Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Об аппроксимационных свойствах наипростейших дробей 23
1. О приближении наипростейшими дробями на компактах.. 23
2. О приближении наипростейшими дробями на неограниченных кривых 37
3. О наипростейших дробях Паде 42
Глава II. О скорости приближения замкнутых жордановых кривых лемнискатами 49
1.0 приближении жордановых кривых общего вида 50
2. О приближении гладких жордановых кривых 58
3. Об оценках снизу для величин наименьших уклонений 67
Глава III. Об оценках производных от рациональных функций на компакте 68
1. Об условиях существования оценок типа Маркова-Бернштейна почти всюду на компакте 71
2. Влияние малых изменений компакта на исключительное множество 76
Список литературы
- О приближении наипростейшими дробями на неограниченных кривых
- О приближении гладких жордановых кривых
- Об оценках снизу для величин наименьших уклонений
- Влияние малых изменений компакта на исключительное множество
Введение к работе
Во многих разделах математики важную роль играют задачи об аппроксимации более сложных объектов менее сложными. Для решения таких задач часто оказывается необходимым знание методов и результатов теории приближений, центральное место в которой занимают теории приближения функций посредством алгебраических и тригонометрических полиномов, рациональных дробей (соответственно полиномиальная и рациональная теория приближений). Бурное развитие математики в XX веке привело к возникновению новых задач, для решения которых оказалось необходимым изучение новых нетрадиционных методов приближения функций и множеств. Настоящая работа посвящена исследованию некоторых из этих методов, связанных с комплексными полиномами: приближению функций посредством наипростейших дробей и приближению жорда-новых кривых посредством лемнискат в хаусдорфовой метрике.
Основные результаты диссертации опубликованы в трех статьях [25-27]. Работа [26] написана в соавторстве с П.А.Бородиным. Доказательство теоремы 1 этой работы (в диссертации это теорема 1.4) получено ее авторами независимо друг от друга, теорема 2 этой работы (теорема 1.5 диссертации) принадлежит О.Н.Косухину. Остальные основные результаты диссертации получены и опубликованы ее автором без соавторства. Основные результаты диссертации также опубликованы в Трудах математического центра имени Н.И.Лобачевского (см. [28-30]).
Работа состоит из оглавления, введения, трех глав и списка цитированной литературы из 30 названий. В первой главе рассматриваются рациональные функции вида Rn(z) = ]C?=i V\z аі) гДе аз (полюсы функции R7i(z)) — некоторые точки комплексной плоскости С — не обязательно различные. По предложению Е.П. Долженко такая функция названа наипростейшей дробью, число п — ее порядком. Класс всех наипростейших дробей порядка не выше п обозначим SRn. Очевидно, Rn{z) = (logP(z)) = P (z)/P(z), где P(z) = C(z — a\)...(z — an) — полином сте пени п (С = const ф 0). Поэтому наипростейшую дробь также называют логарифмической производной многочлена.
Внимание к логарифмическим производным многочленов было обращено работами А.Дж.Макинтайра и У.Х.Дж.Фукса (1940 г.), А.А.Гончара (1955 г.) и Е.П.Долженко (1960 г.), посвященными рациональным аппроксимациям и решению некоторых экстремальных задач. Это направление исследований продолжает развиваться и внастоящее время.
Логарифмические производные многочленов имеют и простой физический смысл: Rn{z) представляет собой напряженность плоского электростатического поля в точке z, созданного положительными единичными зарядами, расположенными в точках а,- — при этом, если в некоторой точке а находятся ровно к точек а,-, то, соответственно, в этой точке расположен заряд величины к. " 1 п Е 3 = -(1+logn) а+ Z-CLj В работе [18] А.Дж.Макинтайру и У.Х.Дж.Фуксу, опираясь на известную лемму Картана, для любого натурального п удалось доказать ряд оценок сверху на максимум модуля логарифимической производной многочлена от z в плоскости С с выброшенным из нее наборОхМ из не более чем п "малых" в некотором смысле кругов. В частности, им удалось показать, что для любого набора комплексных чисел а\, 22, ..., ап и любого є 0 существует такой набор из не более чем п кругов {Bf.}k с радиусами г/, соответственно, что Ylk rk 2е и 3 = 1 для всех z Є С\ yJkBk- Сами авторы предположили, что логарифм в пра Е вой части неравенства п —(1 + log п) может быть опущен, и • і z - аз 7 = 1 J є даже доказали это утверждение в частном случае когда все {dj} лежат на одной прямой. Вопрос о справедливости этого утверждения в случае произвольного расположения {aj} оставался открытым вплоть до недавнего времени. Его удалось решить в работе [1] Дж.М. Андерсону и В.Я. Эйдерману, показав, что в этом случае точной по порядку относительно п п Сп будет оценка y/\og(n + 1), где С = const 0. і Z аз є Другим примером экстремальной задачи для логарифмической производной многочлена является задача, возникшая в теории дифференциальных уравнений и впервые поставленная Е.А. Гориным в 1962 году ([6]). Пусть d{L,Rn) — обычное (евклидово) расстояние между множеством {a,j} всех полюсов функции Rn Є SRn и заданным множеством L С С, a dn{L) — infimiim величин d(L,Rn) по всем Rn Є SRn, для которых i?n(z) 1 при z Є L. Задача состоит в том, чтобы отыскать как можно более точную оценку снизу на величины dn(L) с ростом п. В случае, когда L совпадает с действительной осью R отысканием таких оценок в разное время занимались Е.А. Горин (1962), Е.Г. Николаев (1965), А.О. Гельфонд (1966), В.Э. Кацнельсон (1967). Наибольших успехов в решении этой трудной задачи добился В.И. Данченко (1991, [7]), который не только впервые доказал стремление величин dn(L) к нулю с ростом п, но и нашел точный порядок такого стремления в случаях, когда Г ТЭ Г П і I I 1\ 1 lQg lQg П / 1 (Т \ S О 1оё lQg П L = R и L = С := {z : \z\ = 1): - • — dn[R) 2 • — , 9 log п log п 1 loff її І0 П - dn(C) 2 • для достаточно больших п. В случае других An п множеств L, отличных от прямых и окружностей комплексной плоскости, вопрос об оценке величины dn(L) остается открытым.
Первая работа, касающаяся приближения непрерывных функций посредством наипростейших дробей, опубликована в 1999 году В. И. и Д. Я. Данченко [8]. Эта работа положила начало интенсивному изучению ап-проксимационных свойств наипростейших дробей в научной школе Е.П. Долженко.
При условии, что компакт К не разбивает плоскости С, В.И. и Д.Я. Данченко доказали возможность равномерного приближения посредством наипростейших дробей (с любой точностью) каждой функции / из класса СА(К) непрерывных на К и аналитических во внутренних точках К функций. Для каждой такой функции в [8] указан способ, с помощью кото рого можно построить последовательность Rn(z) наипростейших дробей, равномерно сходящуюся к / на К. При этом, начиная с достаточно больших п, все полюсы функции Rn(z) лежат вне произвольного фиксированного круга. Эта теорема является аналогом известной теоремы С.Н. Мер-геляна о полиномиальных приближениях и имеет качественный характер. Возникает естественный вопрос об оценке скорости наилучшего равномерного приближения посредством наипростейших дробей в зависимости от свойств компакта К и приближаемой функции /.
В первом параграфе главы исследуется связь между скоростью убывания к 0 величин /?п(/, К) при п — со и свойствами приближаемой функции f(z) на компактах К специального вида, введенных в [8]. Обозначим через K(b, d) класс всех компактов К С С со связным дополнением в С, для которых существует такая точка Ъ К и такое число d 0, что любую точку z Є К можно соединить с Ъ некоторой спрямляемой кривой l(b, z) С К длины не более d.
Обозначим еще через А(К) семейство функций /, каждая из которых аналитична в некоторой окрестности /(/) компакта К, а через СЛ(К) — семейство всех функций f(z), непрерывных на К и аналитических во внутренних точках К. Для К Є K(b,d) и / Є СА(К) в [8] введена в рассмотрение функция a(z) = a(f; z) :— f /(C) d, где интегрирование ведется по любому спрямляемому пути /(6, z) С К, ведущему из b в z. Очевидно, что интеграл в правой части последнего неравенства не зависит от выбора пути l(b,z), а функция a(z) принадлежит классу СА{К).
