Содержание к диссертации
Введение
1. Некоторые результаты из теории функций и приближений
1.1. Об общей теории приближенных методов функционального анализа 26
1.2. О приближениях сплайнами минимальных степеней 29
2. Задача Коши для сингулярного интегродифферен-циального уравнения первого порядка
2.1. Предварительные результаты 33
2.2. Теоремы существования и единственности решения 43
2.3. Об устойчивости решения 51
2.4. Итерационные методы 52
2.5. Метод сплайн-коллокации 54
2.6. Метод сплайн-подобластей 64
2.7. Общий проекционный метод 67
2.8. Методы моментов и Галеркина 74
2.9. Метод наименьших квадратов 76
2.10. Метод коллокации 78
3. Краевая задача для сингулярного интегродиф-ференциального уравнения второго порядка
3.1. Предварительные результаты 83
3.2. Вычислительная схема метода сил айн-кол локации 88
3.3. Теоретическое обоснование метода 89
3.4. Полиномиальные проекционные методы 97
Литература 102
- О приближениях сплайнами минимальных степеней
- Итерационные методы
- Метод наименьших квадратов
- Теоретическое обоснование метода
Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена методам решения сингулярных интегродифференциальных уравнений (СИДУ) с интегралами Коши на разомкнутых контурах, понимаемыми в смысле главного значения по Коши - Лебегу. Такие уравнения точно решаются лишь в очень редких частных случаях. Поэтому как для теории, так и в особенности для приложений важное значение отводится разработке приближенных методов решения СИДУ с соответствующим теоретическим обоснованием.
За последние десятилетия в решении указанной проблемы достигнут значительный прогресс в основном благодаря работам отечественных математиков и механиков, а также ряда зарубежных авторов. Итоги исследований в этой области подведены в специальных обзорных работах В.В.Иванова (1965г.), D.Elliot (1979г.), Б.Г.Габдулхаева (1980г.), P.S.Theocaris(1981r.), M.Golberg (1985г.), S.Prossdorf(1989r.), И.К Лифанова и Е.Е. Тыртышникова (1990г.) и др.; в монографиях таких авторов как В.В.Иванов(1968г., 1975г.); В.В. Панасюк, М.П. Саврук, А.П. Дацышин (1976г.); S.G.Michlin, S.Prossdorf (1980г.); М.П.Саврук (1981г.); Б.Г. Габдулха-ев (1980г., 1994г., 1995г.); В.В. Панасюк, М.П.Саврук, З.Т.Назарчук (1984г.); С.М.Белоцерковский, И.КЛифанов (1985г.); Н.Я.Тихоненко (1988г.,1994г.); З.Т.Назарчук(1989г.); S.Prossdorf, B.Silberman (1991г.); ВАЗолотаревский (1991г.); И.КЛифанов (1995г.); кроме того, в значительном количестве диссертаций , среди которых отметим лишь наиболее близкие к теме данной работы (И.Шокамолов(1973г.), С.М.Ахметов(1974г.), В.Е.Горлов(1977г.), Л.А.Апайчева(1986г.), М.ГАхмадиев (1988г.), И.Н.Мелешко(1975 и 2003гг.)).
Однако, несмотря на сделанное, в данной области все еще остается
юс. национальная"!
много нерешенных задач. Настоящая диссертация в некоторой степени восполняет этот пробел.
Цель работы - разработка сплайновых и полиномиальных приближений решений СИДУ первого и второго порядков на отрезке вещественной оси с теоретическим обоснованием, под которым, следуя академику Л.В.Канторовичу, понимается следующий круг вопросов:
доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений;
доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости;
установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.
Методика исследований. При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из теории функций, и приближений, из общей теории приближенных методов функционального анализа и теории интегральных и интегродифференци-альных уравнений; при этом мы следуем методике исследования аппроксимативных методов решения операторных уравнений, изложенной в монографиях Б.Г.Габдулхаева (1980, 1994, 1995гг.).
Научная новизна. Предложено теоретическое обоснование сплайновых и полиномиальных проекционных методов решения СИДУ первого и второго порядков, а также установлены достаточные условия существования, единственности и устойчивости решения задачи Коти для СИДУ первого порядка в парах функциональных пространств [WlL2)n{C\C).
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории приближения функций и интегральных уравне-
ний, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения различных классов сингулярных интегродифференци-- альных уравнений. Они также могут быть применены при решении прикладных задач физики, химии, механики и математической физики, математические модели которых описываются указанными ниже уравнениями.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 1999 - 2003гг; на Всероссийской научной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова (г.Казань, КГУ, сентябрь 1999г.); на Международной молодежной научной конференции "Молодежь - науке будущего" (г.Наб.Челны, Кам-ПИ, апрель 2000г.); на Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (г.Одесса, ОГУ, сентябрь 2000г.); на Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики", посвященной 40-летию механико- математического факультета КГУ (г.Казань, КГУ, октябрь 2000г.); на Международной научной конффенции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы " (г.Казань, КГУ, июнь 2001 г.); на Международной научно-практической конференции "Наука и практика. Диалоги нового века" (г.Наб.Челны, КамПИ, март 2003г.); на Международной научной конффенции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы " (г.Казань, КГУ, июль 2003 г.). Кроме того, результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на городском научном семинаре "Теория аппроксимации и ее приложения в вычислительных методах" при Казанском государственном университете.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список
которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация объемом 114 страниц состоит из введения, трехтлав и библиографического списка литературы из 101 наименований.
