Приближение многочленами решений некоторых типов задач для дифференциальных уравнений Азизов Музафар

Приближение Ай-методом решения систем обыкновенных дифференпиальных уравнений с гладкой правой частью

Оценки погрешности в теореме 1.3 представляют интерес лишь при решение задачи Коши на малом промежутке [0,h],

Пусть теперь нам нужно найти решение задачи (1.1)-(1.2) на произвольном промежутке [0jЯ ] . Рассмотрим разбиения проме жутка (ДНІ на части точками hif..,, к , при этом величины промежутков [/ r b i+]\ выбраны таким образом, что оценка погрешности, полученная в теореме 1.3, не превосходит заданное число Ъ О Далее поступим таким образом. На промежутке 10, hj,] решаем задачу (1.1)-(1.2) описанным выше методом и пусть г (х.) есть приближенное решение этой задачи на отрезке I0ricd] .На промежутке [fcf,lt2] рассмотрим задачу Коши для уравнения (I.I) с начальными условиями Приближенное решение задачи (1.1)-(1.2) будем искать в виде Функцию ifz (x) будем искать как решение задачи Коши с начальными условиями (I.I3) для уравнения Уравнение (I.14) с начальными условиями (I.I3) на промежутке Ifo ftJ можно снова решать описанным выше методом и т.д. При этом погрешность, даваемая теоремой 1.3, в силу выбора точек / f,.., &Л не превосходит выбранное число д 0 Продолжая описанную процедуру, мы получим приближенное решение if (ос) , которое на каждом промежутке Iftzfy+j] совпадает с некоторым многочленом -#. (ос) степени п Замечание 1.2. Используя результаты работы I 33 ] и повторяя приведенные выше рассуждения, можно построить приближенное решение системы л.д.у. с произвольными гладкими коэффициентами. В качестве многочленов, приближающих соответствующие коэффициенты системы, можно использовать интерполяционные многочлены Эрмита. Пример. На сегменте l-g" f Н рассмотрим задачу Коши точным решением которой является функция #6с) = 2 - є В качестве многочлена, приближающего коэффициент е в уравнение (І.І5), выберем многочлен третьей степени fete) построенный согласно результатам работы [ 21 ] Подставляя (1.20) и (1.22) при it = уZ в (1.21),получаем систему алгебраических уравнений, решая которую находим Тогда согласно теореме 1.3 и неравенству Гронуолла-Беллмана получим Итак, Непосредственное вычисление разности ) 2 - є - (3; я) \ показало, что теорема 1.3 гарантирует достаточно хорошую оценку погрешности приближения. 2. Приближение Ait-методом решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью В 119, 20] разработан аппроксимационно-итеративный метод (М-метод) приближения при помощи полиномов решения задачи Ко-ши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрены случаи, когда правая часть в задаче является аналитической функцией, а также случай, когда правая часть является гладкой функцией. В 2, 3 АИ-метод применяется к приближению решений задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, когда правые части заданных уравнений являются достаточно гладкими функциями или аналитическими в некоторой области. В обоих случаях получены эффективные оценки погрешности, из которых видно, как величина погрешности зависит от числа итераций, от гладкости правой части, от постоянной Липшица и др. В частности, показано, как обойти операцию интегрирования в методе последовательных приближений Пикара. Приближенное решение является многочленом и осуществляет равномерное приближение искомого решения как на сегменте [ # , х0 + k ] , так и в некоторой области С , ограниченной эллипсом с фокусами в точках х0 и х0 + 1ь . В 2 исследован случай, когда правая часть j.(ot,u) является достаточно гладкой на [ х0, х0 + к 1 . В 3 рассмотрен случай, когда правая часть уравнения является аналитической в некоторой области .На предлагаемый алгоритм на каждом шагу в силу его итеративности мало влияют вычислительные погрешности.

Приближение Ай-методом решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами

В дальнейшем этот метод в работах [ 22, 29 ] был применен к приближенному решению некоторых задач для уравнений в частных производных и интегральных уравнений.

