Содержание к диссертации
Введение
1 Общий интегрирующий множитель семейства дифференциальных форм 19
1.1 Определения и обозначения. Краткие сведения о дифференци альных формах. Связь с задачей о восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби 19
1.2 Нахождение интегрирующего множителя 26
2 Восстановление отображения по нормированной матрице Якоби на гиперплоскостях 42
2.1 Специальный вид интегрального оператора 42
2.2 Восстановление отображения по нормированной матрице Якоби на гиперплоскостях 55
3 Теоремы о неявной функции 60
3.1 Теоремы о неявной функции, основывающиеся на теореме Картана 60
3.2 Комплексный вариант теорем о неявной функции 69
3-3 Варианты теорем о неявной функции с производной Кларка . 75
3.4 Примеры 88
Список литературы 94
Приложение 101
- Нахождение интегрирующего множителя
- Восстановление отображения по нормированной матрице Якоби на гиперплоскостях
- Комплексный вариант теорем о неявной функции
- Варианты теорем о неявной функции с производной Кларка
Введение к работе
Актуальность темы. Под дифференциальными характеристиками отображения понимается набор числовых, векторных, матричных величин, определяющих локальное поведение отображения. Понятие характеристики отображения было введено М А. Лаврентьевым в рамках теории квазиконформных отображений в 1930-х гг. Характеристиками квазиконформного отображения / D —> Rn назывались числовые параметры отображения, заданные в D С R", и определяющие почти в каждой точке х Є D эллипсоид или параллелепипед, которые под действием дифференциала dxf переходят в сферу или, соответственно, куб со сторонами, сонаправленными векторам некоторого ортонормированного базиса в R".
Задание характеристик квазиконформности отображения определяет дифференциальные уравнения, описывающие квазиконформные отображения. В пространственном случае эти уравнения составляют нелинейную переопределенную систему. В случае задания характеристик первого типа уравнение описывающее отображение /, имеет вид
f'T(x)f'(x) = \J(x,f)\VnG(x), (1)
где Т означает транспонирование, J(x, /) = detf'(x), G(x) — матрица, задающая некоторую риманову метрику на Rn. При п = 2 уравнение (1), записанное в комплексной форме, эквивалентно уравнению Бельтрами
/,(*) =/i(*)/.(z), (2)
где i-l(z) — некоторая функция, определяемая характеристиками отображения / и называемая комплексной характеристикой. Уравнения вида (1) исследовались в работах Вейля, Схоутена. Уравнения Іи^^^^^ШЩ^шїь-в работах
I Б МБЛ Мв ТЕК А
«
3 ( СШпЫЬрТА»* (
О»
М.А Лаврентьева, Л. Альфорса, И.Н. Векуа, Л. Берса, Б В. Боярского и другими.
Характеристики второго типа возникают в определениях классов квазиконформных отображений, удовлетворяющих нелинейным сильно эллиптическим системам уравнений, и также рассматривались М.А. Лаврентьевым. Им была доказана основная теорема существования квазиконформных отображений нелинейных классов, получившая приложения в задачах механики сплошных сред.
Сейчас теория квазиконформных отображений является далеко продвинутым разделом математического анализа. Ряд задач, лежащих на стыке теории квазиконформных отображений и теории пространств Соболева изучен в работах Ю.Г. Решетняка, С.К. Водопьянова, В.М. Гольдштейна, А.П. Ко-пылова, В.М. Миклюкова.
В работах И.В. Журавлева [17]—[20] представлены результаты нового подхода к описанию отображений с ограниченным искажением, основанного на использовании матричнозначной характеристики квазиконформных отображений нормированной матрицы Якоби. В этом случае дифференциальное уравнение, описывающее отображение, имеет вид
f{x) = \J{x,f)\llnK(x), (3)
где К{х) = (к^(а;)), i,j = 1,...,n — матрица, называемая нормированной матрицей Якоби отображения /, К задана в некоторой односвязной области D С R", \det К\ — 1. Там доказаны, в частности, теоремы, обеспечивающие необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (3) в случае С2-гладкости матрицы К и достаточные условия в случае, когда коэффициенты к J принадлежат классу Wp, f3 > п, дано описание свойств отображения / в терминах свойств матрицы К. В последующих работах ([21] [23]) изучаются достаточные условия локальной квазиконформности отображения с ограниченным искажением, описываемого соотношением (3), и вводятся в рассмотрение величины osc(K, В) = iiif{s} (sWT',x"e(BnD)\s \К(Х') ~ -^(^)1)) Q(K.a) = lim,-_oini4 \\АК — 1п\\ос,в{а,г)по> гДе К представляет собой матрицу Якоби исследуемого отображения, нормированную некоторым выражением (здесь В - шар с центром в точке а Є D, S — множество нулевой п-меры
Лебега, А пробегает -множества всех п х п-матриц, 1п — единичная п х п-< ,, - * "<
.. 4
матрица), которые также можно считать дифференциальными характеристиками отображения. В терминах этих характеристик можно также доказать теорему об обратной функции для отображений класса W/ioc (см. [23]). Отсюда, естественно рассмотреть задачу о существовании неявной функции, определяемой негладким отображением.
