Оптимальные методы приближения функций обобщенными полиномами и всплесками Фарков, Юрий Анатольевич

Поперечники классов функций, голоморфных в шаре и в трубчатых областях

Эта теорема аналогична хорошо известной теореме Гроссмана - Морле (сравните с [12, 2.4] и [24]). Подобная теорема в 3.5 доказана и для интегрального преобразования, определяемого с помощью многочленов Гегенбауэра. Отметим, что при специальном выборе а и b справедливы равенства фа,ь — фь[, и (\Уф/)(а,Ь) = (/, tpjji), так что жесткие фреймы и ортогональные всплесковые базисы в L2(G) можно рассматривать как дискретизации непрерывного всплескового преобразования.

В 3.6 излагается конструкция биортогональных диадических всплесков на М.+ , аналогичная групповой конструкции из 3.1 параграфа для случая р = 2. Показано, что для обработки некоторых изображений построенные в этом параграфе диадические всплески имеют преимущества по сравнению с ортогональными всплесками Хаара, Добеши и биортогональными 9/7 всплесками. Кроме того, в 3.6 приведены примеры кодирования фрактальных функций с помощью периодических всплесков из 3.3. Глава 1. Поперечники и -энтропия некоторых классов аналитических функций

Предварительные сведения о поперечниках и е-энтропии Пусть в линейном нормированном пространстве X задано выпуклое, замкнутое и центрально - симметричное подмножество А и пусть L -подпространство в X. Уклонение А от L (в X) характеризуют величиной d(A, L, X) := sup inf \\х — у\\, тА v L а n-ионеречник по Колмогорову множества Аъ X определяется равенством dn(A,X) := m{d{A,L,X), где нижняя грань берется по всем подпространствам L„ из X размерности п. Линейный (Ап), гельфандовский (сГ) и бернштейновский (Ьп) п-поперечники определяются равенствами где Лп - произвольный линейный оператор ранга не выше п, отображающий X в себя, L" - произвольное подпространство из X коразмерности n, а B(Ln+i) - единичный шар подпространства Ьп+\ С X,dimLn+i = п + 1. Известно, что п-поперечник dn заключен между Ъп и Хп: Ьп(А, X) dn(A, X) АП(Л, X) (1.1) и что поперечник dn обладает аналогичным свойством. Первое неравенство в (1.1) эквивалентно лемме В.М.Тихомирова о поперечнике шара (см., например, [46], [50]). Пусть X, У и Z - нормированные пространства и даны операторы S-.A-+Y, M:DM Z, (1.2) где Dtf - область определения Л/", А С Дд/" С X. Элемент М{х) называют информацией об х, а N называют информационным оператором. Для данного є 0 информация М{х) используется для нахождения є-аппроксимации у — у(х),у Є У, элемента S(x) : у — 5(х) є. Согласно Траубу и Вожьняковскому [51], алгоритмом (в широком смысле) называется любой оператор

Естественно возникают задачи об отыскании оптимального алгоритма /? по данной информации М и задачи об оптимальной информации Л/" для данных А и S (подробности см. в [3], [51]). Пусть Wn(J\f) - класс алгоритмов р, использующих информационный оператор N множество значений размерности не выше п. т.е. Wn{N) := { р : dim(span р(ЛҐ{А)) п] и пусть Wn := \JWn(J\f) - объединение этих классов алгоритмов по всем Я возможным информационным операторам. Тогда (см. [51, с. 183]) inf{e(v?) :tpeWn} = dn(S(A)., Y). (1.3) Таким образом, погрешность любого n-мерного алгоритма не меньше п-поиеречника по Колмогорову множества S(A) в Y. В рамках общей схемы, индуцированной операторами (1.1), два элемента х, х Є А с М{х) = М{х ) неразличимы. Пусть V(x) := А ПЛГ- АГіх)), U(x) := {S(x) : х Є V(x)}, где M 1(z)- полный прообраз элемента z = М(х). Диаметр и радиус произвольного множества С С X определяются равенствами

