Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Многозначные отображения и измеримые многозначные отображения Z3
1.1. Многозначные отображения 23
1. Многозначные отображения из одного множества в другое 23
2. Многозначные отображения из одного топологического пространства в другое 26
3. Метрика Хаусдорфа
4. Мера некомпактности Куратовского и сгущающее отображение 32
1.2. Измеримые многозначные отображения 33
1. Определения и элементарные свойства.
2. Соотношение между различными определениями измеримости 39
3. Теоремы об измеримом выборе 40
ГЛАВА II. Неподвижная точка многозначных отображений . 44
2.1. Отображения в субсимметризуемом пространстве 44
2.2. Отображения типа Эдельштейна в метрическом пространстве 54
2.3. Отображения нигде не удовлетворяющие внешним нормальным граничным условиям 63
1. Случай банахова пространства 63
2. Проекция в гильбертовом пространстве.
3. Случай гильбертова пространства 68
ГЛАВА III. Случайная неподвижная точка многозначных отображений 74
3.1. Определения и вспомогательные результаты 74.
3.2. Случайная неподвижная точка непрерывных отображений
3.3. Случайная неподвижная точка полунепрерывных сверху отображений
3.4. Случайная неподвижная точка для отображений без условия непрерывности . 25
Литература
- Многозначные отображения из одного топологического пространства в другое
- Соотношение между различными определениями измеримости
- Отображения типа Эдельштейна в метрическом пространстве
- Случайная неподвижная точка для отображений без условия непрерывности
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена неподвижным точкам многозначных отображений - обычных и случайных.
Всем известна та значительная роль, которую играют в анализе принципы неподвижной точки, скажем, теорема о неподвижной точке Брауэра и принцип сжимающих отображений Банаха. На них основано огромное число теорем существования - в линейной алгебре, математическом анализе, теории дифференциальных уравнений и т.п.
С момента появления первых общих теорем о неподвижных точках стала расширяться область их применимости (Лере, Шаудэра, Тихонов и т.п.). Затем эти результаты были распространены на многозначный случай (Какутани, Ки Фан, Гальперн, Надлер и др.). Сравнительно недавно появился новый объект исследования - "случайные неподвижные точки" (Щпасек, Ханс, Боксан, Рейд, Энгль, Итог, Мукериа и др.).
Целью настоящей работы является доказательство существования неподвижных точек для многозначных отображений множеств при возможно более слабых условиях на множество и отображение.
Работа содержит 9 параграфов и разбита на 3 главы. Первая глава носит предварительный характер. Основные результаты диссертации содержатся в двух последующих главах.
В первой главе изложены необходимые сведения о многозначных и измеримых многозначных отображениях. В I.I сначала дается определение многозначных отображений без топологии, а затем рассматриваются многозначные отображения топологических пространств.
Пусть г : X. —*- Z - многозначное отображение из
топологического пространства J[ в топологическое пространство у . Мы говорим, что і полунепрерывно снизу в точке эоа Л. і если Для любого открытого множества GCL У » для которого f~jcQ \\(ЗфФі существует окрестность \J(jcQ\ точки %о такая, что рх Г] G" ф Ф для всех *~Um» Мы говорим, что F полунепрерывно сверху в хо , если для любого открытого множества G » содержащего рх і существует окрестность U(*o) гакая» Ч1 Є \JCx0) ==> Fjc CZ Gr.
p называется непрерывным в xQ , если оно одновременно полунепрерывно сверху и снизу в х0 .
F называется полунепрерывным снизу (полунепрерывным сверху, непрерывным), если оно полунепрерывно снизу (полунепрерывно сверху, непрерывно) во всех точках пространства X
Пусть (X,v - метрическое пространство. Через ClAJ и
обозначим семейство всех непустых замкнутых подмно
жеств X и семейство всех непустых замкнутых ограниченных
подмножеств X" соответственно. Для положим:
«1С*, В) = *г/Ы&,*):у В],
7(А>&) = т«х{сІСА,&),А(3,А)}.
Хорошо известно, что является метричес-
ким пространством.
Пусть л - банахово пространство, - семейство всех
ограниченных подмножеств в X . Мера некомпактности Куратовско-го о< : q [XJ —*- К определяется следующим образом:
Определение. Пусть ССХ. Отображение F : С — * называется сгущающим, если o((FA) ^ ( (А) для всех ограниченных, но не вполне ограниченных множеств А СГ С.
