Содержание к диссертации
Стр.
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА I. ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ, МИНИМАЛЬНОСТИ И БАЗИСНОСТИ
В КЛАССАХ И р В ПОЛУПЛОСКОСТИ II
I. Необходимые сведения и утверждения о простран
ствах Н в полуплоскости II
2. Теорема вложения для функций из п + 16
3. О замыкании, минимальности и базисности неко
торых общих систем функций из Н + 21
ГЛАВА П. БАЗИСНОСТЬ НЕПОЛЩК СИСТЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ В УГЛОВОЙ ОБЛАСТИ 29
I. Необходимые свойства функций из классов
НРС$1 №
2. Построение биортогональных систем функций
{Ш aU }оО}~ и (fA (2> 0}^ и пред
ставление функций из п Гр J 39
3. О замыкании и базисности системы функций
(тк(-г\*)} 45
ГЛАВА Ш. БИ0РТ0Г0НАЖЗАЦИЯ И ЗАМЫКАНИЕ НЕПОЛНЫХ „
ОБОБЩЕННЫХ СИСТЕМ МЮНЦА-САСА \-& * і і
В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ 61
І.Еиортогонализация системы t-в = S±
и вспомогательные леммы 61
2.Вопросы сходимости в пространствах п С\1
и И С і 1 ряда по системе {. * 2 к J^ .... ?3
ЛИТЕРАТУРА 85
Введение к работе
а) Вопросам полноты - замкнутости различных систем аналитических и рациональных функций в разных метриках аппроксимации посвящено большое количество работ. Однако представляет особый интерес другой аспект задач аппроксимации, связанный с заведомо неполными в выбранной метрике системами функций. Этой тематике посвящен цикл исследований М.М.Джрбашяна [і-в] и в общих чертах может быть охарактеризован следующим образом: дать полную внутреннюю характеристику замыкания в данной метрике неполной системы функций и выявить условия, при которых функции из замыкания разлагаются в ряды по этим системам.
В исследованиях [7-Ю] была выявлена особая роль и важность построения биортогональных систем функций для решения задач такого рода.
В работе М.М.Джрбашяна Г9І был предложен метод построения
СИСТеМЫ фуНКЦИЙ 7.Ь сґ & биортогональной на окружности
Г 7
12 I = 1 с системой рациональных функций t^/c () j± » где
ОО v
{^/с} ( 1<Ьк1 < 1 ) - последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условию Бляшке, а $к, >/ 1 - кратность появления числа сік, на отрезке {о{^ , . .. 5 (я j .
Им же этот метод был применен fio] для построения системы
функций , биортогональной на вещественной оси с
системой рациональных функций {їк Cw)h , где
и Ґ ) &* -і)! , ч
GO \.
-f|4 1 (Ут H >0 J " последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условию Бляшке для полуплоскости jm #г у 0 , а iSf/c ^ і - кратность появления числа It на отрезке {И ;
Метод построения биортогональных систем восходит к одной давней работе М.М.Джрбашяна и А.Б.Нерсесяна [її], посвященной построению биортогональных на конечном отрезке систем целых функций - линейных комбинаций от функций типа Миттаг-Леффлера
В связи с этим исследовались также вопросы разложений функций по указанным системам, порожденным, вообще говоря, кратными нулями определенных целых функций такого же рода [к].
В дальнейшем этот же метод построения биортогональных систем, порождаемых аналитическими функциями с кратными нулями нашел существенно новые применения в ряде различных по своей природе вопросов анализа: в теории краевых задач для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом [із], [l4] и для уравнений дробного порядка типа Штурма-Лиувилля [15], в вопросах разложений функций по неполным обобщенным системам Мюнца-Саса [ і] {t~ лі х X *Г*}~ (Ил^уО) и т.д.
Далее, этот метод нашел новые приложения и интересные обобщения в серии работ Верблюнского ҐІб] - Пш].
