Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава I. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПРЯМОЙ; .
I. Пространства основных и обобщенных функций 16
2, Классы коэффициентов, Факторизация , . 18
3. Случай конечного числа нулей у коэффициента задачи
Римана в пространстве L^to^-co"^ ......... 24
4. Случай бесконечного числа нулей у коэффициента за
дачи Римана в пространстве LnCo-oo^ 32
5. Исключительный случай задачи Римана в пространстве
обобщенных функций на прямой ... 45
Глава П. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА ОКРУЖНОСТИ
6. Пространства основных и обобщенных функций 64
7, Задача Римана в пространстве основных функций ... 74 8. Задача Римана в пространстве обобщенных функций
Гс;гіхя\. 85
Глава Ш. УРАВНЕНИЯ В СВЕРТКАХ
9. Уравнение типа свертки с н Уь »* ядрами" ...... 98
10. Интегрально-разностное уравнение Винера-Хопфа в
пространстве L,> ^L0*, 0 101
II. Интегрально-разностное уравнение в пространстве
Lpi^.o^ 107
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 119
ЛИТЕРАТУРА 120
Введение к работе
Работа посвящена краевой задаче Римана и связанным с ней интегрально-разностным уравнениям типа свертки в пространствах основных и обобщенных функций.
Полная теория краевой задачи Римана и связанных с ней сингулярных интегральных уравнений, а также уравнений типа свертки изложена в монографиях [91 , [17"} , [I8"l, [221, [ 52"} , [ 55l Отметим при этом основополагающие исследования Ф.Д.Гахова [9~\ и Н.И.%схелишвили [521.
Краевая задача Римана в пространстве обобщенных функций изучалась многими авторами. Постановка задачи, по-видимому, принадлежит О.С.Парасюку 153"] , рассмотревшему задачу в случае, когда контур - вещественная ось.
Изучение задачи Римана в пространстве обобщенных функций связано с тем, что в различных прикладных задачах, например, в теории автоматического управления и теории массового обслуживания, возникает необходимость исследования уравнения типа свертки в классах медленно растущих на бесконечности функций [431 . Впервые задача Римана в нормальном случае в пространстве обобщенных функций была решена Ю.И.Черским в работе [67І, который применил ее для исследования интегральных уравнений типа свертки в классах растущих на бесконечности функций. Существенное развитие в теорию задачи Римана в обобщенных функциях внес В.С.Рогожин (см., например, [56] - [59] ). В.С.Владимиров рассмотрел задачу Римана в пространстве обобщенных функций многих переменных [4"] .
Исключительный случай задачи Римана в пространстве обобщенных функций на вещественной прямой впервые рассматривал В.Б.Ды-бин [28] , [29Д . Полное решение этого вопроса в случае прямой
-. Ц -
было дано в последующей за этим работе В.Б.Дыбина и Н.К.Карапе-тянца [39] , где было впервые показано, что в соответствующим образом подобранных пространствах основных и обобщенных функций краевая задача Римана с конечным числом нулей целого порядка у ее коэффициента подчиняется Х- теории. После этого еще неоднократно ряд авторов возвращались к этому вопросу (см., например, [151 Д 461 , [471, С 481, С5П , [ 591 , [601/651 ), в частности, в [591 была детально рассмотрена аналогичная ситуация на замкнутом гладком контуре.
Исключительный случай задачи Римана в пространстве обобщенных функций опирается на соответствующий случай в пространстве основных функций. Здесь для случая конечного числа нулей у ее коэффициента следует отметить результаты Л.А.Чикина[б9~}, Ф.Д.Гахова и В.И.Смагиной [І0І , последующие результаты достаточно полно изложены в монографии З.Пресдорфа [55~1. Случай бесконечного числа нулей рассматривали В.Б.Дыбин и В.Н.Гапоненко [34І , М.И.ЇЇуравлева [411 ,1421, В.Б.Дыбин [ЗЗІ . В работе[34] построена теория нормальной разрешимости задачи Римана, когда ее коэффициент имеет бесконечное множество периодически распределенных на вещественной оси нулей. В работах [411 ,[ 421 задача решается на луче методом Н.В.Говорова. В недавно опубликованной статье [331 В.Б.Дыбиным рассматривается случай общего распределения нулей с почти-периодической точкой сгущения.