1.2 посвящен измеримым многозначным отображениям.
Измеримое пространство, по определению, есть пара(|Р27/ есть множество, а 27 - некоторая (Г- алгебра подмножеств множества Q.
Положительная мера At , определенная на
динения счетного числа множеств конечной меры. ^Z называет
ся А-полной, если из &CZ А и J*-(n)~0 следует 6< 23
и мСо)-0 . Измеримое пространство (і сг 2у<у называет
ся полным, если м- С- конечна а 22л А- полна. В этом
случае будем говорить, что ь с полно.
Пусть (X, Л) - ыегрическое пространство. Множество А CZ [X, d) называется полным, если (па) является полным метрическим пространством.
Определение. Многозначное отображение р из измеримого пространства /, 2 2Z ) в топологическое пространство X называется измеримым (слабо измеримым), если для любого замкнутого (соответственно, открытого) множества В множество
F"(B) = -. F^HB фф]
принадлежит
Теорема Куратовского - Рилл надзевского (I.I9). Пусть X - сепарабельное метрическое пространство, (X Д 2J/ - измеримое пространство, р : ь сг —» <2 - многозначное слабо измеримое отображение с образами, являющимися полными множествами. Тогда F имеет измеримое сечение, т.е. существует однозначное измеримое отображение & такое, что &(«->) Fco
ДЛЯ ВСЄХ to
Пусть А\ подмножество в линейном топологическом пространстве. Через со А и ctcoA обозначим выпуклую оболочку А и выпуклое замыкание А
Через jq обозначим борелевскую б1 - алгебру подмножеств в топологическом пространстве X » а через ZI JJ -наименьшую б*- алгебру подмножеств в LJkX , содержащую все множества вида Л* В » л Z7» Р^Л
Пусть р - многозначное отображение из множества X во множество / . Множество | (У,**.) Є X. * У: ї 6 Fjc| называется графиком отображения р и обозначается через Grp
Теорема Ауманна (I.2I). Пусть конечно, Х-борелевское множество в сепарабельном метрическом пространстве, F : Q —* кХ_ - отображение с измеримым графиком: Gr F 6 23 J5 Тогда существует измеримая функция -f : ь«? —> А такая, что jfa) в р*> для всех о* бь*г за исключением множества меры нуль.
Переходим к формулировке основных результатов диссертации.
Многозначные отображения из одного топологического пространства в другое
Отметим, что здесь не требуется условие непрерывности р. В 2.2 показано, что класс отображений, удовлетворяющих условиям теоремы 2 строго шире, чем класс, исследованный Сириком. Показано также, что утверждение теоремы 2 неверно, если заменить 9-« на единицу. 2.3 посвящен неподвижным точкам многозначных отображений в линейных топологических пространствах. Фундаментальным результатом в этом направлении является теорема Тихонова - Каку тани - Ки Фана, которая утверждает, что каждое полунепрерывное сверху отображение из выпуклого компактного множества локально выпуклого пространства с непустыми выпуклыми замкнутыми значениями в этом же множестве имеет неподвижную точку. Различные обобщения этой теоремы можно найти в работах [із] , [22] 23) , [35] . Обычно рассматриваются замкнутое выпуклое множество С в линейном топологическом пространстве и полунепрерывное сверху отображение F ; С — Z Для гарантии существования неподвижных точек F даются ограничения на множество С , на пространство JC » на образ FC і а также на образы F от точек на границе множества С в этом паріїграфе получены некоторые результаты для отображений, нигде не удовлетворяющих внешним нормальным граничным условиям в банаховых и гильбертовых пространствах, содержащие, для этих пространств, теорему Тихонова-Какутани-Ки Фана. Один результат такого рода был получен Гальперном фактически для лишь конечномерных пространств (см. Г23] , геор. 20, 24).
