Введение к работе
Актуальность темы. В теорій: ігркбл-гкеккя функций гзвд'ю роль игревт линейные положительные операторы (кратко: л.п.о.). Оки были введены в рассмотрение П.П.Хоровккным в 50-е годы. Л.п.о. получил;: отроков прку.енбнзв э теоретических исследованиях и в прикладных областях математики.
Но недостатком этих операторов является их медленная сходимость к приближаемой функции. П.П.Корозкиным было доказано, что порядок приближения полиномиальными л.п.о.степени
п не может быть выше п г пространстзе Cla.iJ,
Многочлены Бернштейна 3^, относящиеся к л.п.о., являются
простым и удобным аппаратом приближения, сохрвЕягаим некоторые важные свойства ашгрокскмкруемой функции. Ео Е.В.Ворэнозская [і] в 1932 г. доказала, что порядок приближения многочленами Бернштейна для сколь угодно раз дифференцируемой функции не
может быть лучзе, чем п~1.
Отказавшись от положительности операторов, иокно улучшить качество приближения. В том же 1932 г. С.Н.БэрнштеЯя [2], видоизменив пооледозателькооть многочленов В_, рассмотрел новую
последовательность операторов Q_. Он показал, что порядок
приближения операторами бп функций / є с^10,11 равен п~2.
Развивая идею С.Н.Бернштейна, в 1987 г. В.С.Биденский [33 к Т.П.Пэндина построили модификации Bnv для приближения
j е C(m}tO,1J, и в ц и получили ряд результатов. Во-первых, отметим, что Bn!^Qn. А, во-вторых, их модификвідии оказались
применимыми к последовательностям л.п.о. канонического роста.
Таким образом, появилась задача исследования, предложенного В.С.Вкденским и Т.П.Пендкной, метода увеличения скорости сходимости для гладких функций.
Цель работы. В 1-ой глазе: I. Выявить те обше свойства модификаций В.О.Виденского и Т.П.Пендиной, которые они имеют в случае линейных операторов 1^ в пространстве СГО,JJ,
нормированные условием
1п(1,х) = 1 для уз * [0,1]. (I)
2. Исследовать поведение центральных моментов модификаций
Вт При П * м.
3. Доказать асимптотические теоремы типа теоремы
Вороновской-Бэрштейна для модификаций многочленов Беркитейна.
Во 2-ой главе: Используя технику промежуточных функций, оценить приближение / <з tfzho,ll линейной комбинацией двух многочленов Беркштейна Вп и В,- з терминах модуля непрерывности
второго порядка производной /2^.
Общая методика выполнения исследований. Используются классические методы конструктивной теории функций, в частности, идеи, указанные С.Н.Берштейном в работе [2] и получивыие дальнейшее развитие в работах других математиков.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми, они приведены с полными доказательствами.
Исследованы ценгрвльные моменты модификаций В.С.Ввденского и Т.П.Пендиной линейных операторов, нормированных условием (I): вычислены четыре предела для модификаций многочленов Беркштейна, характеризующих поведение их центральных моментов
При П * ю.
Доказаны асимптотическая теорема типа теоремы
Вороновской-Бэрштейнэ для модификаций многочленов Вп, кмевздая
локальних характер, а также обобщенная теорема такого же типа для сколь угодно гладаа функций.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер, разработаны новые положения, развивавшие классически результаты. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы В/ исследованиях вппроксЕмационных свойств последовательностей линейных операторов в известном смысле близких к многочленам Беркштейна, а также в вычислительной математике.
Апробация работы. Рег/льтатн работы докладывались в 1990 -1994 годах на семинарах профессоров В.С.Виденского и Г.П.Нвтекоока по конструктивной теории функций в Российском государственном педагогическом университете км. А.II.Герцена и на Герценовских чтениях в г.Санкт-Петербурге.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах азтора [1-41.
Структура.и объем работа. Диссертация состоит кз введения и двух глав. Список литературы содержит 43 наименования. Обций объем работы - 112 стр.