С другой стороны, уравнение (3), будучи записанным в покоординатной форме, принимает вид
df{x) = \J{xJ)\ll"K\x), і = 1,...,71,
где К1(х) — Kl(x)dx3 — дифференциальные формы первой степени, \det К\ — 1. Откуда видно, что условия его разрешимости могут быть интерпретированы как условия существования общего интегрирующего множителя формі*:1,..., Я".
Таким образом, от задачи о восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби (т.е. решения уравнения (3)) приходим к задаче об общем интегрирующем множителе семейства 1-форм и задаче об условиях существования неявной функции малой гладкости.
Задача о нахождении интегрирующего множителя одной 1-формы является классической задачей теории дифференциальных уравнений1. Как известно, в случае двух переменных эта задача равносильна задаче об интегрировании обыкновенного дифференциального уравнения и для нахождения интегрирующего множителя достаточно условия гладкости 1-формы. В случае, когда количество переменных больше двух, для существования интегрирующего множителя необходимо выполнение, кроме условий гладкости, некоторого дифференциально-алгебраического соотношения.
Задача об интегрирующем множителе естественным образом связана с задачей об интегрировании системы пфаффовых форм. Отметим, что наиболее сильные результаты в этом направлении получены Боровским2.
'см , например Степанов В В Курс дифференциальных уравнений -М ГИТТЛ, 1956. - 486 с.
2Боровский Ю Е Вполне интегрируемые системы Пфаффа // Изв вузов Математика - 1959 -N 2 . - С 28-40.
Боровский ЮЕ О вполне интеїрируемых системах Пфаффа// Изв вузов Математика- 1960-N 1 - С.35-38.
Боровский Ю.Е Системы Пфаффа с коэффициентами из L„ в их геометрические приложения // Сиб мат журн. - 1988.- Т 29, N 2 - С 10-16
Общая формулировка задачи о неявной функции такова. Пусть X, Y, Z — топологические пространства; F — отображение, определенное на некоторой области D с X х Y, и принимающее значения в Z. Требуется определить условия, при которых соотношение
F(x,y) = F(x0,yo), (хо,уо) е D
обеспечивает существование функции у = д(х) такой, что д(хо) = уо и F(x, д(х)) = F(xq, г/о) для всех х из некоторой окрестности точки xq в пространстве X Указанная окрестность является областью определения неявной функции д Если оценка величины этой области не приводится, то будем говорить о локальном варианте задачи о неявной функции. Если эта оценка в каком-либо виде имеет место, то будем говорить о задаче о неявной функции с оценкой области существования. В случае конечномерных пространств X, Y, Z и достаточно гладкого отображения F задача о неявной функции является классической и обычно излагается в локальном варианте (см., напр., [24]).
С различными вариантами задачи о неявной функции, при условии гладкости отображения F можно ознакомиться, например, в обзоре С.Г. Кранца [27]. Из недавних работ, в которых рассматривается локальный вариант задачи о неявной функции, укажем работы А.В. Арутюнова [15], Ф. Кларка [26], В.А Треногина [28], а также совместную работу И.В. Журавлева и автора [4] Вариант задачи о неявной функции с оценкой области существования рассматривается в работах В.А. Треногина [28]: случай, когда X, Y, Z — банаховы пространства и отображение F удовлетворяет некоторым условиям повышенной гладкости; Н.П. Еругина [16]. случай конечномерных (вообще говоря, комплексных) пространств X, Y, Z и голоморфного отображения F Смежные вопросы комплексного анализа рассматриваются в обзорной статье Ф.Г. Авхадиева и Л.А. Аксентьева [14].