Кроме краевой задачи Римана ниже рассматривается интегрально-разностное уравнение
где и связанное с ним парное
уравнение.
-5 -Нормальный случай этих уравнений, когда
где аоо*см+Кмв.!С C:elX 4kt^ix оУ. св.з)
SlCiK K^^4(R>)' в пространстве L?IR) , ^p^oo t был впервые рассмотрен И.Ц.Гохбергом и И.Ц.Фельдманом СІ8І. Они построили полную теорию односторонней обратимости оператора, порождаемого левой частью уравнения (В.І). В этом случае символ интегрально-разностного оператора, которым является функция Q.OC) вида (В.З), имеет так называемый почти-периодический разрыв в бесконечно удаленной точке.
Заметим, что в работах 26"} ИЇ27І Р.В.Дудучава и А.Й.Саги-нашвили построили *Р-теорию для уравнения Винера-Хопфа в случае полу-почти-периодического разрыва у ее символа OJX) на бесконечности.
Переходя к исключительному случаю уравнения (В.І), отметим, что полное исследование его частного случая, который носит название уравнение Винера-Хопфа
и его дискретного аналога, проведено в работах І30І , [ 311,, 1^1 » t^5l , [ 64"! , 16б"1( см. также монографию [55І ). В работе [30~} впервые был опробован новый метод - метод нормализации линейных операторов, который в последующем нашел широкое применение при исследовании интегральных уравнений в исключительном случае. В частности, В.Б.Дыбин и В.Н.Гапоненко ^8"] применили этот метод к исследованию исключительного случая уравнения (B.I) в пространстве L ІІК] ,^4(^ , когда функция CL(K) имеет
периодически распределенные нули, а именно,
где Jf - целое число, Ь - действительное число, ДДх.) -функция вида (В.З), удовлетворяющая условию (В.2). После этого В.Н.Гапоненко рассмотрел парное и транспонированное к парному уравнения в аналогичной ситуации t5l~t7l.
Заметим, что этот метод используется и в теории двумерных уравнений в свертках в исключительных случаях, в связи с этим отметим работы В.Б.Дыбина и А.Э.Пасенчука [40") , А.Э.Пасенчука t54l , М.Б.Городецкого tI6"\ .
В работах Ї5 -8І созданы предпосылки для исследования задачи Римана в обобщенных функциях с бесконечным мно -жеством нулей у ее коэффициента. Но сама задача рассматривается здесь впервые. Из предыдущих исследований ясно, что в этом случае появляется бесконечное множество сингулярных С"<Г - образных") решений, но тем не менее проблему представляет, во-первых, полное описание всех решений однородной задачи Римана, а во-вторых, конструкции обратных операторов, необходимых для нахождения частного решения неоднородной задачи.
Исследование задачи Римана в пространстве обобщенных функций позволяет изучить соответствующее интегрально-разностное уравнение в пространстве функций со степенным ростом на бесконечности и найти все решения указанного уравнения в этом классе. Вначале мы с помощью преобразования Фурье описываем поведение интегрально-разностного оператора в классе функций, принадлежащих пространству |_'»0 и растущих на бесконечности как некото-рая степень X . Эти результаты позволяют получить конструкции обратных операторов, и поэтому построить теорию нормальной разре-
- 7 -шимости в более широких пространствах L Ло>о*$ , где ъ f 2 В отличие от нормального случая в рассматриваемом исключительном случае появляется бесконечное множество линейно независимых решений, которые растут на бесконечности не быстрее некоторой степени.
Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации. Работа состоит из введения и трех глав, разбитых на одиннадцать параграфов.
Первая глава, состоящая из пяти параграфов, посвящена краевой задаче Римана на вещественной прямой в исключительном случае.
В I даются определения рассматриваемых пространств основных и обобщенных функций Lt±oo o"fc Uo ІО ± со*\, и изу-чаются их простейшие свойства.
