован и при построении полугрупп операторов по заданному линейному отношению imX.
Пусть А Є LO(X) — секториальпый оператор. Тогда формула
T(t) = - j etTC0Su>{r sin(sinu)/ - sin(w + 8нш)Л)Ф(те")с*т, о
где d — любое число из (тг/2, в) задает полугруппу ограниченных операторов, действующих на вещественном банаховом пространстве X, генератором которой является А.
Теорема 2.6 Пуст,ъ расширенный комплексный спектр о (А, С) допускает представление вида а(А,С) = сг0 и <7i, где uq — ком,-пакт из С, а і — замкнутое мнооїсество из С и оо П &\ = 0. Тогда проектор Рисса Р Є End X, построенный по спектральной компоненте (Тп; является комплексификацией некоторого проектора из Р Є End X тогда и только тогда, когдаЩ — ctq (то есть множество gq симметрично в С относительно Ж).
Если Щ = (То, то банахово пространство X допускает разложение вида (2.1) в прямую сумму инвариантных относительно А замкнутых подпространств Xq = Im Р, Х\ — Кет Р. Для частей Ak = A\Xk, k = 0.1 отношения А верны следующие свойства:
X — Хо Ф Xi, mo есть комплексификация X банахова пространства X есть прямая сумма комплексификаций Xq и Xi подпространств Xq и Xi соответственно, причем Хо и Ж.\ —- инвариантные относительно А пространства;
А = АоФАі, где Ао Є End Xq — ком,плексифика.ция оператора А$ и Аі є ЬЛ(Хі) — комплексификаций отношения А\ Є LR(Xi). Кроме того, А = А$ ф А\;
Ай Є End Хо, а{А0, С) = a(AQl С) - а0;
4.A^ = AQ, D{A)=X0eD(Al), 5=(^1, С) = (Аі) =сть-5. подпространства Х$ и Х\ являются симметричными подпространствами из X.
Теорема 2.7 Пусть о"о — симметричная спектральная, компонента из расширенного комплексного спектра <т(Д С) отношения
А є LR(X). Тогда проектор Рисса Р є End X, построенный по
o~q, определяется формулой Р = / R
2тг j о <р : [О,1] —» С - любая непрерывно дифференцируемая функция с
контуром 7 = ^([0,1]), окружающим а^.
Третья глава посвящена изучению спектральных свойств оператора Се с использованием разностного отношения/Се и полугруппы линейных отношений Те-
Лемма 3.3 Отношение Т>е сюръектлтно, если сюръективеи оператор Се-
Лемма 3.4 Оператор Се сюръективен, если сюръективпо отношение Т>е-
Непосредственно из определений оператора Се и отношения Т>е — I — Ке следует, что их ядра имеют вид
КетСЕ = {ж Є F(R+,X) : x{t) = U{t)xQ, t Є 3R+,
для некоторого Xq Є і?},
KerVE = {х Є lp{1+iX) : х(п) = [/(ф0і її Є S+,
для некоторого жо Є ІЗ}, р Є [1, со],
где F(K+,X) Є {LP(M+,X), р Є [і,оо]; Cb(R+,X)}. Лемма 3.6 Ядра оператора Се и разностного отношения Т>е изоморфны, а их изоморфизм осуществляет оператор В :
lv{1+,X) -+ Р(Ж+,Х) вида
(Вх)(,в) = U{s~n)x(n), nZ+, S Є [71,72 + 1),2 Є ^(Z+,X).
Теорема 3.1 Отношение Т>е Є Li?.C(/p(Z+,X)) непрерывно обратимо тогда и только тогда, когда выполнены условия, a(U(l)) П Т = 0 и Im Pout = Е, где Ріпі — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству
аш = ВПа{Щ1)) = {А Є a(U{\)) : |А| < 1}
и Pout = I —Ры- При выполнении условияa(U(1))ОТ = 0 оператор Т>~% имеет вид
(VEly){n) = J2G(n-m)y(m), пЄІ+, yelp{Z+.,X),
т=(і
где функция G : Z+ —* End X умеет вид
u допускает оценки вида \\G(k)\\ < Cqk, где С > 0. g Є (0,1). 5 этой формуле оператор U(k)Poat для к є Z_ \ {0} есть прямая сумма 0 Є End(Im Ры) и обратного к сужению оператора U(—k) на подпространство Im Pout.
Теорема 3.2 Следующие условия эквивалентны,:
Се - непрерывно обратимый оператор;
Т>е — непрерывно обратимое отношение; S. (7(^(1)) ПТ = 0, 1тРтй = Е.
Если выполнено одно из этих условий, то обратный к Се оператор определяется формулой
{efW = J G{t - s)f(s)dst f Є Л^+,х);
-U(r)PinU тЄЖ+}
G{r) \U(r)PmU tGR_\{0}-Оператор U(r)Pmi. r < 0 однозначно определен равенствалш
U(r)P0UtX = 0, x Є ХЫ = Irn Pinh
(U(r)Poat)U(-T) = U(~T)(U(r)Pout) = PouU г < О
и функция G допускает оценку вида \\G\\ ^ Се_7Г, т ^ 0 для некоторых С ^ 1, 7 > 0.
Теорема 3.5 Спектр а (К е) отношения fC% Є LRC(lp) допускает одно из следующих представлений:
<г{Ке) = С;
и {Kb) — {А є С : [Л| ^ ^(^(1))}- Это равенство имеет место тогда и только тогда, когда Е = {0};
(?{Ке) = {А є С : |Л| ^ r(f7(l))-1}. Это равенство имеет место тогда и только тогда, когда U{\) — непрерывно обратимый оператор;
и{КЕ) = С\Т(гьг2); где Т(п,г2) - {А є С : 0 < п < |А[ < ^Ь 0 ^ Ті < r2 ~ некоторые числа.
Теорема З.б Спектр ^{Св) оператора Св допускает одно из следующих представлений:
а(Е) = С;
(j{Cb) = {А Є С : ReX ^ 1ш"([/(1))}. Это равенство имеет место тогда и только тогда, когда Е — {0}. При этом, если r(U{l)) = 0, то а{СЕ) - 0;
<т(е) ~ {А Є С : ReX ^ lnr(f7(l))-1}, Это равенство имеет место тогда и только тогда, когда U{1) — непрерывно обратимый оператор:
о~{е) = С \ {А Є С : ai < ReX < 0} для некоторых чисел
О ^ Cti < Q'2 U3 Ж.
