Введение к работе
Диссертационная работа посвящена методам решения линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего и первого родов в пространствах обобщенных функций.
Актуальность темы. Теория интегральных уравнений на протяжении последнего 100-летия оставалась одной из центральных областей математики. С одной стороны, ее развитие стимулировалось потребностями многочисленных приложений к механике, физике, технике и другим дисциплинам, с другой - она оказалась на пересечении многих областей чистой математики - функционального анализа, теории функций, алгебры, теории вероятностей и др. При этом основное внимание уделялось таким разделам, как теория регулярных интегральных уравнений Вольгерра и Фредгольма первого и второго родов, теория сингулярных интегральных уравнений. В этих областях были получены наиболее полные результаты. Подробный обзор имеющихся результатов и обширную библиографию можно найти в справочных пособиях А.Ф.Верланя: и В.С.Сизикова, В.В.Иванова, в специальных обзорных работах Б.Г.Габдулхаева, З.Пресдорфа, а также в монографиях С.М.Белоцерковского и И.К.Лифанова, Г.М.Вайникко, В.Вольтерра, Б.Г.Габдулхаева, Ф.Д.Гахова, В.В.Иванова, Л.В.Канторовича и Г.П. Акилова, Л'.В. Канторовича и В.И.Крылова, М.Л.Краснова, А.Ю. Луч-кии Т.Ф. Лучка, С.Г.МихлинаиХ.Л.Смолицкого, Н.И.Мусхелишвили, З.Пресдорфа, И.И.Привалова, Ф.Дж.Трикоми и др. В то же время ряд важных задач теорий упругости, переноса нейтронов, рассеяния частиц, а также теорий сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся символом, краевых задач для уравнений смешанного типа и теории некоторых нагруженных ингегро-дифференциальных уравнений приводит к линейным интегральным уравнениям Фредгольма третьего рода. Впервые интегральные уравнения третьего рода рассматривали Д.Гильберт, Э.Пикар, Ш.Платрие (1911-1913 гг.). Дальнейшие исследования их проводили А.Р.Хволес, В.Шмайдлер, В.А.Морозов, Х.Г. Бжихатлов, В.Б.Коротков, П.Н.Денисенко и другие. В их работах решение рассматриваемых уравнений отыскивается в классических пространствах (аналитических, непрерывных, интегрируемых или др. функций) и при этом не привлекается аппарат обобщенных функций. Однако, обнаружилось, что очень часто естественными классами решений ряда прикладных задач, приводящихся к интегральным уравнениям третьего рода, являются пространства обобщенных функций специальной структуры. Впервые в классе обобщенных функций уравнение третьего рода исследовалось Г.Р.Бартом и Р.Л.Варноком.
Исследования этих авторов были продолжены и развиты в работах В.С.Рогожина и С.Н.Расламбекова, Г.Р.Барта, Н.Сукаванама, К.Б. Бараталиева, СН. Расламбекова. Эти работы посвящены построению теории Нетера для соответствующих интегральных уравнений третьего рода в пространствах непрерывных, интегрируемых и обобщенных функций. Таким образом, приходится отмечать, что работ по теории уравнений третьего рода сравнительно немного, в частности, вопрос о разработке и теоретическом обосновании приближенных методов их решения в литературе, по существу, до сих пор оставался открытым.