Норма II /І в пространстве X называется строго выпуклой, если никакой открытый отрезок единичного шара не пересекает единичной сферы. Пространство со строго выпуклой нормой называется строго выпуклым пространством. Мы говорим, что пространство X обладает свойством (Н/$ если из Хк - зс и 11д:к — х 1 следует дск - эс __ . о . Пусть С - непустое замкнутое выпуклое множество в банаховом пространстве Jf. Через jlr обозначим проекцию на С» Через С обозначим алгебраическую границу О , т.е. \С = { szeC:J #бХ, я + Лу Спри всех Д о]. Множество Ж-» :с) = I w Є X ЖҐ»(Ч) } называется нормальным внешним множеством множества С в точке SC . Определение 2.19. Отображение р: С— - Z называется нигде не удовлетворяющим внешним нормальным граничным условиям, если для всех х Є 9аС имеет место Обозначим класс всех таких отображений через j . Пусть С - непустое замкнутое выпуклое множество в рефлексивном строго выпуклом банаховом пространстве, F: С — " полунепрерывное сверху многозначное отображение с непустыми замкнутыми выпуклыми значениями. Предположим, что 2) Образ FC относительно компактен. Тогда, если С компактно или X обладает свойством (\ \) » то F имеет неподвижную точку. Далее, рассмотрим случай гильбертова пространства. Впервые введен комплексный конус для всех vt Cj . Доказано, что совпадают. Теорема 4 (2.26). Пусть С- - непустое замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве X , р . Q -Л нерастягивающее отображение с непустыми компактными значениями. Предположим, что I) FC ограничено л Тогда р имеет неподвижную точку. Глава Ш посвящена случайным неподвижным точкам многозначных случайных отображений. Пусть (ъ с? 22 ) - измеримое пространство, Х топологическое пространство, Q - некоторое множество в X и F : Q к С — 2 - многозначное отображение. Ставится вопрос, при каких условиях существует измеримая функция X (со) такая, что #(со) Є F(u , («»)) для всех со Если такая функция #( /) существует, то она называется случайной неподвижной точкой р . Таким образом, если р имеет случайную неподвижную точку, то F(cu.,») должно иметь неподвижную точку. Поэтому для каждой теоремы о неподвижной точке естественно ставится вопрос существует ли случайная неподвижная точка, если рассматриваемое в теореме отображение зависит еще от случайного параметра to . В [24] Ханс получил случайный вид принципа сжимающих отображений Банаха. В [33] Му-кериа и Рейд получили случайный вид теоремы Шаудера [39] . Эти результаты играют важную роль в исследовании случайных интегральных уравнений Вольтера, Фредгольма, Урысона. В [27] Итот доказал существование случайной неподвижной точки для случайных многозначных сжимающих отображений. Ряд вопросов о случайных неподвижных точках был поставлен и обсужден в обзорной статье [37] .
Соотношение между различными определениями измеримости
Значит, отображение Gr имеет измеримый график. Нетрудно видеть, что Gr принимает замкнутые и поэтому полные, значения. По I.I8 Сг измеримо. Далее, по I.I9 Gr имеет измеримое сечение х(ь ) . Очевидно, х(ш) является измеримой неподвижной точкой для f- . Теорема доказана.
Мы заметим, что во многих теоремах о неподвижной точке рассматриваются непрерывные отображения. Поэтому теорема З.б позволяет сразу сформулировать случайный вид этих теорем. В частности, из теоремы З.б можно получить случайный вид результатов Эдельштейна, Сегала, Шмидсона... Сюда относится также теорема 2.26, где рассматривается нерастягивающее отображение. Из этой теоремы следует результат в [27] , где рассматривается случайная неподвижная точка для сжимающего отображения.
Теорема 3.7. Пусть д- рефлексивное банахово пространство, С : Ь с — СС1Х1 " сепарабельное отображение, F : Gr С — полунепрерывный сверху случайный оператор с непустыми замкнутыми выпуклыми значениями. Предположим, что 1) для всякого фиксированного Со 6 , отображение рСю .) 2) г(Ц Сс д) относительно компактно, 3) либо X обладает свойством (Н/ » либо С ) компактно для всякого t О. Тогда г имеет измеримую неподвижную точку.
Доказательство. Определим отображение Ц как в предложении 3.5. Тогда П также является полунепрерывным сверху случайным оператором и Л измеримо по обеим переменным (предложение 3.5). Так как Н& х)СГ F6 ,x) Для всех (c»jx) GrC , ю ясно, что для любого фиксированного to 6 ъ сг отображение \1(ш, ) нигде не удовлетворяет внешним нормальным граничным условиям. Теорема 2.21 применима к rl(fv) » из нее следует, что множество неподвижных точек GM отображения П »,.) непусто. Мы имеем :
Из того, что n(w..) полунепрерывно сверху и принимает замкнутые значения, нетрудно видеть, что при всех w Q(ui) замкнуто. Итак, отображение G имеет измеримый график и принимает значения, являющиеся полными множествами. По I.I8 Соизмеримо. Далее, по I.I9 G имеет измеримое сечение ( ) . Ясно, что х(и ) является измеримой неподвижной точкой для р. Пусть JL - сепарабельное гильбертово пространство, С - такое же, как в предыдущей теореме, f,GrС-+ полунепрерывный сверху случайный оператор с непустыми выпуклыми компактными значениями. Предположим, что для всякого wb cr
Тогда р имеет измеримую неподвижную точку. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству предыдущей теоремы, только вместо теоремы 2.21 следует воспользоваться теоремой 2.25.