Как задача об интегрирующем множителе, так и задача о неявной функции находят применение в разных областях математики и физики: математическом анализе, теории дифференциальных уравнений, термодинамике.
Целью работы является исследование связей между задачами о восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби, об интегрирующем множителе семейства дифференциальных форм, задачами об определении условий существования обратной и неявной функций (негладкий случай).
Методика исследования базируется на применении аппарата дифференциальных форм, методов теории отображений с ограниченным искажением, методов математического анализа.
Научная новизна и практическая значимость.
В работе получены новые результаты, связанные с задачей о восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби. Дано описание необходимых и достаточных условий существования общего интегрирующего множителя семейств дифференциальных форм первого порядка. Найдены новые условия существования и даны новые оценки области существования функций малой гладкости, заданных неявно.
Результаты работы могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся изучением семейств отображений с ограниченным искажением, изучением свойств решений систем дифференциальных уравнений.
Результаты, выносимые на защиту.
1. Получен критерий существования и явный вид общего интегрирующего множителя семейства 1-форм класса С2 вида Кр, р є Р, где Р — произвольное множество индексов.
-
Приведено интегральное представление отображения по нормированной матрице Якоби при условии пониженной гладкости (коэффициенты Kj(:r) матрицы К принадлежат классу Wj, где /9 > п — 1), Это представление дано для случая, когда область, в которой определена матрица К, является цилиндром в R", основание которого — п — 1-мерная область, звездная относительно некоторого шара.
-
Даны достаточные условия, обеспечивающие существование неявной функции, определяемой локально липшицевым отображением и различные варианты оценок области ее существования (как радиуса шара, на котором неявная функция заведомо определена).
Структура и объем работы. Диссертация содержит 101 страницу и состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложения, содержащего один рисунок. Нумерация параграфов, уравнений, теорем и лемм подчинена нумерации глав. Библиография содержит 70 наименований.
Нахождение интегрирующего множителя
Здесь и далее для упрощения формулировок полагаем 1(х) 0 почти всюду в D. Следуя [26], покажем сначала, что задача о нахождении общего интегрирующего множителя семейства гладких 1-форм сводится к нахождению 1-формы Л, удовлетворяющей некоторым соотношениям. А именно, имеет место следующая теорема, аналогичная теореме 1.4. Теорема 1.5 Пусть D — область в Rn, п 2; Р — произвольное множество индексов; Кр, р Є Р — семейство 1-форм класса Cl{D). Тогда: 1) Если функция одного знака I : D -+ R является общим интегрирую щим множителем форм Кру р Є Р и при этом І є C2(D), то существует 1-форма А класса Cl{D), для которой выполнено: . 2) Если существует 1-форма А класса C2{D) такая, что то семейство форм Кр, р Є Р имеет общий интегрирующий множитель I, являющийся функцией одного знака. При этом как в п.1), так и в п.2) I(x) = exp (If Л)? где а — фиксированная точка области D и интегрирование ведется по произвольной кривой, соединяющей точки а и х. Доказательство. 1). Согласно определению 1.2 интегрирующего множителя существуют функции /р, р Є Р, для которых выполнены соотношения Дифференцируя обе части указанного равенства, получим откуда Полагаем Л = dlnl. Дифференцируя последнее равенство (что возможно в силу условия / Є C2(D)) получаем dA = 0. Очевидно J (a;) — exp (/ А). 2). В силу замкнутости формы Л определена функция / Л. Рассмотрим 1-форму exp (JQr Л) Кр. Эта форма является замкнутой. Действительно, Полагаем Откуда dfp(x) = exp (/ Л) Кр(х), т.