Для любого компакта К С С и функции / Є С {К) обозначим через u(f, К; 5) := sup {\f(z + Az) - f(z)\ : z, z + Az Є К, \Az\ 5} равномерный модуль непрерывности функции / на этом компакте. Для любых чисел k = 0,1,2,... и (З Є (0,1] определим L\pk+ (K) как класс всех функций / Є С(К), имеющих непрерывную k-ю производную / на К (считаем /(°) = /), для которых найдется такая константа М = М(К, /, к, /3) О, что неравенство cu(f k\K;S) М S@ выполнено для всех S 0. При всех к = 0,1,2,... обозначим также через Zk(K) класс всех непрерывных на К, имеющих непрерывную на нем к-ю производную f k\ для которой неравенство \f k\z-bh) — 2f k\z)-\-f (z—h)\ Ch выполнено с некоторой положительной константой С = С(/, к) для всех h О и z+h, z,z — h Є К.
Для любого d 0 положим Д := [—d,d] и Da = {z : z d}.
Известные теоремы Д.Джексона ([12], [13]) дают оценку величин наименьших равномерных уклонений En(f,K) многочленов порядка не выше п от функции / Є СА(К) в случае, когда К — отрезок Л,/ или замкнутый круг Da, через ее модуль непрерывности u(f,K;d). Эти теоремы относятся к так называемым прямым теоремам теории приближений. Н.П.Корнейчук (см. [17], Гл.6, §6.2) уточнил эти оценки, отыскав точные константы, входящие в них. Именно, для таких К он показал, что En(f,K) u (f,K;7rd/(n + 1)) (п = 1,2,...). В случае аппроксимации наипростейшими дробями имеют место аналогичные оценки.
Теорема 1.1. Пусть d О, К = Ad или К = Dd, f Є СА{К). Тогда fin(f,K) C(d\\f\\) (и (/, ffi ) + (J) ll/ll2) , где С(r) = 4(1 + r)e2r, п = 1,2,....
Замечание. Неравенство вида pn(f,K) C(d,\\f\\)uj(f,K;7rd/n) не может быть справедливо для любой функции / Є СА(К), так как уже для / = const ф О имеем CJ(/, К; i:d/n) = О и в то же время р„(/, К) Ф 0. Поэтому появление в правой части неравенства слагаемого (7іч//?г)/2 естественно.
Знаменитая теорема П.Л.Чебышева утверждает для произвольной непрерывной на отрезке функции / существование и единственность алгебраического полинома заданной степени п наилучшего равномерного на этом отрезке приближения. В теории равномерного приближения посредством наипростейших дробей аналогичное утверждение неверно: даже в случае, когда компакт К представляет собой отрезок или круг, а / Є СА(К), наипростейшая дробь порядка не выше п наилучшего равномерного приближения для функции / на К может быть неедниственна
для некоторых п. Соответствующие примеры функций / были впервые построены П.А. Бородиным — учеником Е.П. Долженко. Существование же наипростейшей дроби наилучшего равномерного приближения в случае пролзвольного компакта К С С и произвольной функции / Є СЛ(К) легко следует из компактности в метрике n-мерной сферы Рішана С множества Rn(K,M) := {{ai,a2,...,an) : \\Rn{z) = Y!j=\ 1/(z aj)\\c(K) M} С С полюсов всех наипростейших дробей, ограниченных по модулю на К константой М = 2 / 0 и непрерывности уклонения \\Rn — f\\c(K) как функции от полюсов (сц,а2,... ,ап) в этой метрике (считаем здесь l/(z — ос) = 0). Несмотря на серьезные различия, как показывает следующая теорема, аппроксимации наипростейшими дробями и аппроксимации полиномами на компактах из K(b,d) тесно связаны между собой. Теорема 1.2. Пусть К Є К(Ь, d), f Є СА(К), a(z) = a(f; z). Тогда Ci(d\\f\\)Pn+l(f,K) En(fea,K) C2(d/[)pn+1(/, A ), где Ci(r) = 1/(2(1 + r)er), C2(r) = (1 + 2rer)er, n = 0,1, 2,....
Теорема 1.2 позволяет получить целый ряд прямых и обратных теорем теории аппроксимации наипростейшими дробями, аналогичных известным теоремам из теории полиномиальных аппроксимаций.
Теоремы Д.Джексона (см. [13]) для гладких на компакте К = А,/ или К = Dd функций утверждают, что для любого натурального к, некоторой положительной константы С = C(d,k), произвольной функции / Є
СА{К). имеющей непрерывную на К производную / порядка к, и лю u(fW,K;d/(n-k)) бого п к выполнено неравенство En(f, К) С — ; .
Следствие 1.2.1. Пусть d 0, К = Ad или К = Dd, /, f{k) Є СА(К). Тогда 2 C = C(d)fc,/,/(1),...,/( )) 0, n fc + 2. С.Н. Бернштейн и А. Зигмунд (см. [13]) соответственно доказали, что справедливость неравенства Ц/,D ) C/nk+P (k = 0,1,2,...,/3 Є (0,1])при любом натуральном п с некоторой константой С = C(d,k,/3) О является необходимым и достаточным условием для принадлежности функции / классу ЫрЛ+/?(Д ) при /З Є (0,1) и классу Zk(D i) при /3 = 1.
Следствие 1.2.2. Функция / Є CL4( ) тогда и только тогда принадлежит классу Lip "{Dd) при /З Є (0,1), и классу Zk(D(i) при /3 = 1, когда условие p7l{f, К) С /пк+@ выполнено при любом натуральном п с некоторой константой С = C(f,d,k,/3) 0.
Следствие 1.2.3. Для того, чтобы для функции f Є С(А,і) при каоїсдом натуральном п имело место неравенство pn(f,K) CJnk+lJ с некоторой константой С = C(f,d, k,/3) 0 необходимо и достаточно, чтобы функция f(t) := f(dcost) принадлежала классу Lip ;+/(Д ) при /З Є (0,1), и классу Zk(Ad) при (3 = 1. В.К.Дзядык доказал (см. [13]), что для того, чтобы заданная функция f(x) при некотором целом неотрицательном к принадлеэюала классу Lip (А ) (классу Zfc(A )), где 0 /3 1, необходимо и достаточно, чтобы при каждом натуральном п к нашелся такой алгебраический многочлен Pn(z) степени п, чтобы при всех х Є Д / выполнялось неравенство \f(x) - Рп(х)\ А г +Р(х) (\f{x) - Рп(х)\ А rk+l(x)), где A = A(f,d,k,(3) (A = A(f,d,k)) — постоянная, которая не зависит ни от х, ни от п, и rn(x) := \Jd2 — х2/п 4- 1/п2.
Следствие 1.2.4. Для того, чтобы заданная функция f(x) при некотором ц:лом неотрицательном к принадлеэюала классу Lip"+/ (Д,/) (классу Zfc(Ad)), где 0 /3 1, необходимо и достаточно, чтобы для некоторого числа N 0 при каоїсдом натуральном п N нашлась наипростейшая дробь Rn(z) порядка не выше п такая, чтобы при всех х Є Дг/ выполнялось неравенство I/O ) - Яг(х)\ Ark+P(x) (ІД ) - Rn(x)\ Ark+\x)), где А = A(f,d,k,/3) О (A = A(f, d, k) 0) — постоянная, которая не зависит ни от х, ни от п, и rn(x) := y/d2 — х2/п + 1/п2.
Пусть К — произвольный континуум на С, функция p(z) однолистно и конформно отображает неограниченную связную компоненту дополнения к К в С на внешность единичного круга D := {z : \z\ 1}, причем /?(оо) = со, lim oc tp(z)/z 0. При R 1 обозначим через TR прообраз окружности CR := {z : \z\ = R} при этом отображении, а через GR — внутренность кривой Гц. По теореме Уолша, для функции / Є СА{К) справедливо неравенство limsupn_ 0O y/En(f, К) 1/R, если / аналитически продолжается с К на GR (R 1). Аналогичный результат верен и для аппроксимации наипростейшими дробями.
Теорема 1.3. Пусть К Є K(b,d), функция f : К н- С определена на компакте К и мероморфна в его внутренних точках. При R 1 неравенство limsup oo y/pJJ K) 1/R имеет место тогда и только тогда, когда f(z) мероморфно продолжается с К в GR как логарифши-ческая производная Ff(z)/F(z) некоторой функции F{z), аналитической в GR.
