Введение к работе
Актуальность темы. Предлагаемая работа посвящена разработке методов решения трехэлементной и четырехэлементной граничных задач линейного сопряжения теории аналитических функций
а(і)ф+(і) + b{t)j4f) = с(і)ф-(і) + d{t)JjT) + /(і). (1)
Трехэлементная задача
ф+(і) = а(і)ф-(і) + Ь(І)ЩГ) + fit) (2)
была поставлена в 1946 году А.И. Маркушевичем 1. Наиболее сильные результаты впервые были получены Л.Г. Михайловым. В своей работе Л.Г. Михайлов при исследовании задачи (2) в классе кусочно-аналитических функций различал три случая: случай эллиптичности, когда \a(t)\ > \b(t)\, гиперболичности - \a(t)\ < \b(t)\ и параболичности - \a(t)\ = \b(t)\. В последнем случае задача (2) сводится к двум задачам Гильберта. Используя принцип сжатых отображений, Л.Г. Михайлов в эллиптическом случае предложил приближенное решение задачи (2), определив число решений и условий разрешимости. Некоторые частные результаты относительно разрешимости задачи в гиперболическом случае были получены в работах Б.В. Боярского, Ф.Д. Берковича, И.Х. Сабитова. Вопросами устойчивости и разрешимости задачи, как трехэлементной, так и четырехэлементной, занимались Г.С. Литвинчук, И.М. Спитковский, A.M. Николайчук. В этих работах краевая задача (2) рассматривалась в классе кусочно аналитических функций, когда контур L представляет собою окружность. Методом симметрии, краевая задача (2) сводилась к краевой задаче Римана для вектор-функции, и было показано, что случай эллиптичности \a(t)\ > \b(t)\ является случаем устойчивости решения задачи (2), разрешимость определяется величиной индекса a{t) 2.
Поэтому в эллиптическом случае возникает задача о приближенных методах решения задачи. Эта проблема была решена И.Т. Хабибуллиным и А.Г. Шагаловым. В их работах рассматривалась краевая задача Римана для вектор-функции с матрицей г (А) такой, что Rer(A) > 0. Очевидно, что матричный коэффициент A(t) краевой задачи Римана для вектор-функции в случае эллиптичности удовлетворяет данному условию. По степени конструктивности подход И.Т. Хабибуллина сравним с алгоритмом разложения функции в непрерывную дробь.
В гиперболическом случае было лишь установлено, что число решений однородной задачи (2) и число условий разрешимости конечно. Относительно краевой задачи (1) было найдено условие нетеровости этой задачи. Получено число решений и число условий разрешимости как в устойчивом случае, так и в вырожденных случаях.
В работах Л.И. Чибриковой 3 и Л.Г. Салехова 4 получено решение задачи (2) в замкнутой форме при условии, что a(t),b(t) являются краевыми значениями некоторых аналитических в области D+ функций, где контур L представляет собою алгебраическую кривую.
1Маркушевич А.И. Об одной граничной задаче аналитических функций А.И. Маркушевич // Уч.зап. МГУ. - 1946. - Т.1 ,вып.100. - С.20-30.
2Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом /Г.С. Литвинчук. - М.: Наука, 1977. - Ц8 с.
3Чибрикова Л.И. Применение метода симметрии при решении одной задачи линейного сопряжения / Салехов, Л.И. Чибрикова //Изв. вузов. Математика. - 1968. - N 9. - С.94-105.
4Л.Г. Салехов Л.Г. К решению одной задачи линейного сопряжения методом симметрии / Л.Г. Салехов // Теор. функц. комплю перем, и краевые задачи. - Чебоксары. - 1974- - Вып. 2. - С.126-130.
Задача Маркушевича (2) сводилась к эквивалентной задаче Римана для нескольких неизвестных функций на некоторой замкнутой римановой поверхности. Это достигалось путем дополнения искомых функций или векторов до кусочно аналитических по принципу симметрии. Здесь также уместно упомянуть работу К.М. Расулова, в которой краевая задача Маркушевича (2) сводится к равносильному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Число решений и условий разрешимости задачи (2) полностью определяется из теории разрешимости интегрального уравнения Фредгольма. В случае, когда a(t),b(t) рациональные функции, уравнение Фредгольма, а следовательно, и задача Маркушевича (2) допускает решение в замкнутой форме.