е. функция I(x) = exp(J A) является общим интегрирующим множителем форм Кр, р Є Р. Теорема доказана. Таким образом, нахождение интегрирующего множителя семейства дифференциальных форм Кру р Є Р сводится к определению условий на формы этого семейства, при которых существует замкнутая 1-форма Л, удовлетворяющая соотношениям Приведенные далее конструкции являются обобщением построений, изложенных в [26, Гл.Ш], которые соответствуют случаю Р = {1,...,п} (где п — размерность пространства) и условию Кг}.,.,Кп — линейно независимые 1-формы специального вида (матрица, строки которой составлены из коэффициентов форм Кг,..., Кп7 имеет определитель, по модулю равный 1). Следующая теорема дает условия, обеспечивающие выполнение соотношений dKp = Кр Л Л, ре Р. Теорема 1.6 Пусть D — область е R, п 3; Р — некоторое множество индексов; Кр, ре? — семейство 1-форм класса C2(D), содержащее хотя бы три линейно независимых формы. Если то существует единственная 1-форма Л (определенная на области D) такая, что Доказательство теоремы предварим двумя леммами. Лемма 1.4 Пусть D — область в Rn; К1, К2 — линейно независимые 1-формы класса Cl{D). Если в области D выполнены соотношения то существует единственная 1-форма А, для которой выполнено:
Доказательство. Полагая в (1.11) і — J, получаем соотношение: выполняемое в каждой точке области D. Применяя при каждом х известную из курса алгебры теорему Картава о делимости, получаем, что dK1, dK2 — разложимые 2-формы. Т.е. где Л" , і — 1,2 — некоторые 1-формы, определенные на области D, Рассмотрим теперь соотношения (1.11) при г ф j. Здесь возможны два случая: когда оба слагаемых в (1.11) тождественно равны нулю и когда оба слагаемых в этом выражении отличны от нуля в каждой точке х области D. Случай 1, Пусть выполнены соотношения Тогда из соотношений (1.14) и (1.13) вытекает, что что 2-формы dKl,dK2 имеют следующий вид где $1,/ D — R — произвольные функции. Покажем, что можно подобрать /?ь р2 так, чтобы выполнялось равенство Запишем его в виде Поскольку К1, К2 линейно независимы в D, то из последнего равенства вытекает равенство нулю функциональных коэффициентов при К1, К2: Поскольку а\у а2 — однозначно определенные функции, то из (1.17) вытекает однозначность определения функций р\, рз и значит, единственность формы, удовлетворяющей соотношениям (1.15), Полагаем Л равным, исходя, например, из первого из соотношений в (1.15), а іК2 — а2К . Случай 2. Пусть х Є D и в виде При каждом фиксированном х здесь обозначим: — одномерные линейные подпространства в R, определяемые 1-формами К (х), К2(х) соответственно; — двумерные линейные подпространства в R", определяемые разложимыми 2-формами dKl(x), dK 2{x) соответственно. Первое из соотношений в (1.18) означает, что V\ $ К2(х). То есть сумма подпространств V\ и V2 является прямой суммой: Аналогично, второе из соотношений в 1.18) влечет: Наконец, условие (1.19) означает, что Обозначим W = V\ Ф У2 = V2 Ф Vi. Имеем dimW = 3 и W — Vx + V2. Отсюда следует, что для Vx = V2 ПРЬ dimVx = 1. При этом из условий (1.18), вытекают соотношения Соотношение (L20) в сочетании с (1-13) означает следующее. При каждом фиксированном х Є, D, в классе значений 1-форм Xх (х), удовлетворяющих соотношению (1.13) существует единственное значение Хг (х), для которого выполнено: Подставляя последние выражения в (1.19), получим и, далее, Обозначим е(х) базисный вектор одномерного линейного пространства TV (Заметим, что в силу линейной независимости К1(х), К2(х) из условия (1.20) и условия Vx Э е(х) вытекает линейная независимость на D форм Я"1, К2,е.) Тогда соотношение (1.21) может быть записано в виде где t(x) — функция, определяемая соотношением Х1{х) — Х2(х) = t(x)e(x). Отсюда, в силу линейной независимости Кг(х), К2(х), е(х) вытекает, что t(x) = 0 в D, т.е. Полагаем К = Xі — X2. Лемма доказана. Непосредственно из леммы 1.4 вытекает следующая
Восстановление отображения по нормированной матрице Якоби на гиперплоскостях
