Содержание к диссертации
стр.
Список обозначении. ... 3
ВВЕДЕНИЕ 5
0. Предварительные сведения ' 13
ГЛАВА I
МЕРЫ НЕЕШУКЛОСТИ И ЧЕШШЕВСКИЕ РАДИУСЫ
I. Мери невыпуклости множеств 17
2. Оценка чебышевского радиуса множеств в гильбертовом
пространстве 21
ГЛАВА 2
ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
3. Две теоремы о неподвижной точке 27
4. Отображения, уменьшающие меру невыпуклости .... 34 5. Приложение к нелинейным интегральным уравнениям. . 39
Г Л А В А 3
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК В ГИШЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
6. Условия типа Роте 46
7. Условие Фрум - Кеткова 54
8. Отображения, направленные внутрь 58
9. Минимальное перемещение 78
ЛИТЕРАТУРА 88
Список обозначений
пустое множество;
множество натуральных чисел; Ц( - множество вещественных чисел;
[j? - множество неотрицательных вещественных чисел;
ю^ - (Ту-мерное вещественное евклидово пространство;
и - вещественное гильбертово пространство;
У - вещественное линейное нормированное пространство с нормой |Г II ; dim /\ - размерность пространства д ;
g - произвольное непустое ограниченное выпуклое и замкнутое подмножество А ;
V(*>V = l^X : < X};
Мах) = {?е=Х ' "2 -~Л( ^ г};
J(x.'c) = {у^Л И у -ЛИ = Т};
Шгг семейство всех ограниченных подмножеств множества
/UX;
Д - замыкание множества г\ в нормированной топологии;
Д - замыкание множества Д в слабой топологии;
Ік-іД - внутренность множества А в нормированной топологии;
З/) = /4 /1/Хч/4)~ гРашща множества /\ ; Со/\ - выпуклая оболочка множества А ; сд/\ - замкнутая выпуклая оболочка множества А ;
1В] ~ { А <- Ь * А ~ А > СОп = В } ~ база множества
А(х>/1) = ikfjl * "" ^-11 - расстояние от точки X до множест-
ва Л ; [/^ Д)= tKf || X -Ч-Ц - расстояние между множествами /\
' *Е#А и Е ; а(Д)=^иМ1х-у|| _ диаметр множества /\ ;
&С(/\) - g и Р Л Ы> А) ~ ые^а невыпуклости Старра множества лесоД Д .
^ (п)~ ^4 5^б " * ~~$ " ~ чебышевский радиус множества А ;
Г(А\ = 1 хеХ ' ьи-Их-^Н-^ (/))}- чебышевский центр множества
А ; (7<,ч) = {/+і(у-х); о<"Ь^1} - интервал с концами в X, # 6 A j
0,] ={х+іЧ'Х); (K-Ul} - полуинтервал;
tx,*j={x+-fc(*~xJ;ofc&i} - отрезок
(*,y}=4x+t4f-xjy' 0^+~i- луч.
Введение к работе
Теория неподвижных точек нерастягивающих отображений в линейных нормированных пространствах, - сравнительно новая область нелинейного функционального анализа,-в последние годы привлекает внимание многих математиков своими глубокими связями с геометрией нормированных пространств и нелинейной эргоди-ческой теорией (см. обширную библиографию в [б] , [27] , [29] , [31] , [33] ).
Хотя отдельные результаты по нерастягивающим отображениям появлялись и раньше, активные исследования в этой области начались после работ Браудера [іб] , Геде [24] и Кирка [25] 1965 года.
Очертим кщг задач, которые рассматриваются в нашей работе.
Пусть д равномерно выпуклое банахово пространство, р с д и j-; В ~"/\ нерастягивающее отображение. Тогда известно, что | имеет неподвижную точку, если выполнено любое из следующих условий:
|(В) с В (теорема Браудера - Геде - Кирка [іб] , [24J, І25] );
K9B)C В (теорема Кирка [2б] );
3) (Л, f (х)] Г) ft Ф ф для всякого X б (теорема Райха
[31] ).
Возникает вопрос: будет ли отображение J: > —^ /\ иметь неподвижную точку, если в условиях 1),2) и 3) множество В заменить некоторым произвольным множеством л ^ LP J ?
Рассмотрим несколько иную ситуацию. Пусть h невыпуклое ограниченное и замкнутое подмножество равномерно выпуклого банахова пространства Д и f ' L ~~^ А нерастягивающее отоб-
ражение. Понятно, что f уже не обязано иметь неподвижную точку, даже если J (Е) с Ё Тогда представляет интерес проанализировать, как влияют на наличие неподвижной точки у отображения f
а) те или иные аппроксимативные свойства множества ;
б) звездность множества и ;
в) свойство отображения уменьшать меру невыпуклости
любого подмножества .