Полугруппа отношений Т : Ж+ —> LRC{X) [X — банахово пространство) называется гиперболической в точке а Є К или а—гиперболической, если существует разложение пространства X в прямую сумму
Х = Х0Хг
замкнутых инвариантных относительно отношений T{t). t > 0 подпространств Xq и X такое, что соответствующее разложение отношений полугруппы
Г(<) = Го(і)Ті(і), t>0
, обладает свойствами:
l)T0(t) = T(t)\XuEEndX0,
2) Tiit)-1 = (Г^)!^!)-1 е End Хи
3)r(T0(l))
Если полугруппа Т является гиперболической в точке а = 0. то
будем называть ее гиперболической.
Теорема 3.7 Полугруппа отношений Те Ш.+ —>- ЬП:С(^(Ж+,Х)) является а—гиперболической тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:
1)ае р(СЕ); 2) еа р{ТЕ{1)); 3) еа є р{КЕ).
Теорема 3.8 Пусть полугруппа ТЕ является гиперболической. Тогда выполнено условие a(U(l))) ПТ — 0, и имеет место разложение
^(М+, X) = ?{Ж+, Хы) ^(К+, Xout)
и относительно этого разложения полугруппа ТЕ представима в виде
Г(і)=Г_(і)фТ+(і), О О,
где 71 : Ш+ —» End ^(^.+ , Xmt) — полугруппа операторов вида
отношения 7+(і), і ^ 0 непрерывно обратимы и полугруппа операторов {ТЛ..{Ї)~1. і ^ 0} определяется равенствами
(T+{tyl^(s) = U{-t)x{s + t), s<=R+, жЛ1+,Ъ).
При этом верпы оценки max{||71()||, |[7^.(t)-1||} ^ Сое~7ої, і ^ О некоторых Со ^ 1, 7о > 0.
Инвариантность и R-инвариантность
Вначале обратимся к ряду известных результатов о псевдорезольвентах, и, руководствуясь принципом автономности изложения, получим их более простым способом и, временами, уточним. Определение 1.19. Пусть (однозначные) функции / : D(f) С X - Y и д : D{g) CJ F таковы, что D(g) С 7)(/) и /(ж) - д{х) для любого а: Є D(g), тогда будем говорить, что функция д является сужением функции /, а функция / является продолжением функции д. Определение 1.20. Отображение R : ОСК-? End X, удовлетворяющее равенству (тождеству Гильберта) называется псевдорезольвентой. ЗАМЕЧАНИЕ 1.3. Определение 1.20 допускает случай, когда П — {Ад} — одноточечное множество, и тогда R(XQ) может быть любым эндоморфизмом из алгебры End X. Проведя непосредственную подстановку, можно получить, что резольвента линейного отношения удовлетворяет тождеству Гильберта, а значит является псевдорезольвентой. Лемма 1.3. Пусть отображение 72 : Q С К -- End X является псевдорезольвентой. Тогда Im 72(Ai) = Im 72(А2) и Ker 72(Ai) = Кет 72(А2) для любых Аі,А2 Є fl. Лемма 1.4. Отображение 72 : 1 С К — End X является сужением резольвенты отношения А LR(X) тогда и только тогда, когда оно является псевдорезольвентой и А = 72(Ао)-1 + Х$1 для некоторого/любого XQ Є 3. 4 Пусть отображение 72 является сужением резольвенты отношения А, тогда П С р(А) и А - (#(А, Л)"1 + A/)"1 = 71(A)-1 + А7 для любого А Є П. Кроме того для любых Аі,Аг Є Q имеем Тг(АіЬ7г(А2) = {А-Х11у1 {А-Х21) 1 = {А-Х11) 1(А-Х21){А-V)"1 -(A- XjyHA - XJ)(A - A,/)"1 = (A - X.iy A - X2I -A + XJ)(A Aa/)"1 = (A Xjy XJ - A2/ + АО){A - A )"1 = (A2 - X2)(A - Ai/)"1 - Aa/)"1 = (Ai - Л2)7г(Лі)7г(А2). Таким образом отображение 72. удовлетворяет тождеству Гильберта, поэтому по определению 1.20 является псевдорезольвентой.