Второй параграф первой главы посвящен изучению аппроксимативных свойств наипростейших дробей на неограниченных замкнутых жор-дановых кривых L С С, то есть кривых, допускающих параметризацию р : R i- L инъективной функцией (р(х), определенной и непрерывной на действительной оси R, ip(x) - со при х —» со. Отметим, что для таких кривых построение содержательной теории равномерных полиномиальных аппроксимаций невозможно: любая функция, которую можно с любой точностью приблизить на этой кривой в равномерной норме полиномами, сама является полиномом. Как будет показано ниже, в отличае от теории равномерных полиномиальных аппроксимаций, теория равномерных аппроксимаций наипростейшими дробями на таких кривых весьма содержательна. Прежде всего интересен вопрос о полном описании класса SR{L) всех функций, допускающих на L равномерное приближение наипростейшими дробями с любой точностью. Обозначим через CQ{L) пространство всех таких комплекснозначных функций f(z), определенных и непрерывных на
неограниченной жордановой кривой L С С, что f(z) —У О при z — со, z Є L. Очевидно, все наипростейшие дроби, не имеющие полюсов на L, принадлежат этому пространству. В силу полноты пространства Co(L) относительно равномерной нормы, получаем включение SR(L) С CQ(L). Как показывает следующая теорема, в случае L = R имеет место и равенство SR(R) = C0(R).
Теорема 1.4. Для любого и 0 каждая функция из пространства Co(R) может быть с любой точностью равномерно па R приблиэюена наипростейшими дробями с полюсами вне полосы Ии — {z : 1ш,г и}.
Следствие 1.4.1. Для любой прямой I € С каоюдая функция f{z), непрерывная на I и стремящаяся к нулю при z — оо, z Є І, мозісет быть с любой точностью равномерно на I приближена наипростейшими дробями.
Следствие 1.4.2. Любая действительнозначная функция из Co(R) может быть с любой точностью равномерно па R приближена действительнозначными наипростейшими дробями.
Теорема 1.5. Для любого неразвернутого угла (то есть двух лучей с общей вершиной, не принадлежащих одной прямой) Л С С найдется функция / Є С (A), f(z) — 0 при z — оо, z Є Л; которая не мооїсет быть с любой точностью равномерно на Л приближена наипростейшими дробями.
Попутно из доказательства теоремы 1.5 следует невозможность суще п 1 ствования таких наипростейших дробей rn(z) = Y, , что Цг Ц д) = j=\ z йпз тах{гп(,г) : z Є Л} — 0 при п — оо и при каждом п хотя бы один из полюсов anj лежит внутри угла Л (0 arganj- а) и ограничен по модулю произвольным фиксированным числом М, не зависящим от п.
Третьи параграф первой главы посвящен аппроксимационным свойствам наипростейших дробей Паде.
В последние десятилетия возрос интерес к классическим аппрокси мациям Падё ("дробям Падё"), их обобщениям и приложениям. Изучение этих объектов было начато еще О.Коши, К.Якоби, П.Л.Чебышевым, Т.Стильтьесом, А.А.Марковым и другими в их работах по цепным дробям. Резкое повышение интереса к дробям Падё связано с развитием вычислительной математики, теоретической и экспериментальной физики, и в значительной степени — вообще с возрастанием потребности в обработке экспериментальных данных. Наиболее существенные теоретические результаты, касающиеся классических дробей Паде, в последние десятилетия получены А.А. Гончаром и его учениками, Е.Н. Никишиным и его учениками. В настоящей работе исследуются так называемые наипростейшие дроби Падё (или, что то же, наипростейшие рациональные дифференциалы аналитических функций). Это направление теории дробей Падё в 1999 г. сформулировал Е.П. Долженко. Оказалось, что наипростейшие дроби Падё в сравнении с классическими дробями Падё обладают рядом замечательных особенностей.
Классические (одноточечные) аппроксимации Паде представляют собой естественное обобщение полиномов Тейлора. Именно, пусть / со + c\Z -f C2Z2 + ... — некоторый формальный степенной ряд с вообще говоря комплексными коэффициентами. Напомним, что рациональная функция 7rnm{f,z) = p(z)/q(z) со степенью числителя не выше п и степенью знаменателя не выше т называется дробью Паде (аппроксимацией Паде) порядка (п,т) для этого степенного ряда, если в формальном разложении разности q(z)f(z) — p(z) в степенной ряд с центром в точке z — О коэффициенты с номерами от к = О до к = п -\- т равны 0. Такое определение рациональной функции тгпт{f,z) наилучшего локального приближения (которая существует всегда и при том только одна) связано с тем, что задача об отыскании рациональной функции Rn,m(z) степени не выше (п,га), при которой формальный степенной ряд для f(z) — RUML(Z) имеет нулевыми коэффициенты с номерами от 0 до п + га, не всегда разрешима.
При п 1 наипростейшим рациональным дифференциалом порядка п — 1 функции f(z) в точке Ь, в некоторой односвязной окрестности U которой f(z) однозначна и аналитична, или наипростейшей дробью Паде n-ого порядка функции f(z) в точке 6, назовем наипростейшую дробь Rnifib; •) Є SRn со свойством: f(z) — Rn{f,b;z) = 0({z — b)n) при z — • h. Как показывает следующая теорема, в отличае от классических аппроксимаций Паде, такой подход к определению наипростейших дробей Паде всегда оправдан.
Как и ранее, для функции f(z) в окрестности точки Ь рассмотрим функцию cv(z) = a(f; z) := Jb /() d, где интегрирование ведется по любому спрямляемому пути в некоторой односвязной окрестности точки Ь.
Теорема 1.6. Дробь Rn(f,b ,z) существует, единственна и совпадает с логарифмической производной частичной суммы =()c/,;(z — b)k ряда Тейлора функции еа \
Замечание. Существование и единственность наипростейшей дроби Паде Rn(f,b; z) была независимо доказана другими методами В.И. и Д.Я. Данченко в работе [9].
Представляют естественный интерес вопросы о нахождении области G(f) сходимости последовательности дробей {Rn(f, b; z)} к приближаемой функции / и об оценке скорости такой сходимости с ростом п. Как будет показано в теореме 1.7, область G(f) вообще говоря шире, чем круг сходимости ряда Тейлора для функции /, а последовательность {/?м(/, 6; z)} сходится к / в точках G(f) со скоростью геометрической прогрессии.
Отметим здесь, что круг сходимости ряда Тейлора функции сп совпадает с ее ответствующим кругом сходимости для функции fca — так как (еа) = fea. Обозначим радиус этого круга сходимости через R. Внутрь круга В := {z : \z — b\ R} из окрестности точки 6 функция / аналитически (или мероморфно) продолжается как логарифмическая производная от функции еа.
Теорема 1.7. Пусть функция f аналитична в некоторой окрестности точки b Є С, положительное число R таково, что ряд Тейлора функции еа с центром в точке b сходится на круге {z : \z — b\ R}, г = const Є (О, Л). Тогда для произвольного компакта Е С {z : \z — b\ г}, не содержащего полюсов функции f, имеет место неравенство
limsup tl\\Rn{f, b; •)-/(•)Под г/Л.
Также в этом параграфе приводятся оценки сверху на улонения наипростейших дробей Паде от функций / из класса Харди Н\ в точках единичного круга D.
Вторая глава состоит из трех параграфов. В ней даются оценки сверху наименьших уклонений в метрике Хаусдорфа заданного замкнутого жор-данова контура Г в комплексной плоскости С от лемнискат, порожденных многочленами P{z) заданной степени тг, в зависимости от метрических свойств этого контура. При этом предполагается, что приближающие лемнискаты являются замкнутыми жордановыми кривыми, содержащими Г внутри себя. Принципиальная возможность сколь угодно хорошего приближения жордановых контуров такими лемнискатами в этой метрике доказана Д.Гильбертом в 1897г. (см. [4]). Естественно возникает вопрос о количественной оценке такого приближения. Этот вопрос неоднократно ставил Е. П. Долженко.
