Введение к работе
Работа посвящена новому обобщению классического принципа химающих отображений Банаха-Каччиополли на операторы, действу-щи9 в К-мотрических пространствах, и некоторым его приложениям : теории дифференциальных и интегральных уравнений. Основное от-гичие предлагаемого обобщения принципа сжимающих отображений от >анее известных связано с новым понятием, являющимся естествен-иы обобщением классического понятия спектрального радиуса.
Как известно, одним из основных методов исследования нели-[ейных уравнений вида
х - /Iх t (і)
где /7 - оператор, действующий в некотором пространстве Е, шляется метод последовательных приближений. Суть его состоит в гом, что по заданному начальному приближению ха е строится юследовательность
Хл., - /)Хп (n-Odi ... ). (2)
2сли эта последовательность сходится к некоторому элементу X&
и.
г если в (2) можно переходить к пределу, то X является ре-пением уравнения (I).
Наиболее простым и важным утверждением о методе последовательных приближений является классическая теорема Банаха-Каччио-полли - принцип сжимающих отображений (см., например, ' ').
-
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1982. - 752 с.
-
Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицккй Я.Б., Стеценко ВЯ. Приближенное решение операторных уравнений. - М.: Наука, 1969. - 456 о.
Её утверадение относится к случаю, когда Е является полным метрическим пространством. Если действующий в таком пространстве Е оператор // является оператором сжатия, т.е. для него выполнено условие Липшица
р (rtxt /4у) ± ^ р(х,у) (х у є F)t (з)
причем о. < з , то уравнение (I) имеет в Е единственное шение х * , а последовательные приближения (2) при любом начата ном приближении х0 сходятся к этому решению.
Это классическое утверадение было сформулировано в 1922 году С. Банахом, а затем в 1931 году Р. Каччиополли.
Принцип Банаха-Каччиополли относится к операторам, действующим в полных метрических пространствах. Почти сразу же предпринимались попытки распространить его на более общие ситуации, когда рассматриваемый оператор действует не в метрическом, а в К-мет рическом пространстве.
Одним из первых такие обобщения рассматривал Л.В. Канторович^' . Его построения относились к случаю, когда значения К-метрик на рассматриваемых пространствах лежали в конусе неотрицательных элементов некоторого К-пространства Канторовича.
Иное направление развивалось в Ташкенте МЛ. Антоновским, В.Г. Болтянским и Т.А. Сарымсаковым 5^. В их построениях К-метри-
)—' \
3. Вулих'Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. -
М.: Физматгиз, 1961. - 408 с.
-
Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный аналі в полуупорядоченных пространствах'. - М.-Л.:Гостехтеориздат, 1950. - 548 с.
-
Антоновский М.Я., Болтянский В.Г., Сарнмсаков Т.А. Очерк теорі топологических полуполей // 7спехи матем. наук. - I96G. - Т. * вып. 4. - С. 185-218.
ка принимала значения в так называемом полупода - объекте, который был естественным обобщением поля вещественных чисел, однако охватывал пространства вещественных функций, определенных на различных множествах.
Третье направление исследований в рассматриваемой тематико этносится к тому случаю, когда К-метрика в рассматриваемом К-мет-рическом пространстве принимает значения из некоторого замкнутого конуса в заданном банаховом пространстве В> 9), 10), II)>
В предлагаемой диссертации делается попытка использовать методы, традиционно связанные с третьим из перечисленных направлений, в ситуациях, характерных для первых двух направлений. Более точно, в рассматриваемых К-метричвскшс пространствах пространство значений К-метрики не является банаховым или даже нормирован-
-
Евхута Н.А. Некоторые обобщения метода A.M. Самойленко отыскания периодических решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Метода функционального анализа в математической физике. - М., 1987. - С. 50-60.
-
Евхута Н.А., Забрейко П.П. 0 сходимости метода последовательных приближений A.M. Самойленко отыскания периодических решений // Докл. АН БССР. - 1985. - Т. 29, » I. - С. 15-18.
-
Кведарао Б.В., Кибенко А.В., Перов А.И. 0 некоторых краевых ва~ дачах // Лит. мат. сборник. - 1965. - Т. 5, & I. - С. 69-83.