О приближениях сплайнами минимальных степеней
Ниже при решении сингулярных интегродифференциальных уравнений как первого, так и второго порядков существенным образом используется интерполирование сплайнами (см., напр., [8, 41, 49, 50, 74, 73]). В связи с этим приведем некоторые необходимые нам результаты. На сегменте [а,Ь] возьмем сетку узлов Ап предполагая при этом, что норма сетки удовлетворяет условию Функция у = д(х), а х b называется интерполяционным сплайном степени тп (т + 1 Є х) для данной непрерывной функции f(x) по сетке узлов (1.12), если она обладает следующими свойствами: Ясно, из условий 1), что сплайн д{х) имеет N = (тп + 1)п Є f неизвестных коэффициентов, а для их определения, в силу условий 2) и 3), имеем М = (n--l)+m.(n—1) уравнений. Поэтому N—M — т—1 коэффициентов сплайна остаются свободными. Их определяют с помощью дополнительных условий, которые, как правило, называются "краевыми условиями". Например, в случае кубического сплайна, т.е. при га = 3, для однозначной определенности не хватает двух уравнений, которые обычно задают с помощью одного из следующих краевых условий: В случае же интерполяционного сплайна первой степени, т.е. при т = 1, количество неизвестных коэффициентов сплайна совпадает с количеством уравнений для их определения; в этом случае сплайн определяется однозначно. Например, его можно записать в виде -кусочно-линейная функция первой степени (полигон), где -фундаментальные сплайны первой степени, причем при к = 0 и к = п пренебрегаем первыми двумя и соответственно последними двумя звеньями функций сро(х) и рп(х).
Ниже мы существенным образом используем аппроксимативные свойства сплайнов первой и третей степени. Сформулируем их в виде следующих теорем со следствиями Теорема 1.1. Для любой функции f(x) Є C[a,b] ее интерполяционный сплайн д(х) = 3 (/ ,х) равномерно сходится со скоростью где w{f) 5)-модулъ непрерывности функции f(x) вычисленной с шагом S, 0 S b - а. Следствие 1. Если функция f(x) Є Ырм&(М 0,0 а 1), то Следствие 2. Если функция f(x) имеет первую производную на сегменте [а, 6], ограниченную там постоянной М\ 0, то справедлива оценка Следствие 1. Если ff(x) Є Ырма(М 0, 0 а 1)3 то справедлива оценка Следствие 2. Пусть функция f(x) на сегменте [а, 6] шиеет вторую производную f"{x), ограниченную там постоянной Mi 0. Тогда интерполяционный сплайн первой степени равномерно сходится со скоростью Теорема 1.3. Пусть функция /(х) Є C [a,b], гЄк, Тогда интерполяционный кубический сплайн S (f\x) с любым из краевых условий I — IV равномерно сходится к функции f(x) при n-f оо на /а b], при этом скорость сходимости определяется соотношением: Далее, обозначим через 5 -оператор, который любой функции f{%) є С[а,6] ставит в соответствие ее интерполяционный сплайн первой степени по формулам (1.14), (1.15), т.е. Очевидно, что этот оператор является линейным, т.е. аддитивным и однородным, и проекционным, т.е. (S )2 = S . Кроме того, известно (см., напр., [20]), что операторы S : С[а,Ь] — С[а, 6] ограничены по норме в совокупности, точнее, справедливо равенство ІЙІсмнад = 1, (п = 1,2,...). (1.20) В книге [18] (гл.1) доказано, что эти операторы в пространстве Ьг[а,6] с обычной нормой являются неограниченными, а именно Кроме указанных сплайнов в главе II использованы также интерполяционные сплайны нулевой степени. Необходимые сведения об этих сплайнах мы приведем в указанной главе по мере их использования. Задача Коши для сингулярного интегродифференциального уравнения первого порядка Введение В ряде прикладных задач (см., напр., [3, 5, б, 18, 19, 20, 21, 23, 32, 54, 59, 70, 71, 72, 82] и библиографию в них) встречается сингулярное интегродифференциальное уравнение вида с начальным условием здесь a(t),b(t) и /() - известные функции на сегменте [—1,1],а p{t)— искомая функция, причем сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения. Уравнение (0.1)-(0.2), как правило, точно не решается. Поэтому ниже предлагаются вычислительные схемы ряда прямых и проекционных методов и их теоретическое обоснование в смысле общей теории приближенных методов Л.В. Канторовича (см., [47], гл. 14, [21], гл. 1). 2.1. Предварительные результаты Сначала приведем ряд необходимых для дальнейшего функциональных пространств и нормы в них: С[ 1,1] = С-пространство всех непрерывных на [-1,1] функций с обычной нормой С1 [—1,1] = С1-пространство непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условию (0.2) и норма в нем определяется следующим образом іг[—1? 1] = . "пространство всех измеримых функций, квадратично суммируемых по Лебегу в промежутке [-1,1], с нормой Кроме того, в этом пространстве мы будем пользоваться скалярным произведением, определяемым обычным образом: W f—1,1] = Wg -пространство тех непрерывных на [—1,1] функций, удовлетворяющих условию (0.2), первые обобщенные производные которых квадратично суммируемы по Лебегу.