Если C(X, Cn) - класс всех линейных ограниченных операторов, отображающих X в Сп. то для X = У, Z — Cn, J = (Х,Сп) формула (1.4) определяет линейные п-копоперечники Xn(S(A); X). Эти и другие п-копонеречники (Фурье, Александрова, иредтабличные, ...) применяются в теории оптимального кодирования (см., например, [3], [50], [84]). Нетрудно доказать, что Xn(S(A),X) 2Xn(S(A),X). (1.5)

Пусть А - предкомпактное множество в метрическом пространстве X. Для любого є 0 существует конечная є-сеть для А, т.е. множество С С X такое, что произвольная точка х Є А расположена на расстоянии є от некоторой точки из С. Семейство С\,...,См подмножеств из X является -покрытием множества А, если А С LlJLiCjfc и diam(Ск) 2є {k = l,...,N). Пусть N(A; X) - минимальное число точек в є-сети для А. и N(A) -наименьшее число множеств в е-иокрытии для А. Тогда UM, X) := log2(7V(A, X)) и Н(А) := \og2(N(A)) называются г-энтропией А относительно X и абсолютной с-энтропией А соответственно. Хорошо известен результат А.Г.Витушкина о том, что Н(А) = ЫНЕ(А,Х), (1.6) Л где X пробегает все метрические пространства, содержащие А. Пусть в нормированном пространстве X дано множество С. Если существует точка хо Є X, такая, что sup хо — с (diam (С))/2, сес то XQ называется центром множества С. Если X - центрированное пространство (т.е. любое множество С С X, у которого diam (С) со. имеет центр в X), то rad (С) = (diam(C))/2 и по каждому -покрытию {С/с} множества А можно построить -сеть для А, состоящую из центров множеств {С/;}. В этом случае Не{А)=Не{А,Х). (1.7) Известно, что для любого компакта К пространство С (К) центрировано. Пусть теперь S(A) - компактное множество в У и пусть каждому х Є А информационный оператор Аім сопоставляет слово Тх длины N в бинарном алфавите {0;1}. Тогда таблица слов, т.е. множество Л4 (А), содержит не более 2N элементов и для любого алгоритма (р : Л4 (А) ь- Y погрешность е(ф) указывает точность восстановления элемента S(x) для любого х Є А с помощью соответствующей таблицы данных. Число N называется длиной ЛЛм(А), а длина слова Тх обозначается 1(ТХ). Из определения е-энтронии следует, что для данного є 0 алгоритм с погрешностью е( /?) є существует только в случае, когда длина таблицы удовлетворяет неравенству

О наилучших линейных аппроксимациях функций, аналитических в окрестности нескольких континуумов

Как отмечалось выше, если К = [—1,1], то многочлены {Фп(г)} пропорциональны многочленам Чебышева: Фп(г) = 2Tn(z),n Є N, где Тп(х) = cos(narccosa;) для х Є [—1,1]. В этом случае FPCM применяется для вычисления значений специальных функций (см., например, [3]), а его оптимальность детально исследована А.Г.Витушкиным. В дополнение к этим результатам для случая, когда дК является кривой ограниченного вращения докажем асимптотическую оптимальность FPCM как относительно выбора оператора Fn, так и по объему используемой информации.

Наряду со многими преимуществами полиномиальные разложения, сходящиеся на К, слишком чувствительны по отношению к расположению особых точек: как только некоторая линия уровня Г/? содержит хотя бы одну особенность функции /, ряд Фабераэтой функции расходится в любой точке z Є С \ GR. Другое обстоятельство связано со скоростью сходимости этих рядов на К : порядок их сходимости в равномерной метрике на К определяется местонахождением ближайшей к К особенности и почти не реагирует на расположение области аналитичности / в остальной части плоскости С (подробнее об этом явлении см., например, в 52, с.470]). Таким образом, если Q - произвольная односвязная область, содержащая К. то оптимальный (в смысле линейных и колмогоровских п-поперечников) базис для приближения функций из ВН(}) в метрике С (К) заведомо не будет полиномиальным. Соответсвтующий канонический базис был построен В.Д. Ерохиным ([13], [14]). можно представить в виде суперпозиции Н = F2oFi, где F\ - конформное отображение односвязной области с границей S\ и .F2 - конформное отображение односвязной области с границей S2 = F\(S2) (при этом отображения F\ и F2 единственны с точностью до дробно-линейных подстановок).