В качестве исходного пространства основных функций берем полное счетно-нормированное пространство LA"*00, 0"V функций ЧЧК), определенных на вещественной прямой 11ч и удовлетворяющих условиям: XKvKX).L(8s) , К*0Д... ,-U^oo # тогдаLpl«>to\-- пространство, сопряженное к пространству LqI~<*>iO"^ , оно состоит из функций, которые получаются умножением элементов пространства Lp \8ч ) , р>1 »"5" + 'S" = '* » на всевозможные многочлены.
Далее |_<Д О,-со}- пространство преобразований Фурье элемен
тов из пространства LJ>^roo10^. Оно является полным счетно-норми-
рованным пространством бесконечно дифференцируемых функций Ttx)
таких, что K=0,A>t.. . Наконец, через
Lo^0»00^ обозначено пространство преобразований Фурье функций ^ L t00 0} . Это пространство есть пространство обобщенных функций над основным пространством Lpt0,-1:.
В 2 рассматривается класс коэффициентов ф , из которого впоследствии берутся символы для изучаемых операторов. Алгебра (& является прямой суммой алгебр Г\^-1: и Rao,-o} » где ПхаД-оо"} - алгебра бесконечно дифференцируемых почти-пе-риодических функций ССк^=Х- С: Є. *, коэффициенты которых С? удовлетворяют условиям: zZ \С.WЛ/:V ^00 » SS,A,... , а К0,-<*>} - алгебра преобразований іурье функций из L^-cOjO^. Отметим, что Пуд^г00^ является подалгеброй вине-ровской алгебры П^ почти-периодических функций, разлагающихся в абсолютно сходящиеся ряды.
Для алгебры ф справедливы теоремы Винера-Леви, Винера, а также теорема о факторизации - аналог теоремы I.I([I8l с.219). Как в алгебре КЛ0,-Оо} , так и в пространстве \_-^0-00 сингулярный оператор Коши-Лебега о является непрерывным.
Заметим, что последующее изучение задачи Римана в пространстве обобщенных функций является достаточно громоздким в силу того, что возникает несколько различных случаев, что иногда заслоняет принципиальную сторону дела. Поэтому мы в 3 в целях более ясного изложения основного метода предварительно рассматриваем случай конечного числа нулей, частично повторяя известные результаты работы С39І .
Таким образом, в 3 изучаем в пространстве 1_Д.О,-"Ъ краевую задачу Римана
,-чх 4- /^^г \ і— г—
ио*ск>К ооП) U)+wV)K0u)c>osroo, х^К,. св.4)
которую впоследствии отождествляем с порождаемым ею сингулярным интегральным оператором
А = 00-КАР++00+КгР" , (В.5)
где Ч!4 =2^ = -^1^)^ , KiOo^tUo,-*!,
Of U)*Cx-'0~ ctoo % аіх^ГЦх-(Пe, Zj d = cG ,
-8 *«г A mi (B.6)
иЛх>=Ч>ич/боо, «ix> = П U-вЛ, 2 fc = J*
a R \ 0 >"" "V - с четно-нормированная алгебра, полученная из R^0,00^ присоединением комплексных констант.
Изучение оператора А ведется с помощью его разложения в композицию нескольких операторов более простой структуры. Последовательно изучаются два случая: 1)&«^ ; , ="{,тА » ^ =4, КУЦ; 2) функции (ЦК) и О (К) имеют общие нули.
В 4 объектом исследования является оператор Д-Р +(Хг » где (ШЛ = И - ewK^ ^ЗЛХ) , а функция ЙЛУЛЄ удовлетворяет условиям (В.2). Здесь мы взяли нуль-множество, порождаемое периодически распределенными нулями функции ОДХ) , потому, что к данному моменту хорошо разработан аппарат исследования сингулярных интегральных уравнений с почти-периодическими разрывами у коэффициента (XX*.) [ 201 , [ 21"} , [ 37І . По аналогии с предыдущим параграфом изучение ведется с помощью разложения в композицию нескольких обратимых и одного односторонне обратимого оператора.