При этом норма определяется по формуле Все эти пространства являются полными. Действительно, то что С, 1 2, W\ -полные линейные нормированные пространства, известно {см., напр., [47]), а полнота пространства С1 легко доказывается. В дальнейшем существенным образом будут использованы следующие результаты Лемма 1.1. Для любой функции р Є W2l справедливо представление где сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения (см.,напр., [62, 65]). Доказательство. В силу (0.2) для любой функции р є W% имеем Отсюда с учетом (0,2) и (1.2) последовательно находим Таким образом, получили требуемое равенство. Если функция tp(t) имеет непрерывные производные, удовлетворяющие условию Гельдера, то утверждение данной леммы можно получить из известных результатов Ф.Д. Гахова и Н.И. Мусхелишвили (см., напр., [29, 65]). Однако, у нас, во-первых, функция (p(t) лишь из класса W\ и во-вторых, доказательство получено другим способом. Лемма 1.2. Справедливо равенство Доказательство. Отметим, что интеграл / 1) In \r — t\\dr = I является симметричной непрерывной функцией относительно t Є [—1,1]. Сначала рассмотрим случай t Є [0,1]. Представим интеграл / в виде суммы двух интегралов: для вычисления которых сделаем замену переменной t — т = ст-в первом интеграле иг- = s-во втором. Таким образом, получаем: Теперь найдем наибольшее значение функции f(t) в промежутке [-1,0], имеем т.е. мы пришли к предыдущему случаю, таким образом, является вполне непрерывным как оператор из И 1 в С[-1,1] и тем более он вполне непрерывен как оператор из W% в L . Доказательство. Обозначим через Ш=Ш(0,1) единичный шар пространства W\. Покажем, что функции множества {B((f]t) = = b(t)S(ip;t)}, р Є Ш, равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. 1. Равномерная ограниченность. В силу леммы 1.1 для любой функции р Є W% имеем Для любой (p єШс И 1 имеем Поэтому для любого і Є [—1,1] справедливы неравенства fo»(+l)6( )ln(l - і) I К0\1 - tf\]n{l - і) где є-сколь угодно малое положительное число, а К{- положительные постоянные, не зависящие от і Є [—1,1]. С помощью неравенства Буняковского находим Из соотношений (1.5)-(1.7) для любой (р ЄІЇЇС W следует требуемое неравенство 2.Равностепенная непрерывность. Положим bi(t) = b(t) ln(l — t). Так как функция b(t) Є Ьгркф и 6(+1) = 0,то функция bi(t) Є Lipg(p— є), где 0 К — consf оо, а -сколь угодно малое положительное число. Поэтому где ш(-0; 5) модуль непрерывности функции ф Є С[—1,1] с шагом 6 (0,2]. С другой стороны, для любой функции (р єШс W% имеем Отсюда следует, что функция U(t) удовлетворяет условию Тем самым равностепенная непрерывность множества функций {В( р; t)} при у? ЄШС W-z доказана. В силу сказанного выше и критерия компактности (см., напр., [47], гл.1 и 9) в пространстве непрерывных функций лемма 1.3 доказана. Лемма 1.4. Пусть a(t) и b(t) Є С[— 1,1]. Тогда оператор Т : W\ -л вполне непрерывен как оператор из пространства H j—l)!] в пространство L,2[—1,1]. Доказательство. Поскольку то для любой функции р ЄШ.С W% последовательно находим Т(9;01 ІМІсМОІ + С другой стороны, при доказательстве леммы 1.3 было показано, что оператор Т : W% — і где является вполне непрерывным как оператор из пространства W\ в пространство С, а следовательно, из пространства W\ в пространство Ь% Для доказательства леммы остается показать, что оператор Т — Т-Г:И І2,где является вполне непрерывным.
Итерационные методы
Будем рассматривать задачу (0.1)-(0.2) как операторное уравнение вида Последовательные приближения к решению задачи (0.1)-(0.2) будем определять по формуле где -произвольный элемент из пространства W%- Относительно этого метода в парах функциональных пространств (W2\ l 2 ) и (С1, С) имеют место следующие утверждения Теорема 4.1. В условиях любой из теорем 2.1 и 2.2 итерационный метод (4-2) сходится к единственному решению р TV2 задачи (0.1)- (0.2) при любом начальном приближении уз0 Є W% со скоростью, определяемой неравенствами где q — q\ в условиях теоремы 2.1 и q— qi в условиях теоремы 2.2. Следствие. Если же начальное приближение выбирается по формуле (р = G"1/, то итерационный метод (4.2) сходится со скоростью Доказательство. В силу теоремы 2.1 очевидно, что а (4.2) есть метод простой итерации для последнего уравнения, то утверждение теоремы следует из известных результатов по итерационным методам (см., напр., [47, 48]). Сформулируем аналогичный результат, но используя теоремы 2.3 и 2.4. Теорема 4.2. В условиях любой из теорем 2.3 и 2.4 итерационный метод (4.2) сходится к единственному решению р Є С1 задачи (0.1)-(0.2) при любом начальном приближении ір Є С1 со скорос-тью, определяемой неравенствами в условиях теоремы 2.4. Приведем вычислительную схему метода сплайн-коллокации для задачи (0.1)-(0.2) при a{t),b{t), /( ) Є С[-1,1], гдеС[-1,1] = С-пространство всех непрерывных на [—1,1] функций с обычной нормой. Введем сетки узлов где N-множество натуральных чисел. Приближенное решение задачи (0.1)-(0.2) будем искать в виде сплайна -фундаментальные сплайны первой степени, причем при к — 0 и к = п пренебрегаем первыми двумя и соответственно последними двумя звеньями функций SQ() И sn(t). Неизвестные постоянные о:о,аі, ...ап определяем методом коллокаций из условий Они эквивалентны системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Покажем способ получения СЛАУ (5.6)-(5.8).В силу (0.2) из (5.3)-(5.4) получаем п(—1) = Поэтому из (5.3)-(5.5) последовательно находим 1 f1 Рп(т)(1т " a /-+1 sfc(r)dr Из соотношений (5.11)-(5.15) получаем формулы (5.8), отсюда и из (5.5), (5.9)-(5.11) следует СЛАУ (5.6). Прежде чем перейти к обоснованию метода сплайн-коллокации, введем некоторые обозначения. Пусть Ф = W%y F = 2 с нормами, введенными выше.