Отметим здесь, что теория приближений в хаусдорфовой метрике, порожденной метрикой Евклида, уже нашла свое приложение в математических методах обработки изображений (см., например, работу Б.Сендова [21]). Представляет интерес и теория приближений функций в метрике Хаусдорфа, порожденной метрикой Минковского. Многие важные теоремы этой теории получены Е.П.Долженко и Е.А.Севастьяновым (1975-1978 гг.), а также А.И.Ермаковым (1980 г.).
В силу теорем Римана и Каратеодори существует единственное конформное и однолистное отображение w = ip(z) внешности Gy кривой Г на внешность Gc единичной окружности С := {w : u; — 1} со свойствами: ф{р6) = со, ф (оо) О, отображение w = ф(г) продолжается до гомеоморфизма замыканий Gy и Gc областей Gy и Gc- Положим (f(w) := ф 1(т) (w Є Gc), f{0) := р(еів) {в Є К). Пусть А и В - компакты на С, рн(А, В) — хаусдсрфово расстояние между ними: рн(А, В) := infje:}, где инфимум берется по всем таким є 0, что множества А и В находятся в евклидовых -окрестностях друг друга. Через р(А, В) обозначим обычное (евклидово) расстояние между А и В: р(А, В) := inf{ i — zi\: z\ Є A, z i Є В].
Пусть Pn(z) — многочлен степени п переменного z, г = const О, L(Pn,r) := {z : \Pn(z)\ = r} — r-ая лемниската, порожденная многочленом Рп (то есть его r-ая линия уровня), Нп(Т) := іпі{/9#(Г, L(PU: г)) : Pn,r}, где Рп пробегает все многочлены степени n, а г — положительные числа, причем учитываются только те Рп и г, для которых L(Pn,r) является замкнутой жордановой кривой, содержащей Г внутри себя.
Пусть g(z, ) — функция Грина для области Gr с полюсом Є Gr- Как известно, g(z, со) = log 1 ( )1 =: g(z). Ниже UJ(F,E;S) := siip{F(z ) — F(z")\ : z ,z" Є E, \z — z"\ 5} — модуль непрерывности функции F(z) на множестве Е С С (5 0). Если множество Е есть вся область определения функции F(z), положим UJ(F] S) = UJ(F, Е;5).
Положим Мп(Г) := inf{max{g(z) : z Є L(Pn,r)} : Pn,r}, где Pn и г пробегают те же множества, что и выше при определении Нп(Т). Как показывает следующая лемма, величины Нп(Т) и МП(Г) тесно связаны между собой.
Лемма 2.1. Для произвольной замкнутой жордановой кривой Г и любого натурального числа п выполнены неравенства Я„(Г) w(V; ем» г) - 1), МП(Г) wfo; Я„(Г)).
Для кривой Г и любого натурального п введем в рассмотрение многочлены Qn(z) и Фп(г). Положим Qn(z) := c n(z — a\)(z — a-i).. .(z — an), где с = с(Г) — гармоническая емкость кривой Г (см. [5], Гл. VII, §3), &к •= p[exp{(2k + 1)ТГІ/П}). Через Фп( ) обозначим многочлен Фабера п-ой степени, то есть такой полином, что Фп(г) — фп(г) = 0(1/z) при z — 00 (см., например, [19], ТЛІ, Гл. 5, §4, п.4.5).
Первый параграф второй главы посвящен отысканию оценок сверху для величин М„(Г) в случае произвольных замкнутых жордановых кривых Г С С. Основным его результатом является
Теорема 2.1. Пусть Г — замкнутая оісорданова кривая, g(z) = g(z, со) — функция Грина с полюсом на бесконечности для внешности кривой Г. Тогда для любого натурального п найдутся такие полооїси-телъные числа г\ = n(n) и r i — Г2(п), что лемнискаты L(Qn,r\) и (Фги г2) являются замкнутыми аналитическими жордановыми кривыми, содержащими Г внутри себя, и неравенство max{ /( ) : z Є L(Q„, n)} u{g; d) + 2u ( p, C; ) J°° ттіш Л2} справедливо для любого d си (cp, С; тг/п), а неравенство mzx{g{z) : z Є ЦФП1 r2)} u(g- d) + w (y , C; ) J°° ПЙ{ш ) 2} Л. справедливо для таких d LJ ((р,С;тт/п), что второе слагаемое справа в этом неравенстве не превосходит первого. Отсюда при таких лее d имеем МП(Г) wfe; d) + w {(р, С; -J у l h f dt. Замечание. Указанные в теореме 2.1 условия справедливости неравенств не существенны при их практическом применении, поскольку наилучшие по порядку величин оценки получаются при d, определяемых из условия равенства между собой двух слагаемых справа в этих неравенствах — так как при d \ 0 первое слагаемое справа убывает к нулю, второе возрастает к +со. Следствие 2.1.1. Для любой замкнутой жордаповой кривой Г имеет место равенство А/„(Г) = О (yu ( p,C;ir/nf) (п - ooj. Замечание. Из следствия 2.1.1 вытекает, что для любой замкнутой жордановой кривой Г имеем МП(Г) — 0 при п —»• со. По лемме получаем, что Нп(Г) — 0 при п — со. В этом и состоит упомянутый выше результат Д. Гильберта. Следствие 2.1.2. Пусть Г — замкнутая жордаиова кривая, функция ф удовлетворяет в GY условию Lip а (О а 1): \ф{г ) - ф{г")\ M\z - z для любых z , z" из GY, М = const 0. Тогда при 0 а 1 выполнено соотношение МП(Г) = 0(u/V С; тг/n)) (п - оо), где /? = тах{а, 1/(3 — 2а)}, а при а = 1 Мп(Г) = О (w(y , С; 7r/n)log (l/w(p, С; тг/п))) (п -+ оо). Второй параграф второй главы посвящен отысканию оценок сверху для величин Мп(Г) в случае гладких и аналитических замкнутых жордановых кривых Г С С. Теорзма 2.2. Пусть Г — гладкая замкнутая жордаиова кривая, причем функции ф(г) и p(w) непрерывно дифференцируемы в GY и Gc соответственно, кроме того, для 5 О „(arg / , R; ) = О (j_ ) „ U(f, R;S) = О ( ) при S - 0. Тогда существуют такие числа г і = г\(п) 0 и r i = Г2{п) 0, что при п — со г:меют место равенства: max{g(z) : z Є L(Qn,rx)} = 0(ljn), max{g(z) : z Є Ь(Фп,г2)} = 0{l/n), так что (см. лемму 2.1) Нп(Т) = 0(1/п), М„(Г) = 0(1/п) (п - со;. Следствие 2.2.1. Пусть Г — гладкая замкнутая оісорданова кривая, угол наклона касательной 6(s) к которой как функция длины дуги s и \а имеет модуль непрерывности UJ(), удовлетворяющий условию f«JUdt+sr«Mdt = 0(-L-\ к t Ji t2 \}os{l/S)J при 5 — 0 (5 0). Тогда при п — оо имеют место равенства: Нп{Т) = 0(1/п), М„(Г) = 0(1/п). Теорема 2.3. Пусть Г — линия уровня функции Грина QK{Z) для оператора Лапласа во внешности некоторого континуума К С С со связным дополнением: Г = {z : дк(%) = А}; Л 0. Тогда limsup у/Нп(Г) = limsup у/Мп(Т) е х. 7J-»0O П- 00 Следствие 2.3.1. Для любой замкнутой аналитической жордановой кривой Г справедливо неравенство limsupn oo А/ЩП = iimsuPn oo \/ЭД 1 В третьем параграфе второй главы доказана оценка снизу для величины М„(Г). Третья глава диссертации состоит из двух параграфов. В первом параграфе найдены достаточные в определенном смысле неулучшаемые условия на компакт комплексной плоскости для существования на нем почти всюду относительно произвольно заданной / меры Хаусдорфа оценок типа Маркова-Бернштейна для производных заданного натурального порядка s от произвольных рациональных функций, не имеющих полюсов на этом компакте. Для любого натурального п обозначим через Ип(К) класс всех рациональных функций R(z) степени не выше п, полюсы которых не лежат на компакте К комплексной плоскости С. Если при заданном натуральном s, некоторой точке ZQ Є К И любом натуральном п справедливо неравенство вида R a)(zo)\ \.\\R\\ciK) какова бы ни была функция R Є Ип(К), где A = \(K,n,s,zu) О, то будем говорить, что в точке ZQ выполняется неравенство типа Маркова-Бернштейна для 5-ых производных рациональных функций. Легко видеть, что у любого компакта К С С найдутся точки ZQ Є К, в которых не существует оценок такого вида ни при каких фиксированных п и .s. Заметим, что в случае произвольного континуума К, не вырожденного в одну точку, любого натурального п и любого полинома Pn(z) степени не выше п неравенство указанного вида с R = Рп справедливо в каждой точке ZQ Є К с A = Х(К, n,s) оо, уже не зависящим от ZQ — то есть в этом случае всегда имеется равномерая на К оценка для производной любого порядка s от каждого полинома (см. добавление С.Н.Мергеляна в [23], Раздел 1, п. 5).