Определение 1.21. Псевдорезольвенту йтаа; : Omffir СК EndX будем называть максимальным продолжением псевдорезольвенты R, : ГЇ С К — nd X, если -RmM является продолжением R и невозможно продолжить i?maa; на более широкую (чем 1тах) область определения с сохранением тождества Гильберта. Псевдорезольвенту, совпадающую со своим максимальным продолжением, будем называть максимальной. Хотя на первый взгляд у псевдорезольвенты может быть несколько максимальных продолжений, в следствии 1.2 мы увидим, что максимальное продолжение единственно. Этот результат доказан также в [9, теорема 2.1] Лемма 1.5. Псевдорезольвента 72. : П С К — End X является максимальной тогда и только тогда, когда является резольвентой отношения ЩХ) 1 + XI не зависяьи)его от выбора X є й. Л Вначале заметим, что независимость 72-( ) 1 + JJLI ОТ выбора (і Є О следует из леммы 1.4. Пусть псевдорезольвента 1Z является максимальной. С одной стороны по лемме 1.4 резольвента R( ,Щр) 1 + pi) : p(7(/i)_1+ i) С К —» EndX отношения Щр) 1 + 1 является продолжением псевдорезольвенты 7Z, с другой, в силу максимальности Л резольвентное множество p(TZ{p) l + pi) включено в О, поэтому получаем, что TZ совпадает с Щ , Щр) 1 + fil). Теперь рассмотрим резольвенту Щ , А) : р{А) С К — End X некоторого отношения А и пусть псевдорезольвента 72-1 : i С К — EndX — продолжение R{ ,А). Применяя лемму 1.4 K1Z\ получаем, что для любого р, є Пі резольвента R( ,7l\(p) ljrpl) : p(TZi(p) l + pl) С К — End X отношения 1ZI(JJ) 1 -\- рьі является продолжением псевдорезольвенты Яь Так как р(А) С Пі С p(Hi(p) l + pi), то л = Й(А, л)-1 + л/ = тгі(А)-1 + Л/ = R(X, Щр)-1 + д/)"1 + XI = I(M) 1 + / - Поскольку отношения А и TZitjj,)"1 + /л/ равны, то и их резольвентгые множества р(Л) и ріїї р 1 + /І/) также равны, откуда в силу р(А) С Пі С p{JLi{p) l + pi) получаем, равенство R( .А) и Ki. Таким образом не существует псевдорезольвепты, являющейся продолжением R{ , А) и определенной на более широкой (чем р{А)) области, поэтому (псевдо)резольвента R{ , А) — максимальна, Следствие 1.2. Любая псевдорезольвента 1Z : П С К —» tod X имеет единственное максимальное продолжение, причем оно совпадает с резольвентой отношения TZ(X)"1 + XI не зависящего от выбора А Є П. Доказательство следует из того факта, что максимальные продолжения псевдорезольвенты % являются максимальными псевдо-резольвентами, а значит по лемме 1.5 равны друг другу так как совпадают с резольвентой отношения %{Х) Х -f XI (не зависящего от выбора А Є П). Определение 1.22. Линейное подпространство XQ С X назовем инвариантным относительно отношения А є LR{X). если Ах П XQ ф 0 для любых х Є Х0ПО(А). Данное определение используется в [18], [35] и является наиболее естественным расширением понятия инвариантности для ли нейиых операторов на линейные отношения, совпадая с ним при А LO{X)) однако в [9] приведено другое понятие инвариантности (см. определение 1.23). Во избежании путаницы такой вид инвариантности мы будем называть R-инвари антиостью. Определение 1.23. Линейное подпространство XQ С X назовем R-инвариантным для отношения А Є LR(X) с непустым резольвентным множеством р(А), если XQ инвариантно относительно оператора І?,(А,І4) для любого А є р{А). В [9] определение 1.23 используется для доказательства ряда важных результатов, однако, в отличии от определения 1.22 даже при А є LO(X) оно не эквивалентно традиционному понятию инвариантности и не является его более слабой или сильной формой (см. пример 1.1), поэтому в данной работе инвариантность понимается согласно определению 1.22. Однако стоит отметить, что если некоторое подпространство М R-инвариантно относительно А End X, то из формулы А = тг / АЯ(А,-Л)с?А (где 7 С р(А) — поло 7 жительно ориентированный жордапов контур, окружающий спектр оператора А) следует, что М инвариантно относительно А в традиционном смысле и в смысле определения 1.22.
Взаимосвязь понятий 1.22 и 1.23 рассмотрена в лемме 1.6. ПРИМЕР 1.1. Возьмем произвольные а, Ъ 0. На банаховом пространстве Сь{Щ непрерывных и ограниченных на М комплексных функций рассмотрим оператор сдвига (Sf)(t) — f(t + а). Подпространство М = {/ Є Сь{Щ : f(t) — 0 для любого і b} инвариантно относительно S в традиционном смысле (и в смысле определения 1,22), но не является R-инвариантным (необходимые условия определения 1.23 не выполняются, например, для 5-1 = Л(0, S)). Теперь рассмотрим оператор Si Є ЬО(Сь{№+)) с замкнутой областью определения D(S]) — {/ Є Сь(М.+) : f(t) = 0 для любого і а} действующий по формуле (S\f)(t) = f(t + a). В этом случае подпространство D(Si) R-инвариантно относительно Si, но не является инвариантным в традиционном смысле (и в смысле определения 1.22). Определение 1.24. Пусть А Є LR(X), a XQ С X — R-инвариантное относительно А подпространство, R-сужением отношения А на подпространство XQ С X назовем отношение AQ Є LR(XQ), резольвента которого R(-,AQ) : р(Ао) — End Х0 является максимальным расширением псевдорезольвенты R0 : р{А) — End Х0, До(Л) = R{\,A) Х0; Л Є р(А). Определение 1.24 корректно в силу того, что сужение RQ резольвенты R на подпространство XQ является псевдорезольвентой, так как удовлетворяет тождеству Гильберта, причем максимальной, и поэтому по лемме 1.4 является резольвентой некоторого отношения Ац. ЗАМЕЧАНИЕ 1.4. Пусть пространство X представимо в виде прямой суммы X = Хі Ш 2; a Ai и Ач — R-сужения отношения А Є LR{X) на подпространства Х\ и Х2 соответственно. Тогда верно следующее: Лемма 1,6. Пусть банахово пространство X представимо в виде прямой суммы X = Xi ф Х2. Тогда для отношения А є LR(X) следующие условия эквивалентны 1. А = А\ Ач, где А — сужения отношения, А на подпростран ства ХІ, і Є {1, 2}; 2. подпространства Хі,Х2 инвариантны относительно А и верпы равепетт D(A) = (D(A) П Хг) Ф (D(A) П Х2) и АО = (А0ПХ1)(А0ПХ2).
