Введение к работе
Актуальность теш. В T9TQ г. а трудах 4-ого Скандинавского математического конгресса братья '5. и М.Рнсс опубликовали теперь уже ставшую классической теорему. В нсЛ доказано, что кора, ортогональная при интегрировании по единично! окружности функциям, голоморфным в эагчкании единичного крига, абсолютно непрерывна на этой окружности относительно меры Лебе-га.
Широко известна и более сильная формулировка. В net! утверждается не только абсолютная непрерывность меры ju , ортогональной голоморфным функциям, относительно марі; Лебега
)) , но н что Л. ~ L $ , где / продол лается внутрь
единичного круга как функции класса Хпрди И . В частности, эта теорема нсгольэозалась Л.А.Айзенбергом пои рошений задачи описання кар, ортогональних при интегрировании по граница облает:; VSj пространству (0(90) (пространству функций, ортогональных голоморфным).
Таким образом, теорему Риссов маяно рассматривать как условие голоморфного продолжения. Тем самим на тесно связана с задачей описания тех функций, эр данных на всей граница области, которые продолжаются голоморфно внутрь области. Возникает и друг&ч задача - задача описания функций, заданных на части границы облает», которые голоморфно продолжаются внутрь области. Решением этой задачи занимались Г.Ц.Тумаркин, В.А. Фок и В.М.Кун'и, Д.Гатил, А.Итеинер, М.Г.Крейн и П.Я.Нудельшш, Е.М.Чирка, Л.Л.Айзенберг, Н.Н.Тарханов.
Известны формулы, осуществляющие голоморфное продолжение функций с полномерного куска границы области. Впервые такая формула была получена Т.Карлеманом в 1926 г. для областей в , специального вида. Г.М.Голу.энным и В.М.Крыловцм решение било распространено на односвязные области а { . Для областей в (U , tb > і. , формулы Карлемана бели получены Д.Патнлом.. Ш.А.Даутоаьш и Е.С.Мкртчяном, Ш.Ярмухамидояш, Т.Ишанкулочьш, Л.А.Айзенбергом, А.М.Кытманошл.;, Т.Н.Никитиной, Н.Н.Тархановым. Следует отметить, ,что во воех упомянутых результатах ядро в формуле Карлемана не яиля.зтся голкморфмнм.
Сам этот факт показывает насколько трудна задача постр'ения
формул Кар.'емана с голоморфным ядром. Л.А.Айзенберг доказал
существование многомерного аналога формулы Карлемана с голо
морфным ядром для ограниченной области с кусоч
но гладкой границей "Э0 .На множество максимальной раз
мерности /fcr: Эй) налагалось дополнительное условие: мно
жество ЭЮ\ М имеэт связное дополнение. Но эта. формула
явно не была построена. Все это придает интерес любому про
движению в решения указанной задачи.
Справедливость'формул Карлемана доказывается в предположении, чтт искомое продолжение существует и принадлежит классу Харди. В этой ситуации естественно говори.ь уже не о продолжении, а о восстановлении функции по ее граничным значениям. *
Голоморфные функции, удовлетворяющие условию -Липшица, можно восстановить по их значениям на множестве нулевой меры. Именно такую формулу получили при П-І- И.В.Виденский,.... Е.М.Гавурика и В.П.Хавин. Функцию, голоморфную в окресть^сти нуля ( О 6 С ), как показал А.И.Маркушевич, можно восстановить в ее максимальной звезде голоморфности с помоі.ью полиномов Пенлев^-Фредгольма по значениям функции и всех ее производных в нуле. Эти и другие результаты приводят к задаче о восстановлении функций некоторых кваэианалитическлх классов в звезд ых областях по их значениям на дискретном множестве
ТОЧеК ИЛИ ПО Значениям Всех ИХ ПРОИЗВОДНЫХ В ОДНОЙ ТО'ч-
ке.
Цель исследования. Иссле; эвать возможность голоморфного продолжения с части границы Шилова круговьи сильно звездных і Злас ей и сильно звездных областей с дважды гладкой границей Шилова. Получить интерполяционные формулы для функций квазианалитических классов.
Общая методика исследования. В диссертации широко использовались идеи и методы теории интегральных представлений, теории двойственности функциональных пространстг, геометрической теории функций, техника псевдоаналитического продолжения и оценки остаточного члена в инт ;гральной форме, а также другие методы теории функций многих комплексных лере-
кеіших и функционального анализа.
Научная.новизна и практическая ценность. Все результати диссертации являются ношлі'.і. Они носят теоретически!* характер и иогут использоваться в задачах об аналитическом про-долкешш. .
Апробация работы. На материалам диссертации бнти сделаны доклады на школе-сешнерэ "Комплексний анализ и математическая физика" (Краснояреї!, 1987 г.), на Всесоюзної! конкуренции по геометрической теории функция (Новосибирск, Т980**г.), ііа їіколс-семішзре "Актуальніш вопросы комплексного анализа" (Ташкент, 1939 г.),. на научных семинарах при Институте фізик» им. Л.В.Киренс-'сого СО АН СССР, Красноярской государственном унивврсит"те и Институте мг-тематики СО АН ССР.
Публикации. Осношшэ результати диссертации изложены в работах [_ I - 10J .
Структур.' и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глаз. Г."акя разбиты на песть параграф00- Текст диссертационной работы излояен на 74 страницах. Библиография содержит 51 наименопание.