Теория обратимости как для нормального случая, так и для исключительного случая в рассматриваемых здесь пространствах основных функций одинакова в том смысле, что как в том, так и в другом случае оператор Д непрерывно обратим по крайней мере с
- 10 -одной стороны, а различие проявляется лишь в конструкциях его обратного оператора.
Центральным в этой главе является 5, который посвящен изучению оператора Id = (X г + г в пространстве обобщенных функций 1_Д0,00} с символом
где А 6 К , П^Л t\l , К-\тл , & функция Q. Є Or удовлетворяет условию (В.2).
В пространстве обобщенных функций у оператора ю коэффициент берем при Р , поскольку ниже в качестве приложения мы рассматриваем интегрально-разностное уравнение Винера-Хопфа. Как здесь, так и всюду в дальнейшем при изучении задачи Римана в пространстве обобщенных функций применяем метод B.C.Рогожина І57І
Вначале изучаем модельные операторы
где (А)(Х^=Ми~ ** ) , В^> 0 ф Оператор В~ ведет
себя в пространстве обобщенных функций так же, как и в
классическом случае, в частности, в случае его обратимости спра
ва 0 изоморфно пространству Оператор lD^ не
прерывно обратим в пространстве L^OjOO'i .
Затем рассматриваем общий случай. Здесь появляются сингу -лярные С" О -образные") решения с порядком сингулярности, равным порядку кратности нулей символа (ХЛХ) Например, при тП» <ЗЧ&=-0, эе.^0 , Р (Кет, ID ) состоит из функций
-\
где-fC^wg ^ - произвольная последовательность из (^ ч 2L ) .
- II -
Особенностью рассматриваемого случая является то, что точка сгущения нулей символа О-IX) находится на бесконечности. В то же время представляет интерес такая ситуация, когда эта точка находится в конечной части плоскости. Эта проблема связана с дискретным оператором свертки с почти-периодическими разрывами у его символа. Поэтому во второй главе рассматривается так называемый случай квазипериодического распределения нулей, то есть такое распределение, которое некоторым дробно-линейным преобразованием переводится в периодическое. В качестве объекта исследования берется задача Римана на единичной окружности Г0 . Метод исследования как на прямой IK , так и на окружности Г0 одинаков и сводится к изучению композиции операторов, каждый из которых подобен операторам, рассмотренным в первой главе.
В 6 вводятся новые пространства основных С« (X) и обобщенных функций
В случае, когда функция ОЛі) бесконечно дифференцируема и имеет конечное число нулей целой кратности, в качестве про -странства основных функций достаточно взять пространство С (Г).
Появление у функции СЦ-Н бесконечного множества нулей приводит к тому, что у нее нарушается гладкость в точках сгущения нулей. В данном случае эти точки являются точками почти-периодического разрыва. Оператор умножения на такую функцию не является ограниченным оператором в С U 0^« Поэтому мы вынуждены строить пространство С* IX) , которое является естественной областью действия оператора умножения на бесконечно дифференцируюмую функцию с конечным числом точек разрыва почти-периодического типа.
Ц/стьХ^Х,. гдаХд=иХ .X^l*^ -два множества точек почти-периодического разрыва коэффициента задачи Римана ОЛО , причем первое из них является еще мно -
жеством точек сгущения нулей функции &(Л).
Тогда через С g ОС ) обозначим полное счетно-нормирован-ное пространство функций f (А) таких, что
Сопряженное пространство 1.^-^ ОС) ] состоит из функционалов |=ТГл1^ ii)% 1» гДе |0^ (-„(Г0), а операция дифференцирования понимается в смысле дифференцирования обобщенной функции.
(-'qqOC)- множество функций СіІАЛІЛ^ Г0), бесконечно дифференцируемых всюду на Г0 , за исключением, быть может, точек множества yv . При этом выполнены условия: в (A) CL (А) ^LJO, 1=0,4,....
цусть для определенности JC=0\-^ , тогда для С^ООимеет место представление
оо, ч Л Лоо
<их>=ави,0,
где С^ ^~fc ) - пространство, которое определяется аналогично Q (!Х) » н0 зависит только от одной точки л- .