В работе [14, Гл.IV] Е.П.Долженко указал условие на строение континуума К вблизи точки ZQ Є К, достаточное для справедливости (уже не зависящей от п) оценки i? s)(zo) \(K,s,zo) • \\R\\c(K) ДЛЯ любой рациональной функции R(z) с полюсами вне К. В частности, это условие выполняется для почти каждой (относительно плоской меры Лебега) точки zo Є К\ UJTJ, если Ylj d/ оо, где через Го обозначена граница диаметра dj := diamTo неограниченной компоненты связности Go дополнения к К в С, а через {Gj}j \, {Г }_, і и {dj}j \ — конечные или бесконечные последовательности всех ограниченных компонент этого дополнения, их границ и диаметров соответственно. Отсюда следует (см. [15]), что для таких ZQ неравенство / (2о) Х(К, S,ZQ) • /с(#) справедливо для любой функции /, принадлежащей банахову пространству И(К) всех функций, непрерывных на К и допускающих на нем сколь угодно точное равномерное приближение рациональными функциями.
В работе [10] В.И.Данченко нашел достаточно простой геометрический критерий на строение компакта К вблизи произвольной заданной его точки ZQ ДЛЯ ТОГО, чтобы в этой точке при заданном 5 существовала оценка типа Маркова-Бернштейна. Чтобы сформулировать этот критерий, наном ним следующее определение.
При С Є С обозначим через /?(, К) обычное евклидово расстояние от ( до К. Следуя В.И.Данченко, для любой точки z Є К введем в рассмотрение величину 0 (/ , ) := sup{/?(, К) \(,— z\ s l : Є С\К}, называемую s-пористостыо компакта К в точке z (понятие s-пористости обобщает понятие обычной пористости множества в точке, введенное Е.П.Долженко в 1964 г.).
Теорема А (В.И.Данченко, [10]). Пусть К — произвольный компакт на С, ZQ Є К, s — натуральное число, s 1. Тогда для существования в точке ZQ неравенства вида (1) для любой функции R Є Ип(К), необходима и достаточна конечность величины UJS(K, Zo). При этом неравенство Я(в ( о) bQs\us{K,zo){n + l) - \\R\\c(K) выполнено для любой функции R Є Rn(i ) В работе [10] для s = 1 и а 6 (1,2] в случае, когда К представляет собой замкнутый единичный круг с выброшенной из него последовательностью попарно не пересекающихся открытых кругов Dj радиусов Vj соответственно, также доказано, что условие 2 jL1 г" оо является достаточным для равенства нулю так называемой а-меры Хаусдорфа множества Е = Е(К, s) С К всех точек ZQ Є К несуществования оценок вида (1): mesaE = 0. В случае плоской лебеговой меры mes2 (как известно, mes2 = (4/7r)mes2) Д.Я.Данченко [11] установила более общий результат: если континуум К имеет конечный периметр или, что то же, конечный обхват по Пенлеве (это означает, что Y2j o mesi Г/ оо, mes і — линейная мера Лебега), то при s = 1 оценки типа Маркова-Бернштейна имеют место почти в каждой точке К относительно плоской меры, то есть mes2E = 0.
Пусть F — произвольное борелевское множество на С. Конечное или счетное семейство {Bj} открытых кругов Bj будем называть -покрытием множества F, если F С Uj-Bj и для каждого j диаметр diam Bj круга Bj не превосходит 6. Для заданного борелевского множества F и произвольной функции (р(г), определенной и возрастающей при г 0, с ср(0) = v?(0+) = О величину ( /?)mesF := lim inf I \. (p(diamBj) : F С UjBj, diamBj S\/j oo, называют хаусдорфовой /?-мерой этого множества. В случае ip(r)- = гп с некоторым а 0 величину mes := ( )mesi71 называют а-мерой Хау-сдорфа этого множества и обозначают mesaF.
Пусть G — ограниченная область на С, 0G — ее граница. Внутренним радиусом области G назовем величину г = r(G) := sup{p((, OG) : С Є G]. Пусть также N(dG, S) — наименьшее возможное количество кругов в 5-покрытии множества 3G.
Как и ранее, для любого компакта К С С обозначим через GQ неограниченную КОМПОНеНТу СВЯЗНОСТИ ЄГО ДОПОЛНеНИЯ С \ К, а Через {Gj}j \ — конечную или бесконечную последовательность всех ограниченных компонент этого дополнения, расположенных в порядке невозрастания их внутренних радиусов гj := r(Gj). Положим dj := diam dGj (j 0). Множество E = E(K, s) всех таких точек ZQ Є К, для которых не существует оценок указанного вида, назовем исключительным множеством, а множество Е° = E°(K,s) := Е \ (Uj odGj) — внутренним исключительным множеством. Для каждого j 1 положим Nj := N I dGj, г - ).
Теорема 3.1. Пусть задана произвольная функция р(г), определенная и возрастающая при г 0, с (0) = (0+) = 0. Если Ylj \ Nj ірІАгл ) со, то внутреннее исключительное множество Е° = Е (K,s) С К имеет нулевую (р-меру Хаусдорфа: (ip)mesE° = 0.
Следствие 3.1.1. Если границы dGj (j 0) всех связных компонент дополнения компакта К имеют нулевую (р-меру Хаусдорфа и Ylj i Nj • у Ur)l{s+l)\ oo, mo (ip)mesE = 0.
Следствие 3.1.2. Пусть а Є (1,2]. Если граница dGj (j 0) каждой связной компоненты дополнения компакта К представляет собой объединение из kj замкнутых жордановых спрямляемых кривых, Cj = \dGj\ := mes1 dGj, причем Ylj i kj • Cj oo, mo mesaE = 0.
Следствие 3.1.3. Если V i (і + d?rj2/(e+1)) • у? (4rJ/(e+1)) oo; mo (v)mesE° = 0.
В случае а-меры Хаусдорфа теорема 3.1 является в определенном смысле неулу ішаемой. Это показывает следующая
Теорема 3.2. Пусть а Є (0,2], s 1. Тогда существует такой континуум К = K(s, а), что для любого є 0 ряд YlT=i Nj • г" /[h+ сходится, а внутреннее исключительное множество E°(K,s) имеет ненулевую а-меру Хаусдорфа.
Во втором параграфе третьей главы исследуется вопрос о влиянии малых изменений компакта К на исключительное множество E°(K,s).
Теорема 3.3. Пусть К — произвольный компакт в С, // — произвольная конечная счетно-аддитивная борелевская мера на К. Тогда для любого є 0 существует такой компакт F = F(K,fi,e) С К, что ц{К \F) e и E(F,s) = F Vs 1.
Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору Евгению Прокофьевичу Долженко за постановки интересных задач, их обсуждение и постоянную поддержку в работе над их решением, а также" доценту П. А. Бородину за ряд ценных указаний и пристальное внимание к работе.
О приближении наипростейшими дробями на неограниченных кривых
Пусть К — произвольный континуум на С, функция p(z) однолистно и конформно отображает неограниченную связную компоненту дополнения к К в С на внешность единичного круга D := {z : \z\ 1}, причем /?(оо) = со, Ишг-юс cp(z)/z 0. При R 1 обозначим через Г/? прообраз окружности Сц := {z : \z\ = R} при этом отображении, а через GR — внутренность кривой Гц. По теореме Уолша, для функции / Є СА(К) справедливо неравенство limsup y/En(f,K) 1/R, если f аналитически продолжается с К на GR (R 1). Покажем, что аналогичный результат верен и для аппроксимации наипростейшими дробями.