Тогда задачу (0.1)-(0.2) можно записать в виде эквивалентного ей линейного операторного уравнения Теорема 5.1. Яг/сть a(t)J(t) C[-l,l] if Ь( ) Є ЫрКо/3, b{+l) = 0. Ясли задача (0.1)-(0.2) имеет единственное решение ір Є Ф при любой правой части f F, то при всех п Є N, начиная с некоторого, СЛАУ (5.6) имеет единственное решение. Приблиокенные решения (5.3) сходятся при п — со к точному решению p (t) задачи (0.1)-(0.2) в пространстве Ф со скоростью Доказательство. В силу леммы 1.1 для оператора Т : Ф — F справедливо представление В силу леммы 1.4 оператор Т : Ф - F является вполне непрерывным. Так как оператор G : Ф — F является линейной изометрией (см. 2.1), то, из сказанного выше ([47], гл.13), уравнение (5.16) является приводящимся к уравнению второго рода, а следовательно [47], оператор А : Ф — F непрерывно обратим и Обозначим через Ф„ множество всех сплайнов первой степени с узлами (5.1), удовлетворяющих условию (0.2). Очевидно, что Фп С Ф = W 2 и сІітФп = п со. Через Fn обозначим множество всех сплайнов нулевой степени с узлами (5.1). Известно, что Р„-линейный проекционный оператор (см.1 данной главы), причем (см.,напр.,[49]) для любой функции ф Є С[—1,1] справедливо неравенство Легко видеть, что СЛАУ (5.6) можно записать в виде эквивалентного ей операторного уравнения Поскольку ipn е Ф„, Gtpn = ір п Є Fn, a P% = Pn, то PnG pn = G pn. Поэтому уравнение (5.22) принимает вид Оценим сверху каждое из слагаемых в правой части формулы (5.24). Так как снрп Е С для любой функции срп Ф„, то в силу (5.21) получаем Известно, что для любой функции (рбФ справедливы соотношения Из соотношений (5.24)-(5.27) следует, что для любого (рп Є Фп: Для второго слагаемого в правой части (5.24) последовательно находим Таким образом, в силу (5.24), (5.28) и (5.30) имеем где величины /?„ и 0П определены в (5,28) и (5.30) соответственно. Кроме того, для правых частей уравнений (5.16) и (5.23) в силу неравенства (5.21) имеем Итак, в силу соотношений (5.20),(5.31) и (5.32) для уравнений (5.16) и (5.23) выполнены все условия леммы 1.1 гл.1, откуда, в частности, следует, что: а)для всех п Є N таких, что дп = П 1[ - Ф \- операторы Ап : Фп —$ Fn линейно обратимы, а обратные операторы ограничены по норме в совокупности, точнее б)приближенные решения рп = A lPnf, определенные по формуле (5.3), сходятся к точному решению /? = A lf задачи (0.1)- (0.2) в пространстве Ф со скоростью Отсюда и из (5.32), (5.31), (5.33), (5.28) с учетом свойств функций a(t), b(t) и f(t) находим Таким образом, теорема 5.1 доказана полностью. Ее несколько дополняет следующая Теорема 5.2. В условиях теоремы 5.1 погрешность приближенного решения может быть оценена неравенством п Если оке коэффициенты a(t)f b(t) и f(t) уравнения (0.1) таковы, что mo метод (0.1)-(0.2),(5.1)-(5.8) сходится со скоростью Доказательство. Прежде всего отметим, что в силу лемм 1.1 и 1.3 функция ip (t) = f{t) - Т(у ; t) Є C[-l, 1] и поэтому оценка (5.35) имеет смысл. Только что доказанная теорема 5.1, в частности, соотношения (5.20), (5.33), а также лемма 1.2 гл.1 позволяют оценить погрешность приближенного решения по формуле В ходе доказательства теоремы 5.1 показано, что Поскольку сходящаяся последовательность операторов РпТ : Ф —У F ограничена, то из (5.38) и (5.39) находим Отсюда и из неравенства (5.21) находим т.е. оценка (5.35) доказана. Оценка (5.37) следует из формул (5.35), (5.21).