Настоящая диссертация посвящена развитию результатов из \ 14, 16, 20, 23 ] в следующих трех направлениях, охватывающих достаточно широкий круг вопросов. I. При помощи а-метода и Ай-метода исследуются полиномиальные приближения функций, являющихся решениями: а) задачи Коши для л.д.у. с гладкими коэффициентами (а-метод); б) задачи Гурса для линейных гиперболических уравнений (л.г.у.) с гладкими коэффициентами (а-метод); в) задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкими и аналитической правой частью (АИ-метод); г) задача Коши для л.д.у. с непрерывными коэффициентами (АИ-метод). П. Рассматривается задача о применении многочленов для построения приближенного решения часто встречающейся на практике периодической краевой задачи для л.д.у. jШ. К решению задачи (6)-(7) и задачи Дирихле для уравнения Лапласа - область, граница которой задана параметрическими уравнениями применяется метод, представляющий собой синтез прямого метода, предложенного в [14 ] и метода простой итерации. Отметим в связи с этим, что глубокое исследование проекци-онно-итеративных методов проведено в і 35 ] . диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Первая глава посвящена исследованию возможности применения а-метода и АИ-метода к решению задач Копій. В I рассматривается задача Коши где ftCx) (t=0,f) и f(x.) - некоторые функции из класса С (к г)и, кроме того, pfi(x) удовлетворяет условию В качестве приближенного решения задачи (11)-(12) берется получаемое при помощи а-метода приближенное решение следующей задачи Коши где fa (х) (t 0,r) и f Ofc) - некоторые многочле ны степени не выше , приближающие в равномерной метрике Pi (я) С = О, ґ) и j.(&) соответственно. Основным в этом параграфе является следующий результат. Теорема I. Пусть на сегменте [0,1п] , jt - 0, рассматривается задача Коши (11)-(12), в которой fo(x) ( - =б,ґ) и -( ) принадлежит С . Определим приближенное решение задачи (11)-(12) в виде приближенного решения задачи (11)-(12 0, в которой Pim(#) (і=й ) и f-(X-) - некоторые многочлены, приближающие py(ot) (4.= б, г) и f№) соответственно. Имеет место оценка погрешности где Ч (fill я") - приближенное решение задачи (II )-(12 ) а-мето-дом, , - погрешность, с которой задача (IIr)-(I2 ) решена при помощи а-метода, CdiCz= catui и it - степень приближающего решения и() задачи (II )-(121) многочлена. Здесь и в дальнейшем погрешности рассматриваемых методов изучаются в равномерной метрике. В качестве следствия приведены оценки, получаемые в случае, когда в качестве многочленов fa (#.) (с - б, г) и {. (х.) использованы многочлены Лагранжа степени к -І для функ 13 сй ft (я) ( - 0 ґ) и j-(.0 п0 узлам Чебышева. В 2 с целью построения приближенного решения задачи Коши - 9 для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью применен АИ-метод. Рассмотрим задачу Коши где fofa- i,.,. ,41,1 ) - достаточно гладкие фунщіш, удовлетворяющие в замкнутом прямоугольнике по переменным ui4 UZt„.7 -и. , условию Липшица с некоторой константой К : Согласно методу Пикара каздая из функций Ч ( ) ( =1,м ) при достаточно малом /t 0 представима на [х0, хб + A J в виде предела последовательности функций Пикара -#. (scj , которые строятся, отправляясь от эквивалентной задаче Коши (13) системы интегральных уравнений

Аппроксимационный метод решения задачи 1 курса для линейных гиперболических уравнений с гладкими коэффициентами