Теоргма 1.3. Пусть К Є K(b,d), функция f : К н- С определена на компакте К и мероморфна в его внутренних точках. При R, 1 неравенство lim sup \/рп (/, К) 1/R имеет место тогда и только тогда, когда f(z) мероморфно продолжается с К в GR как логарифмическая производная F (z)/F(z) некоторой функции F{z), аналитической eGR. Доказательство. А. Докажем сначала теорему для частного случая / Є СА[К), F(z) ф 0 VzeK.
Пусть limsupn_ oc \/pn(f, К) 1/R, тогда по теореме 1.2 получаем limsup oo y/En(fea: К) 1/R. По теореме Уолша функция fea есть сужение на К некоторой функции F Є A(GR). НО тогда F(z) := 1 -f Ii(bz) - (0 С также аналитична в GR. Здесь l(b, z) — произвольный спрямляемый путь из Ь в 0, лежащий в GR. Пусть l(b,z) С К, тогда е" = 1+а(/е; z) = 1 + //(м) /(C)eQ(0 dC, = F{z). Получаем, что F(z) = ea{z) ф 0 для любого z Є К, причем F /F = / на К.
Предположим теперь, что f(z) мероморфно продолжается с К в GR как логарифмическая производная F (z)/F(z) некоторой функции F(z), аналитической в GR. Без ограничения общности считаем F(b) — 1. Тогда F Є A(GR), F /F 4(- ) и на К существует непрерывная ветвь log F(z) многозначной функции Log F{z) с log F{b) = 0. Для l(b,z) С К имеем gF(z) = fl{btX)F (Q/F(C)dt = JlMf(C)dC = {z) Отсюда F ЕЕ fe« на К. По теореме Уолша получаем, что limsup j oc y/En(fea, К) 1/7?. Отсюда по теореме 1.2 имеем limsupn_ 00 y/pn{f,K) 1/R.
В. Рассмотрим общий случай.
Пусть для функции /, определеной на компакте К и мероморфной в его внутренних точках, имеет место неравенство limsup y/pn(f, К) 1/R. Пусть N — наименьшее натуральное число, для которого рк(/, К) оо. Очевидно, что при таком N дробь Лдг = Ylj=i V(2 — (lj) Є SRN, для которой / — RN\ со, единственна и не имеет полюсов вне К, а при п N имеет место равенство pn(f,K) = pn-N(f — RN,K)- Отсюда limsup oo n-yPn-N(f - RN, К) = Hmsupn ( 9П(/, #))»/ »- І/Я. По доказанному в п.А существует функция F Є A(GR), для которой F /F = f - RN на К и F(z) ф 0 на К. Поэтому для F(z) := F(z)(z -a\)(z — a-i)... (z - адг) имеем: F Є A{GR), F /F = / на К.
Обратно, пусть существует функция F Є A(Gji), F /F = / на К. Обозначим через а\, а2, , а все нули функции F на К, каждый из которых говторяется столько раз какова его кратность. Тогда для F(z) := F(z)/((z - ai)(z -a2)...(z- aN)) имеем F Є A{GR), F(z) ф 0 \/z Є К. По доказанному в п.А для функции / := F /F имеет место неравенство limsupn_ oc ypn(f,K) 1/R. Так как f(z) = f(z) + RN(Z) (где RN(z) = l/(z - ai) + ... + l/(z - aN)), то limsup, /pn(f,K) 1/R и / мероморфна во внутренних точках К. Теорема 1.3 доказана полностью.
Цель настоящего параграфа — изучение аппроксимативных свойств наипростейших дробей на неограниченных замкнутых жордановых кривых і С С, то есть кривых, допускающих параметризацию р : R ь- L инъектиьной функцией р(х), определенной и непрерывной на действптель ной оси R, (р(х) — оо при х — со. Отметим, что для таких кривых построение содержательной теории равномерных полиномиальных аппроксимаций невозможно: любая функция, которую можно с любой точностью приблигить на этой кривой в равномерной норме полиномами, сама является полиномом. Как будет показано ниже, в отличае от теории равномерных полиномиальных аппроксимаций, теория равномерных аппроксимаций наипростейшими дробями на таких кривых весьма содержательна. Прежде всего интересен вопрос о полном описании класса SR(L) всех функций, допускающих на L равномерное приближение наипростейшими дробями с любой точностью. Обозначим через CQ(L) пространство всех таких комплекснозначных функций f(z), определенных и непрерывных на неограниченной жордановой кривой L С С, что f(z) — 0 при z —) со, z Є. L. Очевидно, все наипростейшие дроби, не имеющие полюсов на L, принадлежат этому пространству. В силу полноты пространства CQ(L) относительно равномерной нормы, получаем включение SR(L) С Co(L). Как показывает следующая теорема, в случае L = R имеет место и равенство SR(R) С C0(R).
О приближении гладких жордановых кривых
Повторяя рассуждения из первой части доказательства теоремы, следующие за неравенствами (2.7), уже для многочлена Фп(г): получаем, что max{g(z) : z Є 1(Ф„, r2)} ы(д; d) + a, (у,, С; ) J minW;0,2} для некоторого положительного числа Г2 = 7 2(п) и для любого числа i k ( , С; 7г/п) при котором второе слагаемое справа в этом неравенстве не превосходит первого (тогда для Л = со(д; d) выполнены налагаемые на него выше условия), причем лемниската Ь(Фп,Г2) является замкнутой аналитической жордановой кривой, содержащей Г внутри себя. Теорема доказана полностью.
Следствие 2.1.1. Для любой замкнутой оісордановой кривой Г имеет место равенство Мп(Г) = о($/ш{ р,С;тг/п)} (п- оо).
Доказательство. Заметим, что u(g;d) = 0(Vd) при d — 0 (d 0). Это следует, например, из теоремы 3 работы П.М.Тамразова [22]. Далее, ш(ф; t) = о(1) при t — 0 (t 0), и следовательно Jd mm{u)(ij ; t), 2}/t2 dt = o(l/d) і;ри d —» 0 (d 0). Положим d = у/и2((р,С;7г/п). Тогда u(g; d) = О І у/йі( р, C; п/п)). Следовательно ш( р, С; п/п) J тіп{си(гр; t). 2}/t2 dt = О I /uj( p, C\ п/п)J. По теореме 2.1 получаем требуемое равенство. Замечание. Из следствия 2.1.1 вытекает, что для любой замкнутой жордановой кривой Г имеем Мп(Т) — 0 при п — со. По лемме получаем, что Нп(Г) — 0 при п — со. В этом и состоит упомянутый выше результат Д. Гильберта.
Следствие 2.1.2. Пусть Г — замкнутая оісорданова кривая, функция ф удовлетворяет в GY условию Lip а (0 а 1): \ф{г ) - ф(г")\ M\z - z"\a для любых z , z" из GY, М = const 0. Тогда при 0 а 1 выполнено соотношение Мп(Г) = 0(o/V, С; тг/п)) (п - со), где j3 = max{a, 1/(3 — 2а)}, а при а = 1 М„(Г) = О (w(p, С; 7r/n)log (1/ш{(р, С; тг/n))) (п - ос).
Доказательство. Пусть сначала 0 а 1. Заметим, что если функция ф(г) удовлетворяет в GY условию Lip а, то и функция g(z) удовлетворяет в GY этому условию: \g(z ) — g(z")\ — log 1 ( )1 — lg 10( )11 11 ( )1 - \Ф{г")\\ №(z ) - ф(г")\ M\z - z"\a для любых z и z" из GY- Следовательно, для любого числа d 0 получаем неравенство (g ld) Mda. Имеем также (jo( ;t)/t2 Mta 2 для любого t 0. Поэтому fd mm{uj(ip;t),2}/t2dt = 0(da 1). Положим d = LU( /?, С; 7г/п). Тогда по теореме 2.1 получаем, что Мп(Т) Ми)а( р,С;п/п) + /( , С; п/п)-0(we_1( ,C7;7r/n)) = 0(сиа( ,С;тг/п)) при п - со.