Если резольвентное множество отношения А не пусто, то условия 1,2 эквивалентны условию 3. подпространства Х\, Х2 R-инвариантны относительно А, причем в этом случае сужение и R-суоісение отношения А па подпространство ХІ, г = {1,2} совпадают. 4 1 = 2. Пусть для отношения А справедливо разложение в прямую сумму А = А\ Ф А2, тогда D(A) = (Ai) (А2) = І?(Лп(Х1хХ1))фІ)(Лп(Х2хХ2)) = (І)(Л)ПХ1)ф (,0(.4) ПХ2), кроме того Ах Г\Х( = А; ж 0 для любого ж Є D(A) П Xj, поэтому подпространство Xj инвариантно относительно А для і є {1,2}. Таким образом осталось доказать справедливость равенстваАО — (Л0ПХі)(Л0ПХ2).Таккак(0,2і+22) Є Ах + А2 = А для любых z\ Є AiO, z2 A20, то Л0 I) AiO + A20, Пусть у - произвольный вектор из АО, тогда существуют пары (жьу{) є Аг, (ж2,у2) Є Л2 такие, что (0,у) = (хъу{) + [х уг), то есть ж і = -ж2 и у = yl + у2.( Так как а;і Є Xi, х% Є Х2 и Хі П Х2 — {0}, то х\ — ж2 = О, поэтому у е AiO + Л20. Таким образом АО = AiO + А20. Так как Х!ПХ2 = {0}; aAj-An(XjxXj); г {1,2}, то АіОП Л20 = {0}, поэтому АО = AiO ф А20 = (А П (Xj х Х О ф (Л П (Х2 Х Х2))0 = (A0nX0(A0nX2). 2 = 1. Рассмотрим произвольную пару (ж, у) Є Л. Так как (А) - {D(A) П Xi) ф {D{A) П Х2) и X - ХІ ф Х2, то вектора ж и у можно представить в виде сумм х = хх + ж2 и у = уі + у2. где ж,; — проекция ж на D(A) П ХІ, уі — проекция у на Xj для і Є {1,2}. Далее для і Є {1,2} получаем, что поскольку подпространство ХІ инвариантно относительно Л, то Аи П Xj ф 0 для любого и Є D(A) П Xj, поэтому существует j Є Xj такой, что Ах{ = та + АО. Так как Ах\ + Ах2 = Ах = у + АО = yi + у2 + АО, то Axi = yi + г/2 - Аж2 = ух + г/2 — 2 + АО, поэтому в силу того, что yi.Zi Є ХІ, і Є {1)2}, получаем ЛіЖі = (А П (Хі х Хі))жі = (ї/і + У2 - 22 + ЛО) П Хі = ух + АО П Хі = у! + АіО э j/i, откуда следует, что пара (жі,г/і) принадлежит Л Аналогично доказывается (ж2,г/2) Є А2 С учетом того, что Аі П А2 = 0 так как Хі П Х2 — 0, получаем А С Лі ф Л2, но Аі,А2 С А из определения сужения линейного отношения, поэтому А = Аі ф А2. 1 = 3. Возьмем произвольные скаляр А Є р(А) и вектор ж R(X, A)Xi. Тогда (Л - Х1)х = у + АО для некоторого у Є Хі, поэтому АіЖі + А9.Х2 = у + Ажі + AiO + Аж2 + А20 откуда, в силу того, А{ -сужения отношения А на подпространства Xj, і є {1,2}, получаем A2x2 = \x2 + A20. Так как А Є p(A), то А є р{Аі) в силу пункта 4 замечания 1.4, поэтому х2 = 0, и, значит х = хі Є Х\. Таким образом 11{Х А)Х\ С Хі, что означает R-инвариантность подпространства Х\. R-инвариантиость подпространства Х2 доказывается аналогично. 2 =Ф- 3. Если подпространства Хі и Х2 R-инвариантны относительно Л, то очевидно, что Х\ и Х2 инвариантны относительно А. Равенства. D{A) = (D(A) П Хх) ( (А) П Х2) и АО = (АО П Xi) ф (/10 П Х2) вытекают из замечания 1.4, В данном параграфе исследуется свойство стабилизации степеней линейного отношения, которое, как будет показано в этом пара.-графе, для замкнутых отношений является достаточным условием компактности спектра и проверка которого в большинстве случаев является более простой задачей, чем непосредственный поиск точек спектра линейного отношения. Следует отметить, что некоторые важные факты, какающиеся свойства стабилизации степеней линейного отношения, доказаны в [9, теорема 3.1]. В данном параграфе эти результаты (леммы 1.7, 1.9, 1.10, некоторые результаты теорем 1.1 и 1.2) доказываются в несколько более общем виде - не требуется замкнутости отношения А, а X — произвольное линейное (не обязательно банахово) пространство. Определение 1.25. Будем говорить, что отношение А Є LR{X) обладает свойством стабилизации степеней, если существует натуральное число m такое, что:
Свойство стабилизации степеней линейного отношения
Таким образом осталось доказать справедливость равенстваАО — (Л0ПХі)(Л0ПХ2).Таккак(0,2і+22) Є Ах + А2 = А для любых z\ Є AiO, z2 A20, то Л0 I) AiO + A20, Пусть у - произвольный вектор из АО, тогда существуют пары (жьу{) є Аг, (ж2,у2) Є Л2 такие, что (0,у) = (хъу{) + [х уг), то есть ж і = -ж2 и у = yl + у2.( Так как а;і Є Xi, х% Є Х2 и Хі П Х2 — {0}, то х\ — ж2 = О, поэтому у е AiO + Л20. Таким образом АО = AiO + А20. Так как Х!ПХ2 = {0}; aAj-An(XjxXj); г {1,2}, то АіОП Л20 = {0}, поэтому АО = AiO ф А20 = (А П (Xj х Х О ф (Л П (Х2 Х Х2))0 = (A0nX0(A0nX2). 2 = 1. Рассмотрим произвольную пару (ж, у) Є Л. Так как (А) - {D(A) П Xi) ф {D{A) П Х2) и X - ХІ ф Х2, то вектора ж и у можно представить в виде сумм х = хх + ж2 и у = уі + у2. где ж,; — проекция ж на D(A) П ХІ, уі — проекция у на Xj для і Є {1,2}. Далее для і Є {1,2} получаем, что поскольку подпространство ХІ инвариантно относительно Л, то Аи П Xj ф 0 для любого и Є D(A) П Xj, поэтому существует j Є Xj такой, что Ах{ = та + АО. Так как Ах\ + Ах2 = Ах = у + АО = yi + у2 + АО, то Axi = yi + г/2 - Аж2 = ух + г/2 — 2 + АО, поэтому в силу того, что yi.Zi Є ХІ, і Є {1)2}, получаем ЛіЖі = (А П (Хі х Хі))жі = (ї/і + У2 - 22 + ЛО) П Хі = ух + АО П Хі = у! + АіО э j/i, откуда следует, что пара (жі,г/і) принадлежит Л Аналогично доказывается (ж2,г/2) Є А2 С учетом того, что Аі П А2 = 0 так как Хі П Х2 — 0, получаем А С Лі ф Л2, но Аі,А2 С А из определения сужения линейного отношения, поэтому А = Аі ф А2. 1 = 3. Возьмем произвольные скаляр А Є р(А) и вектор ж R(X, A)Xi. Тогда (Л - Х1)х = у + АО для некоторого у Є Хі, поэтому АіЖі + А9.Х2 = у + Ажі + AiO + Аж2 + А20 откуда, в силу того, А{ -сужения отношения А на подпространства Xj, і є {1,2}, получаем A2x2 = \x2 + A20. Так как А Є p(A), то А є р{Аі) в силу пункта 4 замечания 1.4, поэтому х2 = 0, и, значит х = хі Є Х\. Таким образом 11{Х А)Х\ С Хі, что означает R-инвариантность подпространства Х\. R-инвариантиость подпространства Х2 доказывается аналогично. 2 =Ф- 3.