Эта лемма и ее обобщения применялись при решении некоторых задач конформных и квазиконформных отображений и при исследовании проблем теории однолистных функций (см. [15], [17], [ПО]). Предположим, что границы Г = дК и С = дП являются замкнутыми жордановыми кривыми. По лемме Ерохина отображение Н представимо в виде суперпозиций H(z) = Q[P{z)]=$[F{z)l ZED, (5.21) со следующими свойствами: 1) функция Р однолистна вне Г, Р(оо) = сю; 2) функция Q однолистна внутри С = Р{С) и конформно отображает intC в 7л; 3) функция F однолистна внутри С; 4) функция Ф однолистна вне П2 — F(T) и конформно отображает ext Г 2 на С \ U при условии Ф(оо) = оо.

Функции Р, Q, F, Ф в (5.21) единственны с точностью до дробно-линейных преобразований; в частности, единственность Р и Q гарантируется нормировкой в окрестности бесконечности функции Р :

Суперпозиции (5.21) получаются с помощью итерационного процесса. состоящего в последовательном отображении на круг специально определяемых односвязных областей. Так, например, для нахождения Р сначала выполняется отображение Римана PQ : ext Г — U и находится образ Со кривой Со — Ро{С) при инверсии относительно Т. Затем выполняется конформное отображение

При этом, если Cn_i — образ кривой Cn_i = Pn__i(C) при инверсии относительно ТГп_1, то /?п— конформное отображение области intCn_i на круг иГп при условиях (рп(0) — 0, (р п(0) = 1. В.Д.Ерохиным [14] доказано, что последовательность {Pn(z)} сходится равномерно на любом компакте из extr, а предел этой последовательности Отображение ги = Q(C) в (5.21) определяется как обратное к отображению = K(R/W), W Є f/д. Действительно, если z Є D и w = H(z). то из предыдущих формул следует, что Q 1(w) — P[H 1(w)] или H(z) = Q[P(z)]. Аналогично получается вторая из суперпозиций (5.21).

Так как Г и С жордановы, все функции в суперпозициях (5.21) непрерывно продолжаются на границы своих областей однолистности (после этого равенства (5.21) сохраняются для z Є D). Напомним, что гармоническая мера UJ(Z;C,D) кривой С относительно D есть функция, гармоническая внутри D, равная 1 на С и равная 0 на Г = dD \ С.

Обозначим через Д(1),Г 1 и С (соотв. через А 2\ Г 2\ С ) образы области D и кривых Г, С при отображении Р (соотв. F). Легко видеть, что

Значит, гармоническая мера и ((; С(1), А(1)) (соотв. w((; Г(2), Д(2))) продолжается гармонически в intr (соотв. в extC ) за исключением одной точки, где она имеет логарифмический полюс. Выведем отсюда следующее утверждение, другим способом доказанное в работе [110].

Пусть G - область, ограниченная жордановым контуром 7! для определенности, пусть G — ext y и пусть v(z) -функция, гармоническая в окрестности j в G, постоянная па 7 и не имеющая критических точек на 7- Тогда существует однолистное отобраэюение w = f(z) области G на внешность некоторого контура 7i такое, что /(со) — со и функция v\{w) — v[f l(w)} продолоісается гармонически на внутренность 71, за исключением одной точки, где она имеет логарифмический полюс.