Замечание. Рассмотренное в доказательстве предыдущих теорем отображение Г/ совпадает с F в случае, когда F ( ,.) непрерывно. В случае полунепрерывности сверху Ff y) очевидно, что верно только включение r1( ; )CZ F(w/ ) Поэтому неподвижная точка отображения F6 y) может не быть неподвижной точкой для П( у) Это объясняет почему здесь мы не имеем общий результат как в случае непрерывности F yO
По-видимому, теорема З.б перестает быть верной, если вместо непрерывности г(ъ) ) потребовать полунепрерывность№/) сверху. Вообще наш метод применим там, где переход oi F к Г/ сохраняет все свойства, требуемые для существования неподвижной точки для Ffv) Такие свойства F как полунепрерывноеть сверху, выпуклость, компактность и непустота образов f( ,x) , а также удовлетворение граничным условиям вида F ( ) С K(v)X:) сохраняются при переходе от F к Н В теореме З.б непрерывность F6; ) используется только для доказательства измеримости F по обеим переменным, а замкнутость множества неподвижных точек верна и для случая полунепрерывности F(" j»). Поэтому мы имеем следующее утверждение. Теорема 3.9. Пусть А - полное сепарабельное метрическое пространство,
Отображения типа Эдельштейна в метрическом пространстве
Значит, отображение Gr имеет измеримый график. Нетрудно видеть, что Gr принимает замкнутые и поэтому полные, значения. По I.I8 Сг измеримо. Далее, по I.I9 Gr имеет измеримое сечение х(ь ) . Очевидно, х(ш) является измеримой неподвижной точкой для f- . Теорема доказана.
Мы заметим, что во многих теоремах о неподвижной точке рассматриваются непрерывные отображения. Поэтому теорема З.б позволяет сразу сформулировать случайный вид этих теорем. В частности, из теоремы З.б можно получить случайный вид результатов Эдельштейна, Сегала, Шмидсона... Сюда относится также теорема 2.26, где рассматривается нерастягивающее отображение. Из этой теоремы следует результат в [27] , где рассматривается случайная неподвижная точка для сжимающего отображения.
Пусть д- рефлексивное банахово пространство, С : Ь с — сепарабельное отображение, F : Gr С — полунепрерывный сверху случайный оператор с непустыми замкнутыми выпуклыми значениями. Предположим, что 1) для всякого фиксированного Со 6 , отображение рСю .) 2) г(Ц Сс д) относительно компактно, 3) либо X обладает свойством (Н/ » либо С ) компактно для всякого t О. Тогда г имеет измеримую неподвижную точку. Доказательство. Определим отображение Ц как в предложении 3.5. Тогда П также является полунепрерывным сверху случайным оператором и Л измеримо по обеим переменным (предложение 3.5). Так как Н& х)СГ F6 ,x) Для всех (c»jx) GrC , ю ясно, что для любого фиксированного to 6 ъ сг отображение \1(ш, ) нигде не удовлетворяет внешним нормальным граничным условиям. Теорема 2.21 применима к rl(fv) » из нее следует, что множество неподвижных точек GM отображения П »,.) непусто. Мы имеем : Из того, что n(w..) полунепрерывно сверху и принимает замкнутые значения, нетрудно видеть, что при всех w Q(ui) замкнуто. Итак, отображение G имеет измеримый график и принимает значения, являющиеся полными множествами. По I.I8 Соизмеримо. Далее, по I.I9 G имеет измеримое сечение ( ) Доказательство. Рассмотрим р, : сСсогС —+ 2, определенное следующим образом: rj[ как композиция двух полунепрерывных сверху отображений является также полунепрерывным сверху и принимает непустые компактные выпуклые значения. Далее, F± является сгущающим.Действительно, пусть и - ограниченное множество в ctcopQ , но не вполне ограниченное. Мы должны доказать, что (( В) Так как «7//-» является нерасширяющим, мы имеем Рассмотрим случай, когда = О . Тогда вполне ограничено и поэтому aWnC&) компактно. В силу полунепрерывности сверху р , р(с сЛ СВ)/ компактно (1.8). Следовательно, f C "cCE )) вполне ограничено, т.