Введение к работе
Актуальность темы. Начало интенсивного развития теории простралствеппых квазиконформпых отображений приходится на конец 50-х и пачало 60-х годов. В это время в работах Ю. Вяйся-ля, Ф. Геринга, Б. В. Шабата и др. был создан метод исследований, опирающийся на характеристическое свойство кпазиинвари-аптпсст" i'ci"^op?.'TTof* емкости « ііплуля г.р.мейства кпшзых при квазиконформных преобразованиях пространственных областей.
В середине 70-х годов в работах С. К. Водопьяноьа и В. М. Голь, штейна был предложен подход к изучению квазиконформных отображений, связанный с применением теории пространств Соболева. Ими было показано, что гомеоморфизм <р двух евклидовых областей D и D' является квазиконформным тогда и только тогда, когда оператор суперпозиции (р* есть изоморфизм прострагств L\{D) и L\(D').
Пионерские работы этих авторов стимулировали изучение с более общей точки зрения связи между отображениями и ф., лкци-ональными пространствами.
Было, в частности, показано, что варьируя функциональш ", пространства, можпо п лучить ассоциированные с ними классы отображений. Результаты подобного рода имеют применения в теории і. ложения пространств Соболева.
Диссертация посвящена изучению отображений у> : D > D' порождающих ограниченный оператор суперпозиции
V* : '(>') -* L\{D\ 1 < д <' р < сю,
[случай р = q был изучен в работах С. К. Водопьяно--ц В. М. Гольд-шт^й^г, Л. Гурова, А. С. Романова) эти классы отображений обо- '
зиачаются далее символом Tp<4{D). Систематически; исследование атой задачи предпринимается впервые. При атом для полученных классов отображений рассматриваются вопросы, аналогичные возникающим в теории квазиконформных отображении. Заметим, что класс TrA(D) имеет аналитическое описание в терминах интегральных характеристик. При некоторых дополнительных ограничениях такие классы отображений изучались ранее И. Н. Песшшм, В, М. Миклюковьш, В. И. Круглшсовым, В. С. г дьявиным и др. Однако, во всех работах но этой тематике от-сусі ювал функциоиальнь л подход к отображениям с интегральными характеристиками.
В 197 г. в статье Г. В. Мостова впервые были рассмотрены квазиконформные отображения в неримановых метриках. В недавних работах С. К. Водопьянова, А. Кораньи, П. Пансу, X. М. Pei мана, С. Рикмайа, Ю. Хейнонена, И. Холопайнена развита теория квазикоцформаых отображений на группах Карно. Интерес к этой задаче связан с.тем, что квазиконформные отображения па группах Карно естественным образом возникают в ряде задач геометрии и анализа. В нынешнем состоянии эта теория развита в такой же степени общности, как ато было сделано в евклидовом пространстве.
В диссертации изучаются отображения групп Карио класса TPi4(D), сообщающие результаты, полученные в евклидовом пространстве. Решение этой задачи потребовало разлития методов исследований, которые можно назвать анализом на группах Карно: ашрокси-іативное V-дифференцирование отображений измеримых шожеств и их приближение липшицевыми отображениями; формула замены переменной в интеграле Лебега для отображений груші Карно, обладающих слабыми дифференциальными
свойствами.
Научная новизна. Как самостоятельный объект исследований класс отображений TPlt(D), 1 < q < р < со, изл чается вперві і, и поэтому все основные результаты диссертации являются новыми. Их можно объедснить в следующие группы:
а) Эквивалентные аналитическое, геометрическое'и метриче
ское описания отображений класса Т„.а.
б) ДнффйрсііШііАлшио Сіюйсіна. отображений класс* Тр>д, Нсі-
пример: абсолютная непрерывность на почти всех пиниях, диф-
ференцируемость почти всюду.
в) Теоремы, связан пые с аппроксимативным V-дифференциро
ванием на группах Карно: аппроксимативная Р-дифференцируе-
мость отображений групп Карно, имеющих аппроксимативные про
изводные только вдоль горизонтальных векторных полей; аппрок
симация отображений, имеющих аппроксимативные производные
только вдоль горизонтальных векторных полей, отображениями,
лишшщевыми в метрике Карпо-Каратеодори; аппроксимативная
Р-дифферендируемость липшицевых отображений
г) Формула замепы переменой в интеграле Лебега для липши
цевых отображений групп Карно, определенных на произвольном
измеримом множестве, а также ее обобщения для отображений
групп Карно, обладающих слабыми дифференциальными с ой-
ствами.
В диссертации также рассмотрены вопросы, связанные с граничным поведением отображений, порождающих вложения функциональных пространств, и приведены обобщения результатов, изложенных d пунктах а) и б), для отображений групп Карно.
Мето^лка исследовании. Методы исследований, применя-
емые в работе, представляют собой синтез методов^ применяемых в геометрической теории функций, теории вложения 'Ьункци-
г ональных пространств, теории потенциала, и методов анализа и
геометрии на нильпотентных группах Ли.
Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применятся в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций и теории влог'ения функциональных пространств Соболева на группах Карно.
Публикации, апробация работы. Основные результаты работы опубликованы в двух работах, указанных в конце автореферата. Результаты докладывались на Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике памяти Л. В. Канторовича (Новосибирск, 1994), на всесоюзной конференции по геометрии и анализу (Новосибирск, 1989), V Школе молодых математиков Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1990), на научных семинарах ИМ СО РАН, Новосибирского госуниверситета и Хабаровского государственного технического университета и на семинарах по геометрии и анализу ИМ СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, изложена на 93 страницах печатного текста, обработанного издательской системой Aj^fS-T^i. Библиография включает 42 наименования.