Заметим, что /3 = а при 1/2 а 1 и /3 = 1/(3 — 2а) при 0 а 1/2. В первом случае требуемое соотношение доказано. Рассмотрим случай 0 а 1/2. Тогда 2/(3 — 2а) 1. Как уже было отмечено выше, для любой кривой Г имеем cj(g; d) = 0(\/d) при d — 0 [d 0). To есть существует такая постоянная к = к(Г), что при достаточно малых d 0 справедливо неравенство uj(g]d) k\[d. Положим d = uj2/(3 2n)(ip,C;ir/n). Тогда $mm{uj ),2}lt2dt = 0{da l) = 0(ш2 - -2а\ср,С;тг/п)). Легко видеть, что 1 + 2(а — 1)/(3 — 2а) = 1/(3 — 2а). По теореме 2.1 получаем МП(Г) 0( /(3-2 )( ,С;тг/п)).
Пусть теперь а = 1. Тогда u(g;d) Md, u{tf)\d) Md для любого d 0. Поэтому jd min {u( il)]t),2}/t2dt = O(-logd) при d - 0. По лагая d = ш((р,С]7г/п), по теореме 2.1 получаем требуемое соотношение.
Для того, чтобы получить оценку величин Нп(Г) и Мп(Г) непосредственно в терминах метрических свойств кривой Г, можно воспользоваться результатами работы [16] Е.П.Долженко, в которой дается оценка сверху на модули непрерывности функций ф, ф — соответственно однолистного конформного отображения внутренности замкнутой жордановой кривой Г на внутренность единичного круга и обратного к нему отображения в метричьских терминах кривой Г, если определить Г как образ кривой Г при отображении z = l/(z — а), где а — некоторая точка, лежащая внутри кривой Г.
Теорема 2.2. Пусть Г — гладкая замкнутая жордаиова кривая, причем функции ф(г) и cp(w) непрерывно дифференцируемы в Gr и Gc соответственно, кроме того, для 5 Тогда существуют такие числа г і = ri(n) 0 и г2 = г 2(11) 0, что при п — со имеют место равенства: тах{(7( г) : z Є L(Qn,ri)} = 0(1/п), max{g(z) : z Є (Ф„,г2)} = 0(l/n), так что (см. лемму 2.1) Я„(Г) - 0(1/71), М„(Г) = 0(1/п) (п - ooj.
Доказательство. Пусть, как и ранее, 9k := (2k + l)ir/n для любого k = 0,1,..., п — 1. Пусть также г(?ги p(z, Г) ы(ср, С\ п/п). Для любых наперед заданных положительных чисел го и г имеет место формула Тейлора для функции log г с остаточным членом в форме Лагранжа: где г 0 заключено между числами Го и г. Применим эту формулу к подинтегральным функциям в сумме п
Для функции \z — /(#) переменного 6 имеет место формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: \z - f(6)\ = \z- f(0k)\ + \Г{9к)\ cos (arg (/(4) -z)- arg/ №)) (5 - 0 ), где 0 = 6k(6) — некоторое число, лежащее между 6 и 6к. Обозначим через log (z — Q некоторую однозначную аналитическую по переменной С в окрестности кривой Г ветвь функции Log (z — ). Положим ll/ ll := max{/ (0) : 6 Є R}.
Об оценках снизу для величин наименьших уклонений
Для любого натурального п обозначим через Ип(К) класс всех рациональных функций R(z) степени не выше п, полюсы которых не лежат на компакте К комплексной плоскости С. Если при заданном натуральном s, некоторой точке ZQ Є К и любом натуральном п справедливо неравенство вида R{s\zQ)\ X-\\R\\C{K) (3-1) какова бы ни была функция R Є Ип(К), где Л = \(K,n,s,zu) О, то будем говорить, что в точке ZQ выполняется неравенство типа Маркова-Бернштейна для s-ых производных рациональных функций. Легко видеть, что у любого компакта К С С найдутся точки ZQ Є К, в которых не существует оценок такого вида ни при каких фиксированных п и s. Заметим, что в случае произвольного континуума К, не вырожденного в одну точку, любого натурального п и любого полинома Pn(z) степени не выше п неравенство вида (3.1) с R = Рп справедливо в каждой точке ZQ Є К с Л = X(K,n,s) со, уже не зависящим от ZQ — то есть в этом случае всегда имеется равномерая на К оценка для производной любого порядка s от каждого полинома (см. добавление С.Н.Мергеляна в [23, Раздел 1, п. 5).
В работе [14, Гл.IV] Е.П.Долженко указал условие на строение континуума К вблизи точки ZQ Є К, достаточное для справедливости (уже не зависящей от п) оценки Д (,го) A(if, S,ZQ) \\R\\c(K) ДЛЯ любой рациональной функции R(z) с полюсами вне К. В частности, это условие выполняется для почти каждой (относительно плоской меры Лебега) точки ZQ Є К \ UjTj, если J2j d/ со, где через Го обозначена граница диаметра df) := diamTo неограниченной компоненты связности Go дополнения к К в С, а через {Gj}j i, {Fj}j i и {dj}j \ — конечные или бесконечные последовательности всех ограниченных компонент этого дополнения, их границ и диаметров соответственно. Отсюда следует (см. [15]), что для та ких ZQ неравенство / ( о) \(K,s,zo) \\f\\c{K) справедливо для любой функции /, принадлежащей банахову пространству R(/ ) всех функций, непрерывных на К и допускающих на нем сколь угодно точное равномерное приближение рациональными функциями.
В работе [10] В.И. Данченко нашел достаточно простой геометрический критерий на строение компакта К вблизи произвольной заданной его точки ZQ ДЛЯ того, чтобы в этой точке при заданном s существовала оценка типа Мяркова-Бернштейна (3.1). Чтобы сформулировать этот критерий, напомним следующее определение.
При С Є С обозначим через /з(, К) обычное евклидово расстояние от С до К. Следуя В.И.Данченко, для любой точки z Є К введем в рассмотрение величину iVs(K,z) := sup{p(, К)-\ — z\ s l : Є С\К}, называемую s-пористостыо компакта К в точке z (понятие s-пористости обобщает понятие об лчной пористости множества в точке, введенное Е.П.Долженко в 1964 г.).
Теорема А (В.И.Данченко, [10]). Пусть К — произвольный компакт на С, ZQ Є К, S — натуральное число, s 1. Тогда для существования в точке ZQ неравенства вида (1) для любой функции R Є Ип(К), необходима и достаточна конечность величины CJS(K, ZQ). При этом неравенство Д(в)Ы 50s\us{K,ZQ)(n + l) \\R\\c(K) выполнено для любой функции R Є Tln(K).
В работе [10] для s = 1 и а Є (1,2] в случае, когда К представляет собой замкнутый единичный круг с выброшенной из него последовательностью попарно не пересекающихся открытых кругов Dj радиусов г, Е ос а/2 . j=\rj является достаточным для равенства нулю так называемой а-меры Хаусдорфа множества Е = Е(К, s) С К всех точек ZQ Є К несуществования оценок вида (1): mesa.E = 0. В случае плоской лебеговой меры mes2 (как известно, mes2 = (4/7r)mes2) Д.Я.Данченко [11] установила более общий результат: если континуум К имеет конечный периметр или, что то же, конечный обхват по Пенлеве (это означает, что X 7 omesi з » mesi линейная мера Лебега), то при s = 1 оценки типа Маркова-Бернштейна имеют место почти в каждой точке К относительно плоской меры, то есть mes2E = 0. Как будет показано ниже, развитие идей работы [10] позволяет для любого натурального s найти достаточные условия для равенства mesaE = 0 в случае компактов К более общего вида. Эти достаточные условия оказываются в определенном смысле неулучшаемыми. Ниже также рассматривается влияние на меру множества Е(К, s) "малых" изменений компакта
Основные определения. Пусть F — произвольное борелевское множество на С. Конечное или счетное семейство {Bj} открытых кругов Выбудем называть J-покрытием множества F, если F С UjBj и для каждого j диаметр diam Bj круга Bj не превосходит 5. Для заданного борелсвского множества F и произвольной функции р(г), определенной и возрастающей при г 0, с ip(0) = /?(0+) = 0 величину ((p)mesF := lim inf I \- /?(diamBj) : F С UjBj, diam?j 5Vj \ oo, называют хаусдорфовой / мерой этого множества. В случае ip{r) = га с некоторым а 0 величину mes F := ((p)mesF называют а-мерой Хау-сдорфа этого множества и обозначают mes.F.