Якоби на гиперплоскостях Рассмотрим теперь задачу о восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби на цилиндрической области. Пусть D — область в R"-1, П = D х (а, Ь) — цилиндр с основанием D и образующей (а, Ь). Точку х Є Q будем записывать в виде х — (x\t), где х = (хг,...,Хп-і) Є D,t Є (а,Ь). Пусть и) — 1-форма, заданная на цилиндре П. Запишем ее в виде ш = шь 4-UJV, где шЛ = uil(x , i)dxl 4-...4- шп х{х , t)cfon_1 — горизонтальная компонента формы о , OJV = A(x ,t)di (здесь A(x ,i) — числовая функция) — вертикальная компонента формы (j. В следующей лемме приводится процедура замены в операторе вида (2.18) интегрирования по отрезкам интегрированием по ломаным некоторого семейства и выделение в операторе (2.18) оператора того же вида, заданного для множеств меньшей размерности. Лемма 2.7 Пусть П = Лх (0,-fiT), где D с Ft71"-1, п 3 — ограниченная область, звездная относительно шара В, С = В х (О, Щ; ш є L\{U), dw = 0. Тогда для Сп почти всех точек (x\t) области Q имеет место равенство где функция M(t) задается выражением При этом для С1-почти каждого t Є (0, Н) имеет место оценка Доказательство. Полагаем выбираемые точки х = (х Л і) Q, z = {z\ s) Є С такими, что определены интегралы J ш, f ш, J ш, что не [z,x] [(z ,t),(x ,t)} {( Uz ,t)\ умаляет общности рассуждений. Далее имеем В выражении (2.19) в силу замкнутости 1-формы и и теоремы 2.4 криволинейный интеграл можно записать как сумму интегралов по отрезкам [( 5)Д2 ,0]и[( 0,(х ,і)]. Записывая далее кратные интегралы как повторные, имеем где Таким образом, 5n,cw(a/,t) = Sz xt,BxtUh(x\t) + M(t). Получим теперь оценку величины [M(t). Преобразуем первое слагаемое в (2.20). Записывая ш как w = шь + Ads, где Л = \{zr, s), учитывая что / и = f (\(z ,s)ds), и переходя от криволинейного интеграла к обычному, получим Приведем здесь равенство, имеющее место для С/Р Li(0, Н)и, 0 а Ь Н (см., например, [52]). Применяя (2.22) для внутреннего повторного интеграла в (2.21) и оценивая далее, получим
Далее, запишем M(t) в следующем виде Теорема 2.6 ([39]) Пусть D С Rre_\ п 3 — ограниченная область, звездная относительно шара В, U = D х (О, Я); i 1, г = 1,... ,гг — семейство 1-форм класса СН {0), /? п — 1, линейно независимых в П и удовлетворяющих условиям: 1) dK А Ю + ІЮ А Ю = О, і J = 1,..., п; 2) 1-форма Л, определенная выражением имеет, обобщенный дифференциал; 3) Функция принадлежит, классу L(3 (0 H) (здесь 1((5 + 1//3 = 1). Тогда отображение является решением уравнения При этом, если(3 тг—1, то при почти ecext Є (О, iJ) функция f непрерывна на Dt Доказательство. Из условия Кг є CHp(Q) в соответствии с определением 2.1 вытекает, что Л є Lp(Q). Далее, форма Л удовлетворяет соотношениям дифференцируя которые (согласно лемме 1.1) получим Повторяя здесь те же алгебраические выкладки, что и в доказательстве теоремы 1.7 (касающиеся замкнутости формы Л) приходим к заключению, что dA = 0. Рассмотрим выражение 5п,сЛ. Согласно свойствам 1), 4) оператора Sn,c имеем Покажем, что функция суммируема со степенью /? . Согласно лемме 2.7 для С1 почти всех і Є (О, Н) имеет место равенство где функция M{t) определена выражением, указанным в формулировке леммы 2.7. Записывая при указанных і выражение для 1{х) как учитывая, что esssup М() конечен (согласно лемме 2.7) и применяя к первому сомножителю лемму 2,2 получаем, что при Л1-почти всех t (О, Н) функция 1{х\ t) суммируема на Dt с любой степенью. В силу конечности величины esssup(0)J3-) M(t) и условия п.З) теоремы получаем существование повторного интеграла В силу неотрицательности функции exp существование повторного интеграла эквивалентно существованию двойного интеграла. Тем самым доказано, что Далее, из определения функции / и свойств оператора 5Q,C ВЫВОДИМ Дифференцируя (согласно лемме 1.1) последнее равенство и учитывая условие d Кх = Ю Л Л, получим Таким образом, форма I Кг принадлежит классу Ьр (1) и является замкнутой. Отсюда вытекает, что для функции Б силу того, что detK = 1, имеем 1{х) = (J{#, /))1 Непрерывность функции / на гиперплоскостях вида Dt следует из свойств оператора Sj)uBt- Теорема доказана. В этой главе доказываются теоремы о неявной функции с оценкой области ее существования.