На гиперэллиптических римановых поверхностях задача Маркушевича, как трехэлементная, так и четырехэлементная, в случае кусочно-постоянных коэффициентов, рассматривалась Э.И. Зверовичем и его учениками. С использованием принципа симметрии относительно контура задача Маркушевича (1) сводилась к задаче Римана на гиперэллиптической римановой поверхности рода h. Решение задачи Маркушевича (1) было получено в замкнутой форме при допущении, что проблема обращения Якоби решена.
Решение в замкнутой форме задачи Маркушевича (2) в классе двоякопериодических функций в случае кусочно-постоянных коэффициентов было получено Ю.В.Обносовым.
Полной теории разрешимости задачи (2) в настоящее время нет. Число / линейно независимых решений однородной задачи и число р условий разрешимости явно найдены только, когда \a(t)\ > \b(t)\ (эллиптический случай) или \a(t)\ = \b(t)\ (параболический случай). То же самое можно сказать и о четырехэлементной задаче Маркушевича.
Впервые случаи явного решения задачи Маркушевича, отличные от эллиптического или параболического, были рассмотрены в работе автора [5]. Этот подход оказался плодотворным и при решении данной задачи в классе автоморфных функций [6, 7, 8]. Отметим, что задача Маркушевича, вообще говоря, является неустойчивой при малом возмущении ее параметров 5. Поэтому актуальна проблема отыскания новых случаев явного решения задачи Маркушевича.
Целью данной работы является отыскание частных случаев задачи Маркушевича, когда она может быть решена в замкнутой форме, явно, либо точно, в классах аналитических или автоморфных функций. Здесь под явным решением мы понимаем решение, которое использует только формулу Ф.Д. Гахова для канонической функции скалярной однородной задачи Римана и исследование средствами линейной алгебры конечного числа систем линейных алгебраических уравнений, для которых матрица системы может быть выписана в явном виде (в квадратурах). Число систем должно быть определено заранее. Если число этих систем находится в процессе вычислений, то мы будем считать, что получено эффективное решение.
Если имеется явное или эффективное решение задачи Маркушевича, то это еще не гарантирует, что на основе такого решения можно будет создать алгоритм приближенного решения. Далее мы увидим, что в нашем случае неустойчивость задачи Маркушевича обусловлена, в основном, неустойчивостью процедуры нахождения ранга матрицы. Если алгоритм явного или эффективного решения использует только вычисления в точной арифметике (например, вычисления в гауссовом поле Q(i)), то мы будем говорить о точном решении. Его можно реализовать в системах компьютерной математики таких, как Maple. Поскольку получение алгоритма точного решения имеет особую значимость ввиду неустойчивости задачи, то при получении явного решения мы отдаем предпочтение методам, допускающим
5Литвинчук Г.С. Об устойчивости одной краевой задачи теории аналитических функций /Г.С. Литвин-чук //ДАН СССР. - 1967. - Т. 174, N 6. - С.1268-1270.
точные вычисления.
Для достижения поставленной цели используются два различных подхода: сведение задачи Маркушевича к матричной задаче Римана или к скалярной задаче Гильберта. При этом выделяются те случаи, когда вышеупомянутые задачи решаются в замкнутой форме.
Методы исследования В работе использованы методы теории функций комплексного переменного, теория автоморфных и алгебраических функций, теория сингулярных интегральных уравнений, а также, существенным образом, теория скалярных и матричных краевых задач Римана, как в классе аналитических, так и в классе автоморфных функций.
