Введение к работе
Актуальность темы.
Известно, что интегральные уравнения Вольтерра обладают рядом особенностей. Например, если интегральный оператор задан на пространстве непрерывных функций с sup-нормой на основном промежутке [О, Т], то можно говорить о максимальном промежутке существования решения уравнения при определенных ограничениях на ядро оператора. Пусть для решения уравнения Вольтерра применяется метод Ньютона-Канторовича (К-метод). Тогда, учитывая выше сказанное, можно поставить следующий вопрос о выборе начального приближения xo(t), где t Є [0,Т], начиная с которого К-метод будет сходиться в sup-норме: существует ли для выбранной функции жо(-) число Ті такое, что
і) 0 < Ті < Т;
іі) в sup-норме отрезка [0, Ті] К-метод сходится.
Применяя стандартные рассуждения, достаточно просто (при разумных ограничениях на ядро и его производную Фреше) ответить положительно на поставленный вопрос в локальном смысле: достаточно малое такое Ті существует для любого начального приближения Хо(і). Однако, для ряда вопросов полезно знать информацию о величине максимального промежутка сходимости К-метода для выбранного начального приближения, то есть о промежутке [0,T(xq]), где Т[хо) — точная верхняя грань рассмотренных выше Tj. Заметим, что здесь мы сталкиваемся с нелокальной сходимостью, поэтому исследование величины Т(хо) уже не столь просто, как величины Т\. Можно пойти еще дальше и построить точную нижнюю грань Тд всех таких T(xq). Тогда на промежутке [0, Тг], Тг < Тд (Тд не обязательно больше нуля) К-метод будет сходиться в его sup-норме для любого начального приближения, то есть глобально сходиться.
Опять таки имеется ряд вопросов, для которых не бесполезна информация о величине Тд. Следует отметить, что в известных автору работах такая постановка вопроса о выборе начального приближения недостаточно исследована.
Подчеркнем, что такой подход к выбору начального приближения принципиально важен, если решается семейство интегральных уравнений Вольтерра с распределенным параметром а. Это означает, что параметр изменяется в соответствии с некоторой нормированной борелевской мерой, заданной на пространстве его возможных значений (носителе параметра). Тогда функционалы, построенные на решениях семейства уравнений, будут индуцировать на прямой К соответствующие меры-образы исходной нормированной меры, которые являются одними из основных объектов изучения при таком подходе к семейству операторных уравнений. Но все это предполагает существование общего промежутка разрешимости рассматриваемых уравнений для почти всех а. Если семейство решений ищется с использованием К-метода, то, владея для почти всех а информацией о соответствующих значениях Т(хо(-, а)), можно в качестве
общего промежутка взять inf T(xq{-,o)). Все вышееказан-
М ное можно рассматривать в качестве исходных мотиваций
для проведенного исследования.
Цель работы.
Целью работы является:
1. с помощью функций сравнения, построенных для ядра уравнения Вольтерра и его производной Фреше, получить интегральные оценки промежутков максимальной и глобальной сходимости К-метода, для нормированного sup-нормой пространства непрерывных на отрезке функций со значениями в банаховом пространстве; оценить быстроту сходимости К-метода в терминах ядра
и его производной Фреше, не оценивая резольвенту последней;
2. для семейства интегральных уравнений Вольтерра с распределенным параметром получить оценки общего промежутка сходимости К-метода; оценить быстроту сходимости функций распределения сечений аппроксимирующей последовательности, построенной К-методом, к соответствующим функциям распределения решений рассматриваемого семейства уравнений в терминах метрики Колмогорова.
Общая методика исследования.
Используются результаты нелинейного функционального анализа, теория интегральных уравнений Вольтерра, методы анализа Фурье, основные результаты теории меры, интегральные и дифференциальные неравенства.
Научная новизна.
Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Однако, результаты и методы диссертации могут быть использованы в прикладных исследованиях, связанных с применением К-метода для решения интегральных уравнений Вольтерра, особенно если рассматривается семейство таких уравнений.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на семинаре по конструктивной теории функций Санкт-Петербургского государственного педагогического университета.
Публикации.
Результаты диссертационной работы отражены в публикациях [1-12].
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на восемь параграфов, добавления к главе 1, заключения и списка литературы из 42 наименований. Общий объем работы составляет 96 страниц.
