Содержание к диссертации
Стр.
ВВЕДЕНИЕ 4
1 НЕВЫРОЖДЕННОСТЬ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
В СЛУЧАЕ КОВАЛЕВСКОЙ ЗАДАЧИ О ВРАЩЕНИИ ТЯЖЕЛОГО
ТВЕРДОГО ТЕМ С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ 22
I.I Задача Ковалевской и вспомогательные
утверждения 22
1.2 Невырожденность условно-периодических движений
при нулевом значении постоянной площадей I . . . . 27
1.3 Невырожденность условно-периодических движений
при 1*0 33
2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕВЫРОЖДЕННОСТИ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ДВИЖЕНИЙ В СЛУЧАЕ КЛЕБИІА ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО
ТЕЛА В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 48
2.1 Постановка задачи 48
2.2 Замечание к доказательству Кеттера об интегри
руемости задачи Клебша 50
2.3 Доказательство невырожденности в окрестности
точки самопересечения бифуркационной диаграммы при
Н.5+({С^С1+ {С^Щ)& 53
2.4 Невырожденность при К-*, >(/(-з~сх *&з~Сг) . . 68
2.5 Случай нулевой постоянной площадей 72
3 МЕТОДИКА БИЛЛИАРДНОГО ПРЕДЕЛА В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ
НЕВЫР01ЩЕНН0СТИ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ В
СИСТЕМЕ А/ ЧАСТИЦ НА ПРЯМОЙ С ПАРНЫМ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ чР(х) 75
3.1 Система N частиц на прямой с парным
взаимодействием & JjK] 75
3.2 Движение в предельной (при &-+-0 ) биллиардной
системе и предельные переменные "действия" 76
3.3 Непрерывность по параметру & (при 6-*-О )
допредельных переменных действия 80
3.4 Сходимость (при 6-~0 ) первых и вторых частных
производных от переменных действия 88
3.5 Доказательство невырожденности 92
4 ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННОГО СЧЕТА НА ЭВМ ДШ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕВЫРОЖДЕННОСТИ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ В СЛУЧАЕ ГОРЯЧЕВА-ЧАПЛЫГИНА ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО
ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ 96
4.1 Задача Горячева-Чаплыгина 96
4.2 Лемма с использованием ЭВМ для доказательства
невырожденности . 100
ЛИТЕРАТУРА Ю9
Введение к работе
Настоящая диссертация содержит доказательство невырожден-юсти условно-периодических движений некоторых классических интегрируемых систем. На симплектическом многообразии рассматривается ?амильтоново векторное поле с функцией Гамильтона Н . Гамиль-?онова система называется интегрируемой, если существуют П независимых интегралов движения 1Л находящихся в инволюции. По швестной теореме Лиувилля-Арнольда (см.[I]) каждое множество фовня всех этих интегралов представляет собой П -мерный тор в зазовом пространстве системы. Зтот тор инвариантен относительно іазового потока гамильтоновой системы, каждая фазовая кривая, на-іавшаяся в точке такого тора, на нем и останется. движение на инвариантном торе 1^= Cf^ является условно-перио-щческим. В окрестности инвариантного тора І^^н, можно ввести [см. [I]) переменные действия, тогда частоты и>^ условно-перио-щческих движений суть производные гамильтониана по переменным действия. Отметим, что частоты зависят от того какой именно из ?оров мы рассматриваем, то есть какие значения первых интегралов л мы фиксировали. Таким образом частоты Ші являются функціями значений первых интегралов движения d^ .
Условно-периодические движения называются невырожденными в жрестности инвариантного тора 1^- С^ , если частотное отображение іевьгрождено в точке (&1,---,&п.) . В этом случае также будем на-швать гамильтонову систему невырожденной в окрестности инва-шантного тора i"*"^ .
Итак, в невырожденном случае на различных инвариантых торах і фазовом пространстве гамильтоновой системы реализуются услов- но-периодические движения с различным числом арифметически независимых частот. В частности, всюду плотны инвариантные торы, на которых число независимых частот максимально возможное, то есть п . Такие торы называются нерезонансными. На нерезонансном торе траектория условно-периодического движения всюду плотна. Можно показать, что в невырожденном случае нерезонансные торы образуют в фазовом пространстве множество еолной меры по Лебегу. Таким образом, для почти всех начальных значении фазовая кривая невырожденной системы всюду плотно заполняет инвариантный тор, размерность которого равна половине размерности фазового пространства.
В невырожденной интегрируемой гамильтоновой системе отсутствуют дополнительные интегралы. В самом деле, пусть F -интеграл невырожденной гамильтоновой системы, тогда очевидно интеграл F постоянен на траектории условно-периодического движения. На нерезонансном торе траектория движения всюду плотна, а нерезонансные торы образуютзвсюду плотное множество. Отсюда получаем, что интеграл F есть функния от уже имеющихся интегралов.
Хотя нерезонансные торы в невырожденном случае образуют в фазовом пространстве множество полной меры так,что мера Лебега объединения всех резонансных торов равна нулю, тем не менее резонансные торы существуют и перемежаются с нерезонансными таким образом, что они также образуют всюду плотное множество. Более того, всюду плотно множество резонансных торов с любым числом независимых частот от 1 до n-i . В частности, всюду плотны инвариантные торы, на которых все фазовые кривые замкнуты.
Невырожденные интегрируемые гамильтоновы системы являются отправным пунктом в теории возмущений гамильтоновых систем. Пункаре даже назвал основной задачей динамики задачу об исследовании возмущении ушевно-периодических движений в системе, заданной гамильтонианом в переменных действия І - угол ^ . Здесь / -гамильтониан невозмущенной системы, a / ' - возмущение, являющееся 5" -периодической функцией угловых переменных J . В невозмущенной задаче ( б^О ) углы і на инвариантных торах изменяются равномерно с постоянными частотами fcA,= а все переменные действия являются первыми интегралами движения. Требуется исследовать фазовые кривые уравнений Гамильтона
Т-- 2М. и?^ IE 1 ~ п> т ч> I '
Теорема Пуанкаре о несуществовании в общем случае аналитических интегралов в возмущенной системе была впервые доказана в знаменитом мемуаре "О проблеме трех тел и об уравнениях динамики" (см.[2]) с использованием невырожденных периодических движений. В доказательстве используется, по существу тот факт, что резонансные торы общего положения в невырожденной невозмущенной задаче распадаются при возмущении.
Более того, основная идея доказательства и более поздней теоремы Зигеля о неинтегрируемости систем уравнений Гамильтона вблизи положения устойчивого'равновесия (см.СЗ]) тоже восходит к Пуанкаре.
Существенным продвижением в исследовании возмущенных фазовых кривых явилась теорема Колмогорова "О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона" (см. [4],[5]). Основное требование, предъявляемое к невозмущенной системе,- невырожденность. A.M. Степин заметил, что возмущение невырожденной интегри- эуемой системы обладает жесткостью аналитической интегрируемости (см.[6]), то есть аналитические интегралы возмущенной системы в этом случае всегда находятся в инволюции. Возмущение вырожденных ястем этим свойством не обладает (см.[6]).
Для доказательства теоремы о неинтегрируемости задачи о вра-цении несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки В.В.Козлов доказал невырожденность условно-периодических сдвижений в окрестности всех инвариантных торов невозмущенной задачи Эйлера-Пуансо (см. [7]), что является уточнением соответству-ощего результата В.И.Арнольда (см.Г5]дополнение) , который доказал, что в общем случае якобиан частотного отображения не есть тож-. цественный нуль.