Теорема 5.2 доказана. Из нее и известных теорем вложения функций от одной переменной (см.,напр.,[2], детали см.в [16, 18]) легко выводится следующая Теорема 5.3. В условиях теоремы 5.1 метод (0.1)-(0.2), (5.1)-(5.8) сходится равномерно и в пространстве Гельдера Нє(0 є ) со скоростями соответственно В частности, при выполнении условия (5.36) метод сходится со скоростью, определяемой неравенствами Теперь, пользуясь методикой исследований квадратурных и кол-локационных методов решения интегральных уравнений, в том числе и сингулярных интегральных уравнений, предложенной в работах [14, 15, 23] доказываются следующие две теоремы о сходимости исследованного выше метода сплайн-коллокации, но в других нормах. Теорема 5.4. В условиях теоремы 5.1 производные приближенного решения метода сплайн-коллокации сходятся к производной точного решения в узлах коллокации со скоростью Доказательство. Пусть р ()-решение задачи (0.1)-(0.2), a tpn(t) ее приближенное решение, построенное исследованным выше методом сплайн-коллокации. Тогда при любых t Є [—1)1] справедливы тождества Из формул (5.45) и (5.46) при і — tj (j = 1,п) получаем (5.47) Отсюда, оценивая по модулю и используя полученные выше неравенства, находим = 0{\\ р - рп\\с + р - Pn\\wi) = 0{ - Pn\\w}h і = ітн Из последних неравенств следует требуемое утверждение. Теорема 5.5. В условиях теоремы 5.1 метод сплайн-коллокации сходится в том смысле что Доказательство. Нетрудно показать, что для любой (fn(t) Є Фп справедливо равенство Pn p n(t) = p n(t)t «[-1,1]. С учетом этого равенства легко находим следующее тождество ( )-V„(i) = [/()-Pn/(i)] + P„[/(i)- (i)], і Є [-1,1]. (5.49) Из построения оператора Рп легко видеть, что W - fat] = ЕІ й) - »&)№( ). где V j ( -фундаментальные сплайны нулевой степени. Поэтому Из соотношений (5.50), (5.49) и (5.21) с учетом непрерывности функции ір (і) находим, что Отсюда и из теоремы 5.4 следует оценка (5.48). Теорема доказана. Отметим, что если решение ip (t) обладает определенными дифференциальными свойствами, то в теоремах 5.4 и 5.5 может быть установлена скорость сходимости метода сплайн-коллокации в используемых в них нормах. Рассмотрим теоретическое обоснование метода сплайн-подобластей решения задачи (0.1)-(0.2). Приближенное решение снова ищем в виде сплайна (5.3) с узлами (5.1), а неизвестные постоянные определяем методом подобластей из условий В силу (0.1)-(0.2), (5.1)-(5.4) эти условия эквивалентны следующей СЛАУ При обосновании схемы (0.1)-(0.2), (5.1), (5.3), (6.1)-(6.2) существенную роль играют леммы 1.4, 1.5 и 1.6. Для вычислительной схемы (0.1)-(0.2),(5.1),(5.3)}(6.1)-(6.2) справедлива следующая Теорема 6.1. Пусть выполнены условия: а) функции a{t),b(t) Є С[-1,1],/() Є [-1,1]; б) задача (0.1)-(0.2) имеет единственное решение tp Є Ф при любой правой части f Є F. Тогда при всех п 7ff начиная с некоторого, СЛАУ (6.2) имеет единственное решение ао = 0, ai,... ап Є R.
Метод наименьших квадратов
Приближенное решение задачи (0.1)-(0.2) снова ищем в виде мно- гочленов (8.1), а их коэффициенты ак{к = 1,п) и pj(j = 1,п) определяем из СЛАУ соответственно Нетрудно видеть, что системы (9.1) и (9.2) эквивалентны при любых п Є N. Теорема 9.1. В условиях теоремы 8.1 каждая из СЛАУ (9.1), (9.2) однозначно разрешима при любых п Є Л и приближенные решения (8.1) сходятся в пространстве W% со скоростью, определяемой неравенствами Докзательство будем вести, следуя результатам [62, 18] по методу наименьших квадратов. Известно, что любая из систем функций {fc}(f, {Qfc()}o, {0&( )}ї линейно независима и полна как в пространстве Z-2, так и в пространстве W% Поскольку оператор А : W% — Li непрерывно обратим, то системы функций {Afc}i, { Qjt()}i также линейно независимы. Поэтому их определители Грамма, совпадающие с определителями СЛАУ (9.1), (9.2), отличны от нуля при любых п Є л, отсюда и следует первое из утверждений теоремы. Для доказательства второго утверждения заметим, что для любого фп Є Фп имеем где „-приближенное решение задачи (0.1)-(0.2), построенное методом наименьших квадратов. Так как / = А р , то из неравенств (8.10) и (9.3) находим -число обусловленности оператора A : W% — Li. Выберем произвольный элемент фп Є Фп так, чтобы ф п{Ь) Є Fn был многочленом наилучшего среднеквадратического приближения функции p {t) Li. Тогда из (9.4) находим En-iWh \\ Р -VnWwi r](A)En ( )L2, что и требовалось доказать. 2.10. Метод коллокации Пусть функции а(),Ь() и f(t) Є С. Приближенное решение задачи (0.1)-(0.2) снова ищем в виде любого из многочленов (8.1), а их коэффициенты будем определять из СЛАУ соответственно где tf. — tktn (к = 1,п;тг Є -некоторые узлы из сегмента [—1,1]. Заметим, что системы метода коллокации (10.1) и (10.2) эквивалентны. Теорема 10.1. Пусть выполнены условия: а) функции a(t),f(t) Є С, а функция b(t) Є Lipa (0 а 1), 6(+1) = 0; Р) узлы коллокации являются корнями многочлена Лежандра 7) задача (0.1)-(0.2) имеет единственное решение tp Є Wl при любой / Li. Тогда каждая из СЛАУ (10.1), (10.2) однозначно разрешима хотя бы при достатпочно больших п Є N и приближенные решения (8.1) сходятся в пространстве W% со скоростью где En-i(g)c-наилучшее равномерное приближение функции g Є С[— 1,1] алгебраическими многочленами степени не выше п — 1. Докзательство.