В параграфе 3.1 приводятся обозначения и подготовительные результаты а также рассматривается теорема о неявной функции, доказательство которой основано на теореме Картана, и следствия из нее (локальный вариант теоремы приведен в [31]). В параграфе 3.2 приводятся комплексные варианты теорем, доказанных в параграфе 3.1. В параграфе 3.3 рассмотрены варианты теорем о неявной функции, в которых применяется понятие производной Кларка. При этом в теореме 3.S производная Кларка непосредственно не применяется, но эту теорему можно рассматривать как вариант с оценкой области существования теоремы о неявной функции, доказанной в [43], где эта производная упоминается в формулировке теоремы. Также доказана теорема, в которой оценка области существования неявной функции совпадает с таковой для гладкого случая. В параграфе 3.4 приводятся примеры, поясняющие соотношения между теоремами 3.1и3.3в смысле их применимости и точности даваемых ими оценок. Основные результаты этой главы опубликованы в [36, 37, 40]. Введем следующие обозначения. Пусть т,п 1 — целые числа. Обозначим: М — множество т х п-матриц с вещественными элементами, 1п — единичная матрица в М, 0 — т х n-матрица с нулевыми коэффициентами. Для произвольной матрицы С Є М ее норму определяем равенством \С\ = max \Ch\. Л=1 Если С(х) : А С Rm — М — матричная функция, то полагаем Вектор-функция / : А С R" —+ Rm удовлетворяет условию Липшица, если существует константа / такая, что Наименьшая из постоянных , для которых данное неравенство имеет место, называется постоянной Липшица функции / на множестве А и обозначается Lip (ДА). Пусть D — область в Rn. Вектор-функция / : D С Rn — Rm называется локально липшицевой, если Lip (/, А) ос для всякого компактного подмножества А С D. Если F(x1y) — локально липшицева вектор-функция переменных х Є R", у Є R7" и {х,у) — точка дифференцируемости F, то пусть Ff(x,y) — ее матрица Якоби, F .(x,y) — матрица Якоби относительно дифференцирования по переменной х при фиксированной переменной у и F (x,y) — матрица Якоби относительно дифференцирования по переменной у при фиксированной переменной X. Пусть Р С Rm — множество и пусть К : Р — М — произвольная матричная функция. Положим
Комплексный вариант теорем о неявной функции
Полагая в параграфе 3.1 F комплексно-значной функцией векторных комплексных переменных получим комплексный вариант теоремы 3.1 о неявной функции и следствия из нее. Приведем обозначения, употребляемые в этом параграфе. Пусть М (С) — пространство га х n-матриц с комплексными коэффициентами. Если ,?? Є С", то определим скалярное произведение соотношением (С, і) = ЕГ=і 6 и положим = , Є)1/2. . Пусть 2о є С, г 0 — действительное число. Так же как в вещественном случае обозначим Bn(zo,r) = {z : \z — ZQ\ г} — n-мерный шар в пространстве Сп. Рассматривая пространство С" как R2", введем на С" лебегову меру С2п. Пусть ZQ Q С", / — отображение, определенное в некоторой окрестности точки ZQ, принимающее значения в прос С), і - 1,..., /, j 1,..., m. Обозначения Щ{г}, С) и F {rj, Q имеют аналогичный смысл. Далее, обозначим Пусть отображения F, G определены в окрестности точки (г/, ) Є Cn+m, принимают значения в Сг, С соответственно и R-дифференцируемы в точке (т?, С). Если Ф — отображение из С"+т в Cr+S, имеющее вид Ф = (F, (7), то обозначим отображения Ф. Аналогично вещественному случаю определяем норму матрицы С Є М(С), величины osc(i , Р) и Qk(K, Р) для матричной функции К : Р — М(С), определенной на множестве Р С С771, и некоторого вещественного к 0. Имеет место следующий аналог леммы 3.1. Лемма 3.3 Пусть D С С" — выпуклая область; f : D — Сп — локально липшицева функция. Если то / гомеоморфно в D и удовлетворяет условию Доказательство. Рассматривая пространство Cn как построим, как описано в доказательстве леммы 3.1, последовательности точек {г[} {г"}, сходящиеся к z\ z" соответственно. В силу соотношения (3.24) для отображения f(z) — г имеем: Откуда следует выполнение неравенства (3.27) и гомеоморфность отображения /. Лемма доказана. Следующая лемма является следствием леммы 3.3. Лемма 3.4 Пусть D С С" — выпуклая область; f : D — С" — локально Липшицев о отображение. Если для -некоторой матрицы А Є М"(С) имеет место соотношение гомеоморфно в D и для любых z\ zrt Є D выполнено Доказательство данной леммы в точности повторяет доказательство леммы 3.2. При этом вместо ссылки на лемму транстве Ст и R-дифференцируемое в точке ZQ. Тогда для каждой из координатных функций отображения имеет место соотношение (см., например, [70]) dZj dzj и значения дифференциалов и частных производных берутся в точке zQ.