е. Ы(р(Щ-(Ёш) - О и мы имеем oC(F (3)) (В). Таким образом, f удовлетворяет всем условиям теоремы 4.1 в [35] и поэтому имеет неподвижную точку х Є \\ X Покажем, чю 6"С . Предположим противное, чтоз фС . Тогда 9U С ) G С и Є \L (JRQ ( )) . Это противоречит условию 2 теоремы. Значит « Є Q и и имеем Известно, что нерастягивающее отображение слабо компактного множества банахова пространства в себя не обязательно имеет неподвижную точку (см. [l9j стр. 35, пример 7.I4-). Для гильбертова пространства мы имеем следующее. Теорема 2.26. Пусть О - непустое замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве Л , Г С — 2 нерастягивающее отображение с непустыми компактными выпуклыми значениями. Предположим, что I) FC ограничено, Тогда F имеет неподвижную точку. л п Доказательство. Рассмотрим р .- сССОгС » 2 » определенное следующим образом: р (ос) - р (Щ (х)) . Так как J\Q - однозначное и нерастягивающее отображение, а F- нерастягивающее по предположению, F. является нерастягиваю-щим отображением в слабо компактном выпуклом множестве cfcoFC По теореме 5.4 в [ 35J f имеет неподвижную точкуд бр . В силу условия 2) заключаем, что С и является неподвижной точкой F . Теорема доказана. Отметим, что в теоремах 2.25, 2.26 мы вынуждены использовать нерастягиваемость проекции 5I% . В банаховом пространстве ср— Сявляется) Jlr не всегдаїнерастягивающей даже при компактном выпуклом О Она не является инвариантной относительно замены нормы на эквивалентную. Это иллюстрируется следующим примером. Пример 2.27. Рассмотрим в к единичный шар В является компактным выпуклым множеством во всех нормах. Рассмотрим две —-;—- —— 9- H . Таким образом d_ не явля ется нерастягивающим отображением. . Ясно, что х(и ) является измеримой неподвижной точкой для р. Теорема доказана. Теорема 3.8. Пусть JL - сепарабельное гильбертово пространство, С - такое же, как в предыдущей теореме, f,GrС-+ полунепрерывный сверху случайный оператор с непустыми выпуклыми компактными значениями. Предположим, что для всякого wb cr Тогда р имеет измеримую неподвижную точку. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству предыдущей теоремы, только вместо теоремы 2.21 следует воспользоваться теоремой 2.25. Замечание. Рассмотренное в доказательстве предыдущих теорем отображение Г/ совпадает с F в случае, когда F ( ,.) непрерывно. В случае полунепрерывности сверху Ff y) очевидно, что верно только включение r1( ; )CZ F(w/ ) Поэтому неподвижная точка отображения F6 y) может не быть неподвижной точкой для П( у) Это объясняет почему здесь мы не имеем общий результат как в случае непрерывности F yO По-видимому, теорема З.б перестает быть верной, если вместо непрерывности г(ъ) ) потребовать полунепрерывность№/) сверху. Вообще наш метод применим там, где переход oi F к Г/ сохраняет все свойства, требуемые для существования неподвижной точки для Ffv) Такие свойства F как полунепрерывноеть сверху, выпуклость, компактность и непустота образов f( ,x) , а также удовлетворение граничным условиям вида F ( ) С K(v)X:) сохраняются при переходе от F к Н В теореме З.б непрерывность F6; ) используется только для доказательства измеримости F по обеим переменным, а замкнутость множества неподвижных точек верна и для случая полунепрерывности F(" j»). Поэтому мы имеем следующее утверждение. Теорема 3.9. Пусть А - полное сепарабельное метрическое пространство, С :Q- СІХ] сепарабельно, F : GrC — С LAJ- случайный
Случайная неподвижная точка для отображений без условия непрерывности
Мы уже установили (Предложение 3.4), что если г непрерывно по и измеримо по , то Г измеримо по обеим переменным. Благодаря этому, для непрерывных отображений мы имеем следующий общий результат, утверждающий, что из существования обычной неподвижной точки следует существование случайной неподвижной точки. пространство, L а с — С[Х] сепарабельно, р : G C - случайный непрерывный оператор. Предположим, что для всякого си ь с отображение Г («у) имеет неподвижную точку. Тогда F имеет измеримую неподвижную точку, т.е. существует измеримая функция Х(ш) , такая, что М є Fifojtfa)) для всех о і Ь р .