-
Ыухаммадиев Э., Стеценко ВЛ. Принцип неподвижной точки в обобщенном метрическом пространстве // Изв. АН ТадаССР. - 1969. -Т. 10, № 4. - С. 8-19.
-
Перов А.И. О задаче Коми для системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. - Киев: Наукова думка, 1964. - С. ІІ5-І34.
-
Перов А.И., Кибенко А.В. Об одном общем методе исследования краевых задач // Изв. АН СССР. - 1966. - Сер. матем., т. 30, № 2. - С. 249-264.
ныы, однако для его неотрицательных элементов определены степени X (О 4 Q*oo), что позволяет ввести формально аналог понятия спектрального радиуса такого оператора. Полученное обобщение принципа сжимающих отображений интересно, по крайней мере, в дву отношениях.
Во-первых, оно является существенным обобщением основных ут верждений о сжатых отображениях ташкентской школы М.Я.Антоновско го - В.Г.Болтянского - Т.А.Сарымсакова и основных утверждений о : жорируемых отображениях Л.В.Канторовича. И во-вторых, оно содерж ореди своих следствий такие нетривиальные утверждения, как иавес ная теорема Л.В. Овсянникова о разрешимости задачи Коши для дифф ренциальных уравнений в шкалах банаховых пространств и, следовательно, классическую теорему Копш-Ковалевской 2'« 13'* ^'» **' 16), 17), 18). 19)
-
Егоров Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного тип - М.: Наука, Главная редакция физ.-мат. лит-ры, 1984. - 360
-
Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977. - 232 с.
-
Овсянников Л.В. Сингулярный оператор в шкале банаховых прост ранств // ДАН СССР. - 1965. - Т. 163, № 4. - С. 819-822.
-
Овсянников Л.В. Нелинейная задача Коши в шкале банаховых про странств // ДАН СССР. - 1971. - Т. 2000, * 4. - С. 789-792.
-
DucAatcau P. Treves J.F &п afottact Caucfy-tenra.-
Symfitxicki /7Za/t. - -Ґ9Г/. - М.УлПо Ї. - /? +35-Y63.
-
rUofccfa. T. 61 note- *>n /Ut.&i0
Леегелтг. at. asz. a.gjtcu rfotsn. (S tte. грсп&ш*ч. Саш&у- Кеига&икгл ї/м>х.е*тг. tVz. a оса-fe ^ &<а*ыя,(Ж. -о/схясеї. - & ^/^-6e*m. - Y9?Z - l/rf. -*2. - P. 629- Є 33. -
7^^. Z/.S~. &n cc6ittt4z& /иж&'псах. СсиссЯр -&w& &
_ 7rasur. <2srusr, /%///f -Par. ~ ^9^0.- KVSP-P Г? -
Uasn
Usuir. J), Pout, - SffSp. ~ l/rf. 9. - P- V- '&.
В диссертации содержатся следующие результаты:
Обобщение принципа Банаха-Каччиополли сжимающих отобра-вкий на К-метрические пространства, основанное на естественном бобщении понятия спектрального радиуса на не обязательно линвй-ые операторы, действующие в упорядоченных линейных пространствах.
Теоремы о сравнении (совпадении или несовпадении) обоб-енного спектрального радиуса и обычного спектрального радиуса.
Новые теоремы о разрешимости двухточечной и интеграль-ой задач для дифференциальных уравнений первого порядка.
Обобщение теоремы Л.В. Овсянникова о разрешимости задачи оши нелинейных эволюционных уравнений в шкалах банаховых прост-анств.
Основные результаты диссертации обсуждались на научных се-инарах кафедр математических методов теории управления и функ-ионального анализа Белорусского государственного университета, а Ш Уральской региональной конференции "Фуніщионально-дифферен-лалыше уравнения и их приложения" (г. Пермь, 1-5 февраля 988 г.), на конференции "Проблемы теоретической и прикладной іатематики" (г. Тарту, 21-22 сентября 1990 г.).
Основные результаты диссертации опубликованы в шести рабо-'ах, описок которых приведен в конце автореферата.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка лите-атуры, включающего 81 наименование. Работа изложена на 128 стра-ицах машинописного текста.