Обозначим pz матрицу частных производных вида (3.22), fj — матрицу частных производных вида (3.23). Полагая dz = (dzi,... ,dzn), dz = (dzi,... ,dzn) соотношение (3.21) будем записывать в виде Пусть F = F(r},() — функция двух аргументов ц Є С", Є Ст, принимающая значения в пространстве С , R-дифференцируемая в точке (ту» С) Є Qn+m Хогда обозначим F (TJ, Q матрицу частных производных вида p(r}, Q, г — 1,...,/, j = 1, - - -, п, и Fr{rj, С) — матрицу частных производных вида (т?, С), і - 1,..., /, j 1,..., m. Обозначения Щ{г}, С) и F {rj, Q имеют аналогичный смысл. Далее, обозначим Пусть отображения F, G определены в окрестности точки (г/, ) Є Cn+m, принимают значения в Сг, С соответственно и R-дифференцируемы в точке (т?, С). Если Ф — отображение из С"+т в Cr+S, имеющее вид Ф = (F, (7), то обозначим отображения Ф. Аналогично вещественному случаю определяем норму матрицы С Є М(С), величины osc(i , Р) и Qk(K, Р) для матричной функции К : Р — М(С), определенной на множестве Р С С771, и некоторого вещественного к 0. Имеет место следующий аналог леммы 3.1. Лемма 3.3 Пусть D С С" — выпуклая область; f : D — Сп — локально липшицева функция. Если то / гомеоморфно в D и удовлетворяет условию Доказательство. Рассматривая пространство Cn как построим, как описано в доказательстве леммы 3.1, последовательности точек {г[} {г"}, сходящиеся к z\ z" соответственно. В силу соотношения (3.24) для отображения f(z) — г имеем: Откуда следует выполнение неравенства (3.27) и гомеоморфность отображения /. Лемма доказана. Следующая лемма является следствием леммы 3.3. Лемма 3.4 Пусть D С С" — выпуклая область; f : D — С" — локально Липшицев о отображение. Если для -некоторой матрицы А Є М"(С) имеет место соотношение гомеоморфно в D и для любых z\ zrt Є D выполнено Доказательство данной леммы в точности повторяет доказательство леммы 3.2. При этом вместо ссылки на лемму 3.1 следует ссылаться на лемму 3.3. Сформулируем и докажем теорему, аналогичную теореме 3.1. Теорема 3.3 Пусть D = Вп{щУ) х Вт(Со,г"), где г ,г" со — область в Сп+т; F : D — Ст — локально липшицево отображение, которое для некоторого к 0 удовлетворяет неравенству Тогда существует единственная липшицева функция G, определенная на шаре Bn{rjo,p), где такая, что Дрм этом функция G является липшицевой и Доказательство. Пусть г , г" со. Из определения функционала П следует, что для любого є О существует невырожденная матрица С Є М(С), \С\ к такая, что
Варианты теорем о неявной функции с производной Кларка
Следуя [43], приведем определение производной Кларка и некоторые понятия и утверждения, используемые в дальнейшем. Пусть U — область в Rn, / : U — Hm — локально липшицева функция, U — множество точек дифференцируемости функции /. По теореме Степанова функция / дифференцируема п-почти всюду в U. Определение 3.1 ([43], 2.6, п.2.6.1) Пусть Xj — х, где ХІ U — последовательность точек такая, что существует Jim ff(%i). Производной Кларка функции f в точке х называется множество п х т матриц Далее соотношение, указанное в определении 3.1, будем кратко обозначать д f(x) = conv lira f (xi)\. Производная Кларка определена в каждой точке области определения функции / и является, вообще говоря, многозначным отображением. Приведем некоторые из свойств производной Кларка ([43, п. 2.6.2]): a) df — непустое выпуклое компактное множество в М; b) отображение df замкнуто в точке х} т.