Доказательство. По предложению 3.4 г измеримо по обеим переменным. Обозначим множество неподвижных точек Г (со . ) через От[ои) . По предположению теоремы Ст(ь )ф ф . Значит, отображение Gr имеет измеримый график. Нетрудно видеть, что Gr принимает замкнутые и поэтому полные, значения. По I.I8 Сг измеримо. Далее, по I.I9 Gr имеет измеримое сечение х(ь ) . Очевидно, х(ш) является измеримой неподвижной точкой для f- . Теорема доказана.
Мы заметим, что во многих теоремах о неподвижной точке рассматриваются непрерывные отображения. Поэтому теорема З.б позволяет сразу сформулировать случайный вид этих теорем. В частности, из теоремы З.б можно получить случайный вид результатов Эдельштейна, Сегала, Шмидсона... Сюда относится также теорема 2.26, где рассматривается нерастягивающее отображение. Из этой теоремы следует результат в [27] , где рассматривается случайная неподвижная точка для сжимающего отображения.
Пусть д- рефлексивное банахово пространство, С : Ь с СС1Х1 " сепарабельное отображение, F : Gr С — полунепрерывный сверху случайный оператор с непустыми замкнутыми выпуклыми значениями. Предположим, что 1) для всякого фиксированного Со 6 2) г(Ц Сс д) относительно компактно, 3) либо X обладает свойством (Н/ » либо С ) компактно для всякого t О. Тогда г имеет измеримую неподвижную точку. Доказательство. Определим отображение Ц как в предложении 3.5. Тогда П также является полунепрерывным сверху случайным оператором и Л измеримо по обеим переменным (предложение 3.5). Так как Н& х)СГ F6 ,x) Для всех (c»jx) GrC , ю ясно, что для любого фиксированного to 6 ъ сг отображение \1(ш, ) нигде не удовлетворяет внешним нормальным граничным условиям. Теорема 2.21 применима к rl(fv) » из нее следует, что множество неподвижных точек GM отображения П »,.) непусто. Мы имеем : Из того, что n(w..) полунепрерывно сверху и принимает замкнутые значения, нетрудно видеть, что при всех w Q(ui) замкнуто. Итак, отображение G имеет измеримый график и принимает значения, являющиеся полными множествами. По I.I8 Соизмеримо. Далее, по I.I9 G имеет измеримое сечение ( ) . Ясно, что х(и ) является измеримой неподвижной точкой для р. Теорема доказана. Теорема 3.8. Пусть JL - сепарабельное гильбертово пространство, С - такое же, как в предыдущей теореме, f,GrС-+ полунепрерывный сверху случайный оператор с непустыми выпуклыми компактными значениями. Предположим, что для всякого wb cr 1) F6 ,.) : СМ — &сгущающее, 2) FCoO) См) ограничено, Тогда р имеет измеримую неподвижную точку. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству предыдущей теоремы, только вместо теоремы 2.21 следует воспользоваться теоремой 2.25. Замечание. Рассмотренное в доказательстве предыдущих теорем отображение Г/ совпадает с F в случае, когда F ( ,.) непрерывно. В случае полунепрерывности сверху Ff y) очевидно, что верно только включение r1( ; )CZ F(w/ ) Поэтому неподвижная точка отображения F6 y) может не быть неподвижной точкой для П( у) Это объясняет почему здесь мы не имеем общий результат как в случае непрерывности F yO По-видимому, теорема З.б перестает быть верной, если вместо непрерывности г(ъ) ) потребовать полунепрерывность№/) сверху. Вообще наш метод применим там, где переход oi F к Г/ сохраняет все свойства, требуемые для существования неподвижной точки для Ffv) Такие свойства F как полунепрерывноеть сверху, выпуклость, компактность и непустота образов f( ,x) , а также удовлетворение граничным условиям вида Ffr», ) /1 to CL\x] , f=(«.,x) Л Кб-, ) - ф, F ( ) С K(v)X:) сохраняются при переходе от F к Н В теореме З.б непрерывность F6; ) используется только для доказательства измеримости F по обеим переменным, а замкнутость множества неподвижных точек верна и для случая полунепрерывности F(" j»). Поэтому мы имеем следующее утверждение.