Научная новизна. В диссертации найдены новые случаи явного рещения трехэлементной и четырехэлементной задач Маркушевича (1) в явном виде в классах кусочно аналитических функций при достаточно слабых ограничениях на коэффициенты задач. Для этих случаев впервые разработаны методы явного решения задач, исследованы условия разрешимости, найдено общее решение. Впервые найден случай явного решения трехэлементной задачи Маркушевича в классе автоморфных функций, как в случае конечных групп дробно-линйных преобразований, так и в случае фуксовых групп второго рода. Для этого случая получены условия разрешимости и общее решение.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Получены решение задачи Маркушевича (2) в замкнутой форме, а также полная кар
тина разрешимости в случае, когда контур L есть единичная окружность || = 1, при
следующих ограничениях на коэффициенты задачи:
а) a(t) ^ 0, teL,
б) коэффициент b{t) есть граничное значение функции, мероморфной в круге D+, где
коэффициенты a(t),b(t) и свободный член /() - гельдеровские функции.
2. Получена полная картина разрешимости, и решение четырехэлементной задачи Мар
кушевича (1) записано в замкнутой форме при следующих ограничениях:
а) 8{t) = a(t)c(t) - b(t)d(t) ф 0,t є L,
б) \a(t)\ ? \b(t)\;
, п, . t(a(t)d(t) - c(t)b(t)) , ^ii
cj p(t) = — — мероморформно продолжима в D+, где коэффициенты
a(t),b(t),c(t),d(t) и свободный член /() - гельдеровские функции.
3. Получены решение задачи Маркушевича: ip+(t) = a(t)ip-(t) + b(t)tp+(t) + fit), - в замкнутой форме, а также полная картина разрешимости, как в классе аналитических, так и в классе функций, автоморфных, относительно фуксовых групп второгого рода, при следующих ограничениях на коэффициенты:
а) a(t) ^ 0, teL,
б) функция b\(t) + 1 является краевым значением аналитической, автоморфной и от
личной от нуля всюду в области D_ функции, за исключением, быть может, бесконечно
удаленной точки, в которой она имеет конечный порядок,
с) b\(t) + l ф 0, t Є L, где коэффициенты a(t), b(t) и свободный член /() - гельдеровские функции, функция b\(t) явно выражается через коэффициент b(t).
Теоретическая ценность результатов. Полученные результаты могут быть использованы при исследованиях краевых задач теории аналитических функций в Белорусском, Казанском, Смоленском и других государственных университетах.
Практическая ценность результатов. Предложенные в работе методы и полученные результаты могут быть использованы при решении тех прикладных задач, которые используют краевую задачу Маркушевича, а именно: задач расчета электрических полей, в теории гетерогенных сред, в теории фильтрации, в теории оболочек и задач других разделов механики и физики.
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по краевым задачам Одесского государственного университета под руководством профессора Г.С. Литвинчука, Белорусского государственного университета под руководством член-корреспондента | Б АН Ф.Д. Гахова и Казанского государственного университета под руководством профессора Л.И. Чибриковой, на семинаре отдела теории приближения функции ИММ УрО РАН под руководством член-корреспондента РАН Ю.Н. Субботина, на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством профессора И.Т. Хабибуллина , на 11-й международной научной конференциии «Системы компьютерной математики и их приложения.» ( Смоленск, 2010г.), и на ежегодных научно-практических конференциях «Математика. Физика. Химия.» (Южноуральский государственный университет, Челябинск, 2009-2010г.).
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, содержащего 65 наименований, а также приложения, в котором приведены числовые примеры. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Общий объем работы составляет 138 страниц.
Публикации. По теме диссертации были опубликованы научные работы [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]. Из них 4 работы выполнены совместно с научным руководителем. Работы [1, 2, 3, 4] опубликованы в научных журналах из Перечня ВАК.
Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием соискателя. В совместной статье [1] использован пакет программ для решения задачи факторизации матриц-функций, созданный профессором В.М. Адуковым. Разработка алгоритма решения задачи Маркушевича и его программная реализация принадлежит А.А. Патрушеву. В статье [3] В.М. Адукову принадлежит общая постановка задачи, а А.А. Патрушеву - все полученные результаты.