Пусть Go - область определения функции v и пусть v(z) — с для z Є 7- Так как v не имеет критических точек на j, производная dv/дп отлична от нуля на j, и можно предположить (по принципу максимума), что v(z) с для всех z из некоторой двусвязной области Do С Go, одной из граничных кривых которой является 7- Более того, так как v 7 const, существует є 0 такое, что линия уровня /о := {z : v(z) = с + є] вместе с 7 ограничивает двусвязную область De С Do- Замечая, что и, построив для D суперпозиции вида (5.21), мы найдем (как указано выше) конформное отображение / : ext7 — ext7i, /(со) = со, такое, что функция v\[w) — v[f 1(w)} продолжается гармонически в int7b за исключением одной точки, где v\{w) имеет логарифмический полюс.

Кратномасштабный анализ на группах Виленкина

Характеристическая функция множества Е, расположенного в G, обозначается 1#. В случае Ч — \ц имеем Ч = У? и поэтому для р-ади ческой группы Виленкина формальное применение каждой из теорем 2.1.1 и 2.1.2 дает кратномасштабный анализ Хаара. Как отмечалось в [75], совпадение всплесков Хаара со всплесками Шеннона на группах Кантора и Виленкина связана с тем обстоятельством, что эти группы (как и аддитивная группа поля р-адических чисел) содержат открытые компактные подгруппы.

Импликация (а) =Ф- (Ь) следует из хороню известного свойства систем Рисса [29, Теорема 1.1.2]. Заметим теперь, что / Є Ll(G), так как / имеет компактный носитель и / Є L2{G). Выберем натуральное число п так, чтобы supp / С Ui-n. Согласно предложению 2.2, тогда / Є n-\(G ). Кроме того, если X(h) pn_1, то

Поэтому линейная независимость счетной системы {/( h)\h Є Н} эквивалентна линейной независмости конечной системы {/( /i[aj) а — 0,1,.. . ,рп 1 — 1}. Далее, если некоторый вектор (ао,. . ., ар»-і_і) удовлетворяет условиям не обращается тождественно в ноль; поэтому среди 11 _г s, 0 s рп 1 — 1 существует множество (обозначим его X) такое, что W (X 0 h ) 0 для всех h Є Н1. Поскольку / Є n-\(G ), отсюда видно, что (2.6) верно тогда и только тогда, когда существует множество X — U _ls, X С U , для которого f(X ф /г ) = 0 при всех h Є Н1. Поэтому (Ь)-ФФ (с).

Осталось доказать, что (с) = (а). Предположим, что / не имеет периодических нулей. Тогда функция F(u)= J2 \f(ueh )\2 h eH1 является положительной и Я -периодической на G . Более того, так как / Є n i(G ), то F постоянна на каждом из множеств U _x ь 0 s рп 1 — 1. Следовательно, верно (2.5) и предложение доказано. является КМА в L2(G) (сравните с определением К MA во введении). Если функция Ц генерирует КМА в L2(G), то при каждом j Є Z система { j,h h Є Я} является ортонормированным базисом в V3 и по указанной в 2.1 схеме определяются ортогональные всплески ф\,. . ., фр-\ таким образом, что функции Фі,зАх) = р]/2фі(А х eh), l l p-l,jeZ,heH, образуют ортонормированный базис в L2(G). При р = 2 получается один всплеск ф и система {2 2ф{Аeh)\ j Є Z, /і Є Я} является ортонормированным базисом в L2(G). Согласно предложению 2.1.2, система { /?( Qh) \ h Є Н} ортонормирована в L2(G) тогда и только тогда, когда

В 2.3 даны необходимые и достаточные условия, при которых функция / с компактным носителем генерирует КМ А в L2(G), а 2.4 изложены алгоритмы построения ортогональных всплесков ф\.. . . ,фр-і с компактными носителями на р-адической группе Виленкина. В этом параграфе устанавливаются необходимые и достаточные условия, при которых решения масштабирующих уравнений вида ip(x)=p 2aa p(AxGh[a]) (3.1) генерируют КМ А в L2{G). Для всплесков на вещественной прямой Ж соответствующие условия подробно изложены в книге Добеши (см. 12, 6.3]). В случае р = 2 полученные результаты представляют собой групповые аналоги соответствующих результатов статьи 37, относящихся к всплесковым конструкциям на положительной полупрямой Ш+.