Если подпространства Хі и Х2 R-инвариантны относительно Л, то очевидно, что Х\ и Х2 инвариантны относительно А. Равенства. D{A) = (D(A) П Хх) ( (А) П Х2) и АО = (АО П Xi) ф (/10 П Х2) вытекают из замечания 1.4, В данном параграфе исследуется свойство стабилизации степеней линейного отношения, которое, как будет показано в этом пара.-графе, для замкнутых отношений является достаточным условием компактности спектра и проверка которого в большинстве случаев является более простой задачей, чем непосредственный поиск точек спектра линейного отношения. Следует отметить, что некоторые важные факты, какающиеся свойства стабилизации степеней линейного отношения, доказаны в [9, теорема 3.1]. В данном параграфе эти результаты (леммы 1.7, 1.9, 1.10, некоторые результаты теорем 1.1 и 1.2) доказываются в несколько более общем виде - не требуется замкнутости отношения А, а X — произвольное линейное (не обязательно банахово) пространство. Определение 1.25. Будем говорить, что отношение А Є LR{X) обладает свойством стабилизации степеней, если существует натуральное число m такое, что: Число т называется порядком стабилизации степеней отношения А и обозначается ТПА или т{А). Заметим, что если пространство X конечномерно, то тд всегда существует и не превосходит размерности пространства X. Лемма 1.7. Пусть линейное пространство X разлагается в прямую сумму, D(Am)AmQ = X для некоторых А Є LR{X) ит Є N. Тогда отношение
А обладает свойством, стабилизации степеней Так как D{Ak) = {ж Є D(A/;" P) : Ак рх П (ЛР) 0} для любых к,р Є N : р А;, то )(Л2т) = {ж е D{Am) : Атж П D(Am) ф 0} Пусть а; Є D{Am), тогда Лтж = Ї/ + Ат0 = у0 + yi + А-0 = у0 + Л0, где уо О (Л), Ш Є Am0, у = № + у1; а так как 0 б v4m0. то уо Є Уо + Ат0. Таким образом, для любого х Є D(Am) существует -уо такой, что уо Є Атх: уо є D{Am) поэтому Атх П (Ат) 0- Далее получаем поэтому отношение А обладает свойством стабилизации степемей на бесконечности с порядком стабилизации равным т. Лемма 1.8. Пусть X — линейное пространство, а оператор А є ЬО{Х), определенный на всем, пространстве X таков, что 1т АП Кег А = {0} и 1т А = 1т А2. Тогда X = 1т А Кег А, откуда X = 1т РФ Кег Р = 1т А Кег А. Лемма 1.9. Пусть X — линейное пространство, а для отношения А Є LR{X), обладающего свойством стабилизации степеней; существует А Е К при котором отношение А — XI биективно. Тогда D{AmA) АтлО = Х. таний из n по fc, поэтому отношение В также как и А обладает свойством стабилизации степеней на бесконечности с порядком стабилизации равным т. Возьмем произвольный х Є D{BmA) П Втл0. Из пункта 10 замечания 1.2 имеем Втлх = у + ВтА0 для любого у Є ВтАх. Так как х ВА0, то у+5тл0 = Втлх С Б2т-Л0 = ВтА0, поэтому у Є Втд0, и, значит В"1Ах = у + ВтА0 = Втл0, то есть х Є Кег Втл. По условию Кег В = {О}, поэтому Кег ВтА = {0}, откуда х — 0. Таким образом D(.Bnu) П Втл0 = {0}, что эквивалентно 1т В тлГ\Кет В ,ПА — {0}, а так как по условию отношение В биективно и В{ВША) = В(В2тл), то оператор В ША удовлетворяет условиям леммы 1.8, поэтому X — 1т В ША ф Кег В тл = D{BmA) фВТ"А0 = D{{A- XI)mA) ${А- XI)mA0 - D{AmA) ф Атл0. Лемма 1.10. Пусть X — линейное пространство и А Є LR(X), Тогда подпространства D{A"lA) и Атл0 инвариантны относительно А. Если пространство X банахово и р(А) ф 0, то D(AmA) и АтА0 R-инваршнтпы относительно А. Так как Ах С Лт-4+10 = Лтл0 для любого х Ат А0, то Ах Г) 4т 0 = Лх ф 0 для любого а; Є АтА0, поэтому подпространство Атл0 инвариантно относительно А. Если р(А) -ф 0, то лемме 1.9 пространство X разлагается в прямую сумму X D(AmA) Ф АтА0. а учитывая то, что АО = (АО П D(AmA)) ф (АО П Атл0) в силу включения АО С ЛГПл0 и что (Л) - (D{A) П D(Am )) Ф ф(Л) П Атл0) в силу включения В(Атл) С D(J4) ПО лемме 1.6 получаем, что подпространства D(AmA) и Ат Л0 R-инвариантны относительно А. ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 1.1. Линейное топологическое пространство X представимо в виде прямой суммы X = XQ ф А , где XQ = Я(Лт), Хоо - Лт0 для некоторых Л є LR{X), т Є N. Обозна-чим А0 = АХ0, Лос = А\ХЖ. ЗАМЕЧАНИЕ 1.5. В случае банахова пространства X и замкнутого отношения А Є LR(X) в силу лемм 1.7 и 1.9 предположение 1.1 равносильно следующему предположению 1.2. ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 1.2. Пространство X — банахово, а отношение А є LR(X) имеет непустое резольвентное множество и обладает свойством стабилизации степеней на бесконечности с порядком стабилизации равным т. Теорема 1.1. Пусть выполнены условия предположения 1.1. Тогда отношение А представимо в виде прямой суммы А = Ло Ф А , причем сужения AQ и Аж обладают следующими свойствами: 1.АЖ0 = А0; 2. А1 Є End Хх — нильпотентпый оператор с индексом нильпотентности равным т; 3. отношение Аж замкнуто; А Так как XQ = В(Атл) и Х = АГПА0 по лемме 1.7, то из доказательства леммы 1.10 получаем, что подпространстваХо и Х инвариантны относительно
Д кроме того D(A) = (D(A) П XQ) ф (D(A)nXoo) и A0 = {AQr\XQ)(A0r\XQO), поэтому по лемме 1.6 верно равенство А Л0 ф А . Докажем 1. Имеем Л О = Хто П АО = Ат0 П АО = ЛО. Докажем 2. Поскольку Лг = Л ж для любого х Є (Лоо) = Хм П (А), то А0 = Лт0 = Хтс. Далее DfA ) = Б (А) П Хж., откуда (А) = Л(Лт)ПХ00 = {0}, поэтому отношение А состоит из пар Л- = {{х,у) Є X2 : г є D{A),y Є /m Л-} = {{x,y) Є X2 : x Є D№),y Є Л-р(Л-))} = {(і, у) ЄХ2: хе {0},у Є АШ = І CM Є X2 : у Х }, следовательно А""1 = {(у,0) Є X2 :у Є Хоо} = 0 Є End XQOJ поэтому отношение Л 1 принадлежит алгебре End Хх и является нильпотептным оператором с индексом нильпотентности равным т. Докажем 3. Отношение Аж замкнуто так как по пункту 2 данной теоремы замкнуто обратное к нему отношение Л ,1. Докажем 4. Так как А е End Х — нильпотентный оператор, то о Лоо) = {0}, поэтому а{Аоа) = {со} по лемме 1,2. Докажем 5. Имеем D(A0) = Х0 П D(A) = D{Am) П D(A) = (Am)=X0. Для любых і/і, J/2 AQO получаем (г/i — уэ) Є AQO С АО С Ат0 = Хоо, поэтому У\- У2 Хто. С другой стороны. уі,у2 Є Л00 С Х0, поэтому у\ — У2 Є Хо, а так как Хо П Х — {0}, то у\ — уч = 0 то есть уі = г/г. Таким образом все элементы подпространства AQO совпадают; поэтому AQO = {0}. Докажем б. Так как отношение Ато является обратным к пиль-потентному оператору, то а(Аж) — {ею} по лемме 1.2, поэтому Кег{Аоа - XI) = {0} для любого А Є С, откуда в силу равенства А — А0 Ф Аж получаем Кег(А - XI) = Ker(AQ - XI) Ф KeriA -A/) = tfer(A0-AI). Докажем 7. Так как отношение Л.» является обратным к ниль-иотентному оператору, то 5(Лм) = {с о} по лемме 1.2, поэтому /mfAoo — AJ) = Хоо для любого А Є С, откуда в силу равенства А = ЛпфЛсо получаем і то(А-Аі) =/т(Л0 А/)1т(Лда-А/) = Кег(Ло-A/)Xoo. Докажем 8. Так как Л = Ло Ф А ,, а отношение Л замкнуто то, отношение Л замкнуто тогда и только тогда, когда замкнут оператор AQ. Теорема 1,2. Пусть выполнены, условия предполооїсепия 1.2. Тогда
Об одном классе полугрупп линейных отношений
В этом параграфе будем рассматривать полугруппы линейных отношений на банаховых пространствах с изолированной точкой спектра А — оо. Определение 1.28. Полугруппой замкнутых линейных отношений на линейном пространстве X называется отображение 71: М+ = [О, со) —» LR{X) обладающее свойством T(t + з) — T(t)T(s) для любых t.s 0. Пусть X — банахово пространство на котором определена полугруппа линейных отношений {Т() t 0}. Лемма 1.11. Для любых линейных отношений А и В верно А + В — А)М)Пш_в) +С; где С— любое линейное отношение, обладающее свойствами: 4 Равенство следует из определения суммы линейных отношений. Лемма 1.12. Для любых линейных отношений А и В верно равенство 1щв)А + АО = А\ЩВЛу -4 Имеют место следующие равенства D{IQ(B\A + АЩ = D(ID{B)A) = А-Щ1ЩВ)) = A D{B) = D(BA) = D(A\D{BA)). Так как по определению произведения линейных отношений АхП D(B) Ф 0 V х D(BA), то для любого х Є D{BA) верно Ах = Лж П () + АО = 7д(В)Аг + АО.