Введем оператор проектирования „ : Li —f Fn по формуле где t\,t2, ...п-узлы Гаусса. Известно, что п -линейный оператор и однако, по аналогии с леммой 6 гл.З [20] можно доказать, что Поэтому Любая из СЛАУ (10.1), (10.2) эквивалентна операторному уравнению где подпространства Ф„ С И и fn С Ьг определены выше. В силу леммы 1.4 и условия а) оператор Т : W\ -Л С вполне непрерывен. Поэтому в силу (10.3)-(10.7) и (8.6)-(8.8) для любого рп Є ФП) Рп " 0 последовательно находим \\А рп Anipn\\L2 = \\Ttpn - UnTifnWL, = \Ы\ь2 \\Тфп - ьпТфп\\Ьг Из (10.8) и (10.9) следует, что операторы A = G + Т : И 1 — г и Лп = (7 + йпТ : Ф„ —У L2 близки в том смысле, что Таким образом, в силу (8.8) и (8.12), (10.10) для уравнений (8.6) и (10.7) выполнены условия леммы 1.1 гл. 1 диссертации, из которой следует, что операторы Ап: Фп— Fn (п щ) непрерывно обратимы, а обратные операторы ограничены по норме в совокупности, причем Кроме того, в силу (8.8), (10.6), (10.11), (10.12) и полной непрерывности оператора Т : И 1 -У С находим (см. гл. I) то в силу первой теоремы Джексона [76, 34] имеем Поэтому из (10.11)-(10.14) следует утверждение теоремы 10.1. Следствие. Если непрерывные функции a(t), b(t) и f(t) таковы, что ip (t) Є Wr[— 1,1], г Є л, то в условиях теоремы 10.1 метод коллокации сходится со скоростью Заметим, что в силу известных результатов [76, 34] теории приближения функций, утверждения, аналогичные этому следствию, могут быть получены также и для других исследованных выше полиномиальных методов. Замечание. Приближенное решение задачи (0.1)-(0.2) не обязательно искать в виде, удовлетворяющем условию (0.2), например, можно искать в следующем виде Тогда вычислительные схемы исследуемых выше методов несколько меняются. Покажем это лишь на примере метода коллокации. В этом случае приближенное решение ищем в виде (10.5), а коэффициенты из следующей СЛАУ: Замечание. В параграфах 2.5-2.10 использованы требования об однозначной разрешимости задачи (0.1)-(0.2) в пространствах W% или же С1. Если вместо них пользоваться доказанными в 2.2 теоремами, то результаты параграфов 2.5-2.10 значительно упрощаются и усиливаются, в частности, во всех полученных итоговых оценках константы вычисляются в явном виде. Краевая задача для сингулярного интегродифференциального уравнения второго порядка Введение В ряде прикладных задач встречается сингулярное интегродиффе-ренциальное уравнение с краевыми условиями где a(t),b(t),c(i)}d(t), f(t) - известные функции на сегменте [—1,1], (f(t) - искомая функция, а Д), /Зі, 7сь 7ь -В» Г-вполне определенные постоянные, причем Сингулярные интегралы в (0.1) понимаются в смысле главного значения (см., напр., [62, 65]). 3.1. Предварительные результаты Ниже изложение материала, ради краткости формулировок, приводится для случая /Зо = 1, /?і = 0, 7о = 1» Ті = 0 В = 0, Г — 0, т.е. для простейшей краевой задачи Обозначим через Ф = С2[—1,1] пространство дважды непрерывно - дифференцируемых на [-1,1] функций, удовлетворяющих условиям (0.2 ); норму в Ф определим по формуле Через F — С[—1,1] обозначим пространство всех непрерывных на [—1,1] функций с обычной нормой. В дальнейшем исследовании нам понадобятся следующие леммы. Лемма 1.1. Для любой функции р Є Ф справедливы неравенства Следствие. Для любой функции (р Є Ф справедливы неравенства Доказательство. В силу условия (0.2 ) любая функция ір Ф представима в виде Отсюда, оценивая по модулю, равномерно относительно t Є [—ІД] получаем Ввиду условий (0.2 ), по теореме Рол ля для любой функции р Є Ф существует такая точка ц Є Оценивая по модулю, имеем Из полученных неравенств следуют оценки (1.1) и (1.2). Лемма 1.2. ДА любой функции р Є Ф и любых S Є (0,2] справедливы неравенства где и( ;5) - модуль непрерывности функции ф Є (7[—1,1] с тагом 5 Є (0,2]. Доказательство.
Пусть i ,f" Є [—1,1], причем — t"\ 8 2 и (/? ЄФ. Тогда, используя теорему Лагранжа о конечных приращениях, для любой функции ір Є Ф находим где Є [—1,1]. Отсюда следует первая часть неравенств (1.3). Для производной p (t) функции ( еФ аналогично находим И ) - p (t»)\ = v W - ПІ WWF = МФ, v є (-і, і)- (1.4 ) Отсюда следует неравенство (1.4) и вторая часть неравенств (1.3). Таким образом, из неравенств (1.3 ) и (1.4 ) и леммы 1.1 следуют оценки (1.3) и (1.4). Лемма 1.3. Для любой функции р Є Ф справедливы следующие представления: Доказательство. Формула (1.5) следует из леммы 1.1 главы II данной работы и условий (0.2 ). Формула (1.6) доказывается тем же методом, что и лемма 1.1 из главы П. Лемма 1.4. Для любой функции р Ф и любых 5 є (0,2] справедливы неравенства Доказательство. Для любой функции ц Є Ф с учетом формулы (1.5) равномерно относительно t Є [—1,1] находим Из только что приведенных соотношений и леммы 1.1 следует справедливость неравенств (1.7). Известно (см., напр., [25], гл. III [32]), что для любой ф С[0,1] и любого 6 Є (0,1] справедлива оценка Отсюда и из представления (1.5) и леммы 1.1 после несложных (но громоздких) преобразований находим неравенство (1.8). Следствие. Оператор So : Ф — F вполне непрерывен. Докзательство. Пусть D = .D(0,1) - единичный шар пространства Ф с центром в начале координат. Тогда из лемм 1.1 и 1.4 для любой ц Є D находим неравенства Из двух последних неравенств видно, что функции множества {So((p;t) : (р Є D С Ф} равномерно ограничены и равностепенно непрерывны, а следовательно, в силу известной теоремы Арцелла [47], утверждение следствия становится очевидным. Лемма 1.5. Для любой (р є Ф и любых 5 (0,2] справедливы неравенства Доказательство. В силу леммы 1.3 для любой (р Є Ф справедливо представление Отсюда, рассуждая как и при доказательстве леммы 1.4 и используя лемму 1.1, находим неравенства (1.9) и (1.10). где є сколь угодно малое положительное число, а М{ - положительные постоянные, не зависящие от, і [—1,1]. Доказательство приведем для функции di(t), случай функции й2{Ь) рассматривается совершенно аналогично. Функция d\{t) опеределена везде, за исключением точки t = +1. В этой точке можно определить её как так как для любых Є [—1,1] H(d; a)\t - іГ р = il1 - ГЄ где - сколь угодно малое положительное число, не зависящее от , а К\ — положительная постоянная, не зависящая от t и є. В силу d\(t) На[—1,1] для точки f = 1 и любой точки t" — t Є [—1,1] имеем Лемма 1.6 доказана. 3.2. Вычислительная схема метода сплайн - коллокации Введем сетку узлов Приближенное решение задачи (0.1), (0.2 ) будем искать в виде кубического сплайна с узлами (2.1).