Пусть функция Ч Є L2(G) имеет компактный носитель, удовлетворяет уравнению (3.1) и условию / (#) = 1. Применив преобразование Фурье, из (3.1) получим Цш) = т{В-1и)Ф{В-1и)), (3.2) где P"-I т{и) = Y, а«Щй) (3-3) а=0 - обобщенный полином Уолша, называемый маской уравнения (3.1). Множества c/;e = s- [s,)0B-n(tO. o s Pn-i, (3.4) являются смежными классами группы U по подгруппе B n(U ). Каждая из функций W (-) при 0 а рп — 1 постоянна на множествах (3.4). Коэффициенты масштабирующего уравнения (3.1) связаны со значениями bs маски (3.3) на смежных классах U b прямым и обратным дискретными преобразованиями Виленкина - Крестенсона: Если s рп, то из (3.10) получаем, что р(Ах /i[Q.j) — 0 для п.в. ж Є t/o..s—і- Но тогда, в силу (3.1), (ж) = 0 для п.в. х Є /іо,Л—і, что противоречит выбору s. Поэтому s рп + 1. Пользуясь этим неравенством, для любого а Є {0,1. ... ,рп — 1} из (3.8) и (3.9) получаем Х(Ах Є h[a]) p{s - 1) - (рп - 1) 2(s - 1) - (s - 2) = s. Отсюда как и выше следует, что ф(х) = 0 для п.в. х Є /о.«-ь Поэтому s рп 1 и supp С U\-n. Докажем, что ф иредставима по формуле (3.7). Так как р финитна и принадлежит L2(G), то она принадлежит и Ll{G). Поскольку suppy? С Ui-n, то ф Є Sn-\{G ) (предложение 2.2.2). В силу условия ф{9) = 1 получаем, что ф(ю) = 1 для и Є и _г. С другой стороны, т(ш) = 1 при и Є и _г. Значит, для любого натурального /

Периодические всплесковые р-адические базисы

В этом параграфе, как в 2.1, всплеск ф может быть с некомпактным носителем. Будем говорить, что ортогональный всплеск ф в L2(G) регулярен, если существуют положительные константы є, с, С такие, что

Отметим, что если ф имеет компактный носитель, то условия регулярности (6.1) и (6.2) можно заменить одним условием Например, всплеск Хаара на группе G и всплеск ф из примера 2.4.2 при \Ь\ 1/2 регулярны Кроме того, если в примере 2.4.3 мы имеем а 1 (в ряде случаев это условие можно обеспечить с помощью теоремы 2.5.1), то соответствующий всплеск ф регулярен.

Хорошо известно, что всплесковые разложения сходятся безусловно в пространствах Н1 (R) и Lp (R) (1 р оо). При доказательстве этого факта Ивом Мейером [115] было замечено, что соответствующий всплесковым разложениям интегральный оператор является сингулярным интегральным оператором Кальдерона-Зигмунда типа (1,1) откуда по интерполяционной теореме Марциикевича следует, что этот оператор ограничен в Lp (№.) (1 р со). Используя технику Мейера, Лэнг [112] доказал следующую теорему.

Пусть ф - ортогональный всплеск в L2{G), имеющий компактный носитель и ассоциированный с решением Ц уточняющего уравнения (5.2). Предполоэюим, что ф удовлетворяет условию регулярности (6.3). Тогда определяемые по ф всплесковые разложения сходятся безусловно в № (G) для всех 1 р со.