Таким образом так, как отношения 1г (в)А + АО и А } имеют одинаковые области определения и принимают одинаковые значения на каждом векторе из области определения, то они равные Лемма 1.13. Равенство {T(t)-XI)(T{s)-fiI) = (T(s)-(j,I)(T{t)-XI) справедливо для любых t. s О, A, ji Є С. А Имеют место следующие равенства (T(t) — XI)(T(s) — ці) = T{t)T(s) - XID(T(t))T(s) - T{t)fiIDma)) + XID{nt))fiIDiTis)) = T{t)T{s) + T(s)Q - XID{m)T{s) - fiT{t)ID{T{a)) + XfiID{TmmT{8)) = (по лемме 1.12) = T(t)T(s) - XT(s)\D{T{t)T(s]) - /j,T{t)ID{T + h(T{t))nD(T(s)) = (по лемме 1.11) = T{t)T{s) - XT(s)\D{T{e)) - (f) (T(s)i)(T(f)) + (T(t))nB(T(s)) = (по лемме 1.12) = T(t)T{s) -AT(s)bM -idDm)T{t) + T{t)0 + XixID[TmD{T{s)) = T(t)T(s) -XT(s)lD(T(t)) - nh(T(s))T(t) + Xfj.ID(T{t))nD[T{s)) = T(s)T{t) -HlD{T{,))T{t) - T(s)\IDm) + XIDm)tiID{Tia)) = (T(s) - iiI){T(t) -\J) Следствие 1.7. Равенство выполняется для любых і, s 0, А Є р(Т("/;)), р Є p(T(s)). Лемма 1.14. -ЕЬш сю Є p(T(s)) для некоторого s 0, mo оо Є f)(T(t)) для любого t 0 - Возьмем произвольное і 0 и п Є N такое, что тг i/s. Тогда Т( )0 С T(ns)0 = (T(s))n0 - {0} и (T(t)) Э (T(ns)) = D{(T(s))n) = X так как оо є p((T(s))n). Таким образом T(i)0 = 0 и D{T{t)) = X. Поэтому оо Є р(Т( )) Следствие 1.8. с/ш оо Є (T(s)) й/гл некоторого s 0, то оо е a(T{t)) для любого і 0. а. (д- .і ,.Li і1 ;-г і j _;гіг,;, Следствие 1.9. і/сл и О Є p(T(s)) для некоторого s 0; mo О Є p{T(t)) для любого і 0. Следствие 1.10. .Еош 0 Є т(Т($)) для некоторого s 0, то 0 Є a(T(t)) для любого і 0. В оставшейся части параграфа считается выполненным следующее предположение ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 1.3. Множество a(T(t)) С С компактно для любого t 0. Тогда точка расширенного спектра А = со является изолированной и для любого отношения T(t) можно построить жорданов контур 7(t) такой, что a(T(t)) лежит внутри контура, а а(А)\а(А) вне его. Введем в рассмотрение проекторозначную функцию Р : Ш+ — End X, определяемую следующей формулой lit) В этом параграфе будем использовать следующие обозначения: Лемма 1.15. R(X,T(t))P{s) = P(s)R(X.T(t)) для любого t,s 0, -4 Перестановочность следует из следствия 1.7 и формулы (1.3) для проектора P(t). Следствие 1.11. Подпространства XQ(S) и X s) инвариантны относительно T(t), причем T(t) = T(t)0 ()00(5) и &{T{t )) = Следствие 1.12. Отображение Т : (0, со) —» LR(Xi(s)) является полугруппой, определяемой равенством T s\(t) = Т(і) п, і Є {0,оо}. ЗАМЕЧАНИЕ 1.6. В дальнейшем, чтобы подчеркнуть, что отношение Т(і) П (Xi(s) х Xi(s)) является элементом полугруппы, будем обозначать его. как в следствии 1.12, через Т {Ь), і є {0, со}. Лемма 1.16. Для любых , в 0 верно включение со Є р(Тщ(і)). -4 Включение следует из леммы 1.14, так как со є p(T0(s)(s)) для любого s () Лемма 1.17. ДЛЯ любых t,s .0 справедливо равенство -4 Включение fffToo fi)) 2 {со} вытекает из следствия 1.8 так как а(Т в){з)) = {со}. Докажем включение 7(Хоф)(і)) С {со}. Предположим противное.
Тогда существуют р, q 0 такие, что &(Too{q)(p)) — {cojUM. Так как в 7(Т(р)) точка А — со изолированная, то и в (Т р)) А = со также изолированная точка, поэтому можно построить контур 7 такой, что М лежит внутри контура, а {со} — вне его. Рассмотрим проектор Р = R(X Tx fj)))d\. Так как по следствию 1.7 для любых ii, i i 0 операторы І?(А, Тто (іі)) и Й Тро Діг)) перестановочны, то по следствию 1.12 отображение S : (0, со) —» ЬЯ(Хоо((з)) определяемое равенством () = ОО(Ї) (і) П(/тР x /mi3) будет являться полугруппой на подпространстве /тР и поэтому в силу того, что со ф cr(S(j))) = a(S(p)) по лемме 1.14 со ф a(S(t)) для любого і 0. С другой стороны, a(S(t)) = () ) П (JmP х ImP)) С ЩТ Іі)) = {со} для любого t 0. Из со ф &{S(t)) для любого і 0 и ((S(i)) С {оо} для любого t О получаем, что сг(5(і)) = 0 для любого t 0, но это противоречит теореме о нспустоте спектра линейного отношения Следствие 1.13. Для любых i, ,s 0 верно равенство а(Тщ(і)) = a(T(t)). {сю} также находится вис 7( )- Поэтому / R(X,TO0 (t))dX = Таким образом, P(t) = / R(X,TQ{s)(t))dX / (A,TMs)(t))dA = h0{a) x„( ) 0ТКУДа получаем X0(t) = ImP(t) = X0(s) и X it) = KerP(t)=X00(s). Теорема 1.3. Полугруппа отношений T представима в виде прямой суммиТ(і) = TQ(і) Too(і) полугруппы TQ ограниченных операторов из End XQ и полугруппы, Тх отношений из LR(X0O)! обратных к квазинильпотентным операторам. Доказательство следует из лемм 1.17 и 1.18 и следствия 1.13 Следствие 1.14. Если пространство X конечномерно, то полугруппа отношений Т представима в виде прямой суммы T{l) = То (і) Ф 0j полугруппы TQ ограниченных операторов из End, XQ и отношения 0 , обратного к нулевому оператору 0 є End Х .
О полугруппах операторов и спектральной теореме
Подход, основанный на использовании комплексной резольвенты линейного отношения А є LR(X) для построения функционального исчисления может быть использован и при построении полугрупп операторов по заданному линейному отношению на X. Определение 2.6. Отношение А Є LR(X) назовем секториаль ным с углом в & (7г/2.тг), если для некоторого а Є Ж сектор Єї = ІЇа,в = {А Є С : \агд(Х - а)\ $, А ф а} содержится в р(А, С) и для каждого 5 (0, в — тг/2) выполнено условие В терминах резольвенты отношения А условие (2.12) будет записываться D ВИДЄ и несколько отличаться от общепринятого определения [33]. Если необходимо рассматривая вместо отношения А отношение А — а/, без ограничения общности можно считать а — 0 и соответствующий сектор обозначать Пр. Итак, пусть А Є І/Й(Х) — секториальное отношение. Построение голоморфной полугруппы Т : [0,оо) — End X осуществляется стандартным образом с помощью формулы где 7 - граница сектора 0,$+е для некоторого є 0. Функцию рЕ : Е — С, определяющую контур 7 зададим равенствам (/?є(г) = -е- #-є)г дЛЯ т е (-оо о) и ( (г) = е 4 " г для т є [0,со), где є = (в - тг/2 - 5)/2. Сходимость интеграла (2.13) (при задании контура указанной функцией ір) "в главном" де 7а а 0, — контур, являющийся образом сужения ц а : \—а. а] —» С функции ( на [—а, а]. Обычным образом проверяется (см., например, [9]), что получаемая та,ким образом полугруппа Т : [0, оо) — End X допускает голоморфное расширение в некоторый сектор из С.