Пусть задача Коши (13) рассматривается при некоторых % 0, fc ЯШ в прямоугольнике Т) , функции ( ., ,,.., ) являются дос таточно гладкими и пусть \ А KJtft ( 1 , где К константа Липшица и rt число уравнений. Тогда, если отправ ляясь от сумматорного оператора (14) и матрицы чисел (15), для некоторых Я и у построить по форяулам (16) многочлены -и ( Яі ъ) , то они будут приближать решение задачи Коши (13) таким образом, что выполняются неравенства где Еу( р) - величина наилучшего равномерного приближения функции ср подпространством, базисом которого являются функции {.Tjlj. В 3 исследуется вопрос о применении изложенного в 2 алгоритма для построения приближенного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, когда правая часть является аналитической в некоторой области. В этом случае (теорема 3.1) точность приближения намного повышается, а именно, оценка погрешности имеет вид Из результатов 4 следует, что если непосредственно применить АИ-метод к решению задачи (17)-(18), то с увеличением степени уравнения погрешность не увеличивается. Отсюда следует,что АИ-метод целесообразно применять к приближению решения задачи Кош для л. д. у. ft -го порядка не редуцируя ее к нормальной системе дифференциальных уравнений. Это отмечается и в литературе (см., например, [32, с.89 ] ). Во второй главе рассматриваются некоторые методы решения краевых задач. Глава состоит из трех параграфов, в которых рассматриваются вопросы приближения многочленами (а-методом) решения задачи Гурса для л.г.у. с гладкими коэффициентами, приближенное решение периодической краевой задачи для л.д.у. и задачи Дирихле для уравнения Лапласа. В I а-метод применен к решению задачи Гурса для л.г.у. с произвольными гладкими коэффициентами. На прямоугольнике X и степени nt по -и (/=4,4), приближающие в равномерной метрике а.; (я, и) (б = /,4) соответственно. Теорема 3. Пусть в прямоугольнике 0 =[0, h] [Q,d] (L G k, Z р I задана задача Гурса (19)-(20). В качестве приближенного решения zm „ (&, ft) задачи (19)-(20) возьмем наиденное а-методом приближенное решение задачи (19 )-(20 . В конкретном случае, когда в качестве многочленов а. _, „ выбираются интерполяционные многочлены Эрмита, получена следующая оценка погрешности где с (1 /,3) - некоторые постояяные, которые зависят лишь - 15 от коэффициентов уравнения (19) и нормы в C[0, k] І0,] приближенного решения Z (ОС, и) . Если задача Гурса задана на большом прямоугольнике & , то разделив его на малые прямоугольники , при помощи (21) легко получаем приближение z- (se, и) по всем Q. В 2 при помощи тригонометрических многочленов на основе идей, содержащихся в I 6, 14 1 где f (х) є С , а функция S(oc) такова, что задача (24)-(25) однозначно разрешима. Тогда ly(x)-jf(«)-0(O. В 3 для приближенного решения периодической краевой задачи (6)-(7) и задачи (8) с целью повышения точности приближения применен метод, представляющий собой синтез прямых и итерационных методов. I. Пусть дано интегральное уравнение Фредгольма второго где 11 - некоторый линейный метод суммирования рядов Фурье. Отметим, что итерационный процесс (27)-(28) основан на прямом методе, предложенном в [ 14 J . Оценка погрешности в этом случае имеет вид d і где A = A(#G) - константа, зависящая только от контура 96 . Например, если в качестве полиномиальных операторов 11# применить суммы Фавара, то имеем оценку где К - константа Фавара. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре отдела теории функций Института математики АН УССР, на Республиканской научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании", Киев, октябрь 1983 г., на Республиканской научно-теоретической конференции, посвященной 60-летию образования Таджикской ССР, Душанбе, апрель 1984 г., на конференции молодых математиков, Киев, 1982, 1984 гг., и опубликованы в работах [і - 5 J . Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В.К.Дзядыку за постановку задачи и руководство работой.

Приближенное решение периодической краевой задачи для линейного дифференциального уравнения

В 119, 20] разработан аппроксимационно-итеративный метод (М-метод) приближения при помощи полиномов решения задачи Ко-ши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрены случаи, когда правая часть в задаче является аналитической функцией, а также случай, когда правая часть является гладкой функцией.

В 2, 3 АИ-метод применяется к приближению решений задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, когда правые части заданных уравнений являются достаточно гладкими функциями или аналитическими в некоторой области.

В обоих случаях получены эффективные оценки погрешности, из которых видно, как величина погрешности зависит от числа итераций, от гладкости правой части, от постоянной Липшица и др. В частности, показано, как обойти операцию интегрирования в методе последовательных приближений Пикара. Приближенное решение является многочленом и осуществляет равномерное приближение искомого решения как на сегменте [ # , х0 + k ] , так и в некоторой области С , ограниченной эллипсом с фокусами в точках х0 и х0 + 1ь .