Этим вопросам, в основном, и посвящена диссертация.
Основное содержание диссертации изложено в главах І-Ш. Им предпослан параграф 0, в котором собраны некоторые предварительные сведения, используемые на протяжении всей работы.
В главе I изучаются меры невыпуклости и чебышевские радиусы множеств. Результаты этой главы, интересные сами по себе, используются в дальнейшем в теоремах о неподвижных точках.
По-видимому впервые, термин "мера невыпуклости" встречается у Грюнбаума (см. [б ] , стр.51).
В дальнейшем другие конкретные меры невыпуклости множеств в линейных нормированных пространствах нашли приложения в задачах математической экономики [l9j и теории дифференциальных уравнений в банаховом пространстве [22] .
В I дается общее определение меры невыпуклости на Л »
как отображения Л ^ , удовлетворяющего (зледующим
аксиомам: __
і. Ш)=Ш)
для всякого 2. Л (Я; "О тогда и только тогда, когда А выпукло,
3- МА) ~\() МЯ ВСЄХ А, Е е і (90 таких, что 4 ^
Примером меры невыпуклости на А служит мера невыпуклости Старра ^ (см. [l9J , [22] ).
В I приводятся также другие меры невыпуклости.
С использованием меры невыпуклости oL доказывается одно
характеристическое свойство гильбертовых пространств (теорема
1.2): банахово пространство Л ( cl<
товым тогда и только тогда, когда для всякого
Параграф 2 посвящен уточнению известной оценки Раутледжа [34] : г/71) ^ ур СІ (А) ДДЯ любого /\ Є 4(И). В теореме 2 Л доказывается, что для относительно компактного Д с Г|
( сі (А) > 0) в оценке Раутледжа имеет место строгое неравенство.
В главе 2 приводится несколько новых теорем о неподвижных точках нерастягивающих отображений в линейных нормированных пространствах.
Недавно Альспах [I5J дал отрицательное решение долгостояв-шей проблемы: обязано ли всякое нерастягивавдее отображение, переводящее в себя непустое выпуклое слабо компактное подмножество банахова пространства, иметь неподвижную точку?
Однако, если дополнительно потребовать, чтобы выпуклое слабо компактное подмножество имело нормальную структуру (это понятие ввели М.С.Бродский и Д.П.Мильман L3J ), то указанная проблема решается положительно (Кирк [25] ).
Возникает вопрос: в каких пространствах )\ любой выпуклый слабый компакт, содержащий более одной точки, имеет нормальную структуру? Известно, что это так для равномерно выпуклых и, более общих, равномерно выпуклых по каждому направлению пространств Д (см., например, [б] ).
В предложении 3.1 доказывается, что в пространствах П.К. Белоброва [i j , которые являются естественным обобщением равномерно выпуклых по каждому направлению пространств, всякий выпуклый слабый компакт, содержащий более одной точки, имеет нормальную структуру.
Теорема Браудера - Геде - Кирка, ставшая уже классической, обобщалась многими авторами, в том числе М.Каукичем [в] , Кир-ком [26] , Е.А.Іифпщем [її] и др.
Теорема 3.1, обобщающая теорему Браудера - Геде - Кирка, утверждает, что нерастягивающее отображение, переводящее в себя непустое выпуклое слабо компактное подмножество пространства Белоброва, имеет неподвижную точку.
В 3 также приводится теорема 3.2, которая усиливает в случае строго выпуклого пространства Л известную теорему Де Марра [20J о общей неподвижной точке коммутирующего семейства нерастягивающих отображений, действующих на выпуклом компакте. Отметим, что в условиях теоремы 3.2 фигурирует понятие базы выпуклого замкнутого множества.
В 4 вводится понятие отображения, уплотняющего относительно меры невыпуклости, по аналогии с отображениями, уплотняющими относительно меры некомпактности, которые ввел и всесторонне исследовал Б.Н.Садовский (см. [l2] ). Приводятся примеры нерастягивающих отображений, уплотняющих относительно некоторых мер невыпуклости на X , а также - признак существования неподвижной точки для таких отображений, определенных на невыпуклом множестве (теорема 4.1). Указан пример ситуации, в которой выполняются все условия теоремы 4.1. Отметим, что Ю.Г.Борисович и Ю.И.Сапронов L2 J были первыми, кто указал на возможность применения мер невыпуклости к теории неподвижных
точек. Более слабый, чем теорема 4.1, признак существования не-
подвижной точки для оС -уплотняющего отображения приведен в
[22] . Здесь надо учесть то, что любое -уплотняющее отображение (т.е. отображение, уплотняющее относительно меры невыпуклости ^- ) автоматически является нерастягивающим.
В 5 продемонстрирована возможность применения теорем о неподвижных точках нерастягивающих отображений к вопросу разрешимости нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна в пространствах L ( і < р < + с>^ )