В 7 рассматривается в пространстве основных функций краевая задача Римана
гдеУ*иКР;*)іи=4;[ІІ r^Sr)vlu) ,а S-сингу-лярный оператор Коши-Лебега на Г0 , с коэффициентом
аіі)=П u) и) П MtU*a+U)/cL-4u (в.8)
где u^H-expL^^l , Р^О=^рС-С^1 . Функции OOCt), p. СО принадлежат
- ІЗ -Аналогично случаю на прямой, рассмотренному в 4, вначале исследуем модельные операторы, а затем - общий случай с помощью разложения оператора, порождаемого левой частью уравнения (В.7), в композицию нескольких более простых операторов.
* *-
Для первого модельного оператора с символом "t П рЛ"^ в пространстве С^ ОС) верны результаты, полученные для него в пространстве Lplro) Г20ІІ2І) ,Г38І Второй модельный оператор А Л с символом oot-U^n (аУ (А) . Б„ >0 , непрерыв-но обратим в L « ч А.)
Общий случай распадается на два подслучая: I. > О , К= 1, w ; 2. среди #к есть числа разных знаков. Первый случай не зависит от пересечения множеств уС и уС«» а второй - зависит не только от пересечения множеств уС.и^Со» но также от соотношения мощности множества у\. l\Xg и числа отрицательных &к , где у\_ - подмножество множества уч.., содержащее те точки "LK , которые соответствуют отрицательным к . Во втором случае рассматриваем еще несколько подслучаев. Во всех случаях описаны ядро и образ оператора, даны конструкции обратных операторов.
В 8 изучаем в пространстве обобщенных функцийІХ^ОС)J оператор |В:=0-Р +Р^с символом (В.8). Исследование про-водим по схеме, изложенной в предыдущем параграфе.
По аналогии с вышерассмотренным случаем на прямой (5) нормальный случай не приносит новых решений в
[С-осп*
, в то время как в исключительном случае появляются новые сингулярные решения с порядком сингулярности, равным кратности нулей символа Ol C-tr)» Показано, что подпространство решений однородной задачи в пространстве обобщенных функций изоморфно пространству 6-(.).
Третья глава посвящена уравнениям в свертках.
В 9 как приложение к 3 рассматриваем уравнение типа свертки с " п, - ядрами".
В 10, II изучаем в пространстве L t03^^ р >1 интегрально-разностное уравнение (B.I) с символом (В.З).
ПространствоL l,o"i является более широким, чем L ^RJ)* в нем рассматриваемый оператор непрерывно обратим по крайней мере с одной стороны. При этом, как было отмечено выше, здесь появляются новые растущие на бесконечности решения уравнения (ВД).
В частном случае ( р= 2. , Ю ) эти результаты получаем как следствие результатов параграфа 5.
Как только получены операторные композиции для оригиналов Фурье, обратные операторы и условия разрешимости, применяя операторный метод, исследуем интегрально-разностное уравнение (B.I) в пространстве «-р^ос^о^ , р ^ 2, (11).
Далее в II рассматриваем парное интегрально-разностное уравнение.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [23] , [ 241 и в работах 251 # t 35"} , ЗбТ, выполненных автором совместно с научным руководителем. Научному руководителю принадлежат постановки задач, определение общего метода ис -следования, а также введение основного пространства Со ОС) .
По материалам диссертации были сделаны доклады на ІУ конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (г.Черноголовка, Ногинский научный центр АН СССР, март 1983г.), на семинаре ХУШ Воронежской математической школы (рук. профессор С.Г.Крейн, январь 1984г.), на семинаре по теории сингулярных уравнений Тбилисского математического института им. А.М.Размад-зе АН Груз.ССР (рук. академик АН Груз. ССР, профессор Б.В.Хведе-
лидзе, май 1984 г.)» на семинаре по теории псевдодифференциальных операторов Ростовского государственного университета (рук, профессор И.Б.Симоненко) и на Ш-ей республиканской научно-теоретической конференции молодых ученых и специалистов, посвященной 375-летию добровольного вхождения калмыцкого народа в состав России (г.Элиста, июнь 1984г.).
Ниже символами 4 и V обозначаются соответственно начало и конец доказательства.