е. если ХІ — х, Zi df(xi), Zi Z, mo Z є df{x); c) df полунепрерывно сверху в точке х: для любого є 0 найдется такое 5 О, что для всех у Є х + 5Втп (здесь Втп — открытый единичный шар в пространстве М, снабженном нормой \А\тхП — Гц .!....,. \aijf] , где А є М). Теорема 3.5 ([43, Предложение 2.6.5]) Пусть Р СКп — выпуклое множество, f : Р — Rm — липшицева функция, х,у Є Р. Тогда (Здесь правая часть обозначает выпуклую оболочку всех векторов вида Z{y х), где Z dF{u) для некоторого и,Є [х,у]). Теорема 3.6 ([43, Теорема 2.6.6.]) Пусть h = g о /, где f : Rn -+ R" — функция, липшицевая в окрестности точки х, g — функция, липшицевая в окрестности точки f(x). Тогда функция h является липшицевой в некоторой окрестности точки х и Если, кроме того, функция g дифференцируема в точке f(x), то Теорема 3.7 ([43, Предложение 2.3.3]) Пусть U С R — область, f : U — R" — локально липшицева функция. Если f достигает локального экстремума в точке х, то Следуя [43], будем говорить, что множество df(xo) имеет максимальный ранг, если каждая матрица С из df(x) имеет максимальный ранг. Пусть (х,у) Є R" х Rm, F : Оп+т(х,у) - Rm — липшицева функция, определенная на некоторой окрестности точки (х,у). Следуя [43], введем следующие обозначения. Матрицу С dF(x,y) запишем в виде С = (Ас Вс), где Ас — ТІ х m-матрица, Be — т х m-матрица, и определим множества матриц В [43] доказаны следующие локальные варианты теорем об обратной и неявной функциях. Теорема об обратной функции ([43], Теорема 7.1.1 об обратной функции) Пусть функция f : R" —+ R" является липшицевой в окрестности точки а udf(a) имеет максимальный ранг. Тогда существуют окрестности Оп(а), On(f(a)) и липшицева функция g : On(f(a)) — R" такие, что 1) g(f(x)) = х для всех х Є Оп(а); 2) j{g(y)) = у для всех у Є On(f(a)). При этом доказательство теоремы об обратной функции опирается на следующие леммы. Лемма ([43], 7.1, лемма 1) Пусть выполнены условия теоремы об обратной функции.
Тогда существуют положительные числа г, 6 такие, что для любого единичного вектора v Є R" найдется единичный вектор w Кп, для которого выполнено: Ух Є В(а, г) VM Є df(x) (w, Mv) 5. Лемма ([43], 7../, лемма 2) Пусть выполнены условия теоремы об обратной функции. Тогда для некоторых г, 5 0 выполнено і Лемма ([43], $7.1, лемма 2) Пусть выполнены условия теоремы об обратной функции. Тогда для некоторых г, 5 0 выполнено Как следствие теоремы об обратной функции в [43] выводится Теорема о неявной функции ([43], 7.1, Теорема о неявной функции) Пусть х0 є Кп, уо Є Rm, F : Оп+т(хо,уо) — Rm — липшицева функция, ( (ьУо) = 0. Если множество матриц 7гудЕ(хо,уо} имеет максимальный ранг, то существуют окрестность Оп(хо) и липшицева функция g такая, что д(хо) = Уо и для всех х є OU(XQ) F(x,g{x)) = 0. Приведем теперь вспомогательные утверждения, необходимые для доказательства теоремы о неявной функции с оценкой области существования, являющейся аналогом вышеприведенной теоремы. Пусть U — область в R7 , / : U — R — локально липшицева функция. Обозначим Заметим, что множество матриц Л4(/, U) является компактным. Полагая его множеством максимального ранга, введем следующую характеристику функции /: Доказываемые ниже леммы аналогичны леммам, формулировки которых приведены после формулировки теоремы об обратной функции, и доказываются по той же схеме, что и в [43]. Лемма 3.5 Пусть В = Вп(ха,г) — шар, f : В — R" — липшицева функция, At(f,B) — множество максимального ранга. Тогда для любого единичного вектора v Є Rn найдется такой единичный вектор w Є Кп, что