В 2 исследован случай, когда правая часть j.(ot,u) является достаточно гладкой на [ х0, х0 + к 1 . В 3 рассмотрен случай, когда правая часть уравнения является аналитической в некоторой области..На предлагаемый алгоритм на каждом шагу в силу его итеративности мало влияют вычислительные погрешности. I. Постановка задачи и некоторые предварительные сведения. Рассмотрим задачу Коши где kfaft, fy,..., fr ) - достаточно гладкие функции, удовлетворяющие в замкнутом прямоугольнике по переменным -ЧІ г Vzf f tyn. условию Липшица с неко торой константой К : Соотношения (2.4) показывают, что функции Пикара (х) быстро сходятся к искомым решениям 4;(&) задачи (I.I). Вместе с тем, из-за содержащейся в процессе вычисления функций Пикара операции интегрирования, итеративный процесс (2.3) трудно использовать для эффективного построения функций U y(x). Следуя рассуждениям работы [ 20 ] , мы, отправляясь от какого-нибудь сумматорного оператора кн О, а?) порядка N (например, от интерполяционного многочлена Лагранжа), при каждом фиксированном Н указываем итеративный способ построения некоторой системы функций Ч Лк г х.) І fc#($t х) » обладающей следующими свойствами: - каждая из функций -и (Н;х) может быть индуктивно построена при помощи конечного числа арифметических операций над #. Q и над значениями функций (х, fa, ; 0),,,, , 4t,f-l № х)) в фиксированных точках ІС = x-(N х) є. l tx0 lt]/ = 1,2,,-- ; - погрешности -иіу(х - #, 4,(М , х) І являются достаточно малыми и для них установлены удобные для численного подсчета оценки. В дальнейшем нам понадобятся некоторые сведения из теории сумматорных операторов (см., напр., [20] ).

В теории аппроксимации одним из наиболее удобных способов эффективного приближения непрерывных (см., напр., [ 36 ] ) и интегрируемых по Еимаяу в квадрате (см. I 28, с.45 ] ) на каком-нибудь сегменте J [x0, Eo + k] функций у( ) является способ сумматорных операторов j4 (y;2,) , имеющих вид система стандартных функций. В качестве системы функций &.() удобно использовать систему фундаментальных многочленов Лагран где () - Jl (?-2L) элементарные многочлены Берн-штейна, фундаментальные многочлены Фейера, фундаментальные сплайны (см., напр., [ 25 ] ) и др.; нормы ЦД Ц указанных операторов не превышают соответственно yk-btn + l (см. .например, [24] или [43] ), ifi и Л- - у где А -постоянная и f - порядок сплайна [ 26 ] .

Похожие диссертации на Приближение многочленами решений некоторых типов задач для дифференциальных уравнений

Экстремальные задачи интерполяционного типа и восстановление решений эллиптических уравненийБалова Елена Александровна

Интеграл типа Коши на негладкой неспрямляемой кривой и его приложения к решению краевой задачи Римана и сингулярным интегральным уравнениям Погодина Анна Юрьевна

Спектральная теория самосопряженных граничных задач для дифференциально-операторного уравнения типа Штурма-Лиувилля с вырождениемБондаренко, Николай Петрович

Применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравненийАксенов, Николай Александрович

Спектральные задачи для приближений уравнения переноса методом сферических гармоникТемирбулатов, Нурлан Сериккалиевич

Приближенные методы решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианалитических функцийКристалинский Владимир Романович

Вопросы теории разрешимости краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с нимиМирзоев, Сабир Солтанага оглы

О некоторых равномерно корректных по С.Г. Крейну задачах для дифференциальных уравнений с дробными производнымиСалим Бадран Джасим Салим

Задача Римана и уравнения в свертках с символами, вырождающимися на счетном множестве Джиргалова С.Б.

Упорядоченные пары линейных операторов и задача Коши для уравнения Ax'(t)+Bx(t)=0 в банаховом пространстве Радбель Наталья Исааковна