При решении многих теоретических и практических вопросов возникают интегральные уравнения Фредгольма первого рода, относящиеся к некорректным задачам. Фундаментальные результаты в области таких задач получены А.Н.Тихоновым, М.М.Лаврентьевым, В.К.Ивановым, В.А.Морозовым, их учениками, сотрудниками и последователями. Особенностью этого важнейшего направления является то, что поиск решений уравнений первого рода производится, как правило, в классических пространствах (напр., в С, Li и их подклассах или др.) и устойчивое приближенное решение некорректных задач достигается, как известно, их регуляризацией различными способами. Достаточно полные обзоры методов и результатов по решению некорректных задач и библиография содержатся в монографиях В.К.Иванова, В.В.Васина и В.П.Тананы, М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова и С.П.Шишатского, В.А.Морозова, А.Н.Тихонова и В.Я.Арсенина и др. В то же время возникла необходимость развития теории уравнений первого рода и в несколько ином направлении, а именно, решения их в классе обобщенных функций специального вида. В самом деле, рядом авторов на теоретических и практических примерах было показано, что линейные интегральные уравнения первого рода могут иметь обобщенные решения с особенностями, сосредоточенными на границах промежутка интегрирования, причем решения такой структуры часто возникают в задачах современной физики, механики и техники. Более того, во многих случаях интегральные уравнения первого рода, связанные с задачами оптимального автоматического управления, имеют решение лишь в обобщенных функциях. Это обстоятельство стимулировало появление работ, в которых построены обобщенные решения интегральных уравнений первого рода общего вида. К ним относятся статьи М.И.Иманалиева, П.С.Панкова и О.Г.Брендера, А.Д.Мышкиса, Э.Т.Мусуралиевойи А.Д.Мышкиса.
Из анализа имеющихся работ следует, что вопросы разрешимости интегральных уравнений третьего и первого родов в пространствах обобщенных функций недостаточно изучены. Ввиду того, что рассматриваемые уравнения точно решаются лишь в очень редких частных случаях, особенно актуальной является разработка эффективных приближенных методов их решения в классах обобщенных функций с со-
/1
ответствующим теоретическим обоснованием.
Отличительной особенностью настоящей работы является то, что отыскание решения изучаемых уравнений третьего и первого родов рассматривается как корректно поставленная задача. При этом класс искомых элементов есть конечномерное расширение области определения исходного оператора уравнения (заметим, что в основе понятия корректности по Тихонову лежит фундаментальная идея сужения области задания исходного оператора). Это обстоятельство,-с-одной стороны, позволяет снять условия разрешимости, а с другой — делает невозможным непосредственное использование известных результатов по теории приближения. Возникает необходимость построения подходящей теории приближения в основных пространствах и, да этой основе, разработки новых методов решения интегральных уравнений третьего и первого родов с соответствующим обоснованием. .
Цель работы состоит в построении полной теории разрешимости линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего и первого родов в пространствах обобщенных функций и разработке эффективных приближенных методов их решения с теоретическим обоснованием.
Методика исследований. Работа построена по следующей логической схеме.. В зависимости от структуры коэффициентов исследуемых уравнений конструируются пары основных пространств, изучаются их . функциональные свойства, необходимые в дальнейших исследованиях,., и строится специальная теория приближения в этих пространствах.;. Затем изучаются вопросы разрешимости рассматриваемых уравнений в подобранных пространствах. После этого предлагается классиче- . ский подход к приближенному решению изучаемых уравнений. Далее строятся и обосновываются специальные новые прямые методы, обладающие существенным преимуществом перед классическими методами. В заключение проводится оптимизация по порядку точности прямых и проекционных методов решения исследуемых уравнений. Такой подход работе в целом придает законченный вид в смысле полноты исследований. Методы, применяемые в диссертации, основываются на существенном использовании теорий обобщенных функций, операторов Нетера, приближения функций и общей теории приближенных методов анализа. Широко-используются методы функционального анализа.