В этом параграфе доказывается следующая Пусть ф - ортогональный всплеск в L2{G). Предполоэюим, что ф удовлетворяет условиям регулярности (6.1) и (6.2). Тогда определяемые по ф всплесковые разлооїсения сходятся безусловно в диадическом пространстве Харди Н1 (G) . Напомним определение пространства Н1 (G). Обозначим через D семейство множеств Ui,s = A-l{(h[a]U), lei, seN 163 и будем называть элементы этого семейства двоичными интервалами в G. Ограниченая измеримая функция а называется атомом, если существует интервал Q Є D такой, что / а(х) dfi(x) = 0, ЦаЦ [yu(Q)]"1 и supp (а) С Q. Будем говорить, что функция / Є L\ (G) принадлежит диадическому пространству Харди Н1 (G), если существуют атомы а3 (х) и числа Л такие, что оо оо Норма /Яі определяется как точная нижняя грань величин Yl 1 1 соответствующим всем возможным атомическим разложениям функции /.

Докажем, что существует константа С, не зависящая от в и / Є Я1, такая, что ЦТ /Ця» СЦ/Ця1- Из определения пространства Я1 видно, что теорема 2.6.2 будет доказана, если для любого диадического атома а будет установлено неравенство

В этом параграфе через L2.(G) обозначается множество 1/2-функций с компактными носителями на р-адической группе Виленкина G. Будут использоваться также введенные ранее обозначения А, В, U, U , G , Я, 5і, A, h\a\ и U s. Напомним, что множества U s являются смежными классами группы U по подгруппе B n(U ).

Функцию V? Є L2C(G) называют масштабирующей функцией, если она удовлетворяет уравнению вида РП-\ р(х) = р Y ап(р(Ах Q h[a]), xeG, (1.1) а=0 где а0 - некоторые комплексные коэффициенты. Функциональное уравнение (1.1) называется масштабирующим уравнением. Применяя преобразование Фурье, можем записать это уравнение в виде Ци) = т(В-1ш)Ф{В-1ш), и EG , (1.2) где РП-\ т{ьо) = J2 aaW {uj) (1.3) с =0 - обобщенный полином Уолша, называемый маской масштабирующей функции (р. Как отмечалось в 2.3, коэффициенты масштабирующего уравнения (1.1) связаны со значениями bs маски (1.3) на классах U s прямым и обратным дискретными преобразованиями Виленкина - Крестенсона: (в этом случае семейство {Vj} является КМА с базисом Рисса в L2(G); см. введение). Это определение равносильно данному в 2.2, где предполагалось, что система Я-сдвигов функции /? является ортонормированной системой в L2{G).

В 2.4 доказано, что для произвольных р,п Є N,p 2, существуют коэффициенты аа такие, что масштабирующее уравнение (1.1) имеет решение (р Є L2(G), которое является суммой лакунарного ряда по обобщенным функциям Уолша и порождает КМА в L2(G). Более того, по каждой масштабирующей функции , порождающей КМА в L2(G), могут быть построены решением ортогональные всплески т/А1),.. . , Т/ДР-1) таким образом, что функции образуют ортонормированный базис в L2(G). Напомним также, что если функция V Є L2(G) является масштабирующего уравнения (1.1), маска которого удовлетворяет условиям

Похожие диссертации на Оптимальные методы приближения функций обобщенными полиномами и всплесками

Аппроксимативные свойства линейных конечномерных методов формосохраняющего приближения дифференцируемых функцийСидоров Сергей Петрович

Приближение (пси, бета)-дифференцируемых функций операторами, порождаемыми прямоугольными А-методами суммирования рядов и интегралов ФурьеХаркевич, Юрий Илиодорович

Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов Lip_m a Коган Евгения Семеновна

Приближение аналитических функций полиномами в заданной областиМурадов, Вагиф Мехман оглы

Приближение функций суммами Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномамСандакова Светлана Леонидовна

Приближение тригонометрическими полиномами и поперечники классов периодических функций Кушпель Александр Константинович

О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномамиКосухин Олег Николаевич

Спектральные задачи для приближений уравнения переноса методом сферических гармоникТемирбулатов, Нурлан Сериккалиевич

Приближения в геометрии и анализе : орторекурсивные и синтетические методыСловеснов Александр Викторович

Методы суммирования рядов Фурье-Якоби и некоторые вопросы теории приближенийВагабов, Ибрагим Алиевич