Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию линейных обыкновенных -дифференциальных уравнений /ОДУ/ относительно функций вещественного аргумента со значениями в локально выпуклом пространстве /ЛВП/, а также изучению некоторых свойств дифференцируемых отображений ЛВС.
Актуальность темы. Хорошо известно, что для дифференциальных уравнений вида
it-t)= S U , *U0") (і)
(где $Є C(l*E,E), X.: fc- Е) в случае, когда t -банахово пространство /БП/ ситуация мало отличается от классической. А именно, решение линейного ОДУ задается экспонентой линейного оператора / III /, справедлив аналог теоремы Пикара, верны многие другие теоремы существования и единственности / [2 1- Г4 I /. По-видимому, главным отличием от классического случая является то, что теорема Пеано для бесконечномерного БП неверна / [5] /.
I/ Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых
пространствах. М.: Наука, 1967.
2/ Olech С. On the existence and uniqenesa of solution of en ordinary differential equation in the case of Banach spaces // Bull. Acad. Polon., Ser. Math., 1960, v. 8, .№ 10, p. 667 -
673.
"' Szufla S. Some remarks on ordinary differential equations
in Banach spaces // dull. Acad. Polon., Ser. Hath., 1968,
v. 16, № 10, p. 795 - 800.
4/ Годунов А.Н. Одна теорема существования и единственности для
дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // УМН,
1976, т.31, * 5, стр. 235-236. 5/ Годунов А.Н. О теореме Пеано в банаховых пространствах // Функ-
- I -
В случае же, когда с. локально выпукло возникают совершенно новые эффекты. В частности, в работах Гб~[ , I 7 ] показано, что если CL - ненорми^уемое пространство фреше, то задача Коши для линейного ОДУ (т.е. когда -Jj в (і) не зависит от X и зависит от 'Х линейное- может иметь единственное решение при любом начальном условии (вида 0c("to) = "Х0) . может не иметь ненулевых решений и, наконец, может иметь много решении при некоторых начальных условиях. Это обстоятельство можно проиллюстрировать следующим соображением. Всякое уравнение в частных производных вида
/где и : IR. * М. —* ff\ , Аї - некоторое гладкое многообразие,
2)х - дифференциальный оператор на М) может быть интерпретировано как линейное ОДУ и - v^ У на подходяще пространстве функций (или обобщенных функции) на A'l , причем это пространство нельзя выбрать банаховым (если его выбрать банаховым, тс оператор 2) будет определен не всюду) . Поэтому наличие общего метода решения линейных ОДУ в ЛВП обеспечило бы существование некоторого общего метода решения уравнений в частных производных. Отметим также, что отсутствие общей теоремы о разрешимости ОДУ в ЛВП тесно связано с несправедливостью для отображений ЛВП теоремы о неявной функции (в стандартной формулировке^ .
кциональный анализ и его приложения, 1975, т.9, & I, стр. 59-GC. 6/ Лобанов С.Г. О разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Вестник МГУ, cep.I, 1980, № 2, стр. 3-7.
7/ Лобанов С.Г. Пример ненормируемого пространства Среше, в котором любой непрерывный линейный оператор имеет экспоненту // УМН, 1979, т. 34, & А, стр. 201-202.
Описанная выше связь с уравнениями в частных производных является одним из обстоятельств, определяющих целесообразность изучения ОДУ в ЛЕП. Исследование таких уравнений представляет и значительный самостоятельный интерес именно в силу принципиального отличия от классического случая как результатов так и мєтодое исследования. Сказанное в последней фразе верно и для других задач бесконечномерного анализа, рассмотренных в диссертации.
Цель работы. Целью работы является исследование линейных ОДУ в ЛБП, изучение соотношений между различными определениями диффе-ренцируемости отображений ЛЕП, а также выяснение возможности перенесения теоремы Ролля на случай бесконечномерного БП.
Методы исследования. Б работе используются методы теории ЛВП и бесконечномерного анализа, а также ряд специальных конструкций.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ, а также на конференциях молодых ученых МГУ /1986, 1989, 1990/.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах, в теории бесконечномерных групп Ли, в квантовой теории поля.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы. Объем диссертации - 102 страницы. Список литературы содержит 29 наименований.