М.М.Джрбашян дал важные применения этого метода также и в
вопросах изучения асимптотических рядов Дирихле-Тейлора, обла
дающих свойством примыкания на полуоси или в бесконечных облас
тях типа криволинейных полос fl9], [20*]. оо
б) Биортогональные системы М.М.Джрбашяна и их различные модификации позволили установить критерий их ба-
зисности и получить полное решение кратной интерполяционной задачи в различных классах аналитических функций [б-8] , f2I-23] . Эти системы послужили основой для построения и установления теорем о разложениях по определенным системам рациональных функций, порожденных ограниченными континуумами и являющихся существенными обобщениями полиномов Фабера Г 9].
Метод биортогонализации нашел существенное приложение в исследованиях М.М.Джрбашяна ["б], посвященных вопросам полной внутренней характеристики и разложений по неполным системам рациональных функций и по обобщенным системам Мюнца-Саса.
в) По-видимому, первыми результатами в направлении решения такого рода задач для конкретных неполных систем, связанных с классической теоремой Мюнца, явились небольшая заметка Кларксо-на и Эрдеша [24] и почти одновременно с ней значительно более общее и глубокое исследование Л.Шварца [2б].
Кларксон и Эрдеш первыми рассмотрели неполные системы
1-ь J і (t fv гj - последовательность целых чисел,
V V / Г л-Уіс х 1
у Vk: )» яок&зав, что система 1-е s± будет
минимальной и что любая функция (х) из ее замыкания в С СО, + со) аналитически продолжается во всю правую полуплоскость Rji В ? О .
Л.Шварц в главе I своей монографии [2Ь~\ проводит детальное исследование отмеченных в начале введения задач для замыканий
в метриках Lf, (0,+ «>) (1 ^ р < + оо) и С СО, + оо) неПол-Г -J1* X 7
ных систем { - j'± при условиях
Однако по этому поводу следует отметить, что в обратных теоремах Л.Шварца [25] аппроксимируемость данной функции
посредством неполной системы достигается не только требованием ее аналитичности в полуплоскости аг 2 > 0 , но и требованием ее равномерной аппроксимируемости той же системой в каждой области вида
содержащей, в частности, любую полуось Г^? + оо}
По этой причине проблему полной внутренней характеристики для
р ~И у -7 СО
замыкания системы {& * j^ , например, в метрике L,z(Oj
+ оо ), после отмеченных результатов Л.Шварца, очевидно, нельзя было считать исчерпаной.
В исследованиях М.М.Джрбашяна Гб] был предложен новый метод,
позволивший дать полную внутреннюю характеристику замыканий не-
{
- и х л* —j у
t ^л X К Г j »
где іу^ }. - произвольная последовательность комплексных чисел из полуплоскости fil В > 0 , а ЗкЪ і - кратность появления числа И на отрезке {jf> } . Этот метод позволил установить теоремы большей общности, часть которых в весьма специальном случае содержит основные теоремы монографии Л.Шварца [25І (см.теоремы 0.1 и 0.2 Гб]) в пространстве I*z (0>+ )
В данной работе рассматриваются вопросы характеристики замыканий и вопросы разложений по определенным системам рациональных или трансцендентных функций и по системам функций вида (- ? /. Эти рассмотрения ведутся в различных пространст-вах функций, голоморфных в угловых областях комплексной плоскости с вершиной в точке 2 = О .
В главе I рассмотрены вопросы замыкания, минимальности и ба-зисности различных систем функций, изоморфных системам простейших рациональных дробей. I носит предварительный характер. Здесь приведены необходимые сведения и утверждения о функциях
из классов л в полуплоскости.
В 2 устанавливается одна теорема вложения (теорема I.2.I) для функций из классов Н С0</?< + осОв полуплоскости. Эта теорема применяется при решении интерполяционных задач в классах п и при установлении критерия базисности различных систем рациональных функций.
В 3 строится изоморфизм в пространстве Н в полуплоскости. Путем изоморфного отображения пространства п на себя на основании соответствующих результатов [id] М.М.Джрбашяна о системах рациональных дробей вида j Ч.^ ( = YF7W~^)Jk~J > устанавливаются критерии полноты, минимальности и базисности различных систем функций, порожденных специальными функциями. В случае неполноты таких систем дается полная внутренняя характеристика их замыканий, а в случае минимальности строится биортогональная с ними система функций (теоремы 1.3.I - 1.3.4).
