Введение к работе
Актуальность теш. К настоящему времени для приближенного решения различных математических задач созваны многочислеиные методы, среди них большое значение имэгат проекционные. Они оказались эффективными для решения многих теоретических и прикладных задач механики, физики и техники. Особенно хорошо разработаны проекционные метода решения интегральных и дифференциальных уравнений.
Теоретическому обоснованию приближенных методов и их приложений посвящены многие работы. Здесь исключительно ваяна созданная в 1948 г. Л.В.Канторовичем ' общая теория приближенных методов. Развитие этой теории и другие основанные на функциональном анализе варианты общей теории имеются в работах С.Г.Шхлина, М.А.Красносельского, Б.Г.Габдулхаева, НЛ. Польского, И.К.Даугавета, Г.М.Вайникко, М.К.Гавурина, В.И. Лебедева, А.Ю.Лучки, С.Н.Слугина и др.
Задача сравнительного анализа имеющихся приближенных методов и поиск оптимальных в том или ином смысле приближенных методов привели к созданию различных концепций оптимальности. Первоначальная постановка проблема оптимизации принадлежит А.Н.Колмогорову и А.Г.Витушкину. В дальнейшей различншл воп-росам оптимизации вычислительных мзтодоз посвящено значительное число исследовании Эти результаты содержатся в работах К.И.Бабенко, Н.С.Бахвалова, Е.Г.Дьяконова, В.В.Т-Тзанова, Я.П. Корнейчука, Н.М.Коробова, В.И.Лебедева, Г.И.Марчука, С.М.Никольского, С,1.Соболева, А.Г.Сухарева, В.Д.Чарушникоэа, СВ. Переверзева и др. В связи с созданием и разработкой общей теории оптимальных конечномерных аппрокст-гадий решений операторных уравнений следует особо отметить исследования г,г. Габдулхаева 2/ и других представителей Казанской школы теории
Канторович Л.В., Аяилов Г.П. Функциональный' анализ. - г'.: Наука, Т977. - 742. с.
Габдулхаез Б.Г. Оптимальные аштроксимация решение! линейных задач. - Казань:Изд-во Каз. ун-та, 1980. - 2^2 о.
аппроксимации функций.
Представляются актуальными разработка теории уже введенных понятий оптимальности и создание новых методов получения оценок погрешности проекционных методов решения операторных уравнений. Эти вопросы находятся в основном русле развития современной общей теории приближенных методов. Здесь возникают интересные к важные для приложений задачи.
Цель работы:
а) поиск новых критериев оптимальности проекционных мето
дов и конкретных приложений этих критериев, в частности, исс
ледование оптимальности некоторых классических проекционных
методов;
б) создание новых методов получения оценок погрешности и
их применение к конкретным классам уравнений;
в) построение новых оптимальных проекционных методов.
особенно оптимальных по точности и асимптотически оптималь
ных, а также оптимальных по точности в смысле невязки и асим
птотически оптимальных в смысле невязки.
Методика исследований. В работе систематически используются метода теории линейных операторов, конструктивной теории функций, общей теории приближенных методов и вариационного исчисления. Мы постоянно опираемся на полученные нами представления приближенного решения и нормы проектора.
Мучная новизна.
а) получены формулы для представления приближенного реше
ния;
б) разработан новый метод получения оценки погрешности
приближенного решения проекционного метода. В связи с этим
введены и изучены числа оптимальности и оптимальности в смыс
ле невязки;
в) предложены новые критерии оптимальности проекционных
ме тодов;
г) получен аналог принципа сжимающих отображений для ме-
тода Галеркина в гильбертовом пространстве. Усилены ранее известные результаты об. оптимальности по точности проекционного метода Галеркина для уравнений с положительным оператором и о монотонных операторах;
д) ослаблены предположения в известном достаточном крите
рии сходимости приближенного решения к точному^;
е) указаны способы построения оптимальных в различных
смыслах проекционных методов.
Решенные в работе задачи входят в научные исследования кафедры теории функций и приближений № госрегистрации 0I860I20665.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты и методы диссертации могут найти применение в общей теории приближенных методов и при решении конкретных прикладных задач с помощью проекционных методов, для построения оптимальных по точности проекционных методов решения различных классов дифференциальных и интегральных уравнений.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на итоговых научных конференциях КГУ 1989-1992 годов, на заседаниях семинара "Теория аппроксимации и ее приложения" при Казанском университете в 1989-1992 годах, на республиканской конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" в городе Одессе в 1989 году, на республиканской конференции "Экстремальные задачи теории приближе -ний и их приложения" в городе Киеве в 1990 году, на 6-ой Са -ратовской зимней школе по теории функций и приближений в 1992 году, на Международной Конференции, посвященной 200-ле -тию Н.И.Лобачевского, в городе Казани в августе 1992 года.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях автора.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых .на II параграфов, и списка литературы. Общий объем работы - 77 страниц машинописного текста.