Пусть G — ограниченная область на С, dG — ее граница. Внутренним радиусом области G назовем величину г = r(G) := sup{p(, dG) : С Є G}. Пусть также N(dG,5) — наименьшее возможное количество кругов в 5-покрытии множества dG.
Как и ранее, для любого компакта К С С обозначим через Go неограниченную компоненту связности его дополнения С \ К, а через {Gj}j \ — конечную или бесконечную последовательность всех ограниченных компонент этого дополнения, расположенных в порядке невозрастания их внутренних радиусов Tj := r(Gj). Положим dj := diamdGj (j 0). Множество E = E(K, s) всех таких точек ZQ Є К, для которых не существует оценок вида (1), назовем исключительным множеством, а множество
Влияние малых изменений компакта на исключительное множество
Так как пк+1 (к + I)2, то 2пк - (2 + e)nk+l/(s + 1) = (2/(.s + 1))((s + 1)пй-пл+і-(г/2)пл+і) {2/(s + l))(k+l-(s/2)(k + l)2). Следовательно, для любого є 0 ряд Х ь=і 32п 2+є)/(в+1 п +1 сходится, а значит сходится и ряд в левой части неравенства (3.2).
Наконец, покажем, что Е(К, s) = К. Действительно, пусть z Є К. Тогда для любого натурального к найдется такое число т = m(k,z), что точка z принадлежит замыканию sk m квадрата sk,m- Рассмотрим последовательность {CkJkLi центров квадратов skjn соответственно. Имеем p(C,k,K)\C,k-z\-s-1 {3-n /2)-(3-n"/V2)-s-1 з(в+1)п -» +і = 3А:+1 -+ со при к — f со. То есть ш8(К, z) = со для любого z Є К. По теореме А получаем, что Е = К. Так как Е :=Е\ (UjLQdGj), то mes2 Е = mes2 Е 0.
Пусть теперь а Є (0,2). Как и ранее, рассмотрим замкнутый квадрат Q0:={z: 0 1пф), Не (г) 1}. Положим а := 4 г/а, тогда 0 а 1/2. Определим индукцией по к семейство квадратов {sk,m}m=i со сторонами, параллельными действительной и мнимой осям (к = 0,1,2,...). Пусть so,i :— Qo- После того, как для некоторого к = / — 1 семейство {к,1П} 1=1 уже определено, Обозначим Через 5/,4m-3, Sl,4m-2, Sl,4m-h $1Лт ЧСТЫре замкнутых попарно непересекающихся квадрата, две смежные стороны каждого из которых лежат на смежных сторонах квадрата s/_i.„, и имеют длину а1.
Положим Е — Е {а) := njL0 U =1 s m. Множество Е представляет собой декартово произведение двух линейных множеств канторова типа положительной хаусдорфовой а/2-меры, таким образом, mes" Е 0 (см. [24], Ch.7). Для любого натурального к и т = 1, 2,..., 4к обозначим через qkjTn открытый квадрат с тем же центром, что и у квадрата skjin и сторонами длины (1 — 2а){к-\-l)ak( s+l\ параллельными действительной и мнимой осям. Так как {к + l)aks (к + 1)ак (к + l)/2fc 1 при всех к 1, то 2ак+1 + (1 - 2а)(к + l)a s+1) 2ak+1 + (1- 2а)ак = ак. Следов ательно, замыкание q k,m квадрата qk,m лежит внутри квадрата skj7n и не пересекается с квадратами Sfc+i,4m-3, Sfc+i,4m-2 s +i,4m-i «ifc+i,4m a следовательно и со множеством Е . Положим К = K(a,s) := QQ \ (и 1х Ц =1 qk,m) Покажем, что для любого є 0 ряд Xwli з тТ сходится. Оче видно, что ограниченными компонентами {Gj}JL1 дополнения к компакту К будут квадраты qk,m (к = 1,2,..., m = 1, 2,..., 4к). Следовательно, Nj = 1 для всех натуральных j, и для любого є 0 имеют место равенства f - г Л +Ч = f;4 - ((1 - 2а)(к + 1)а С+1)/2)(1,+,/(,,+1) = і=і А-=1 (1/2 - а)(«+ )/(«+і) (4 - аа) (А; + і) «+ /( +і)а = оо (1/2 - о)(а+)Л-+1) (jfc -f 1)(«+ / +1 а оо. fe=i Докажем, что Е \ OQQ С Е(К, s). Действительно, пусть z Є Е \ dQo.
Тогда для любого натурального к найдется такое число m = m(k,z), что точка z принадлежит замкнутому квадрату s&,m. Рассмотрим последовательность {Ck}kLi — центров квадратов q m соответственно. Имеем p(CbK)\(k-z\-s-1 ((1 -20)( + 1)0 -+ /2).(07 )- 1 (1-2о)( + 1) — оо при /г —у оо. То есть UJS(K, Z) = 00 для любого 2 Є ". По теореме А получаем z Є E(K,s), а так как z $. dq .m Для любого натурального к и m = 1,2,... ,4fc, то z Є -Е7. Таким образом, mesa Е0 mes" Е" 0. Теорема 3.2 доказана полностью.
Теорема 3.3. Пусть К — произвольный компакт в С, ц — произвольная конечная счетно-аддитивная борелевская мера на К. Тогда для любого є 0 существует такой компакт F = F(K, /І, Є) С К, что ц{К \F\ e и E(F, s) = F\fs l.
Доказательство. Для любого натурального числа к обозначим через {Bkj}j такое конечное или счетное -покрытие множества К с 5f. = min{l/4, Є 2 (к+5Ї/fi (К)} открытыми кругами радиусов r j соответственно. Из этого покрытия можно выбрать такое семейство кругов {i\7m},„, что замыкания всех кругов из этого семейства попарно не пересекаются, а СемеЙСТВО {Bkjm}.m ОТКРЫТЫХ КруГОВ Bk,jm, КОНЦеНТрИЧеСКИХ С Bkj и радиусов 3rkj соответственно, представляет собой З -покрытие компакта К (доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы Витали, см. [20], Гл.Ш, 8).
Покажем, что для любых положительных чисел г и є г/2 в произвольном открытом круге D{f) радиуса г можно выбрать не менее г2/(16є2) кругов {Dj(e)}j радиуса є с попарно непересекающимися замыканиями Dj(s). Действительно, пусть в круге D{r) выбрано к r2/(16s2) кругов {DJ(e)}j=.1 с указанными свойствами. Для каждого j = 1,2, ...,к обозначим через Dj(2e) замкнутый круг радиуса 2є, концентрический с Dj(s), а через D(r — є) — открытый круг радиуса г — є, концентрический с D{r). Имеем mes2 D(r - є) - =1 mes2 j(2e) = тг((г - є)2 - Акє2) 7г(г2/4 — Акє2) 0. То есть множество D(r — є) \ \\Jkj=lD j{2e)\ непусто. Выберем произвольную точку z Є D(r — є) \ (Ulj=iDj(2s)J. Обозначим через Dk+\{e) открытый круг радиуса є с центром в точке z. Тогда Dk+i(s) С D(r), Dk+i{s) П (u =1Dj()j = 0. В силу произвольности к r2/(lQe2) получаем требуемое утверждение.
По доказанному, для каждых натуральных чисел к и т в круге Вк т можно выбрать не менее гк1- /16 кругов {Dk,m,i)i радиуса гЛ с попарно непересекающимися замыканиями {гк 5к rkjm rkjjri/2). Поскольку J2iV(КП Dk,m,i) ц{КП Bkjm), то существует такое число /„ = l0(k,т), что ц (К Г) Dk,m,i0) 16rftjm/j (К П Bkjm). Положим Dkj7U = DLmj0.
Пусть F:=K\ {Uk,mDk,m). Имеем fi{K\F) fc w ц (К П Dk,m) Efc Em 16 Ч {КП Bk,jm) , Шкр (K) є Y,k h l е. Пусть также ZQ Є F. Обозначим через (к центр такого круга Dk,m, что круг Bkjm содержит точку ZQ внутри себя. Тогда p(Cfc, F) гк- и \ZQ — С/,-1 Ark_jm. Имеем Итк р((к, F)\zQ - Cfc-(s+1) limbec r /V 1 Hm, 8lk/2-»/4"+1 = со. To есть CJS(F, ZQ) = oo для любого ZQ Є F и для любого 5