д) Глава П посвящена построению и исследованию вопросов замыкания, биортогонализации и базисности определенных систем рациональных функций { ґґі к ( ; () fj, с фиксированными полюсами из угловой области А Ы) - (l \ Л(9), где
При построении этих систем и их биортогональных дополнений используется отмеченный ранее метод М.М.Джрбашяна Г 9"] построения обобщений полиномов Фабера, порожденных ограниченными континуумами.
В I доказаны необходимые свойства пространств Н С1 функций j- (? ) аналитических в угловой области Л (j>) и удовлетворяющих условию
Ш , = Л JlU^)IJtj<^
Отметим, что Н [fl при />6fi,+ «О и^еГ^,+ )
являются банаховыми пространствами. ^
В 2 строится система рациональных функций { /7t к fz? ; oi)J^ с полюсами, расположенными в точках последовательности {- Я /с J, С ACoi; . Эти функции являются главными частями разложений в
ряд Лорана в окрестности точки 2 = - Я^ функций ±
где у f2 ; = - (- Н) функция конформно отображающая Л (Ы) = на полуплоскость В этом же параграфе строится система функций { R. f2 j 0j\ ,
/71 (Я ; oOj^ в смысле
"ОТІ 5 ^«f* ^)^^^)^= ^«* 5
где Ц - общая граница Л(р) и Л о() .
Доказываются два утверждения (лемма 2.2.2 и теорема 2.2.1) о представлении ядра Коши и функций из классов П j> ] посредством систем (т^(2у d)}± и {J*'> ^)}±
В 3 дается полная внутренняя характеристика замыкания в метрике п j>] системы l l^-ic ( 'i^'Jx (теорема 2.3.1). Отметим при этом, что функции этой системы лежат в п Гр7 (i < f> < + о) и эта система заведомо не полна в И С?] . В этом же параграфе устанавливается критерий базисности системы
в ее замыкании (теорема 2.3.2).
Теорема. Пусть uf> { /^ г - -г < + ( рк - кратность появ-
г ? ления числа Я ^ в последовательности { А ^ J*, ).
Для того, чтобы система рациональных функций
являлась базисом в своей линейной оболочке необходимо и доста-
точно условие
Лк+Я^
Як + яю
Ъ $ >0 .
е) В главе Ш рассматриваются вопросы аналитического продолже
ния функций, принадлежащих замыканиям в Н С\1 и Н С}]
неполных систем вида l~ z. /^ ( {0Я Л к. I < jfa ,
{ < d < + со , о( + ^ = і ) и вопросы разложений в ряды по функциям этих систем.
Вопросы полноты этих систем и описания их замыкания в случае неполноты в пространствах п [
Г — Л в
тором неполным в угловой области &()г) системам {- к х
* Si -
В I главы Ш строится система { ^ f?) j , биортого-
нальная с системой ^к.(^ )А./«,)~ {- ^2 2:^fi"^^ в следующем смысле:
где і - граница области Л Q-) = г г ; lOJtQ 2/ <^т J, J- + d ~I. Далее, налагая определенные условия на последовательность
lAje/^ С АЦ) f доказывается ряд вспомогательных лемм. В 2 рассматриваются вопросы сходимости сгруппированных рядов вида
ОО
f(2)^ Y. ( XI СЮС9 60^(2 ^Л^)
в пространствах Н L\] и Н i\l (теоремы 3.2.1 и 3.2.2). Через 0у, обозначено множество всех отличных друг от друга то-чек последовательности I А^К , лежащих в области Sj^ , О + П < +оо , а 25«, = {2 ; Y* < /*/ * *л^ 1,
(см. лемму 3.1.3).
Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [47] - [50].
Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность академику АН Арм.СОР М.М.Джрбашяну за постановку задач и руководство при выполнении данной работы и старшему научному сотруднику В.М.Мартиросяну за постоянное внимание к работе и ценные замечания.
- II -