Теоретическое обоснование метода
Для вычислительной схемы (0.1), (0.2 ), (2.1)-(2.5) справедлива следующая Теорема 3.1. Пусть выполняются условия: 2) краевая задача (0.1), (0.2 ) имеет единственное решение (р Є Ф при любой правой части f Є С[— 1,1]. Тогда СЛАУ (2.3)-(2.5) однозначно разрешима относительно постоянных Xki{k = 1,п, г = 0,1,2,3). Приближенные решения (2.2) сходятся к точному решению р задачи (0.1), (0.2 ) в пространстве Ф со скоростью Доказательство. Запишем краевую задачу (0.1), (0.2 ) в виде эквивалентного ей линейного операторного уравнения Нетрудно показать, что оператор G : Ф — F непрерывно обратим и для операторов G и G l справедливы равенства Введем необходимые для дальнейшего подпространства. Пусть Fn — { Ё fiksk{t) At Є зі} С F - множество всех сплайнов первой степени с узлами (2.1); здесь Sk(t) - фундаментальные сплайны первой степени на сетке узлов (2.1). Пусть Ф„ С Ф - множество всех кубических сплайнов вида (2.2). Очевидно, что Введем оператор Рп, проектирующий пространство F в подпространство Fn по формуле где узлы опеределены по формуле (2.1). Известно (см., напр., в [18, 20]), что Рп - линейный проекционный оператор, причем для любой функции ф Є С[—1,1] выполняется неравенство Запишем СЛАУ (2.3)-(2.5) в виде эквивалентного ей операторного уравнения Поскольку Р% = Рп, a G pn Є Fn для любых функций рп Є Фп, то уравнение (3.6) эквивалентно уравнению Докажем близость операторных уравнений (3.2) и (3.7) в смысле 1.1 гл.1. Для их правых частей в силу условия 1) доказываемой теоремы и неравенства (3.5) справедливы соотношения В дальнейшем нам существенным образом понадобится полная непрерывность оператора Т : Ф - F, определенного формулами (3.3). С помощью лемм 1.1 и 1.2 для любой функции ц Є D С Ф и любых 5 Є (0,2] находим следующие неравенства: Из соотнопіений (3.9)-(3.11) следует, что оператор U ; Ф — F является вполне непрерывным.
Теперь для любых (р D С Ф и любых 5 Є (0,2] с помощью лемм 1.1 и 1.4 находим неравенства Из соотношений (3.12)-(3.14) и теоремы Арцелла [47] следует компактность оператора CSQ : Ф С помощью лемм 1.1, 1.3-1.6 для любой функции р Є D С Ф и любых 5 Є (0,2] находим неравенства Итак, из только что приведенных результатов для операторов U и V следует, что для любых р Є D С Ф и 8 (0,2] верны неравенства где Сі и сі — положительные постоянные, не зависящие от 5 Є (0,2] и у Є D С Ф, а в силу неравенств (3.11), (3.14), (3.17) Отсюда и из известной теоремы Арцелла [47] следует полная непрерывность оператора Т : Ф — F. Тогда в силу условия 2) доказываемой теоремы и из леммы 1.7 главы II следует, что оператор А : Ф — F, опеределенный формулами (3.2)-(3.3), непрерывно обратим. Теперь докажем, что операторы Ап : Ф„ — Fn аппроксимируют оператор А : Фп — F, Для Поэтому, в силу леммы 1.1 гл.І, для любых п Є N, удовлетворяющих условию операторы Ап : Фп -» i7 непрерывно обратимы и обратные операторы ограничены по норме в совокупности: где Сз - положительная постоянная, не зависящая от п. Поэтому уравнение (3.7), а следовательно, эквивалентная ему СЛАУ (2.3)-(2.5) однозначно разрешимы при любых правых частях. Согласно лемме 1.1 гл. I, приближенные решения рп сходятся к точному решению р в пространстве Ф со скоростью Теорема 3.2. В условиях теоремы 3.1 приближенные решения (2.2) сходятся к точному решению задачи (0.1), (0.2 ) в пространстве Ф со скоростью, определяемой неравенствами Следствие 1. Пусть задача (0.1), (0.2 ) такова, что для её решения выполняется условие (р Є Ыра. Тогда метод сходится со скоростью Следствие 2. Если существует ограниченная третья производная (р "\ то метод (0.1), (0.2 ), (2.1)-(2.5) сходится со скоростью Докзательство. В ходе доказательства теоремы 3.1 установлено, что операторы Ап : Ф„ — JF„ непрерывно обратимы и обратные операторы A l : Fn — Фп ограничены по норме в совокупности. Отсюда и из леммы 1.1 главы I следует оценка (3.20). А тогда из результатов теории приближения сплайнами (см., напр., в [49]) следуют утверждения следствий 1 и 2. Теорема 3.2 и ее следствия доказаны. Из теоремы 3.2 и из теории приближения сплайнами первой степени легко выводятся следующие утверждения. Теорема 3.3 Пусть коэффициенты уравнения (0.1) таковы, что его точное решение удовлетворяет условию р (t) С[—1,1]. Тогда в условиях теоремы 3.1 метод сплайн-коллокаций сходится со скоростью Следствие 1. Пусть задача (0.1), (0.2 ) такова, что ее решение имеет третью производную из Тогда метод сходится со скоростью Следствие 2. Если существует четвертая ограниченная производная решения (р (i), то метод сходится со скоростью В заключение параграфа приведем ряд замечаний и дополнений к приведенным выше результатам. 