Научная новизна. В диссертации изучены функциональные свой-, ства основных пространств, используемых в исследованиях, и построена "специальная теория приближения в этих пространствах, приспособленная к решению линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего и первого родов. Для интегральных уравнений третьего рода с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка, построена полная теория разрешимости в различных классах обобщенных функций (нетеро-вость, условия разрешимости, методы точного решения, достаточные
условия непрерывной обратимости оператора уравнения). Воспользовавшись существенным образом этими результатами, разработаны и теоретически обоснованы вычислительные схемы на основе ряда классических прямых проекционных методов решения уравнений третьего и первого родов в пространствах обобщенных функций. На азе построенных в настоящей работе "полиномиальных" и "сплайновых" операторов (определенных на пространствах основных функций) и их аппроксимативных свойств предложены специальные новые прямые методы решения уравнений третьего рода, обладающие существенным преимуществом перед классическими методами в смысле улучшения скорости сходимости приближенных решений, и дано их обоснование. Построены и обоснованы специальные прямые методы решения уравнений первого рода в классе обобщенных функций. Совокупность полученных результатов по приближенному решению исследуемых уравнений позволила поставить и решить проблему оптимизации по порядку точности различных классов прямых и проекционных методов решения уравнений третьего и первого родов в Пространствах обобщенных функций. При этомс построены новые оптимальные по порядку прямые и проекционные методы решения этих уравнений.
Теоретическая и практическая ценность.Работа носит теоретический характер. Ее результаты по приближенному решению инте-* тральных уравнений содержат аффективные оценки погрешности приближенных решений и позволяют предсказывать быстроту сходимости к точному решению и, следовательно, могут служить основой для численных расчетов в соответствующих задачах. В целом методы и результаты данной диссертации могут быть использованы при дальнейшем развитии теории интегральных уравнений в пространствах обобщенных функций и найти применения при решении прикладных задач, приводяпшхся к таким уравнениям'.'
Апробация работы. Отдельные результаты диссертации сообщались на семинаре "Теория аппроксимации и ее приложения" при Казанском университете (1984-1996, руководитель — член-корр. - АНТ Б.Г.Габдулхаев),'на семинаре кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского университета (1987, руководитель - проф. В.С.Рогожин), на итоговых научных конференциях Казанского университета (1984-1996), на научных конференциях Куйбышевского политехнического института (1984, 1986), на Волжском зональном совещании-семинаре по дифференциальным уравнениям (математической физике) (Куйбышев, 1984), на Всесоюзной школе "Теоретические jqchobu и конструирование алгоритмов решения задач математической физики" (Казань, І984), на Сибирской школе-конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 1988), на Всесоюзной конференции по классическим и неклассическим краевым задачам для дифференциальных уравнений с частными производными, специальным функциям, инте-
тральным уравнениям и их приложениям (Куйбышев, 1987), на Всесоюзном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Харьков, 1989), на Всесоюзной конференции по современным проблемам сингулярных интегральных уравнений (Тарту, 1989), на Республиканской конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (Одесса, 1989), на Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (Одесса, 1991), на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (Самара, 1992), на Республиканской конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Одесса., 1992), на Международной конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Казань, 1992), на Международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (Казань, 1994), на Международной конференции "Механика машиностроения" (Набережные Челны, 1995), на научных межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1995, 1996), на летней школе-конференции "Теория функций и ее приложения" (Казань, 1995). Кроме того, доклады по теме диссертации были включены в программу и отражены в материалах Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" (Бишкек, 1991) и Всемирного конгресса математиков (Швейцария, Цюрих, 1994). Основные результаты диссертации в целом докладывались в Казанском государственном университете на семинаре кафедры теории функций и приближений (1994, 1996, руководитель - член-корр. АНТ Б.Г.Габдулхаев), в Московском государственном университете на семинаре кафедр математической физики и вычислительных методов (1995, руководители - проф. Е.В.Захаров и проф. И.К.Лифанов), на семинаре "Современные проблемы численного анализа" при НИВЦ МГУ (1995, руководитель - проф. В.А.Морозов), в Институте гидродинамики СО РАН на семинаре по математическим моделям механики сплошных сред (1996, руководитель - член-корр. РАН П.И.Плотников), в Новосибирском государственном университете на семинаре кафедры теории функций (1996, руководитель — акад. РАН М.М.Лаврентьев).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 27 работ.
Объем и структура работы.Диссертация изложена на 318 страницах машинописного текста и состоит из введения, пяти глав и библиографии, содержащей 123 наименования.