Поскольку функции A m /tPO — еА Л : С — С удовлетворяют условиям теоремы 2.1, то каждый из операторов T(t),t 0 является комплексификацией некоторого оператора Т(), і 0. Если А Є LO(X), то из формулы (2.9) получаем представление операторов T(t) вида T(i) - - I etTC0 {rsm{smuj)I - sin(w + 8тш)А)Ф{те)йт, (2.14) о ГДЄ U) — любое ЧИСЛО ИЗ (7Г/2, в). Теорема 2.4. Пусть А LR{X) — секториалъное отношение с углом В Є (7г/2,7г). Предположим, что векторы, из подпространства АО разделяют функционалы из подпространства А 0 С X . Тогда 1. банахово пространство X представимо в виде прямой суммы Х = ХоХ х, (2.15) где Хж = А0; аХо — замыкание подпространства D{A) в X; кроме того подпространства XQ и Х замкнуты и инвариантны относительно А [по любому из двух определений); 2. суоісение AQ = A\XQ является секториалъньш оператором из LO(XQ) причем Ац — генератор голоморфной полугруппы операторов Та : [0, со) — End XQ; 3. определенная формулой (2.14) полугруппа допускает разложение T(t) = Т0(і) фТжіі) Too(t) = 0, t 0, относительно разложения (2.15) пространствах. Утверждения данной теоремы на комплексном банаховом пространстве получены в статье [9]. Здесь только следует отметить, что из условия АО разделяют функционалы из У4 0 следует, что этим свойством обладает и отношение А, Из приведенных перед этой теоремой построений, а также из лемм 2.1-2.3 об инвариантных подпространствах вытекают все утверждения 1-3. Следствие 2.3. Для комплексного спектра операторов Т {), t О имеет место равенство o (T(t),C) \ {0} = {eXt, А а (А. С)}. В основе приводимых далее результатов находится полученная в статье [9]. Теорема 2.5. Пусть Z — комплексное банахово пространство и расширенный спектр отношения А Є LR(Z) представим в виде о (A) = (То U 7i, где сто — компакт из С и ао Паї = 0 (а$ называют спектральной компонентой из а {А)).
Тогда существует разложение пространства Z в прямую сумму Z — ZQ@ Z\ инвариантных относительно А замкнутых подпространств ZQ и Z\, а сужения AQ = A\ZQ и А± = A\Z\ обладают следующими свойствами: 1. AQ є End Z(h a{A0) = a{A0) = ст0; 2. Aid = АО, D{A) ZQD(A1)., a{A{) = trv Разложение Z = ZQQ) Zi осуществляет проектор Pucca P (mo есть ZQ = Im P. Z\ — Im(I — P)), определенный формулой где 7 — замкнутая жорданова положительно ориентированная вопрос получения аналога теоремы 2.5 для линейного отношения А на вещественном банаховом пространстве X по некоторой спектральной компоненте сто из сє расширенного комплексного спектра. Основная проблема состоит в том, что не всякий проектор Рисеа, построенный по спектральной компоненте из (А) комплексификации А отношения А, является комплексификацией некоторого проектора из End X. Теорема 2.6. Пусть расширенный комплексный спектр а (А, С) допускает представление вида ст(Л, С) = сто U о\. где Сто — компакт из С, о-} — замкнутое множество из С и сто П о\ = 0. Тогда проектор Pucca Р Є End X, построенный по спектральной компоненте стц, является комплексификацией некоторого проектора из Р Є End X тогда и только тогда, когдаЩ = сто (то есть множество (То симметрично в С относительно Ш). ЕслиЩ — сто,- то банахово пространство X допускает разложение в прямую сумму X = XQX\ инвариантных относительно А замкнутых подпространств XQ = Im Р, Х\ = Ker Р. Для частей Ak = A\Xk, к — 0,1 отношения
А верны следующие свойства: 1. X — XQ Х\, то есть комплексификация X банахова пространства X есть прямая сумма комплексификаций XQ и Xi подпространств XQ и Х\ соответственно, причем, Хо и Жі — инвариантные относительно А пространства; 2. А = АоАі; где Ар Є End XQ — комплексификация оператора AQ и Аі Є ЬЩХ\) — комплексификаций отношения A\ є LR(Xi). Кроме того, А — AQ Ф А\; 3. AQ Є End XQ, J(AQ, С) = (7(4), С) = ст0/ .У4ІО = ЛО, D{A) = X0D(A1), 5(J41,C) = CT(A1)-CT1: 5. подпространства XQ и X\ являются симметричными подпространствами из X. А. Поскольку сто — спектральная компонента отношения А, то построенный по ней спектральный проектор Р Є End X осуществляет разложение X = Хо ф Xi, Х0 = Ira Р, Х\ — Ker Р комплексификаций X пространства X, причем А = Ао Ф Аі для Aj = AfXj, і = 0,1. Согласно теореме 2.5 CT(AQ) = ст(Ао) сто, Ао є End Х0, ст(Аі) = сті. Допустим, что проектор Р является комплексификацией некоторого проектора Р Є End X. Тогда Р осуществляет разложение X = XQ фЛі, XQ — Im P, X\ — Ker P пространства X. Поскольку А С А и P. являясь функцией от отношения А, перестановочен с А, то для любой пары (х, у) & А верно то есть Р перестановочен с А. Значит, пространства Х0 ж Х\ инвариантны относительно отношения А и поэтому A = AQ ф А\ ДЛЯ сужений Ak А\Хк, к = 0,1. Так как Р — комплексификация проектора Р, то Хо и Xi — комплексификаций пространств XQ И XI соответственно. Ввиду того,