1. Результаты, аналогичные приведенным выше, справедливы также для начальной задачи решения уравнения (0.1). Например, имеет место следующая Теорема 3.4. Пусть выполняются условия: 1) a{t)tb(t)J{t) єС[-1,1] uc{t),d(t)eLipa, с(+1) = d(+l) = 0; 2) задача Коши (0.1), (Q.2") имеет единственное решение р Є С2[— 1,1] при любой правой части f С[— 1,1]. Тогда СЛАУ (2.3), (2.5), (рп(—1) — ip n(- l) = 0 однозначно разрешима и приближенные решения (2.2) сходятся к точному решению со скоростью Теорема 3.4 доказывается по схеме доказательства теоремы 3.1. Однако, при этом в приведенные выше леммы необходимо внести изменения, которые связаны с начальными условиями (0.2"). Приведем лишь изменения в представлении операторов So, Si (другие изменения очевидны).
Для функции р є С2[—1,1] по аналогии с результатами 2.1 главы II и 3.1 главы III устанавливаются следующие представления Это повлекло за собой корректировку условий на функции c(t) и d(t). 2. Результаты, полученные выше для краевой задачи (0.1)-(0.21) и задачи Коши (0.1), (0.2"), легко переносятся на общую двухточечную краевую задачу (0.1)-(0.2). Для иллюстрации приведем лишь следующий результат Теорема 3.5. Пусть выполнены условия: 1) a(t),b(t),f(t) Є C[-l, 1] и c(t),d{t) Є Lipct, (0 а 1) , причем с(±1) = d(±l) = 0; 2) краевая задача (0.1)-(0.2) имеет единственное решение р {і) Є С2[— 1,1] при любой правой части f Є С[— 1,1]. Тогда СЛАУ (2.3), (2.5), однозначно разрешима и приближенные решения (2.2) сходятся к точному решению со скоростью Здесь С2 = С2 [—1,1] - пространство дважды непрерывно дифференцируемых на [-1,1] функций, удовлетворяющих условию (0.2); норма в этом пространстве норма вводится по формуле Поскольку доказательство теоремы мало отличается от доказательств теорем 3.1 и 3.4, то на подробных выкладках мы останавливаться не будем. 3.4. Полиномиальные проекционные методы Задачу (0.1), (0.2 ) запишем в виде эквивалентного ей линейного операторного уравнения где операторы G и T определены в 3.3, функции а(), b(t), c(i), d(t) из 1-2, a И 2 [—1» 1] = И -пространство тех непрерывных на [-1,1] функций, удовлетворяющих условию (0.2 ), вторые обобщенные производные которых квадратично суммируемы по Лебегу. При этом норма определяется по формуле Предлагается общий проекционный метод решения задачи (0.1), (0.2 ) и устанавливается его теоретическое обоснование в смысле общей теории приближенных методов функционального анализа (см., напр., главу 14 [47] и главы 1, 2, 4 [18]). Обозначим через ;кт множество всех алгебраических многочленов степени не выше т (т + 1 Єк). Введем подпространства Далее, обозначим через а п = {Рп} множество всех линейных операторов, отображающих пространство F в подпространство Fn. Приближенное решение задачи (0.1), (0.2 ) будем искать в виде многочлена который будем определять как точное решение операторного уравнения Уравнение (4.3) эквивалентно СЛАУ порядка п Є N относительно коэффициентов аі, аг,..., а„ ж многочлена (4.2). Для вычислительной схемы (0.1), (0.2 ), (4.2)-(4.3) справедлива следующая Теорема 4.1. Пусть выполнены условия: в)задача (0.1), (0.2і) имеет единственное решение tp Ф при любой правой части f Є F. Тогда для всех Рп [/ tt есеж п Є Osr, гготпя бы достаточно больших, уравнение (4-3) имеет единственное решение рп Є Фп. Приближенные решения (4-2) сходятся к точному решению ц Є Ф в пространстве Ф со скоростью, определяемой неравенствами Здесь и далее En+i(u)$- наилучшие приближения функции и Ф функциями вида (4,2) в метрике пространства Ф, а Еп і(и)р наилучшие среднеквадратические приближения функции v F алгебраическими многочленами степени не выше п-1. Доказательство проводится по аналогии с 2.7 второй главы.
